TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI-HẢI DƯƠNG ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ NĂM 2011 Năm học 2010-2011 Mơn: Tốn - Lớp 10 Bài 1(4 điểm): Giải phương trình Bài 2(4 điểm): Cho số thực dương, Chứng minh >2 Bài 3(4 điểm): Cho ABC tam giác M điểm thay đổi cạnh BC (M khác B C) Lấy điểm H K hình chiếu vng góc M cạnh AB AC Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng HK Bài 4(4 điểm): Chứng minh với số nguyên dương n tồn số nguyên dương cho +21 chia hết cho Bài 5(4 điểm): Cho tập hợp S cho tập hợp = Giả sử A B tập khác ( Kí hiệu số phần tử A B) Ta xét , tương tự ta nhận tập hợp B' từ B Chứng minh A' B' có giao khác rỗng ……………… Hết………………… ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài 1: Tập xác định Đặt Phương trình trở thành (1đ) với Ta thấy x=1 thoả mãn phương trình Nếu (1đ) Ta có (1đ) Nếu Ta có (loại) (1đ) Vậy phương trình có nghiệm x=1 Bài 2: Giả sử ta chứng minh Thật : (1đ) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Tương tự ta có Từ (3) (4) ta có Ta chứng minh (5) cách quy đồng mẫu số nhân chéo để dẫn tới Vậy (2) chứng minh nên (1) chứng minh Từ (1) ta suy Bài 3: Lấy điểm D thuộc cạnh AC điểm E thuộc cạnh AB cho MD//AB ME//AC Ta có (Với G trọng tâm tam giác ABC) (2đ) Vậy quỹ tích I đoạn thẳng PQ bỏ điểm P điểm Q, P Q điểm thoả mãn (2đ) A D E I G K P H B Q I C M C B M Bài 4: Với n=1 ta chọn Giả sử ứng với n chọn Đặt Ta xét Khi , ta cần với ứng với n+1 (1đ) số nguyên dương với t số nguyên dương (1đ) (1đ) Vậy ta chọn t để Chia hết cho chia hết cho 2, với cách chọn ta thấy , ta chọn (1đ) Bài 5: Giả sử Xét tất cặp số với với (1đ) Có n.k cặp vây nên có n.k số có dạng (các số nhau) Nếu 4000 xuất số 2000 thuộc A B suy 1999 thuộc A' B' (1đ) Nếu xảy điều ngược lại số thuộc tập hợp thuộc tập hợp Mà có tất số nên theo nguyên tắc Dirichlet phải tồn số nhau, tức tồn cặp số khác mà Suy (1đ) , số thuộc A' thuộc B'(đpcm) (1đ)