Đề thi hsg, lớp 10,trại hè hùng vương, lầm xi , năm học 2015 – 2016

(Đề thi HSG, lớp 10,Trại hè Hùng Vương, lầm XI , năm học 2015 – 2016) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) Giải phương trình sau tập số thực x  x  3x   x3  x  5 Câu (4 điểm) Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Goin H trực tâm ∆ABC P điểm đoạn BC (P ≠ B; P ≠ C) Đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BHC T (T ≠ H) Đường thẳng TP cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BHC K (K ≠ T) Giả sử BK cắt AC M; CK cắt AB N Gọi X, Y trung điểm BN, CM a) chứng minh tứ giác ANKM nội tiếp b) chứng minh XPY có số đo khơng đổi P di động BC Câu (4 điểm) 1 Xét số thực dương x,y z thỏa mãn   3 x y z Chứng minh rằng: x y z    x   xy y   yz z   zx Câu (4 điểm) Với tam thức bậc hai a  bx  c cho phép thực phép biến đổi sau: (i) Đổi chỗ a c cho hoặc, (ii) Thay đổi x x + t với t số thực Bằng cách lặp lại phép biến đổi biến đổi tam thức x  x  2015 thành tam thức 2016 x  x  hay khơng? Câu (4 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho số n  n5  2n  n3  n  có ước số nguyên tố http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu (1) x  x  3x   x3  x  5  ( x  x   2)  ( x  x   3) 0   x3  x  3x  x3  x  3x   x3  x  x3  x   0  x  1  x  x  5  x  1  x  x   x3  x  3x   x3  x   0  x  x  5 x2  x       0  x 1   x  1   x  x  3x   x  x    Thử lại x = thỏa mãn (1) Vậy phương trình có nghiệm x =  Câu a) Dễ thấy: BHC 1800  A     Từ suy MKC 1800  BKC 1800  BHC A  Do NKM 1800  A suy tứ giác ANKM nội tiếp    b) Ta có BTC nên T đối xứng với A qua BC 1800  BHC BAC    , suy tứ giác PKB nội tiếp Do PKC TBC  ABC B Tương tự ta có tứ giác PKMC nội tiếp    PBN     Do PMC PKC B ; MKC NKB  NPB  PBN PMC  Vì X, Y hai trung điểm tương tự BN, CM nên XPB MPY , từ suy XPB BPM    1800  MPY 1800  MKC 1800  A không đổi 4 Câu Ta có x  2 x  x   xy 2 x  x  y  Do x  x   xy  x  y  Tương tự Do y z   ; y   yz  y  z  z   zx  z  x  x y z 1 1         (*) x   xy y   yz z   zx  x  y y  z z  x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc 1   x y x y 1 11   1 1            x y yz zx 4 x y y z z x Từ (*) (**) suy điều phải chứng minh  (**) Câu 4.Với tam thức f(x) = ax  bx  c , kí hiệu biệt thức f(x) alf  F b  4ac Với phép biến đổi (i) ax  bx  c biến đổi thành cx  bx  a , suy chúng có biệt thứ  b  4ac Với phép biến đổi (ii), gọi x1, x2 nghiệm f1(x) = ax  bx  c suy x1 + t; x2 + t nghiệm f2(x) = a(x + t)2 + b(x + t) + c b c Vì x1 + x2 =  ; x1x2 = nên a a   b 2 c  f1 b  4ac a      a   x1  t    x2  t    f2 a    a  Tức phép biến đổi không làm thay đổi biệt thức tam thức Do đó, phép biến đổi không làm thay đổi biệt thứ ∆ tam thứ (*) Mặt khác, tam thức x  x  2015 , 2016 x  x  có biệt thức ∆ 8124; 8128 Do đó, từ (*) suy u cầu tốn thực Câu +) Với n = 0, ta có n  n5  2n  n3  n  1 (không thỏa mãn) +) Với n = 1, ta có n  n5  2n  n3  n  3 thỏa mãn) 3 Xét n ≥ ta có n  n  n  n  n  1   n  1  n  n   suy tồn số nguyên dương s, t  n  n   p s cho s > t  t  n  n   p s t Ta có n   n  n  1  n  n  n  1  p  np suy n   p t  n  n3  n   n  n  n  1  Vô lý Vậy tất giá trị cần tìm cua rn n = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word