Đề thi hsg lớp 10, trại hè phương nam, năm học 2014 – 2015

(Đề thi HSG lớp 10, trại hè Phương Nam, năm học 2014 – 2015) Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho số gồm số D = {T, R, A, I, H, E, P, N} T  R R  A A  I I  H H  E E  P P  N N  T  T  ;  2 2 2   Là hoán vị D Biết T+ R+ A+ I+ H+ E+ P+ N = 2014 Hãy xác định giá trị N Câu Giải phương trình: x  x    x Câu  12  x 4  y (1) Giải hệ phương trình:    y  y 5  x Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Phân giác góc A cắt BC tai A1 cắt đường tròn O A2 Tương tự ta thu điểm B1, B2, C1, C2, tương ứng A1 A2 B1B2 C1C2    Chứn gminh BA2  A2C CB2  B2 A AC2  C2 B Câu Cho số nguyên tố có chữ số p = abcd Chứng minh đa thức: P(x) = ax3 + bx2 + cx +d không phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu Sử dụng bất đẳng thức cauchy quen biết cho hai số 2 T R T R  , dấu “=” xảy  T R     R  A2  R A  , dấu “=” xảy  R  A     N T  N T   , dấu “=” xảy  N T     2 T R  RA  N T  2 Ta thu         T  R   N       Mặt khác, theo giả thiết T hốn vị D nên 2 T R   R A  N T  2         T  R   N       2014 1007 Suy T= R= A= I= H= E = P= N = nên N = Câu Điều kiện: x  Biến đổi phương trình dạng  x  r3  x   x    x  0 Từ tìm x = - x  , thỏa mãn  (2) 2 x  y  y  0  2 Câu Ta có (1)  4 x  y  20 x  y  24 0 (3)   y  4; x   Nhân hai vế (3) với cộng với tương ứng (2), ta thu đượcc phương trình 10x2 + 3y2 – 40x + 12y + 52 =  10(x – 2)2 + 3(y + 2)2 = Suy x = 2; y = - Nghiệm (x;y) = (2;-2) thỏa mãn Câu Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp CA2BA ta thu CA2.BA + BA2.AC = BC.AA2 Vì BA2 = CA2 nên suy CA2(AB + AC) = BC AA2 AA  BC AB  AC Ngồi ra, ta có A1A AA  BA2  A2C 2CA2 Mặt khác CA1 A2 đồng dạng với ACA2 nên suy Từ đó, ta có A1A BC  BA2  A2C  AB  AC  A1A CA2  2CA2 2A1A (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tương tự, ta có Và B1 B2 AC  CB2  B2 A  AB  BC  C1C2 AB  AC2  C2 B  AC  BC  (2) (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta thu A1A B1 B2 C1C2 BC AC AB      BA2  A2C CB2  B2 A AC2  C2 B  AB  AC   AB  BC   AC  BC  Áp dụng bất đẳng thức Nesbit cho ba số dương AB, AC, BC, ta bất đẳng thứ cần phải chứng minh A1 A2 B1 B2 C1C2    BA2  A2C CB2  B2 A AC2  C2 B Đẳng thuwscc xảy ∆ABC tam giác Câu Giả sử ngược P(x) phân tích thành tích hai đa thức bậc hớn với hệ số nguyên thừa số đa thức bậc P(x) = ax3 + bx2 + cx +d = (mx + n)(rx2 + ux + s) Với m, n, r, u, s   Nhận xét phương trình P(x) = khơng thể có nghiệm dương va fnghieemj (do a, b, c, d ∈ {0;1;2 9} a, d khác 0) nên m, n dấu Đồng thức hệ số, ta thu mr = a, nr = d nên khơng tính tổng qt coi m, n, r, s  * ) 2 Vậy P  x   ax  bx  cx  d   mx  n   rx  ux  s  (1) Thế x = 10 vào (1) ta thu được: p = (10m +n) 100r  10u  s Với < 10m < n < 100 < p, trái với giả thuyết nên p số nguyên tố http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word