Đề thi hsg lớp 10, trại hè hùng vương lần viii, năm học 2012 – 2013

(Đề thi HSG lớp 10, trại hè Hùng Vương lần VIII, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (5 điểm) 2 Giải phương trình sau:  3x  1 x  5 x  3x 3 Câu (5 điểm) 12  (1  y  x ) x 2  Giải hệ phương trình:  (1  12 ) y 6  y  3x Câu (3 điểm) 4 2 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn:  a  b  c   25  a  b  c   48 0 Tính giá trị nhỏ biểu thức: P  a2 b2 c2   b  2c c  2a a  2b Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn, phân giác AD, Đường trịn đường kính AD cắt đường thẳng BC H, cắt đường thẳng AB M cắt đường thẳng AC N Chứng minh đường thẳng CM, BN, AH đồng quy Câu (1 điểm) Chứng mih dãy 9; 99; 999;9999; có vơ số số hạng chia hết cho 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu Điều kiện: x  2 Phương trình tương đương với:  3x  1 x  10 x  3x    x  1   x  1 x   x  x  0 (1) Đặt x  t  t 0  phương trình (1) trở thành: 4t   3x  1 t  x  3x  0 (2) phương trình (2) có nghiệm: 2  '  x  1   x  x    x  3 phương trình (2) có nghiệm: x    x  3 x    t     x    x  3 x   t     x    7 x  x  0      x 1    4 x  x  0  x2   2x    x   2x2     60 x   (thoả điều kiện )   60 x   Vậy phương trình có nghiệm x   60  60 ,x 7 Câu Điều kiện: x 0; y 0;; y  3x 0 + Nhận xét x 0, y 0 12   1   y  3x y x  x  12     12   x y  3x y y y  3x   12 y y y y    y  xy  27 x 0  ( )  6( )  27 0  3;  (loại) x y y  3x x x x x  (1   + Với x 0, y 0  (1   Với 12 ) x 2 y  3x  1    12 1  ) y 6  y  3x y 3  y 3 x suy x   ; y 3  x     4 2 Câu Từ giả thiết  a  b  c   25  a  b  c   48 0  25  a  b  c  48   a  b  c  48   a  b  c  2 16   a  b  c   25  a  b  c   48 0  a  b  c  Biến đổi P a2 b2 c2   b  2c c  2a a  2b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2  a  b2  c  a4 b4 c4     a  b  2c  b  c  2a  c  a  2b  a b  b 2c  c a   a c  b a  c 2b  a Lại có: a 2b  b2c  c a a.ab  b.bc  c.ca  2 2  a b b c c a  a b c a 2  b2  c2  2 Tương tự  a c  b a  c b  a  b  c  b  c   a 2b  b c  c a  2 2 a  b2  c  a  b2  c 1 Dấu xảy a = b = c =1 GTNN P = Câu Cách MA HB NC (1) Xét tích T  MB HC NA DB AB   (2) Do AD phân giác BAC nên DC AC Do tứ giác AMDN nội tiếp nên ta có BM BA BH BD, CN CA CD.CH Từ P  BA BH CD CN  ,  (3) BD BM CA CH  Do AD phân giác MAN AD đường kính nên AM = AN (4) Thay (2), (3), (4) vào (1) ta  MA HB NC BA CD BA CD 1  1 NA MB HC BD CA CA BD Do đường thẳng CM, BH, AH đồng quy Cách Ta chứng minh toán cho elip đường tròn sau: “Elip đường tròn (E) cắt cạnh BC, CA, AB ABC A1,A2; B1,B2; C1,C2 Chứng minh AA1, BB1, CC1 đồng quy AA2, BB2, CC2 vậy” Thật vậy, áp dụng định lý carnaot: “Cho đường cong bậc hai: F  x, y  ax  2bxy  cy  2dx  2ey  f 0  C  T Ai, Bi, Ci (i = 1, 2) chia cạnh BC, CA, AB ∆ABC theo tỉ số  i , i , j (Ai, Bi, Ci ≠ đỉnh) Vậy thì: Ai, Bi, Ci ∈ (C)  1 212 12 1 " , ta có: AA1 , BB1 , CC1 đồng quy  111 = -1 nên từ 1 21 12 1   22 2   AA , BB2 , CC2 đồng quy Quay trở lại toán trên, ta thấy đường trịn đường kính AD cắt ba cạnh tam giác ABC điểm H, D; N,A; A,M mà AD, BA, CA đồng quy A nên AH, BN, CM đồng quy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu Vì (17, 10) = (1) 17 số nguyên tố nên theo định lý Fecma nhỏ ta có:  10  10  17  10  1016  1 17 17 (2) 16 16 Từ (1) (2) suy 10  117  10 1 mod17  16.n Do đó, với n ngun dương 10 16.n Mặt khác 10 1 mod17   1016.n  117  99  n.16 Vậy có vơ số số hạng dãy 9; 99; 999;9999; chia hết cho 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word