Dap an 30 đề đề hsg toán 10 toàn quốc 2010 2018 09 21

ĐỀ SỐ 09 Câu a) Điều kiện: x 2 Đặt t  x  (t 0) x t  2 Khi ta có: x - x + - 2(2 - x)t ³ Û x + 2tx - 4t - 3(t +1) + ³ Û ( x + t ) - (2t +1) ³ Û ( x + 3t +1)( x - t - 1) ³ Û x - ³ t (do x + 3t+1 >0; " x ³ ; " t ³ 0) Với x - ³ t ta có x - 1³ x³ ïì x - Û ïí Û x ³ + ïïỵ x - x +1 ³ x - Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S =é + 2; +¥ ê ë ìï x + xy = y10 + y (1) ï í ï x + + y +8 = (2) b) ïïỵ Điều kiện: x³ - Trường hợp 1: y = 0, (1) Þ x=0 (khơng thỏa mãn phương trình (2)) 5 Trường hợp 2: y ¹ , chia hai vế (1) cho y ta có: x =y Nếu y ỉx ữ ỗ ữ= y5 ị ỗ ữ ỗ ữ èy ø x >y y Nếu ỉx ÷ ỗ ữ> y5 ị ỗ ữ ữ ỗ y ố ứ x y5 + y ỗ ữ ữ ỗ y y ố ứ (loi) ổx ữ x ỗ ữ+ < y5 + y ỗ ữ ữ ỗ ốy ứ y (loi) x = y Þ y2 = x Vậy y Thay vào (2): x + + x +8 = Û x + 37 x + 40 = 23 - x ìï 23 ïï x £ Û ị x =1 ùù ùợ x - 42 x + 41 = Þ y = ±1 Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm hệ là: ( 1;1) , ( 1; - 1) Chú ý: Nếu tốn có phương trình biến đổi v dng ) m+1 ổx ữ aỗ ữ ç ÷ ç èy ÷ ø Câu 2: n+1 ổx ữ +b ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ èy ø = ay m+1 + by n x =y a , b > 0, m , n Ỵ N y với Thì ta chứng minh ìï my - y + m = (1) ïí ï x - yx - y = (2) Hệ cho tương đương với: ïỵ éy ³ D x = y2 +4 y ³ Û ê ê ëy £ - Phương trình (2) ẩn x có nghiệm Trường hợp 1: m = 0, ta có y = 0; x = Suy m = thỏa mãn Trường hợp 2: m ¹ ( - ¥ ; - 4][ 0; +¥ Phương trình (1), ẩn y khơng có nghiệm thuộc khoảng nghiệm ) (*) (1) vơ ( 1) có nghiệm thuộc ( - 4; 0) , điều kiện éD = 1- 4m < ê êìï éD = 1- 4m < êï ê êïï D = 1- 4m ³ êìï ê êïD = 1- 4m ³ Û êïïï ïêï êï - < 1- 1- 4m < Û < y < êí êíï 2m êïï êï ïỵï - < y2 < ïï ê ê ë + 1- m êïï 1 + 8m ( A) êíï êï êïï 1- 4m - 1) b = Vậy c b2 + a c a - b2 CM = = Khi đó: AL2 = r uuu r uuu r uuu r uuu AB + AC = AB + AC + AB.AC 9 ( ) ( ) 1æ b2 + c2 - a 1 2 ữ ỗ ữ = ỗb + c + 2bc = ( ( b + c ) - a ) = ( 10b - a ) ÷ ữ ỗ 9ố 2bc ứ a - b2 CM CM = 5- Û = = 5- 2 10b - a AL AL ( ) Û a - b2 = - Û 2a - 2b = = ( 10b - a ) 2 10b - a ( ( ) ( ) ( ) ) Û 2a + - a = 2b + 50 - 20 b ( ) ( ) Û - a = 52 - 20 b Û a 52 - 20 = b2 7- Ta có ( ) b + c - a 5b - a b 35 - 10 - 52 + 20 10 - 17 10 - 17 cos A = = = = = 2 2bc 4b 28 - 4b - 7- Theo bất đẳng thức Minkowski, ta có ( ) ( ) ( a + c ) +( b + d ) a + b2 + c2 + d ³ (1) a b = Dấu xảy c d ỉa ( a + 4b2 ) 2ữ ỗ +ỗ + b ữ = 4+ ữ ỗ4 ữ 16 ố ứ p dng (1) ta có: ỉ P a2 ÷ ÷ = +ỗ + 1+ b2 ỗ ữ ỗ ữ è4 ø (2) (1 + 2a )(1 + b) = Û a + 2b + ab = (3) 2 Mặt khác ìï ïï ïï a +1 ³ 2a 3( a + 4b ) ï Þ + ³ 2a + 4b + 2ab Þ a + 4b ³ (4) í 4b +1 ³ 4b ïï 2 ïï a + 4b ³ 2ab ïï ï ỵ Mà Từ (2) (4) suy ra: P ³ 17 dấu “=” xảy Vậy P = 17 đạt a = Câu 5: b= a = 1; b = 2 số f (m), f (n ), f ( p ) dương, âm có hai số dấu nên: Trường hợp 1: f (m), f (n), f ( p ) - Þ có nghiệm phân biệt loại phương trình f ( x) - = Trường hợp 2: f (m) = f (n) = f ( p ) =- khơng tính tổng qt giả sử m > n m- p ³ n- p ta có m, n nghiệm phương trình x - ax + b - = p nghiệm phương trình x - ax + b + = nên ïìï m + n = a ïí (n - p)(n + p - a) = 14 Þ (n - p )( p - m) = 14 ị ùù ùùợ (m - p )(m + p - a ) = 14 éìï n êïí êï p êïỵ êì n êïï êíï ê ëïỵ p - p =2 m =7 Þ n - m = (l ) p =- Þ n - m =- (l ) m =- Trường hợp 3: f (m) = f (n) =- f ( p ) = Khi hồn tồn tương tự ta có: ïì m - p =- ( p - n) ( m - p ) =- 14 Þ ïí ïïỵ p - n = Do m, n, p Ỵ [1;9] ïìï m - p = í ï ïỵ p - n =- nên ta tìm ( a, b) Ỵ { ( 11; 7) , ( 13, 29) , ( 7; - 1) , ( 9;7 ) } ĐỀ SỐ 10 Câu Ta có a = > 0, D ' = m - 3m +1 é3 - + ù ú f ( x) ³ 0, " x Ỵ ¡ Û D ' £ Û m - 3m +1 £ Û m Ỵ ê ê ; ú ê ú ë û ìï D ' ³ ïï ï ( x - 1) ( x - 1) > í ïï ï ( x - 1) +( x2 - 1) > Yêu cầu toán tương đương với ïỵ ìï D ' ³ ïï Û ïí x1 x2 - ( x1 + x2 ) +1 > Û ïï ïïỵ x1 + x2 - > Câu ìï ïï m £ - Ú m ³ + ïï 2 ïï 3+ Û £ m < í 3- m > ïï ïïï 2m - > ïïỵ Điều kiện x ³ Phương trình cho tương đương với ( )( x - 1- Điều kiện é x- 1- = x- 3- =0 Û ê Û ê x = ê ë ) x, y ³ Phương trình thứ hệ tương đương với Do x, y ³ éx = 10 ê êx = ë ( x - y ) ( x + xy + 2) = (*) 2 nên x + xy + > Vì (*) Û x - y = Û x = y , thay vào phương trình ìï ïï x ³ 2 x - = 3x - Û í ïï ïỵ 4(2 x - 1) = (3x - 1) thứ hai hệ: x = 1; x = Giải ta Câu Điều kiện x³ Bất phương trình Û 3( x - 1) x - +1 ỉ 5ư ( 1;1) , ỗỗỗ ; ữ ữ ữ ố9 ứ Vậy nghiệm hệ phương trình + ( cho tương đương với ) ( 3x - - + ) x + - ³ x3 + 3x - x- ³ ( x - 1) ( x + x + 4) x +3 + ổ2 ( x - 1) ỗ ỗx + x + ỗ ố ữ ữ ÷£ (1) ø x +3 + 2÷ 3 x - +1 Ta cú: ổ2 ỗ ỗx + x + ỗ ố 3 x - +1 ö 3x - x + +1 ÷ ÷ = x2 + x + + > 0, " x ³ ÷ ÷ x +3 +2ø 3x - +1 x +3 +2 Do (1) Û x - £ Û x £ £ x£1 Vậy 2 2 2 Ta có: A = cos x - sin x + 2sin x 3(1- 2sin x cos x) - 2(1- 3sin x cos x) A = cos x - sin x + 2sin x 3 - 6sin x cos x - + 6sin x cos x A = cos x - sin x + 2sin x = Vậy A = 1, suy A không phụ thuộc vào biến x uur uuu r ( GA + GB - AB GA.GB = Ta có Câu 2 ) 4ma2 4mb2 + - AB 9 = Tương tự với hai đẳng thức cịn lại, sau cộng đẳng thức lại ta được: uur uuu r uuu r uuu r uuu r uur GA.GB + GB.GC + GC.GA = ( ma2 + mb2 + mc2 ) - ( AB + BC + CA2 ) Sử dụng công thức trung tuyến suy điều phải chứng minh Ta có d ( A, BC ) = 2 Do tam giác D ABC vuông A nên 1 1 + = = 2 AB AC d ( A; BC ) Kết hợp với điều kiện AB = AC ta AC =10 mà C Ỵ BC nên C (a; - a - 1) Þ (a - 1) +( a + 3) = 10 Û 2a + 4a +10 = 10 Û a = a =- uuu r C (0; 1) A , AC = (- 1; - 3) a = AB +Với suy Phương trình qua vectơ pháp tuyến x + y - = Từ tìm tọa độ B (- 5; 4) uuur C ( 2;1) A , a =2 AB +Với Suy Phương trình qua vectơ pháp tuyến AC = (- 3; - 1) 3x + y - = Từ tìm tọa độ B (3; - 4) R = Đường trịn (C1 ) có tâm I1 (1;3) bán kính R1 = 3, (C2 ) có tâm I (2; - 2) bán kính Ta có A điểm chung hai đường tròn r r n = ( a ; b ) ¹ Gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng D suy D : ax + by - a = ìï 3b ìï 36a ïï d ( I , D ) = 2 ï ïï MA = ( R1 - d ( I1 , D ) ) = ïï a2 +b2 a + b2 ïí ï Þ í ïï ïï a - 2b 16a +16ab + 4b ïï d ( I , D ) = ïï MB = ( R2 - d ( I , D ) ) = 2 a + b2 ïïỵ ïỵ a + b Ta có MA2 = 4MB Û 36a = ( 16a +16ab + 4b ) Û a =- 2b Do MA = 2MB nên b =- 7a +) Với a =- 2b, Ta chọn b =- 1, a = suy phương trình D : x - y - = a =- +) Với Câu 7b , Ta chọn b =- 7, a = suy phương trình D : x - y - = æ1 aỗ +1 + cữ ữ ỗ ữ + a + ac ỗ ổ1 a ốa ứ ữ ỗ +1 + cữ a + b + c ³ a + b + c = ( ) Ê = ( ) ỗ ữ ỗ ø a3 + b2 + c 9 Ta có èa Do ta chứng minh +( a + b + c ) +( ab + bc + ac) a b c + + £ 2 a +b + c b + c + a c + a +b Mà 3( ab + bc + ca ) £ ( a + b + c ) = Þ ( ab + bc + ca ) £ a b c +3 +3 + + £ =1 2 a + b + c b + c + a c + a + b Vậy (điều phải chứng minh) ĐỀ SỐ 11 Câu a) Cho hàm số y = x - x + hàm số y =- x + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời trung điểm đoạn thẳng AB cách trục tọa độ u cầu tốn Þ Phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x - x + =- x + m hay x - x + - m = ( *) có D ' > Û m > Gọi x A , xB hai nghiệm (*) , I trung điểm AB ta có: xI = x A + xB = 1; yI =- xI + m = m - Yêu cầu toán m = Û yI = xI Û m - = Û m = 2; m = b) Ta có - x + 4x - - > (1) 2x - Kết hợp với điều kiện, kết luận ìï - x + x - > ïí Û < x < 2; < x < ùùợ x Tp xỏc nh (1) > 2x - - x + x - > > x - 4, Bất phương Nếu 1, x < trình nghiệm với x :1 < x < - x2 + x - ìï x - > < x < Þ ïí ïï - x + x - > ỵ Nếu Bất phương trình cho tương đương với x - > - x + x - Û x - 16 x +16 >- x + x - Û x - 20 x +19 > Û Û x>2+ 5 ; x < 22+ < x