Mô hình tính toán song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh dựa trên chia miền

Mục đích chính của phương pháp chia miền là đưa ra một phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán phức tạp về miền hình học và điều kiện biên trong các mô hình thực tế, trong phần[r]

Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ - số 2(50)/năm 2009 Toán, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính

1 MƠ HÌNH TÍNH TỐN SONG SONG

GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HỖN HỢP MẠNH DỰA TRÊN CHIA MIỀN

Vũ Vinh Quang – Trương Hà Hải – Cao Thị Anh Thư (Khoa Công nghệ thông tin – ĐH Thái Nguyên)

1 Phương pháp chia miền giải toán biên gián đoạn mạnh

Phương pháp chia miền phát triển nhiều năm qua với mục đích đưa phương pháp giải tốn biên miền hình học phức tạp điều kiện biên phức tạp cách chuyển việc giải toán phức tạp số hữu hạn toán đơn giản Với tư tưởng trên, nhiều tác giả nghiên cứu đề xuất phương pháp hiệu như: Phương pháp hiệu chỉnh hàm (Saito-Fujita [1,2]), phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm (

DQuangA-VVQuang [3,4,5,6,7]) Tuy nhiên, theo chúng tôi, giới chưa có cơng trình đưa kết

quả tìm nghiệm gần toán biên với điều kiện biên phức tạp sở chia miền Vì vậy, báo này, chúng tơi đề xuất mơ hình tính tốn song song để giải toán

Xét toán

\ ,

, ,

, ,

n n

x u

x n

u

x f

u

(1)

Bài toán (1) gọi toán biên hỗn hợp mạnh biên d n gồm hai loại điều kiện biên Dirichlet Neumann Xuất phát từ tư tưởng chia miền, để giải toán trên, ta chia miền 1 2 biên phân chia (Hình 1), kí hiệu u1 nghiệm miền

1, u2 nghiệm miền 2 Khi để giải tốn (1), điểm mấu chốt cần xác định điều kiện biên phân chia Sau ta xét sở hai phương pháp chia miền

1.1 Phương pháp hiệu chỉnh hàm (Được đề xuất Saito –Fujita, 2001)

Kí hiệu g u2 , giá trị g xác định sơ đồ lặp sau đây: Bước 1: Cho trước ( )

g xác định L2 , chẳng hạn g( )= Bước 2: Với ( k )

g xác định (k = 0, 1, 2,…) tiến hành giải hai toán

,

, ,

, \

,

, ,

2 ) (

) ( ) (

2 )

(

2 )

(

n k

k k

d k

k

x n

u

x g

u

x u

x f

u

, \ ,

, ,

, ,

1 )

(

2 ) (

1 ) (

1 )

(

x u

x n

u n

u

x f

u

k

k k

k

(2)

Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị ( k )

g theo công thức

, )

1

( ( ) 1( )

) (

x u g

g k k k (3) Trên sở lí thuyết khơng gian hàm toán tử Steklov-Poincare [1,2] tác giả Saito –Fujita chứng minh sơ đồ lặp hội tụ

Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ - số 2(50)/năm 2009 Tốn, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính

2 Kí hiệu

1

n u

g , giá trị g xác định sơ đồ lặp sau đây: Bước 1: Cho trước ( )

g xác định L2 , chẳng hạn g( )= Bước 2: Với ( k )

g xác định (k = 0, 1, 2,…) tiến hành giải hai toán

, \ ,

, ,

, ,

1 )

(

) (

) (

1 )

(

x u

x g

n u

x f

u

k k k

k

,

, ,

, \

,

, ,

2 ) (

) ( ) (

2 )

(

2 )

(

n k

k k

n k

k

x n

u

x u

u

x u

x f

u

(4)

Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị ( k )

g theo công thức , )

1 (

2 ) ( )

( )

1 (

x n u g

g

k k

k

(5)

trong tham số lặp cần xác định.Trên sở lí thuyết khơng gian hàm toán tử Steklov-Poincare [3,4,5] tác giả chứng minh sơ đồ lặp hội tụ

Có thể thấy rằng, hai phương pháp xuất phát từ hai tư tưởng hoàn toàn ngược Về mặt lí thuyết, việc chứng minh phương pháp hội tụ nhanh tốn khó, nhiên qua thực nghiệm khẳng định phương pháp Đặng Quang Á - Vũ Vinh Quang hội tụ có phần nhanh việc hiệu chỉnh đạo hàm [8]

2 Mơ hình tính tốn song song giải tốn biên gián đoạn mạnh

Mục đích phương pháp chia miền đưa phương pháp hữu hiệu để giải toán phức tạp miền hình học điều kiện biên mơ hình thực tế, phần chúng tơi trình bày hướng đề xuất mơ hình tính tốn song song giải toán biên với điều kiện biên phức tạp sở chia miền

Xét toán biên:





) ( , , \

,

), ( , ,

, ,

2 , ,

n i x

u

n i x

n u

x f

u

i

i (6)

41 42 43 4,2l 4,2l 4,2l 4,2n

1

2

3

…

1 2l

1 2l

l

2

l

2

1 2l

1 2l

…

1 2n n

2

Hình

Trong 1

2 2

f L ; H , n vectơ pháp tuyến miền Trên

giới theo chưa có cơng trình đưa kết tìm nghiệm gần toán Xuất phát từ sơ đồ chia miền theo hướng hiệu chỉnh hàm đạo hàm, phần đề xuất mơ hình tính tốn song song giải tốn sau:

Tạp chí Khoa học & Công nghệ - số 2(50)/năm 2009 Tốn, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính 3 Chia 2n 1 i i 1

 biên phân chia i( i 1 2n ), (Hình 2)

Kí hiệu 2 1, 2 ,( 1,2, )

2 2 2

2 i n

n u g n u g i i i i i i i

i Việc giải toán (6) thực

bởi sơ đồ lặp sau đây:

Bước 1: Xuất phát ( ) i

g 0,i 1,2, ,2n

Bước 2: Tiến hành giải song song toán miền lẻ

, \ , , , , , 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( x u x g n u x f u k k k k (7) , , , , , \ , , , ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( l k l l k l l k l l k l l l l k l l k l x g n u x g n u x u x f u

 3, ,n (8)

, \ , , , , , 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( n n k n n k n n k n n k n x u x g n u x f u (9)

Bước 3: Tiến hành giải song song toán miền chẵn

, \ , , , , , , , , 2 , ) ( 2 ) ( ) ( 2 , ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( l l l l k l l k l k l l l k l l k l k l l k l x u x u u x n u x u u x f u 1,2, ,n

 (10)

Bước 4: Hiệu chỉnh

, ) ( , , ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( l l k l k l k l l l k l k l k l x n u g g x n u g g 1,2, ,n

 (11)

Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ - số 2(50)/năm 2009 Toán, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính

4 sơ đồ tính tốn song song Sự hội tụ phương pháp lặp phụ thuộc vào hội tụ sơ đồ (11)

2.2 Hướng tiếp cận hiệu chỉnh hàm

Kí hiệu

i i i

g u i 1,2, ,2n Việc giải toán (6) thực sơ đồ lặp sau: Bước 1: Xuất phát gi( ) 0,i 1,2, ,2n

Bước 2: Tiến hành giải song song toán miền chẵn

\ , , , , , , , , , 2 , ) ( 2 ) ( ) ( 2 , ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( l l l l k l l k l k l l l k l l k l k l l k l x u x g u x n u x g u x f u n

l 1,2, , (12)

Bước 3: Tiến hành giải song song toán miền lẻ

, \ , , , , , 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( x u x n u n u x f u k k k k (13) , , , , , \ , , , 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( l l k l l k l l l k l l k l l l l k l l k l x n u n u x n u n u x u x f u (14) , \ , , , , , 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( n n k n n n k n n k n n k n x u x n u n u x f u (15)

Bước 4: Hiệu chỉnh

( k ) ( k ) ( k )

2 1 2 1 2 1 2 1

( k ) ( k ) ( k )

2 2 2 1 2

g ( 1 )g u ,x ,

g ( 1 )g u ,x

   

   

 1,2, ,n (16)

Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ - số 2(50)/năm 2009 Tốn, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính

5 Như vậy, hai mơ hình tính tốn song song (7)-(11) (12)-(16) giải toán (6) Đây sơ đồ tính tốn song song hồn tồn chưa cơng bố, khẳng định tính đắn so sánh tốc độ hai mô hình thơng qua kết thực nghiệm

3 Các kết thực nghiệm

Bảng x1

1 2 2 2 1

u( x ,x ) e log( x 5 ) sin( x )log( x 6 ) Tham số Hiệu chỉnh đạo hàm Hiệu chỉnh hàm

n n

0.3 16 7.10-5 27 8.10-5

0.4 11 7.10-5 19 8.10-5

0.5 6.10-5 15 5.10-5

0.6 8.10-5 11 8.10-5

0.7 14 8.10-5 13 9.10-5

Bảng 3 x1 3 x2

1 2 1 2 2 1

u( x ,x ) x x e x x e Tham số Hiệu chỉnh đạo hàm Hiệu chỉnh hàm

n N

0.3 16 9.10-5 26 2.10-4 0.4 11 9.10-5 19 8.10-5 0.5 8.10-5 15 5.10-5 0.6 4.10-5 11 9.10-5 0.7 15 7.10-5 15 7.10-5

Bảng u( x , x )1 2 sin x sin x1 2

Tham số Hiệu chỉnh đạo hàm Hiệu chỉnh hàm

N N

0.3 16 1.10-3 27 1.10-3 0.4 11 1.10-3 19 1.10-3

0.5 1.10-3 15 1.10-3

0.6 1.10-3 11 1.10-3

0.7 15 1.10-3 15 1.10-3 Để kiểm tra tính đắn mơ hình tính tốn song song, sử dụng phương pháp lưới chuyển toán vi phân toán sai phân tương ứng tiến hành tìm nghiệm toán sai phân thuật toán thu gọn khối lượng tính tốn sở sử dụng hàm TK2004 [7] Trong kết quả, lấy lưới chia M×N = 64×64 miền con, kí hiệu u*(x1, x2) nghiệm phương trình, sai số ij *ij

(i,j)

max u u

Các kết thực nghiệm tính tốn đồng thời với hai mơ hình, ngơn ngữ sử dụng Matlab máy tính PC, số miền chia ln lấy 21 miền

4 Nhận xét kết luận

Bài báo đề xuất hai mô hình tính tốn song song giải tốn biên hỗn hợp mạnh hai hướng tiếp cận hiệu chỉnh giá trị đạo hàm hàm biên chung Đây hai hướng tiếp cận hai quan điểm ngược nhau, việc chứng minh tính đắn mơ hình tính tốn song song đề xuất lí thuyết chưa thực được, qua kết thực nghiệm tính tốn khẳng định: mơ hình tính tốn hội tụ với tham số 0 1 tham số tối ưu opt 0,5 Qua thực nghiệm thấy tốc độ hội tụ mơ hình tính tốn tư tưởng hiệu chỉnh đạo hàm có tốc độ hội tụ nhanh Trên sở mơ hình này, mở rộng đề xuất mơ hình tính tốn song song giải tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 

Tóm tắt

Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ - số 2(50)/năm 2009 Toán, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính

6 hàm hiệu chỉnh đạo hàm biên phân chia, từ đưa kết thực nghiệm mơ hình tính tốn tổng qt, đồng thời so sánh hiệu hai mơ hình tính tốn song song đề xuất

Summary

In this paper, the research results as constructing parallel calculating model basing on domain decomposition method approach in two directions are presented: function and derivative adjustment at decomposition boundary, thence by draw out experimental result to general calculating model, we can compare effect of given two parallel calculating models, concurrently

Tài liệu tham khảo

[1] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang (2006), “Phương pháp chia miền giải toán biên hỗn hợp

mạnh”, Tạp chí Tin học Điều khiển học, T.22, S.4: 307-318

[2] Dang Quang A and Vu Vinh Quang, A domain decomposition method for solving an elliptic

boundary value problem, Methods of Complex and Clifford Analysis (Proceedings of ICAM Hanoi

2004), SAS InternationalPublications, 309-319

[3] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang (2005), “Nghiên cứu thực nghiệm phương pháp chia

miền toán biên với điều kiện biên hỗn hợp”, Tạp chí Tin học Điều khiển học, T.21, S.3:

216-229

[4] Vũ Vinh Quang (2006), “Một số kết áp dụng phương pháp chia miền giải toán biên

elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ ĐH Thái Nguyên, T.4(40):

37-45

[5] Vũ Vinh Quang (2005), Các kết việc ứng dụng thuật toán thu gọn khối lượng giải toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp, Hội thảo khoa học tồn quốc, “Phát triển

cơng cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu ứng dụng toán học”, Hà Nội 1-2/04/2005:

247-256

[6] Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thanh Hường, Một số kết so sánh hai phương pháp chia miền,

Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên (Đã nhận đăng)

[7] N Saito, H Fujita (2001), Operator Theoretical Analysis to Domain Decomposition

Methods, 12th Int Conf on Domain Decomposition Methods, Editors: Tony Chan, Takashi, Hideo, Oliver Pinoneau, 63-70, www.ddm.org/DDI2/saito.pdf