Phương pháp lặp song song giải một số bài toán biên dựa trên chia miền

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC –––––––––––––––––– LƢƠNG TRIỀU DUY PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN DỰA TRÊN CHIA MIỀN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XỬ LÝ SONG SONG VÀ GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 1.1 Các kiến thức lý thuyết xử lý song song 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Đánh giá chương trình song song 1.1.3 Thuật toán song song 1.1.4 Các cách tiếp cận thiết kế 1.1.5 Phân tích đánh giá thuật tốn song song 1.2 Các kiến thức giải số phương trình đạo hàm riêng 11 1.2.1 Phương pháp sai phân 11 1.2.2 Thuật toán thu gọn khối lượng tính tốn 14 1.3 Giới thiệu thư viện TK2004 24 1.3.1 Bài toán biên Diricchlet 24 1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp 26 Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG DỰA TRÊN TƢ TƢỞNG CHIA MIỀN 29 2.1 Cơ sở phương pháp chia miền 29 2.2 Một số thuật toán chia miền 30 2.2.1 Thuật toán chia miền Patrick le Talle 30 2.2.2 Thuật chia miền J.R.Rice, E.A Vavalis, Daopi Yang 32 2.2.3 Thuật toán chia miền Saito – Fujita 34 2.3 Các sơ đồ lặp song song dựa chia miền 36 2.3.1 Phương pháp lặp chẵn lẻ QD1 36 2.3.2 Phương pháp song song QD2 43 i 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4 Mơ hình tốn biên gián đoạn 47 2.4.1 Phương pháp lặp 48 2.4.2 Phương pháp lặp chẵn lẻ QD3 51 PHẦN KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 ii 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1: u *(x, y )  e x log(y  5)  sin y log(x  6) 40 Bảng 2: u *(x, y )  x  ye x  y  xey 41 Bảng 3: u *(x, y)  sin x sin y 42 Bảng 4: u *(x, y )  e x log(y  5)  sin y log(x  6) 46 Bảng 5: u *(x, y )  x  ye x  y  xey 46 Bảng 6: Kết thực nghiệm ví dụ 49 Bảng 7: Kết thực nghiệm ví dụ 50 iii 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 29 Hình 36 Hình 3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ 40 Hình 4: Đồ thị nghiệm xấp xỉ 41 Hình 5: Đồ thị nghiệm xấp xỉ 42 Hình 43 Hình 7: Đồ thị nghiệm xấp xỉ ví dụ 49 Hình 8: Đồ thị nghiệm xấp xỉ ví dụ 50 iv 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học khoa học- Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang Qua tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy Vũ Vinh Quang, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suất q trình nghiên cứu tơi Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nguyên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè lớp Cao học K4C động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập làm luận văn Tác giả 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Trong trường hợp tổng qt, việc tìm nghiệm lớp tốn biên mà chủ yếu phương trình elliptic cấp hai trường hợp điều kiện biên hỗn hợp hỗn hợp mạnh không thực Việc nghiên cứu giải gần toán biên mà tiêu biểu toán biểu diễn phương trình cấp hai lĩnh vực quan tâm nhà toán học Trong nhiều năm qua có nhiều cơng trình nghiên cứu lĩnh vực này, mục đích phương pháp đưa toán vi phân tốn sai phân để tìm nghiệm xấp xỉ thơng qua thuật tốn giải hệ phương trình đại số Tuy nhiên toán biên elliptic với điều kiện biên phức tạp hàm nghiệm đạo hàm nghiệm gián đoạn miền xét phương pháp truyền thống gặp khó khăn Để giải tốn trường hợp phương pháp biết đến phương pháp lặp với độ phức tạp tính tốn thấp tư tưởng phương pháp chia miền dựa phương pháp này, hướng nghiên cứu phát triển nghiên cứu sơ đồ tính tốn song song giải mơ hình tốn phức tạp Luận văn đặt vấn đề tìm hiểu số phương pháp lặp giải toán elliptic cấp hai tư tưởng thuật toán chia miền Trên sở thuật toán chia miền, luận văn đề xuất việc xây dựng số sơ đồ tính tốn song song Luận văn cấu trúc gồm chương Chƣơng 1: Đưa kiến thức lý thuyết tính toán song song, phương pháp sai phân thuật toán thu gọn khối lượng tính tốn hệ thống thư viện TK2004 giải số toán biên elliptic Chƣơng 2: Trình bày tóm tắt sở phương pháp chia miền Trên sơ phương pháp biết, luận văn đưa số sơ đồ tính tốn song song 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn dựa tư tưởng chia miền giải toán biên elliptic cấp hai Tiến hành đánh giá độ phức tạp thuật toán, cài đặt thử nghiệm máy tính điện tử để kiểm tra hội tụ sơ đồ Các kết thực nghiệm luận văn cài đặt ngơn ngữ Matlab máy tính PC 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XỬ LÝ SONG SONG VÀ GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chương này, luận văn trình bày số kiến thức lý thuyết xử lý song song, phương pháp sai phân thư viện TK2004 Đây kiến thức quan trọng sử dụng chương sau luận văn Các kiến thức tham khảo từ tài liệu [1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11] 1.1 Các kiến thức lý thuyết xử lý song song 1.1.1 Định nghĩa: Xử lý song song trình xử lý gồm nhiều tiến trình kích hoạt đồng thời tham gia giải vấn đề, nói chung thực đa xử lý Hiện vấn đề xử lý song song thực hóa nhờ ưu điểm vượt trội Hiện giá thành phần cứng (CPU) giảm mạnh, tạo điều kiện để xây dựng hệ thống có nhiều BXL với giá thành hợp lý Sự phát triển cơng nghệ mạch tích hợp VLSI cho phép tạo hệ phức hợp có hàng triệu transistor chip Tốc độ xử lý BXL theo kiểu Von Neumann dần tiến tới giới hạn, cải tiến thêm dẫn tới đòi hỏi phải thực xử lý song song Một mục đích xử lý song song nghiên cứu xây dựng thuật tốn thích hợp để cài đặt máy tính song song, nghĩa phát triển thuật toán song song Câu hỏi tự nhiên đánh giá thuật toán song song gọi thích hợp cho xử lý song song? Đối với thuật tốn thống cách đánh giá dựa vào 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn thời gian thực thuật tốn, khơng gian nhớ khả lập trình, v.v Đánh giá thuật tốn song song phức tạp nhiều, ngồi tiêu chuẩn phải bổ sung thêm tham số số BXL, khả nhớ cục bộ, sơ đồ truyền thông, giao thức đồng hoá, v.v Để cài đặt thuật tốn song song máy tính song song phải sử dụng ngơn ngữ lập trình song song Nhiều ngơn ngữ lập trình song song sử dụng như: Fortran 90, nCUBE C, Occam, C-Linda, PVM với C/C++, CDC 6600, v.v 1.1.2 Đánh giá chƣơng trình song song Sau đưa sở phương pháp đánh giá độ phức tạp thuật toán song song Thời gian thực song song Để đánh giá độ phức tạp tính tốn thuật tốn song song, ngồi số bước tính tốn cịn cần đánh giá thời gian truyền thơng tiến trình Trong hệ thống truyền thơng, thời gian truyền thông phải xem thời gian thực thuật toán Thời gian thực song song, ký hiệu gồm hai phần tcomp tcomm = tcomp + tcomm đó, tcomp thời gian tính tốn tcomm - thời gian truyền thơng liệu Thời gian tính tốn tcomp xác định giống thuật tốn Khi có nhiều tiến trình tiến trình thực đồng thời tính thời gian thực tiến trình phức tạp (thực lâu nhất) Trong phân tích độ phức tạp tính tốn, ln giả thiết rằng, tất xử lý giống thao tác tốc độ Đối với cụm máy tính khơng điều khơng đảm bảo vậy, việc đánh giá thời gian tính toán hệ phức tạp 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét: Qua thực nghiệm thấy sơ đồ lặp song song dạng chẵn lẻ QD1 hội tụ với tham số lặp  chọn khoảng (0.1 – 0.9) Tham số tối ưu chọn khoảng (0.5-0.7) 2.3.2 Phƣơng pháp song song QD2 Xét toán u  f , x  ,   u  , x  ,  (2.22) Giả sử miền Ω chia thành n miền biên 1, 2, , n1 1 2 … k … n 1 2 k1 k k Hình Trên sở phương pháp chia miền Patrick le Talle, xác định nghiệm tốn theo sơ đồ lặp sau Kí hiệu g k giá trị hàm đường biên k , k = 1,2,3,…,n – Thuật toán: Bước 1: Xuất phát từ gk(0)  , biên k Bước 2: Giải song song toán miền   u1(m )  f , x  1,   u (m )  , x   \  ,  1   (m ) (m )  u  g1 , x  1   43 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.23) http://www.lrc-tnu.edu.vn   uk(m )  f , x  k    uk(m )  , x  k \ {k 1, k },    (m )  uk  gk(m1), x  k 1    u (m )  gk(m ), x  k    k (2.24)   un(m )  f , x  n   u (m )  , x   \  ,  n n n 1  (m ) (m )   u  gn 1, x  n 1   n (2.25) Bước 3: Hiệu chỉnh k   uk(m ) uk(m1) (m 1) (m )  gk  (1  )gk  (  )        k  1,2, , n    (2.26) Nhận xét: + Sự hội tụ phương pháp phụ thuộc hoàn toàn vào hội tụ sơ đồ lặp (2.26) Việc chứng minh sơ đồ lặp hội tụ lý thuyết khó khăn, nhiên khẳng định thơng qua kết thực nghiệm + Theo bước thuật toán thấy bước 2, việc giải n toán miền thực độc lập Do ta sủ dụng n xử lý độc lập giải n toán cách song song Do q trình xử lý song song thực n xử lý độc lập + Cũng theo thuật toán, thấy để thực bước ta cần có liệu bước 2, nên bước bước phải thực nên thuật toán thuật toán song song chưa thực triệt để 44 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn + Việc giải toán miền miền đơn giản (hình chữ nhật) nên ln ln sử dụng hàm thư viện TK2004 Đánh giá độ phức tạp thuật toán Giả sử cần thực K bước lặp để nhận nghiệm xấp xỉ tốn với độ xác cấp hai Khi hiển nhiên bước lặp cần phải giải song song n toán Dirichlet Với toán theo thuật toán thu gọn khối lượng tính tốn có độ phức tạp O(MN log N ) độ phức tạp thời gian thuật toán tcomp1  K O(MN log N ) Tại bước lặp, Các xử lý cần phải gửi N số liệu cho xử lý tổng để hiệu chỉnh giá trị biên chung độ phức tạp truyền thơng tính theo công thức tcomm  2Ntstaup  Ntdata Tại bước hiệu chỉnh, xử lý tổng phải tính tốn cơng thức hiệu chỉnh vectơ N chiều Do số lượng tính tốn bước tcomp  8KN Như độ phức tạp toàn thuật tốn xác định cơng thức: O(T )  K O(MN log N )  2Ntstaup  Ntdata  8KN  O(KMN log N ) Trong M N lưới chia hình chữ nhật sở Một số kết thực nghiệm QD2 Để kiểm tra tính đắn sơ đồ lặp song song QD2, chúng tơi sử dụng phương pháp lưới chuyển tốn vi phân toán dạng sai phân với lưới chia hình chữ nhật 64  64 lưới điểm, sau tiến hành thực sơ đồ lặp song song sở hàm thư viện TK2004 45 50Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong ví dụ, kí hiệu u (x, y ) nghiệm toán, u(m )(x, y ) nghiệm xấp xỉ sau bước lặp thứ m, điều kiện dừng lặp max u (m )(x , y )  u * (x , y )   Kích thước hình chữ nhật sở lấy a  1;b  Các kết thực nghiệm thu sau (Số miền chia 19): Bảng 4: u *(x, y )  e x log(y  5)  sin y log(x  6) Tham số Số bước lặp Sai số 0.2 80 1.104 0.3 67 6.105 0.4 40 7.105 0.5 25 5.105 0.6 18 8.105 0.7 17 8.105 0.8 77 2.104 Bảng 5: u *(x, y )  x  ye x  y  xey Tham số Số bước lặp Sai số 0.2 80 0.003 0.3 66 2.104 0.4 39 7.105 0.5 25 5.105 0.6 20 6.105 0.7 25 8.105 0.8 73 2.104 46 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét: + Qua thực nghiệm thấy sơ đồ lặp song song QD2 hội tụ với tham số lặp  chọn khoảng (0.1 – 0.9) Tham số tối ưu khoảng (0.5-0.7) + So với phương pháp lặp QD1 số lần lặp QD2 để đạt đến mức sai số nhiều Điều giải thích phương pháp QD2, việc xác định nghiệm toán lẻ không tận dụng giá trị nghiệm toán chẵn hai toán giải song song với Tuy nhiên ưu điểm phương pháp sơ đồ lặp tính tốn theo hệ thống song song hồn tồn 2.4 Mơ hình tốn biên gián đoạn Xét mơ hình tốn u  f , x  ,   u  , x  ,  (2.27) Trong   R , giả sử hàm đạo hàm nghiệm phương trình bị gián đoạn qua đường  tức là:   u  u2  1(x ), x  ,    u1 u2     (x ), x     n   n (2.28) Mơ hình thường xuất tốn học vật lý mơi trường chế tạo loại vật liệu khác Nhiệt lượng thông lượng nhiệt bị gián đoạn qua mặt phân cách mơi trường Đây mơ hình nhà khoa học quan tâm 47 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4.1 Phƣơng pháp lặp Xuất phát từ phương pháp chia miền Saito-Fujita việc giải toán giải phương pháp sau Kí hiệu g giá trị hàm u1 biên  Khi việc giải tốn thực sơ đồ lặp sau Bước 1: Xuất phát từ g (0) , biên  Bước 2: m  1, 2, , thực giải toán   u1(m )  f , x  1,   u (m )  , x   ,  1  (m ) m   u  g ,x     (2.29)     u2(m )  f , x  2    (m ) u2  , x  2 ,    u2(m ) u2(m )     (x ), x     n   n (2.30) Bước 3: Hiệu chỉnh  g (m 1)  (1  )g (m )  (u (m )   (x ))   x    (2.31) Việc chứng minh hội tụ sơ đồ lặp đưa chưa thực Tuy nhiên kiểm tra thực nghiệm Trong kết thực nghiệm sau đây, cho trước bước nhảy 1(x ),  2(x ) , điều kiện biên (x ) hàm vế phải f (x, y ) Điều kiện dừng lặp max u (m 1)(x , y )  u (m )(x , y )   , miền   0, 2  0,1 ,   x  1,  y  1 48 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ  1(x , y )  x  y  (x , y )  s inx  log(x  y  2) (x , y )  s inx  y  e x y f  sin(xy )  e x y Các kết thực nghiệm thu sau: Bảng 6: Kết thực nghiệm ví dụ Tham số Số bước lặp Sai số 0.1 40 0.0035 0.2 40 7.105 0.3 40 5.107 0.4 40 2.109 0.5 36 5.1011 0.6 28 5.1011 0.7 30 5.1011 0.8 40 2.108 0.9 40 0.0015 Hình 7: Đồ thị nghiệm xấp xỉ ví dụ 49 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1(x , y )   (x , y )  (x , y )  s inx+y  e x y f  sin(xy )  e x y Các kết thực nghiệm thu sau Bảng 7: Kết thực nghiệm ví dụ Tham số Số bước lặp Sai số 0.1 40 0.0031 0.2 40 6.105 0.3 40 6.107 0.4 40 2.109 0.5 35 9.1011 0.6 28 4.1011 0.7 31 5.1011 0.8 40 7.108 0.9 40 0.0045 Hình 8: Đồ thị nghiệm xấp xỉ ví dụ 50 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Qua thực nghiệm khẳng định phương pháp lặp toán biên gián đoạn qua mặt phân cách hội tụ Xuất phát từ phương pháp trên, đề xuất sơ đồ lặp song song sau: 2.4.2 Phƣơng pháp lặp chẵn lẻ QD3 Xét toán u  f , x  ,   u  , x  ,  (2.32) Giả sử miền Ω chia thành 2n+1 miền 1, , 2n1 biên 1, 2, 3, , 2n đồng thời giá trị hàm đạo hàm gián đoạn chuyển tiếp qua đường biên phân chia tức u    (x ), x     k 1k k  u      2k (x ), x  k  n    k Xuất từ sơ đồ lặp trên, xây dựng sơ đồ lặp sơ đồ lặp dạng chẵn lẻ giải tốn sau Kí hiệu gk (x ) giá trị hàm uk đường biên k , với k  1, 2, , 2n Thuật toán: Bước 1: Xuất phát từ gk(0)  , k Bước 2: m  1, 2, , tiến hành giải toán miền lẻ 1 , 3 , …, 2n1, 51 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   u1(m )  f , x  1,   u (m )  , x   \  ,  1  (m ) (m )   u  g1 , x  1   (2.33)   u2(mk)1  f , x  k ,    uk(m )  , x  k \ {k 1  k },    (m ) (m )  uk  gk 1, x  k 1,  (m ) (m )   u  g , x  k k k    k  1, 3, , 2n     (2.34)   u2(mn)  f , x  2n 1   u (m )  , x   \  2n ,  2n 1 2n 1    u2(mn )  g 2(mn ), x  2n   (2.35) Bước 3:Với m  0,1, 2, tiến hành giải toán miền chẵn 2, 4 , , 2n    uk(m )  f , x  k     uk(m )  , x  k \ (k 1  k ),    uk(m ) uk(m1)      2,k 1(x ), x  k 1         uk(m1) uk(m )      2,k 1(x ), x  k         k  2, 4, ,2n    (2.36) Bước 4: Hiệu chỉnh (m 1)    (1  )gk(m )  (uk(m1) (x )   1k (x )), gk  (m 1)  g  (1  )gk(m1)  (uk(m )(x )   1k 1(x ))    k 1 52 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.27) http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét: + Sự hội tụ phương pháp phụ thuộc hoàn toàn vào hội tụ sơ đồ lặp (2.26) Việc chứng minh sơ đồ lặp hội ttụ lý thuyết khó khăn, nhiên khẳng định thơng qua kết thực nghiệm + Theo bước thuật toán thấy bước 2, việc giải n toán miền thực độc lập Do ta sử dụng n xử lý độc lập giải n toán cách song song Do q trình xử lý song song thực n xử lý độc lập + Cũng theo thuật toán, thấy để thực bước ta cần có liệu bước 2, nên bước bước phải thực nên thuật toán thuật toán song song chưa thực triệt để + Việc giải toán miền miền đơn giản (hình chữ nhật) nên ln ln sử dụng hàm thư viện TK2004 Đánh giá độ phức tạp thuật toán Giả sử cần thực K bước lặp để nhận nghiệm xấp xỉ tốn với độ xác cấp hai Khi hiển nhiên bước lặp cần phải giải song song n toán Dirichlet Với toán theo thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn có độ phức tạp O(MN log N ) độ phức tạp thời gian thuật toán tcomp1  K O(MN log N ) Tại bước lặp, xử lý cần phải gửi N số liệu cho xử lý tổng để hiệu chỉnh giá trị biên chung độ phức tạp truyền thơng tính theo cơng thức tcomm  2Ntstaup  Ntdata 53 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tại bước hiệu chỉnh, xử lý tổng phải tính tốn cơng thức hiệu chỉnh vectơ N chiều Do số lượng tính tốn bước tcomp  8KN Như độ phức tạp toàn thuật tốn xác định cơng thức O(T )  K O(MN log N )  2Ntstaup  Ntdata  8KN  O(KMN log N ) Trong M N lưới chia hình chữ nhật sở Thuật tốn song song QD3 kiểm tra hội tụ thơng qua chương trình thực nghiệm tương tự thuật toán QD2 Các kết thực nghiệm khẳng định tham số lựa chọn tối ưu khoảng (0.5-0.7) Kết luận: Trong chương 2, luận văn dưa số sơ đồ tính tốn song song giải toán biên elliptic dựa tư tưởng chia miền Các sơ đồ kiểm tra chương trình thực nghiệm thơng qua nhiều ví dụ khẳng định hội tụ sơ đồ 54 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn PHẦN KẾT LUẬN Nội dung luận văn đề cập đến sơ đồ tính toán song song giải toán biên elliptic dựa tư tưởng chia miền tác giả giới Các kết luận văn đạt bao gồm: Luận văn tìm hiểu kiến thức lý thuyết tính tốn song song, phương pháp sai phân thư viện TK2004 giải số toán biên elliptic với hệ số miền chữ nhật Tìm hiểu sở phương pháp chia miền đặc biệt phương pháp chia miền tác giả Saito-Fujita dựa tư tưởng hiệu chỉnh hàm biên phân chia Trên sở phương pháp Saito-Fujita, Luận văn đưa sơ đồ lặp song song QD1 QD2 giải toán biên elliptic với số miền chia tùy ý, phương pháp đánh giá độ phức tạp q trình xử lý song song, tính tốn thử nghiệm nhiều ví dụ khác Các kết thực nghiệm khẳng định hội tụ sơ đồ tính tốn song song QD1 QD2 Luận văn nghiên cứu mơ hình tốn biên gián đoạn qua mặt phân cách Trên sở phương pháp Saito-Fuijta, luận văn đưa sơ đồ lặp song song dạng chẵn lẻ QD3 giải toán biên elliptic với số miền chia tùy ý, đánh giá độ phức tạp trình xử lý song song, thử nghiệm máy tính điện tử Các kết thực nghiệm khẳng định hội tụ sơ đồ tính tốn song song QD3 Hướng nghiên cứu luận văn nghiên cứu đề thuật thuật toán song song khác dựa tư tưởng chia miền khác áp dụng vào toán phức tạp hơn, đồng thời tiến hành thực nghiệm áp dụng mơ hình tính tốn song song tốn thực tế 55 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO TiÕng ViƯt [1] Vị Vinh Quang (2005), C¸c kết việc ứng dụng thuật toán thu gọn khối l-ợng tính toán giải toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp, Hội thảo Khoa học Toàn quốc Phát triển công cụ Tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu ứng dụng Toán học, Nhà xuật Khoa học Kỹ thuật, 247-256 [2] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Cao Thị Anh Thư (2009), Mơ hình tính tốn song song giải tốn biên hỗn hợp mạnh dựa chia miền, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.1(30):25-35 TiÕng Anh [3] Dang Quang A, Vu Vinh Quang, “A domaindecompositionmethod for solving an elliptic boundary value problem”, Methods of Complex and Clifford Analysis (Proceedings of 2004 International Conference on Applied Mathematics), SAS Iternational Publication, Delhi, 309-319 [4] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York [5] Quarteroni A and Valli A (1999), Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations, Clarendon Press Oxford [6] Samarskij A and Nikolaev E (1989), Numerical Methods for Grid Equations, Vol 2, Birkhauser, Basel [7] Saito N and Fujita H (2001), Operator Theoretical Analysis to Domain Decomposition Methods, 12th Int Conf on Domain Decomposition Methods, 63-70, www.ddm.org/DDI 2/saito.pdf 56 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [8] Le Tallec P Et al., Domain decomposition method for large linearly elliptic three dimensional problem, Rapprts de Racherche, No 1182, INRIA, France, 1990 [9] Barry Wilkingson, Michael Allen (1999), Parallel Programming, Technigues and Applications Using Networked Workstations and Parallel Computers, Prentice Hall New Jersey [10] Joseph JaJa (1992), An Introduction to Parallel Algrithms, Addison – Wesley [11] M Sasikumar, Dinesh Shikhare, P Ravi Prakash (2000), Introduction to Parallel Processing, Prentice – Hall 57 62Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn