SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ Câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN 12 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm 180 phút) (5 điểm) Tìm tất điểm cực đại điểm cực tiểu hàm số y cos x sin x 2 Tìm m để phương trình x x 2m 0 có nghiệm phân biệt Câu 2 1010 2019 (5 điểm) Chứng minh C2020 2C2020 1010C2020 1010.2 2 Tìm tất cặp số thực x; y thỏa mãn xy 4 x y 20 x y xy Câu (6 điểm) 1.Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách hai đường thẳng SB AC theo a Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn I Gọi M , D, E trung điểm BC , IB, IC ; F , G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ACE Chứng minh AM vng góc FG Câu (2 điểm) Cho dãy số xn xác định x1 xn1 xn , n 1 Chứng minh dãy số xn có giới hạn tìm giới hạn Câu (2 điểm) Xét số thực dương a, b, c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2b c 2c a 2a b 18abc a b c ab bc ca HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Tìm tất điểm cực đại điểm cực tiểu hàm số y cos x sin x 2 Tìm m để phương trình x x 2m 0 có nghiệm phân biệt Lời giải Tập xác định: D Ta có y sin x cos x sin x , y cos x 4 4 x k 2 x k 2 4 y 0 sin x 0 k x k 2 x k 2 4 k 2 , ta có y k 2 cos k 2 Vậy x k 2 điểm cực đại hàm số 3 3 k 2 cos k 2 cos Với x k 2 , ta có y 3 Vậy x k 2 điểm cực tiểu hàm số Với x 2 Xét phương trình x x 2m 0 Giả sử x0 nghiệm phương trình Khi x0 nghiệm phương trình Như vậy, phương trình có nghiệm phải có nghiệm x 0 Với x 0 , thay vào phương trình ta m Thử lại, với m , phương trình trở thành x 0 x x x 1 x x 0 2 x x 1 x 2 x x x x 0 x 1 x 1 Vậy m giá trị cần tìm Ngồi ra, ta giải cách vẽ đồ thị hàm số y x x dùng tương giao hai đồ thị Từ đồ thị ta thấy hai đồ thị cắt điểm phân biệt 2m 1 m 2 1010 2019 Câu 1: Chứng minh C2020 2C2020 1010C2020 1010.2 Lời giải Xét đa thức: x 2020 2020 C2020 xC2020 x 2C2020 x 2020C2020 Đạo hàm hai vế ta được: 2020 x 2019 2020 1.C2020 2.x.C2020 3.x.C2020 2020.x 2019 C2020 Thay x 1 vào ta suy ra: 2020 1 2019 2020 1.C2020 2.C2020 3.C2020 2020.C2020 k 2020 k Mặc khác ta có: C2020 C2020 (với k 0;1; ; 2020 nên ta được: 2020 1 2019 1010 2 C2020 2C2020 3.C2020 1010.C2020 1010 C2020 2C2020 3.C2020 1010.C2020 1010.22019 (đpcm) Câu 2: Tìm tất cặp số thực x; y thỏa mãn xy 4 x y 20 x y xy Lời giải Ta có: x y 20 x y xy x y xy 20 x y xy 8 0 x y x y xy xy 20 0 Để phương trình có nghiệm thì: xy 4.1 xy 20 0 xy 4 xy 4 Trường hợp 1: xy 4 x y x y Suy ra: xy 4 x y Suy ra: y y 20 0 y y 20 0 (Vô nghiệm) Trường hợp 2: xy x y x y y Suy ra: y y 20 0 y 24 y 20 0 y Vậy có hai cặp số thực 5; 1 1; thỏa mãn đề Câu 1.Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách hai đường thẳng SB AC theo a Lời giải S K A H M B a2 Gọi H trung điểm AB nên SH AB Mặt khác SAB ABC a Suy SH ABC nên SH AB 2 VSABC SA.S ABC 1 a a a 3 24 S ABC d SB, AC ? Dựng hình bình hành ACBD Ta có AC //BD , AC SBD , AC // SBD nên d AC , SBD d A, SBD 2d H , SBD Kẻ HM BD , SH BD BD SHM Kẻ HK SM , BD HK nên HK SBD Hay d H , SBD HK HM a a HM SH AN a a 21 ; HK 2 a 3 a HM SH 14 2 a 21 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn I Gọi M , D, E trung điểm BC , IB, IC ; F , G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ACE Chứng minh AM vng góc FG Lời giải Vây d SB, AC Gọi H hình chiếu vng góc I lên BC Đương tròn ngoại tiếp tứ giác DEMH cắt đường thẳng AM giao điểm thứ hai X Ta có ABD DBH BHD HDM MXD AXD , suỷa tứ giác ADBX nội tiếp (1) Tương tự ta có tứ giác AECX nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy AX FG hay AM FG Câu (2,0 điểm) Cho dãy số xn xác định x1 xn1 xn , n 1 Chứng minh dãy số xn có giới hạn tìm giới hạn Lời giải: Cách 1: Dễ thấy xn , n 1 Xét hàm số f x x với x ta có f x 1 , x ; nên hàm số nghịch biến ; 2 x Ta có x1 x3 2 f x1 f x3 x2 x4 f x2 f x4 x3 x5 Như ta có x2 n1 dãy tăng x2n dãy giảm dãy xn bị chặn nên tồn giới hạn lim x2 n1 a; lim x2 n b a,b ; Lại có x2n1 x2 n cho qua giới hạn ta a b tương tự ta có b a Suy a b b a a b 1 Mặt khác a,b ; nên 0 * 2 b 2 a b a 2 2 2 b 2 a 2 1 Do * a b vây hai dãy x2 n1 x2n có giới hạn hữu hạn nên x n có giới hạn hữu han lim xn x Từ công thức xn1 xn cho qua giới hạn ta x x x 1 Vậy lim xn 1 Cách Ta có x1 2cos ; x2 x1 2cos 2sin 2cos 4 8 x3 2cos 16 x4 2cos 32 Tương tự ta suy xn 2cos n n 1 2 n 1 1 lim 0 Đặt Sn n suy limS n 1 n 2 1 Do hàm f x =cosx liên tục nên lim xn 2 cos 1 Câu (2,0 điểm) Xét số thực dương a, b, c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2b c 2c a 2a b 18abc a b c ab bc ca Lời giải Ta có: P 2b c 2c a 2a b 18abc a b c ab bc ca b 3 a c 3 b a 3 c 18abc a b c ab bc ca 3 18abc b c a ( 3) a b c ab bc ca a b c 3(ab bc ca ) 18abc abc ab bc ca 2(ab bc ca) 18abc ab bc ca abc ab bc ca abc 1 2 2.18 12 12 15 a b c (a b c ) Dấu " " xảy a b c 1