(Đề thi HSG lớp 10, trại hè Phương Nam, năm học 2014 – 2015) Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho số gồm số D = {T, R, A, I, H, E, P, N} T R R A A I I H H E E P P N N T T ; 2 2 2 Là hoán vị D Biết T+ R+ A+ I+ H+ E+ P+ N = 2014 Hãy xác định giá trị N Câu Giải phương trình: x x x Câu 12 x 4 y (1) Giải hệ phương trình: y y 5 x Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Phân giác góc A cắt BC tai A1 cắt đường tròn O A2 Tương tự ta thu điểm B1, B2, C1, C2, tương ứng A1 A2 B1B2 C1C2 Chứn gminh BA2 A2C CB2 B2 A AC2 C2 B Câu Cho số nguyên tố có chữ số p = abcd Chứng minh đa thức: P(x) = ax3 + bx2 + cx +d không phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu Sử dụng bất đẳng thức cauchy quen biết cho hai số 2 T R T R , dấu “=” xảy T R R A2 R A , dấu “=” xảy R A N T N T , dấu “=” xảy N T 2 T R RA N T 2 Ta thu T R N Mặt khác, theo giả thiết T hốn vị D nên 2 T R R A N T 2 T R N 2014 1007 Suy T= R= A= I= H= E = P= N = nên N = Câu Điều kiện: x Biến đổi phương trình dạng x r3 x x x 0 Từ tìm x = - x , thỏa mãn (2) 2 x y y 0 2 Câu Ta có (1) 4 x y 20 x y 24 0 (3) y 4; x Nhân hai vế (3) với cộng với tương ứng (2), ta thu đượcc phương trình 10x2 + 3y2 – 40x + 12y + 52 = 10(x – 2)2 + 3(y + 2)2 = Suy x = 2; y = - Nghiệm (x;y) = (2;-2) thỏa mãn Câu Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp CA2BA ta thu CA2.BA + BA2.AC = BC.AA2 Vì BA2 = CA2 nên suy CA2(AB + AC) = BC AA2 AA BC AB AC Ngồi ra, ta có A1A AA BA2 A2C 2CA2 Mặt khác CA1 A2 đồng dạng với ACA2 nên suy Từ đó, ta có A1A BC BA2 A2C AB AC A1A CA2 2CA2 2A1A (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tương tự, ta có Và B1 B2 AC CB2 B2 A AB BC C1C2 AB AC2 C2 B AC BC (2) (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta thu A1A B1 B2 C1C2 BC AC AB BA2 A2C CB2 B2 A AC2 C2 B AB AC AB BC AC BC Áp dụng bất đẳng thức Nesbit cho ba số dương AB, AC, BC, ta bất đẳng thứ cần phải chứng minh A1 A2 B1 B2 C1C2 BA2 A2C CB2 B2 A AC2 C2 B Đẳng thuwscc xảy ∆ABC tam giác Câu Giả sử ngược P(x) phân tích thành tích hai đa thức bậc hớn với hệ số nguyên thừa số đa thức bậc P(x) = ax3 + bx2 + cx +d = (mx + n)(rx2 + ux + s) Với m, n, r, u, s Nhận xét phương trình P(x) = khơng thể có nghiệm dương va fnghieemj (do a, b, c, d ∈ {0;1;2 9} a, d khác 0) nên m, n dấu Đồng thức hệ số, ta thu mr = a, nr = d nên khơng tính tổng qt coi m, n, r, s * ) 2 Vậy P x ax bx cx d mx n rx ux s (1) Thế x = 10 vào (1) ta thu được: p = (10m +n) 100r 10u s Với < 10m < n < 100 < p, trái với giả thuyết nên p số nguyên tố http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word