Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên Chú ý: * Để đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợ[r]
TỔ HỢP Vấn đề Quy tắc đếm Phương pháp Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét công việc H H , H , , H k m Giả sử H có k phương án thực cơng việc H Nếu có cách thực phương án H1 , có m2 cách thực phương án H , , có mk cách thực phương án H k cách thực phương án H i không trùng với cách thực H i j; i , j 1, 2, , k phương án j ( ) có m1 m2 mk cách thực công việc H b) Công thức quy tắc cộng Nếu tập A1 , A2 , , An đơi rời Khi đó: A1 A2 An A1 A2 An Quy tắc nhân a) Định nghĩa: Giả sử công việc H bao gồm k công đoạn H1 , H , , H k Cơng đoạn H1 có m1 cách thực hiện, cơng đoạn H có m2 cách thực hiện,…, cơng đoạn H k có mk m m mk cách thực Khi cơng việc H thực theo cách b) Công thức quy tắc nhân Nếu tập A1 , A2 , , An đôi rời Khi đó: A1 A2 An A1 A2 An Phương pháp đếm toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng Để đếm số cách thực công việc H theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem cơng việc H có phương án thực hiện? Mỗi phương án có cách chọn? Phương pháp đếm toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân Để đếm số cách thực công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích cơng việc H chia làm giai đoạn H1 , H , , H n đếm số cách thực giai đoạn H i ( i 1, 2, , n ) Nhận xét: Ta thường gặp toán đếm số phương án thực hành động H thỏa mãn tính chất T Để giải toán ta thường giải theo hai cách sau Cách 1: Đếm trực tiếp Nhận xét đề để phân chia trường hợp xảy toán cần đếm Đếm số phương án thực trường hợp Kết toán tổng số phương án đếm cách trường hợp Chú ý: * Để đếm số phương án thực trường hợp ta phải chia hành động trường hợp thành phương án hành động nhỏ liên tiếp Và sử dụng quy tắc nhân, khái niệm hốn ví, chỉnh hợp tổ hợp để đếm số phương án thực hành hành động nhỏ * Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng hoán vị n phần tử là: +) Tất n phần tử phải có mặt +) Mỗi phần tử xuất lần +) Có thứ tự phần tử * Ta sử dụng khái niệm chỉnh hợp +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) k phần tử cho xếp thứ tự * Ta sử dụng khái niệm tổ hợp +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) Không quan tâm đến thứ tự k phần tử chọn Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù toán sau: Đếm số phương án thực hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta a phương án Đếm số phương án thực hành động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: a b Ta thường gặp ba toán đếm Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Khi lập số tự nhiên x a1 an ta cần lưu ý: a 0,1, 2, ,9 * i a1 0 * x số chẵn an số chẵn * x số lẻ an số lẻ * x chia hết cho a1 a2 an chia hết cho * x chia hết cho an 1an chia hết cho an 0, 5 * x chia hết cho * x chia hết cho x số chẵn chia hết cho * x chia hết cho an an 1an chia hết cho * x chia hết cho a1 a2 an chia hết cho * x chia hết cho 11 tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 * x chia hết cho 25 hai chữ số tận 00, 25, 50,75 Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học Các ví dụ Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường Có cách từ thành phố A đến thành phố C, biết phải qua thành phố B A.42 B.46 C.48 D.44 Lời giải: Để từ thành phố A đến thành phố B ta có đường để Với cách từ thành phố A đến thành phố B ta có cách từ thành phố B đến thành phố C Vậy có 6.7 42 cách từ thành phố A đến B Ví dụ Từ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số 3? A.192 B.202 C.211 D.180 Lời giải: y 23 Đặt , xét số x abcde a , b , c , d , e đôi khác thuộc tập 0,1, y , 4, 5 Có P5 P4 96 số Khi ta hoán vị 2, y ta hai số khác Nên có 96.2 192 số thỏa yêu cầu tốn Ví dụ Có học sinh nữ hs nam Ta muốn xếp vào bàn dài có ghế ngồi Hỏi có cách xếp để : học sinh nữ ngồi kề A.34 B.46 C.36 D.26 2 học sinh nam ngồi kề A.48 B.42 C.58 D.28 Lời giải: Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 3!.3! 36 Số cách xếp thỏa yêu cầu tốn: 2!.4! 48 Ví dụ Xếp người A, B, C, D, E, F vào ghế dài Hỏi có cách xếp cho: A F ngồi hai đầu ghế A.48 B.42 C.46 D.50 A F ngồi cạnh A.242 B.240 A F không ngồi cạnh A.480 B.460 C.244 D.248 C.246 D.260 Lời giải: Số cách xếp A, F: 2! 2 Số cách xếp B , C , D , E : 4! 24 Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 2.24 48 Xem AF phần tử X , ta có: 5! 120 số cách xếp X , B , C , D , E Khi hoán vị A , F ta có thêm cách xếp Vậy có 240 cách xếp thỏa yêu cầu toán Số cách xếp thỏa u cầu tốn: 6! 240 480 cách Ví dụ Có chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1, 2, 4, 5,6,8 A.252 B.520 C.480 Lời giải: x abcd; a , b , c , d 0,1, 2, 4, 5, 6, 8 Gọi Cách 1: Tính trực tiếp d 0, 2, 4,6,8 Vì x số chẵn nên TH 1: d 0 có cách chọn d a 1, 2, 4, 5,6,8 Với cách chọn d ta có cách chọn b 1, 2, 4, 5,6,8 \ a Với cách chọn a , d ta có cách chọn c 1, 2, 4, 5,6,8 \ a, b Với cách chọn a , b , d ta có cách chọn Suy trường hợp có 1.6.5.4 120 số d 0 d 2,4,6,8 TH 2: có cách chọn d Với cách chọn d , a 0 nên ta có cách chọn a 1, 2,4, 5,6,8 \ d b 1, 2, 4, 5,6,8 \ a Với cách chọn a , d ta có cách chọn c 1, 2, 4, 5,6,8 \ a, b Với cách chọn a , b , d ta có cách chọn Suy trường hợp có 4.5.5.4 400 số Vậy có tất 120 400 520 số cần lập Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù) D.368 Gọi A { số số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1, 2, 4, 5,6,8 } B { số số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1, 2, 4, 5,6,8 } C { số số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1, 2, 4, 5,6,8 } Ta có: C A B A 6.6.5.4 720 Dễ dàng tính được: B Ta tính ? x abcd số lẻ d 1,5 d có cách chọn Với cách chọn d ta có cách chọn a (vì a 0, a d ) Với cách chọn a , d ta có cách chọn b Với cách chọn a , b , d ta có cách chọn c B 2.5.5.4 200 Suy C 520 Vậy A 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8 Ví dụ Cho tập Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác số lẻ không chia hết cho A.15120 B.23523 C.16862 D.23145 Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ A.11523 B.11520 C.11346 D.22311 Lời giải: Gọi x a1 a8 số cần tìm d 1, 3,7 d Vì x lẻ khơng chia hết có cách chọn Số chọn chữ số lại là: 7.6.5.4.3.2.1 Vậy 15120 số thỏa yêu cầu tốn Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a1 có cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên a8 có cách chọn Các số cịn lại có 6.5.4.3.2.1 cách chọn Vậy có 6.5.4.3.2.1 11520 số thỏa yêu cầu toán A 0,1, 2, 3, 4, 5,6 Ví dụ Cho tập Từ tập A ta lập số tự nhiên lẻ gồm chữ số đôi khác A.720 B.261 C.235 D.679 Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho A.660 B.432 C.679 D.523 Lời giải: a , b , c , d 0,1, 2, 3, 4, 5,6 ; a 0 Gọi số cần lập x abcd , Chọn a : có cách; chọn b , c , d có 6.5.4 Vậy có 720 số e 0, 5 , a 0 Gọi x abcde số cần lập, e 0 e có cách chọn, cách chọn a , b , c , d : 6.5.4.3 Trường hợp có 360 số e 5 e có cách chọn, số cách chọn a , b , c , d : 5.5.4.3 300 Trường hợp có 300 số Vậy có 660 số thỏa yêu cầu toán A 0,1, 2, 3, 4, 5,6 Ví dụ Cho tập hợp số : Hỏi thành lập số có chữ số khác chia hết cho A.114 B.144 C.146 D.148 Lời giải: Ta có mợt số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Trong tập A có tập chữ số chia hết cho {0,1,2, 3}, {0,1,2,6} , {0,2,3,4} , {0,3,4,5} , {1,2,4,5} , {1,2,3,6} , 1, 3, 5,6 Vậy số số cần lập là: 4(4! 3!) 3.4! 144 số A 0,1, 2, 3, 4, 5,6 Ví dụ Từ số tập lập số chẵn gồm chữ số đôi khác có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh A.360 B.362 C.345 D.368 Lời giải: Vì có số lẻ 1,3,5, nên ta tạo cặp số kép: 13, 31,15, 51, 35, 53 X 0,13, 2, 4,6 Gọi A tập số gồm chữ số lập từ A ,A ,A Gọi tương ứng số số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác lập từ X 0,13, 2, 4,6 chữ số tập 13 đứng vị trí thứ nhất, thứ hai thứ ba A A4 24; A2 A3 3.3.2 18 A 24 2.18 60 Ta có: nên Vậy số số cần lập là: 6.60 360 số Ví dụ 10 Từ số 1, 2, 3, 4, 5,6 lập số tự nhiên ,mỗi số có chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng số sau đơn vị A.104 B.106 C.108 D.112 Lời giải: Cách 1: Gọi x a1a2 a6 , 1, 2, 3, 4, 5,6 số cần lập Theo ta có: a1 a2 a3 a4 a5 a6 (1) a , a , a , a , a , a 1, 2, 3, 4, 5,6 Mà đôi khác nên a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 21 (2) Từ (1), (2) suy ra: a1 a2 a3 10 Phương trình có nghiệm là: ( a1 , a2 , a3 ) (1, 3,6); (1,4, 5); (2,3, 5) Với ta có 3!.3! 36 số Vậy có thảy 3.36 108 số cần lập Cách 2: Gọi x abcdef số cần lập a b c d e f 1 21 a b c d e f Ta có: a b c 11 Do a , b , c 1, 2, 3, 4, 5,6 Suy ta có cặp sau: ( a , b , c ) (1, 4,6); (2, 3,6); (2, 4, 5) d, e , f Với ta có 3! cách chọn a , b , c 3! cách chọn Do có: 3.3!.3! 108 số thỏa u cầu tốn Ví dụ 11.Từ số 1, 2, lập bao nhiều số tự nhiên gôm chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau Trong số, chữ số có mặt lần A.90 B.78 C.95 Trong số, hai chữ số giống không đứng cạnh A.76 B.42 C.80 D.38 D.68 Lời giải: Đặt A {1, 2, 3} Gọi S tập số thỏa yêu cầu thứ toán 6! 90 Ta có số số thỏa điều kiện thứ tốn (vì số có dạng aabbcc hốn vị hai số a , a ta số không đổi) Gọi S1 , S2 , S3 tập số thuộc S mà có 1, 2, cặp chữ số giống đứng cạnh S 6 Số phần tử S3 số hốn vị cặp 11, 22, 33 nên Số phần tử S2 số hốn vị phần tử có dạng a , a , bb , cc 4! S2 6 a , a không đứng cạnh Nên phần tử Số phần tử S1 số hốn vị phần tử có dạng a , a , b , b , cc 5! S1 12 12 a , a b , b không đứng cạnh nên Vậy số số thỏa yêu cầu toán là: 90 (6 12) 76 Ví dụ 12 Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số 2011 chữ số có hai chữ số 2011 2019.9 2010 2011 2.9 2010 9 A B 2011 2010 C 2011 19.9 2010 D Lời giải: Đặt X số tự nhiên thỏa yêu cầu toán A { số tự nhiên không vượt 2011 chữ số chia hết cho 9} Với số thuộc A có m chữ số ( m 2008) ta bổ sung thêm 2011 m số vào phía trước số có khơng đổi chia cho Do ta xét số thuộc A có a a a ; a 0,1, 2, 3, ,9 dạng 2011 i A0 a A | mà a khơng có chữ số 9} A1 a A| mà a có chữ số 9} 2011 1 Ta thấy tập A có phần tử Tính số phần tử A0 2010 Với x A0 x a1 a2011 ; 0,1, 2, ,8 i 1, 2010 2010 Từ ta suy A0 có phần tử a2011 9 r với r 1; , r i 1 Tính số phần tử A1 Để lập số thuộc tập A1 ta thực liên tiếp hai bước sau 0,1, ,8 tổng chữ số chia hết Bước 1: Lập dãy gồm 2010 chữ số thuộc tập 2009 cho Số dãy Bước 2: Với dãy vừa lập trên, ta bổ sung số vào vị trí dãy trên, ta có 2010 bổ sung số 2009 Do A1 có 2010.9 phần tử Vậy số số cần lập là: 2011 2010 2011 2019.9 2010 1 2010.92009 9 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Bạn cần mua áo sơ mi cỡ 30 32 Áo cỡ 30 có màu khác nhau, áo cỡ 32 có màu khác Hỏi bạn có cách lựa chọn ? A.7 B.8 C.9 D.4 Có 10 sách Tốn khác nhau, 11 sách Văn khác sách anh văn khác Một học sinh chọn sách sách Hỏi có cách lựa chọn A.26 B.28 C.32 D.20 Có cách xếp sách Toán, sách Lý sách Hóa lên kệ sách cho sách mơn học xếp cạnh nhau, biết sách đôi khác A 7.5!.6!.8! B 6.5!.6!.8! C 6.4!.6!.8! D 6.5!.6!.7 ! Lời giải: Công việc ta cần thực toán mua ao sơ mi cỡ 30 32 Để thực công việc ta có hai phương án Phương án 1: Mua áo cỡ 30: Phương án ta có cách chọn (chọn ba màu) Phương án 2: Mua áo cỡ 32: Phương án ta có cách chọn Vậy ta có thảy 7 cách lựa chọn Để chọn sách sách ta có phương án sau Phương án 1: Cuốn sách chọn sách Toán: Ta có 10 cách chọn Phương án 2: Cuốn sách chọn sách Văn: Ta có 11 cách chọn Phương án 3: Cuốn sách chọn sách anh văn: Ta có cách chọn Vậy có 10 11 28 cách lựa chọn Ta xếp sách môn thành nhóm Trước hết ta xếp nhóm lên kệ sách có: 3! 6 cách xếp Với cách xếp nhóm lên kệ ta có 5! cách hoán vị sách Toán, 6! cách hoán vị sách Lý 8! cách hoán vị sách Hóa Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: 6.5!.6!.8! cách xếp Bài Có cách xếp người A,B,C,D lên toa tàu, biết toa chứa người A.81 B.68 C.42 D.98 Trong giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng trịn Cứ hai đội gặp lần Hỏi có tất trận đấu xảy A.190 B.182 C.280 D.194 Từ thành phố A có 10 đường đến thành phố B, từ thành phố A có đường đến thành phố C, từ B đến D có đường, từ C đến D có 11 đường khơng có đường nối B với C Hỏi có cách từ A đến D A.156 B.159 C.162 D.176 Hội đồng quản trị công ty X gồm 10 người Hỏi có cách bầu ba người vào ba vị trí chủ tịch, phó chủ tịch thư kí, biết khả người A.728 B.723 C.720 D.722 Lời giải: Để xếp A ta có cách lên ba toa Với cách xếp A ta có cách xếp B lên toa tàu Với cách xếp A,B ta có cách xếp C lên toa tàu Với cách xếp A,B,C ta có cách xếp D lên toa tàu Vậy có 3.3.3.3 81 cách xếp người lên toa tàu Cứ đội phải thi đấu với 19 đội cịn lại nên có 19.20 trận đấu Tuy nhiên theo cách tính trận đấu chẳng hạn A gặp B tính hai lần Do số trận đấu thực 19.20 190 tế diễn là: trận Để từ A đến D ta có cách sau A B D : Có 10.6 60 A C D : Có 9.11 99 Vậy có tất 159 cách từ A đến D ... lên ba toa Với cách xếp A ta có cách xếp B lên toa tàu Với cách xếp A,B ta có cách xếp C lên toa tàu Với cách xếp A,B,C ta có cách xếp D lên toa tàu Vậy có 3.3.3.3 81 cách xếp người lên toa tàu... cách hoán vị sách To? ?n, 6! cách hoán vị sách Lý 8! cách hoán vị sách Hóa Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: 6.5!.6!.8! cách xếp Bài Có cách xếp người A,B,C,D lên toa tàu, biết toa chứa người A.81... CÁC BÀI TO? ?N LUYỆN TẬP Bài Tìm số nguyên dương n cho: A An1 8 n A.4 B.5 A 10 An n A.12 B.13 C.6 D.7 C.14 D.15 C.6,8,2 D.7,9,8 Pn An44 15 Pn2 A.3,4,5 B.5,6,7 Đăng ký mua file word trọn