3 4 các dạng khác

3.4 CÁC DẠNG KHÁC  x1  2016   m xn 1  n  N *   xn x  Tìm giá trị thực tham số m để dãy số n :  có giới hạn hữu hạn Bài Hướng dẫn giải *) m    xn  m n  Xét hàm số: f ( x)   2mx m f '( x)   f  x  0; m  ( x  1) x  ta có nghịch biến Suy ( x2 n ), ( x2 n 1 ) đơn điệu và bị chặn 0m  x  x3  x5   2017  x1  x2 , x3   2016  x2  x4  x6   f ( f (1))  4m m 1, x2    x2 n  n  N * m 4 2017 + Giả sử  a(1  b ) m lim x2 n a, lim x2 n 1 b  a  1,  (I ) b(1  a ) m  a b ( II )   a  a m  ( I )   b  a   ( III )    a  m a   x  Khi o  m 2 hệ (I) có nghiệm nhất  n có giới hạn hữu hạn 2017 2016 hệ (II) có nghiệm nhất lớn và hệ (III) có nghiệm thỏa mãn a b Do Khi  lim x2 n lim x2 n 1  ( xn ) khơng có giới hạn 2m  2017 m  2017 2016  x1  x2 , x1  x3  2016  x1 x3 x5    x2  x4 x6   lim x2 n  lim x2 n 1  ( xn ) khơng có giới hạn * + m 2017 2016  xn  2016 n  N  l imxn  2016  x  x3  x5  m  2017 2016  x1  x2 , x1  x3    x2  x4  x6  +  lim x2 n  lim x2 n 1  ( xn ) khơng có giới hạn *) m  tượng tự ta có  m 2 và m  2017 2016 Bài xn3  xn  x1 a, xn 1  , n 1, 2, x  xn  xn  Cho số thực a, xét dãy số n n 1 được xác định Tìm tất cả giá trị a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó? Hướng dẫn giải lim xn  Với a  xn  1, n 1 nên n  Với a  xn    xn  1 3 xn2  xn   xn   xn     a2      x   xn     a 1  Do n xn  Từ đó, tính được Kết luận + + + a 3n  a  1  a  2 3n , xn   3 xn2  xn   , n 2 3n , n 1   a  2   a  1 3n 3n , n 1 ,  a   a   lim xn  n   a   a   a   lim xn  n   a  3  xn  , n 1  lim xn  n   2 Bài  xn    an 1   an  bn 1  a n 1   a  b n  n  a  , b  Cho hai dãy số dương n n0 n n0 xác định bởi: a0  3, b0 2 và Với n 0,1, 2, Chứng minh hai dãy hội tụ và tìm giới hạn chúng Hướng dẫn giải an tan Ta chứng minh quy nạp a0  tan Với n 0 , ta có a1  Với n 1 , ta có  , bn  , n 0,1, 2, (*) n  3.2 cos n 3.2 Thật   tan , b0 2   3.2 cos 3.2 ,  *   tan tan , b1   3.2 3 cos  3.21 ,  * an tan Giả sử khẳng định đến n k , k 1 , tức là an 1 tan Ta chứng minh  , bn  n  3.2 cos n 3.2  , bn 1  n 1  3.2 cos n 1 3.2 Thật Từ  1 ta có      sin n  2sin n 1 cos n 1  sin  cos n 1  an 1 3.2 3.2 3.2 3.2n 1   3.2      an 1 cos n cos  sin n 1 3.2 3.2 3.2n 1      sin n 1  cos n 1  3.2 3.2            cos n 1  sin n 1   cos n 1  sin n 1  3.2 3.2   3.2 3.2      sin n 1  cos n 1 tan 1 n 1  3.2 3.2 3.2    a n 1 tan n 1    3.2 cos n 1  sin n 1  tan n 1 3.2 3.2 3.2 bn21 an21  tan Khi từ   , suy  1 1   bn 1  n 1   3.2 cos cos n 1 n 1 3.2 3.2 an tan Như theo nguyên lý quy nạp lim an  lim tan n   Do n    , bn  , n 0,1, 2, n  3.2 cos n 3.2  1 tan 0; lim bn  lim  1 n n    3.2 cos n   cos n 3.2 lim an 0; lim bn 1 Kết luận: n   Bài u1 2014  u un2  (1  2a )un  a ; n 1, 2, ( u ) n Cho dãy số xác định sau :  n 1 Tìm điều kiện a để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n   và tính giới hạn n   ■ Hướng dẫn giải Ta có: un 1  un (un  a ) 0  un 1 un ; n 1, 2,3, * Suy dãy số (un ) tăng knn ; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và dãy bị chặn Giả sử lim un L ( L  ) n   2 , chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un  (1  2a )un  a ta có: L L2  (1  2a ) L  a  L a lim un L a * - Nếu có số k   mà uk  a un  a; n k trái với kết quả n  2 Do đó: uk a với k 1, 2, hay un  (1  2a )un  a a, n 1, 2,3,  a  u1 a  a  2014 a * Đảo lại: Nếu a  2014 a  a  u1 a  (u1  a  1)(u1  a ) 0  u12  (1  2a)u1  a  a 0  u2 a và u1 u2  a  u2 a Bằng quy nạp ta chứng minh được a  un a, n 1, 2,3, (H/s trình bày ra) Như dãy (un ) tăng knn, bị chặn bới a , dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim un a Kết luận: Với điều kiện a  2014 a dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n   và n   x  Cho dãy số n giới hạn hữu hạn Bài  x1 a  xn3  x   n 1 x  , n 1, 2,3, n thỏa mãn  Tìm a cho dãy số xác định và có Hướng dẫn giải Đặt f  x  f ' x  x3 , x  3x  Ta có x1 a, xn1  f  xn  Ta có 6x4  6x2  3x  1  x  x  1  3x  1 Bảng biến thiên Ta xây dựng dãy số sau a0  , a0  f  a1  , a1  f  a2  , a2  f  a3  , Nhận thấy a1 , a3 , , a2 k 1 ,  0; a0 , a2 , , a2 k ,     3 a1    ;0  , a2  f   a1    0;      Dựa vào bảng biến thiên ta thấy  a2  a0  f  a3   f  a1   a3  a1  f  a4   f  a2   a4  a2 Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy tăng và bị chặn Ta có   a2k  a  đơn điệu giảm, bị chặn và , dãy k 1 đơn điệu lim  a  , lim  a  và Từ tồn k   k k   k 1 an  f  an 1   f  f  an 2    lim an  f  f  lim an 2    l  f  f  l    2l  2  3l   l    2l  3    3l   1  l  l    l  1  20l  15l   0 5  (*)   x3   f  x   , x   ;  , x  (do liên tục  Xét 0l   3  0;  l  lim an   và n   ) 3 *   an   l f f a  a  a  a      n n n2 n Ta có nên Vậy a  Tương tự ta chứng minh được dãy k 1 đơn điệu tăng, hội tụ    xn   a  x  x , x  x nên ta có dãy +) Nếu  5 n chẵn n lẻ Dóy khụng hội tụ    xn   a   5 ta có dãy +) Nờu n chẵn n lẻ Dóy này không hội tụ +) Nếu tồn n cho a an ta có x1 an  f  x1   f  an   x2 an   f  x2   f  an    x3 an  , , xn 1 a0  3 Khi khơng tồn xn 2 Vậy nếu a an dãy khơng xác định +) Nếu 0a 5 hai dãy  x2 k  ,  x2 k 1  hội tụ nên giới hạn dãy là x  f  a   a  x1 Nếu a  và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn Khi dãy hội tụ  a 1 x  f  a 1 +) Nếu Khi ta khảo sát dãy từ x2 Trường hợp này dãy đơn điệu giảm và bị chặn nên hội tụ +) Nếu a = xn 1 n nên dãy hội tụ 5 a  lim a2 n a0  n   ta có nên tồn a2 k , a2k 2 cho a2 k 2  a  a2 k (Thật +) Nếu và vậy, số hạng  a2k  bên phải a nếu thế khơng thể nằm bên trái a a  a2 n  a0  3 , chúng nằm  lim a2 n  n   ) a   a2 k 2 ; a2 k   x2   a2 k ; a2 k   , , x2 k   a2 ; a0  , x2 k 2   a0 ;    x2 k 2  Vậy dãy đơn điệu giảm, bị chặn nên hội tụ Vì f(x) là hàm lẻ nên trường hợp  3 Khi ta lại có  a  0,   a   , a   1, a  ta khảo sát tương tự Kết luận: Điều kiện để dãy xác định và có giới hạn hữu hạn là a  ; a  ; a an , n 1, 2,3, Bài  an  Cho dãy số lim  an  n  0 n  xác định  a1 1 và an 1 an  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 a1  2 a1 (do a1 1 ) Nhận xét: an  n, n 2 Ta chứng minh nhận xét này phương pháp quy nap Thật Với Với n 2 ta có a2  (đúng) Với Giả sử ak  k Với Ta có ak 1 ak  k  k   ak2  k   k  1 ak ak  ak2   k  1 ak  k    ak  1  ak  k   (đúng) Suy ak 1  k  Như an  n, n 2 (điều phải chứng minh) n , n 1 an Chứng minh Mặt khác, an 1   n  1 an  n n   n  1 an  n   an an an2   n  1 an  n  an  n   an  1   an an (1) Áp dụng (1) ta có   a2    a2  1 a3   a2    a  3  a3  1 a4   a3      an  n   an  1 an 1   n  1  an  Suy  a3  3  a4    an1   n 1    an 1   n  1   a2    a2  1  a3  3  a3  1  an  n   an  1 a2 a3 an  a2    a2  1  a3  1  an  1 a2 a3 an   1    an 1   n  1  a2          1  a2   a3   an  n  1  an 1   n  1  a2       i 2  (2) 1 Ta lại có n Suy Từ (2)  a 1  n 1  an 1 an 1   i 2  an  n 1 an an 1  an n an  n  1 an 1 (do an )  a1 a2 an  a1    a a a an n   an 1   n  1   a2     an 1   n  1   a2   a1 a   a2   an n (vì an  n ) a1 n a1 a 0  lim  a2   0 n  n Mà n   n lim Do lim  an 1   n  1  0 n  hay lim  an  n  0 n  1 a  an 1   ( p  1)an  p   p an  Cho p   , a  và a1  Xét dãy số ( an ) được xác định bởi: , với n 1 Chứng minh dãy số ( an ) có giới hạn hữu hạn n   Hãy tìm giới hạn * Bài Hướng dẫn giải * Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 1 a  a p an 1   an  an   an  p    p p anp  p   a p      an  p an p   , với  n 1 (1) 1 a  an 1  an   ( p  1)an  p    an p an  an anp  a a    0;  n 2 p p.anp  p.anp  Do đó: Từ (1) và (2) ta có dãy số ( an ) giảm và bị chặn (2) p a ; suy dãy số ( an ) có giới hạn hữu hạn n   Giả sử lim an L n   p ; ( L  a ) 1 a  an 1   ( p  1)an  p   p an  Chuyển qua giới hạn hệ thức 1 a  L   ( p  1) L  p    pLp ( p  1) Lp  a p L  ta có phương trình p  Lp a  L  a (thỏa mãn điều kiện) p Vậy lim an  a n   Bài x  Cho trước số thực dương  và xét dãy số dương n thỏa mãn x  n 1 * x  n   Chứng minh dãy n hội tụ và tìm giới hạn Hướng dẫn giải f ( x )  x  , x  x Xét hàm số Ta có f '( x)  x    x 1  1    1 2 f '( x )   x  x   x x ; Ta có bảng biến thiên hàm f(x):    1      1  xn với x x0 +∞ + f'(x) +∞ +∞ f(x) f(x0) Suy Do f ( x )  f  x0   xn1     1    1 (  1)    1   1     1   1 xn1  xn xn 1 x  x  Suy xn1  xn hay n là dãy giảm Kết hợp với xn  với n ta suy dãy n hội tụ Đặt lim xn   Chuyển qua giới hạn ta được Vậy lim xn  Bài   1     (  1)  1    x0  Tìm tất cả số c  cho dãy số dãy số (un ) thỏa mãn hội tụ Với giá trị c tìm được tính giới hạn dãy (un ) un  (0;1) n 1  un 1 (1  u n )  c Hướng dẫn giải Ta xét trường hợp sau + Nếu c cun c un 1   4cun ; n 1  un un (1  un ) , từ giả thiết, ta có c n u  (4 c ) u u   Do 4c  nên n Từ quy nạp, ta suy n n   Do đó, khơng thỏa mãn + Nếu 0c    4c   c  a (1  b)  c a, b   ;  , a  b  2   , tồn cho b(1  a )  c Thật vây, lấy    4c   4c  a   ;  , 2   đặt b a  x ( x  0) , a (1  b)  c  a (1  a  x )  c  x  a (1  a )  c a Chú ý là b(1  a)  a(1  a )  c Do đó, ta cần chọn x  và b a  x, được bất đẳng thức nêu Xét dãy số (un ) xác định a n 2m un  b n 2m  0c ( u ) không thỏa mãn dãy n thỏa mãn giả thiết không hội tụ Thành thử, c + Nếu un 1 un 1   un 4(1  un ) 4un (1  un ) , Suy dãy (un ) tăng và bị chặn Do đó, (un ) hội tụ Đặt x lim un , từ giả thiết ta có Bài 10 Cho dãy số  sn  với  un  sn  x(1  x)  1 x lim un  hay Vậy * xác định sau: u1 2 , un 1 un  un  , n   Tìm giới hạn dãy 1    , n  * u1 u2 un Hướng dẫn giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un 2 Xét tính đơn điệu dãy  un  n  * , un 1  un  un  1  , dãy số Từ  un  Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy được  un 1   hệ un 1 un  un  thức ta suy được tăng un 1  un  un  1 1 1 1      un  un  1 un  un un un  un1   * * với n   Thay n 1, 2, 3,., n vào (*) và cộng vế với vế đẳng thức ta suy : 1 1    1  u1 u2 un un 1  Do dãy  un  là dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên lim un a  a 2 Giả sử n   Chuyển qua 2 a a  a   a  2a  0  a 1 , vô lý 2) Dãy không bị chặn trên, lim un   lim  un  1   lim n   n   n   giới  un   un  hạn tăng và bị chặn nên có giới hạn hệ tăng 0 un 1  1 1 lim       lim    1 n   u u2 un  n   un   Vì thế từ (2) ta suy ra: thức và (1) không n   bị chặn ta có: nên Vậy  xn  Bài 19 có giới hạn Cho dãy số n xn  i 1  an  tăng, an  0n 1, 2,3, và   Xét dãy số  xn  xác định 1  xn 1ai Chứng minh tồn nlim   Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy dãy  xn  tăng ngặt Trường hợp Nếu   1  1 1         xn    1 1ai ai 1ai ai 1 a1  xn  dãy bị chặn tồn lim xn n   Trường hợp Nếu    1   1         *  1ai   ai 1    *   ai11  1    ai1  ai 1 ai1  ai   1  ** 1  Ta chứng minh (**) Xét hàm số f  x   x Trên đoạn  ; 1  Hàm số thoả mãn điều kiện định lí Lagrăng nên tồn số f  c   c   ; 1  ai1  ai a  a a  a   c   i 1 i   ai11  i 1 i 1  ai 1  ai 1  (đpcm)  xn  Từ ta có  lim xn x   a1 dãy n bị chặn tồn n   n k 1 ak 1a k  a a a a0 1; a1  1; an 1  n  n 1, 2,3, a n  Bài 20 thoả mãn   Cho dãy số xác định Chứng minh tồn lim Sn n   (  x là phần nguyên x ) Hướng dẫn giải a 1 1 1   k 1   ak 1a  k  a a1a2 ak a1a2 ak 1 a1a2 ak a1a2 ak 1 k 1   ak 1  Ta có Sn  Đặt    2 n   1 1 S n      a1a2 ak 1  a1 a1a2 an 1 k 1  a1a2 ak Suy Chứng minh lim  a1a2 an 1   n   Ta có : an  n 2  n   n  an 1  an  suy dãy cho là tăng Như an  an     a1  n  Vậy lim  a1a2 an 1   n   Bài 21 n   , suy  un  ;   Cho dãy số lim Sn  a1 được xác định sau lim 2n  n  N  lim 2n u1.u2 un và x  u1 3, v1 2  2 un 1 un  2vn v 2u v n n  n 1 x  Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn giải   u  2.vn 1 un2  2vn2  2.unvn  un  2.vn Ta có: n  N : n 1 Áp dụng (1) ta suy ra: Theo quy nạp ta có:  un  2.vn  un   2.vn   un  2.vn  u1  2.v1 Lập luận tương tự ta có:  un   1 un      v   n 2 Từ (2) và (3) ta suy ra:   Tương tự ta có : 2n   1    2       21   21 2n 2n n      1 2n   n  2n (2)      21 2n 21 1  1  (3)     2n  2n 21  1  3 2   1 (1)   2.vn   1 un   2 Lại có:  2n  2n    2n , từ suy ra:       1 Mặt khác ta có:  un Do ta có dãy bất đẳng thức sau: 2n un   2n  2n  n   1 2n    2n 1     8 n    1 2n   un   n n lim un lim   n Như theo định lí kẹp ta suy Hơn theo đề bài ta có: Suy ra: Vậy u1.u2 un  n  n  lim 2n 2un lim 2n 1  n   Tóm lại ta có: Bài 22 n n  1 2un  un  1 2vn 1 lim 2n 1 lim 2n n 1 n 1 n  n  2 n 1 lim 2.lim 2n un lim 2n lim 2n n 1 n 1 n   n   n   n   2  1 n  v2 v3 1 1 1   2v1 2v2 2vn 2n v1 2n 1 lim 2n u1.u2 un lim 2n n   1 3  2 lim 2n   n   an  Cho dãy số lim  an  n  0 n  và lim 2n u1.u2 un 3  2 n  xác định  a1 1 và an 1 an  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 a1  2 a1 (do a1 1 ) Nhận xét: an  n, n 2 Ta chứng minh nhận xét này phương pháp quy nap Thật Với Với n 2 ta có a2  (đúng) Với Giả sử ak  k Với Ta có ak 1 ak  k  k   ak2  k   k  1 ak ak  ak2   k  1 ak  k    ak  1  ak  k   Suy ak 1  k  (đúng) n , n 1 an Chứng minh Như an  n, n 2 (điều phải chứng minh) Mặt khác, an 1   n  1 an  n n   n  1 an  n   an an an2   n  1 an  n  an  n   an  1   an an (1) Áp dụng (1) ta có   a2    a2  1 a3   a2    a  3  a3  1 a4   a3      an  n   an  1 an 1   n  1  an  Suy  a3  3  a4    an1   n 1    an 1   n  1   a2    a2  1  a3  3  a3  1  an  n   an  1 a2 a3 an  a2    a2  1  a3  1  an  1 a2 a3 an   1    an 1   n  1  a2          1  a2   a3   an  n  1  an 1   n  1  a2       i 2  (2) 1 Ta lại có n Suy Từ (2)  a 1  n 1  an 1 an 1   i 2  an  an 1   an 1   n  1   a2   Mà n  Do  an n an  n  1 an 1 (do an )  a1 a2 an  a1     a2 a3 an an  an 1   n  1   a2   lim n 1 an a1 a   a2   an n (vì an  n ) a1 n a1 a 0  lim  a2   0 n   n n lim  an 1   n  1  0 n  hay lim  an  n  0 n 