SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - LẦN THỨ XXIV ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MƠN: TỐN; KHỐI: 10 Số phách Số phách ĐỀ THI CÂU 1: (4,0 điểm) Giải phương trình: x 19 x x 21 x 3 11x x 17 CÂU 2: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, M N hai điểm thuộc hai cạnh AC, AB cho BM vng góc với CN hai đường thẳng MN, BC cắt D Gọi E giao điểm BM CN Chứng minh điểm D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tam giác ABD cân 1 CÂU 3: (3,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a b c a a b c Chứng minh rằng: b b c a c CÂU 4: (3,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y với x, y nguyên tố 3 thỏa mãn phương trình x x y y CÂU 5: (3,0 điểm) Có số tự nhiên có bốn chữ số chia hết cho ba số 2; 3; 5? CÂU 6: (3,0 điểm) Tìm tất hàm số f : * * thỏa mãn f x y 4 f x f y 16 với x, y * - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - LẦN THỨ XXIV ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MƠN: TỐN; KHỐI: 10 Số phách Số phách CÂU HỎI 1: (4,0 điểm) Giải phương trình: x 19 x x 21 x 11x x 17 ĐÁP ÁN CÂU HỎI 1: ĐÁP ÁN Ta có (1) x 1 x x 20 x 3 x x 1 x x 20 (2) ĐIỂM 0,5 điểm Đặt u 2 x 1, v x 3 x 1 x x 20 u x x 20 x 3 v Kết hợp với (2) ta có v x x 20 x u 3 Từ suy u v x 3 u v 0 u v 0 2 u uv v x 0 1,5đ Với u v 0 u v ta có x 1 11x 3x 17 x3 23 x 3x 18 0 x 3 Với u uv v x 0 ta có: u 3u x 12 2 u uv v x v 2 2 3u x 12 12 x x 15 0 4 Nên u uv v x 0 vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S 3 1,0đ 1,0đ CÂU HỎI 2: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, M N hai điểm thuộc hai cạnh AC, AB cho BM vng góc với CN hai đường thẳng MN, BC cắt D Gọi E giao điểm BM CN Chứng minh điểm D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tam giác ABD cân ĐÁP ÁN CÂU HỎI 2:ÁP ÁN CÂU HỎI 2:I 2: ĐÁP ÁN ĐIỂM 0,5 đ Gọi P giao điểm AE BC Áp dụng định lí Ceva đường thẳng đồng quy AP, BM, CN tam giác ABC ta được: PB MC NA 1 (1) PC MA NB Áp dụng định lí Menelaus điểm thẳng hàng M, N, D tam giác ABC ta được: DB MC NA 1 (2) DC MA NB PB DB Từ (1) (2) suy (3) PC DC 1,5 đ Gọi D ' điểm thuộc tia PB cho EB tia phân giác góc PED ' Khi EC EB nên EC đường phân giác ngồi góc PED ' PB D ' B PC D ' C D ' B DB D ' D hay EB đường phân giác Kết hợp với (3) suy D ' C DC góc PED (4) PEB BED Ta có ADB AEB 1800 (Tứ giác AEBD nội tiếp) PEB AEB 1800 (kề bù) Suy PEB ADB (5) ) Ta lại có BED (6) (cùng chắn cung DB DAB Từ (4), (5), (6) suy DAB ADB tam giác ABD cân B 1,0 đ 0,5 đ 0,5đ CÂU HỎI 3: (3,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn 1 1 a b c a b c Chứng minh rằng: b a b c a c ĐÁP ÁN CÂU HỎI 3: ĐÁP ÁN ĐIỂM b c b a 0 Từ giả thiết , ta có a b c ca b a c b 0.75 đ Từ đó, 1 a c a c a b c a b c ca b b a c b b a b c a c b a c b b a b c a c a c b b a c b a b c a c b a c b b a c b 2 a c b b a c b b a c b a c b 0 1,0 đ b a c a c b b 0 Thế thì, ta có 1 a c b4 b2 1 b4 b2 1 a c b b Mặt khác, ta thấy a c b mà 1 b4 b2 1 b b 1 Nên xảy trường hợp a c 0.5 b b 1 b Thế thì, ta phải có b4 b2 1 b2 a c 1 b b b 0.5 a c Đẳng thức xảy a b c 1 Hay b 0.25 đ CÂU HỎI 4: (3,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y với x, y nguyên tố 3 thỏa mãn phương trình x x y y ĐÁP ÁN CÂU HỎI 4: ĐÁP ÁN ĐIỂM Áp dụng đẳng thức a b c 3abc a b c a b c ab bc ca 3 2 2 x3 x y y x3 x y 2 x y 0,5 đ x x y x x y x.x xy yx 3x.x y 2 x y x y x y xy 1 3x y * 2 x y x y x y x3 2 x y x x y 0,75đ Mặt khác, x y, x3 x y, ( x, y 1 x y, x 1 x y, x3 1 ) 0,5đ x y 1, 2,3,6 ( từ * 2x y ) * Trường hợp x y 1 y 2 x thay vào phương trình cho ta 2 x3 x x 1 x 1 x x 1 0 x 1 y 1 Trường hợp 2 x y 2 y 2 x thay vào phương trình cho ta x 1 x 3x 1 0 Trường hợp x y 3 y 2 x thay vào phương trình cho ta x 1 x 1 y 0 ( loại ) 0,25x4 x 0 x 4 y 5 Trường hợp x y 6 y 2 x thay vào phương trình cho ta x 12 x 36 x 35 0 y Z , x 3, x 35 x 5, 7,35 thử lại khơng có giá trị thỏa mãn Vậy cặp x, y 1;1 x, y 4;5 0,25 đ CÂU HỎI 5: (3,0 điểm) Có số tự nhiên có bốn chữ số chia hết cho ba số 2; 3; 5? ĐÁP ÁN CÂU HỎI 5: ĐÁP ÁN Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số chia hết cho Gọi B tập hợp số tự nhiên có chữ số chia hết cho Gọi C tập hợp số tự nhiên có chữ số chia hết cho Số số cần tìm là: A B C ĐIỂM 1,0 đ Ta có 9999 999 A 4500 9999 999 B 3000 1,0 đ 9999 999 C 1800 9999 A B Thế thì, A B C A Vậy A B C 6600 999 1500 ; B C 600 ; A C 900 ; A B C 300 B C A B B C C A A B C 1,0 đ CÂU HỎI 6: (3,0 điểm) Tìm tất hàm số f : * * thỏa mãn f x y 4 f x f y 16 với x, y * (1) ĐÁP ÁN CÂU HỎI 6: ĐÁP ÁN ĐIỂM Giả sử hàm f thỏa mãn đề Trong (1), cho x x ta f x y 20 4 f x f y 16, x, y * (2) Trong (1), cho y y ta f x y 20 4 f x f y 16, x, y * (3) 1,0 đ * Từ (2) (3) suy f x 5 f x 5 f y f y , x, y (4) * Trong (4), cho y 1 ta f x f x 5 f f 1 , x Suy f x f x số từ 4;5 1 nên suy f x f x 5 Do viết f x f x 5c (5) (c số) 1,0 đ * Thay vào (4) ta suy f y f y 4c, y * Cho y x ta f x f x 1 4c, x (6) * Từ (5) (6) suy f x 1 f x c, x Suy dãy số f x x 1 * cấp số cộng f x ax b, x (với a, b số số nguyên) Thay vào (1) ta tìm b * Kết hợp với điều kiện f : * * suy f x ax 2, x , a a số nguyên dương 1,0 đ