ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN TRƯỜNG THPT SẦM SƠN NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y 2 x x Lời giải *Bảng biến thiên: Câu 2: Giải bất phương trình sau 6( x 3x 1) x x 0 Lời giải Tập xác định: 2 2 BPT 2( x x 1) ( x x 1) 6( x x 1)( x x 1) 0 12 x2 x 1 6( x x 1) 0 ( x x 0, x ) 2 x x 1 x x 1 Đặt: t BPT 6( x x 1) (t > 0), ta 2t t 0 t 2 x x 1 cho tương 11 21 11 21 6( x x 1) x 11 x x ; x2 x 1 10 10 Câu 3: sin x.sin 3x cos3 x.cos x Giải phương trình tan( x ).tan( x ) Lời giải sin( x ) 0 cos( x ) 0 * ĐK: sin( x ) 0 cos( x ) 0 đương với * Ta có: tan( x 6 ) tan( x 3 ) 1 sin x.s inx.sin x cos x.cos x.cos x 1 (1 cos x) (cos4x - co s x) cos x (cos4x + cos x) 2 3 * Nên: (1) sin x.sin x cos x.cos x cos x cos x - cos x cos x cos4 x.cos2 x cos2 x 1 cos x(2 cos x 1) cos x 4 4(2cos 2 x 1)cos2 x 4.cos2 x 0 8cos3 x 1 x k cos2 x x k ( k ) Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x Câu 4: k (k ) Từ chữ số 1, 3, 4, lập số tự nhiên có sáu chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số cịn lại có mặt lần Trong số tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên số Tính xác suất để số chọn chia hết cho 4? Lời giải Gọi số cần tìm abcdef với a , b, c, d , e, f 1,3, 4,8 Sắp xếp chữ số vào vị trí, có C6 cách Sắp xếp chữ số 1;4;8 vào vị trí cịn lại có 3! Cách Vậy có tất C6 3! 120 số Một số chia hết cho hai chữ số tận tạo thành 1số chia hết cho Trong số trên, số lấy chia hết cho có tận 48, 84 Trong trường hợp có C4 4 cách xếp chữ số 3và vào vị trí cịn lại, suy có số chia hết cho Gọi A biến cố: “ Số lấy chia hết cho 4” Vậy số kết thuận lợi cho A A 8 Số phần tử không gian mẫu 120 Xác suất biến cố A PA Câu 5: A 120 15 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: ab bc ca 2 abc Chứng minh rằng: 1 1 2 a (2a 1) b( 2b 1) c (2c 1) Lời giải Đặt x = 1 ,y= ,z= ta có x,y,z số dương thỏa mãn x + y + z = a b c ( y z) ( 1) = x x x3 1 x3 y3 z3 Từ đó:P = 2 = a( 2a 1) b(2b 1) c ( 2c 1) ( y z ) ( z x) ( x y ) Ta có: a(2a – 1)2 = Áp dụng bất đẳng thức Cơ si có: Tương tự: x3 yz yz x3 3 x (1) 8 64 ( y z) y3 zx zx z3 x y x y y z (3) (2) 2 8 8 ( z x) ( x y) Cộng vế (1), (2), (3) ước lược được: P 1 (x + y + z) = Đẳng thức xảy x = y = z = 2/3 a = b = c = 3/2 Câu 6: Tìm giá trị tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm x xy y m2 4m x y 2 Lời giải ( x y ) y (m 2) Hệ bất phương trình ( x y ) y 2 t y (m 2) 1, (1) Đặt t x y ta có hệ trở thành: (2) t y 2 Trong hệ trục tọa độ Oty ta có: + Miền nghiệm bpt(1) miền biên đường trịn tâm O, bán kính r (m 2) + Nghiệm bpt(2) nửa mặt phẳng chứa tâm O chia đường thẳng t y 2 Từ để hệ cho có nghiệm : R d (O / ) m 4m 2 m 4m 0 m 1, m 3 KL : m 1, m 3 Câu 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có tâm I Trung điểm cạnh AB M (0;3) , trung điểm đoạn CI J (1; 0) Tìm tọa độ đỉnh hình vng, biết đỉnh D thuộc đường thẳng : x y 0 Lời giải A M H B I J D N C Gọi N trung điểm CD H tâm hình chữ nhật AMND Gọi (C) đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật AMND Từ giả thiết, suy NJ//DI, NJ vng góc với AC, hay J thuộc (C) (vì AN đường kính (C)) Mà MD đường kính (C) nên JM vng góc với JD (1) D thuộc nên D(t ; t 1) JD(t 1; t 1), JM ( 1;3) Theo (1) JD.JM 0 t 3t 0 t D( 2; 1) Gọi a cạnh hình vng ABCD Ta có DM 2 a a2 a 4 Gọi A( x; y ) 2 AM 2 x ( y 3) 4 Vì 2 ( x 2) ( y 1) 16 AD 4 x 2; y 3 x ; y - Với A( 2;3) B (2;3) I (0;1) C (2; 1) J (1;0) (thỏa mãn) 6 7 23 8 9 22 11 ; J 3; (loại) -Với A ; B ; I ; C 5 5 5 5 5 Vậy tọa độ đỉnh hình vng A( 2;3), B(2;3), C (2; 1), D( 2; 1) Câu 7: Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh AB, AC cho mặt phẳng (DMN) vng góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM x, AN y Chứng minh x y 3xy Tìm x, y để diện tích tồn phần tứ diện DAMN nhỏ Lời giải Kẻ DH MN, (DMN) (ABC) suy DH (ABC) xy ; SAMN = SAMH + SANH AM.AN.sin600 = 1 = AM.AH.sin300+ AN.AH.sin300 = (x+y) 2 Ta có: SAMN = Mà ABCD tứ diện đều, nên suy H tâm tam giác ABC Suy 3 xy = (x+y) x+y= 3xy (0 x,y 1 ) 4 Diện tích toàn phần tứ diện DAMN: S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN = = 1 AD.AM.sin600+ AD.AN.sin600 2 1 + DH.MN + AM.AN.sin600 2 xy + 6 3xy(3xy 1) Từ xy x y 2 xy xy xy Suy S 3(4 2) , x y D C B H N M A Câu 8: Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, chiều cao h, đáy ABC tam giác cạnh a Qua AB dựng mp (P) vng góc với SC Xác định thiết diện hình chóp cắt (P) Tính diện tích thiết diện theo a h Lời giải S H A C O M B Gọi O trọng tâm tam giác ABC ta có SO ( ABC ) SO AB , gọi M trung điểm AB tam giác ABC nên CM AB AB ( SMC ) Trong mp(SMC) kẻ MH SC ta có mặt phẳng (AHB) SC Thiết diện tam giác AHB Ta có: S AHB MH AB Theo giả thiết AB = a ta có MC a , OC a , SO = h, SC SO OC h a2 a 3ah Ta có: MH.SC = SO.MC MH a 2 3h a h2 3a h S AHB MH AB 3h a h