Một số bài toán tổng hợp về hàm số

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC -L– THÀ MINH ANH MËT SÈ B€I TON TÊNG HĐP V— H€M SÉ Chuy¶n ngnh: Phữỡng PhĂp ToĂn Sỡ CĐp M số: 60.46.01.13 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: TS.NGUYN MINH KHOA ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Möc löc Mð ¦u H m sè li¶n tưc v  kh£ vi 1.1 1.2 1.3 Giợi hÔn cừa hm số mởt bi¸n sè 3 1.1.1 C¡c ành ngh¾a 1.1.2 CĂc tẵnh chĐt cừa giợi hÔn Sü li¶n tưc cõa h m mët bi¸n 1.2.1 C¡c ành ngh¾a 1.2.2 CĂc tẵnh chĐt cừa hm liản tửc trản oÔn CĂc nh lỵ và hm khÊ vi 1.3.1 nh lỵ Fecmat 1.3.2 nh lỵ Rolle 1.3.3 nh lỵ Lagrange 1.3.4 nh lỵ Cauchy 10 Mët sè b i to¡n têng hñp v· h m sè 2.1 11 2.3 Bi toĂn tờng hủp và hm bêc hai trản bêc nh§t ax2 + bx + c y= dx + e x2 − mx + 2.1.1 B i to¡n: Cho h m sè y = x−1 x2 − mx + B i to¡n têng hñp y = (∗) x−1 B i to¡n têng hñp v· h m y = ax3 + bx2 + cx + d 30 2.4 Mët sè · thi håc sinh giäi 39 2.2 Kát luên Ti liằu tham khÊo 11 11 25 41 42 MÐ †U H m sè l  mët nhúng ph¦n cì b£n v  trång tƠm cừa chữỡng trẳnh toĂn Trung hồc phờ thổng Trong à thi Ôi hồc, cao ng v cĂc ký thi Olympic ln ln câ c¡c b i tªp v· h m sè Lỵ thuyát và hm số liản tửc v khÊ vi ữủc sỷ dửng rĐt rởng rÂi cĂc bi têp cụng nhữ cĂc sĂch viát và hm số Mửc ẵch cừa à ti luên vôn l trẳnh by mởt số nh lỵ quan trồng cừa hm khÊ vi, liản tửc tø â ¡p dưng gi£i mët sè b i tªp têng hủp và hm số Luên vôn trẳnh by v giÊi bi toĂn tờng hủp và hm số bêc hai trản bêc nhĐt ỗng thới ữa cĂc bi toĂn tờng hđp v· h m sè bªc ba Nëi dung cõa luªn vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng: Chữỡng trẳnh by mởt số khĂi niằm v cĂc nh lỵ cỡ bÊn và giợi hÔn, sỹ liản tửc cừa hm mởt bián, cĂc nh lỵ và hm khÊ vi Chữỡng gỗm phƯn PhƯn trẳnh by bi toĂn tờng hủp và hm số bêc hai trản bêc nhƠt vợi lới giÊi chi tiát PhƯn trẳnh by cĂc bi toĂn tờng hủp hm bêc Qua Ơy, tổi xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc tợi ngữới ThƯy, ngữới hữợng dăn luên vôn cao hồc cừa mẳnh, TS Nguyạn Minh Khoa - trữớng Ôi hồc iằn Lỹc ThƯy  dnh nhiÃu thới gian v tƠm huyát  hữợng dăn v  gi£i quy¸t nhúng th­c m­c cho tỉi st quĂ trẳnh tổi lm luên vôn Tổi cụng xin by tọ lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi cĂc ThƯy Cổ hởi ỗng chĐm luên vôn thÔc sắ, cĂc ThƯy Cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc ToĂn K6B, gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp  tÔo nhỳng iÃu kiằn thuên lđi nh§t º tỉi câ thº ho n thi»n khâa håc cụng nhữ luên vôn cừa mẳnh ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2014 Hồc viản Lả Th Minh Anh Chữỡng Hm số liản tửc v khÊ vi 1.1 Giợi hÔn cừa hm số mởt bián số 1.1.1 CĂc nh nghắa nh nghắa 1.1 Số A ữủc gồi l giợi hÔn cừa hm số y = f (x) x → x0 n¸u h m sè y = f (x) x¡c nh mởt lƠn cên cừa x0 (cõ th khổng xĂc nh tÔi x0 ): > 0, = δ(ε) : < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − A| < ε V½ dư 1.1 Chùng minh r¬ng x→1 lim (2x + 3) = Chùng minh Ta câ |(2x + 3) − 5| < ε ⇔ 2|x − 1| < ε ⇔ |x − 1| < 2ε ε ⇒ ∀x : |x − 1| < δ ⇒ |(2x + 3) − 5| < ε Do â theo ành ngh¾a ta câ lim (2x + 3) = Vªy ∀ε > 0, ∃δ(ε) = x→1 ành ngh¾a 1.2 H m y = f (x) x¡c nh mởt lƠn cên cừa x0 (cõ th khổng xĂc nh tÔi x0 ) gồi l cõ giợi hÔn A x x0 náu ối vợi mồi dÂy xn , xn 6= x0 hởi tử án x0 thẳ dÂy cĂc giĂ tr cừa hm tữỡng ựng f (x1 ); f (x2 ); f (x3 ) ; f (xn ) hởi tử án A Vẵ dử 1.2 Chùng minh r¬ng x→0 lim x.sin = x Chùng minh Ta nhên thĐy hm f (x) = x.sin x1 khổng xĂc nh tÔi x0 = xĂc nh tÔi lƠn cên x0 = LĐy dÂy xn bĐt k¼ kho£ng ( −π π ; ) 4 cho lim xn = Ta câ: n→∞ ≤ |f (xn )| = |xn sin | ≤ |xn | xn V¼ lim xn = → lim |xn | = ⇒ lim f (xn ) = n n n Vêy theo nh nghắa ta câ: lim x.sin = x→0 x Vẵ dử 1.3 Chựng minh rơng khổng tỗn tÔi x→1 lim sin x−1 Chùng minh Ta l§y hai d¢y xn = + nπ ;x n = + (4n + 1)π Ta câ lim xn = 1; lim x n = D¢y c¡c gi¡ trà t÷ìng ùng cõa h m l  n→∞ n→∞ = sinnπ = 0, f (xn ) = sin 1+ −1 nπ π = sin( + 2nπ) = f (x n ) = sin 2 1+ (4n + 1)π ⇒ lim f (xn ) = 0; lim f (x  n ) = n→∞ n→∞ Vêy theo nh nghắa 2, khổng tỗn tÔi lim sin x1 x1 Nhên xt 1.1 nh nghắa v nh nghắa l tữỡng ữỡng nh nghắa 1.3 Hm số y = f (xn) xĂc nh lƠn cên phÊi x0 Số A ữủc gồi l giợi hÔn phÊi cừa hm số x x0 Kỵ hi»u A = lim x→(x0 +0) f (x) = f (x0 + 0) n¸u ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0,∀x : < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − A| < ε ành ngh¾a 1.4 Hm y = f (x) xĂc nh tÔi lƠn cên trĂi x0 (cõ th khổng xĂc nh tÔi x0 ) Số A gồi l giợi hÔn trĂi cừa hm f (x) x x0 , kỵ hiằu A = lim x→(x0 −0) f (x) = f (x0 − 0) n¸u ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > : ∀x ∈ < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − A| < ε V½ dư 1.4 Tẳm giợi1 hÔn mởt phẵa cừa hm số: f (x) = 2014 + 1 + 5x − , x → Gi£i Ta câ: −1 x → +∞ x → − Do â 1 + 5x − → Vªyf (1 − 0) = 2014 x → + Ta câ 1 → −∞, â x − → Vªy f (1 + 0) = 2015 1x 1.1.2 CĂc tẵnh chĐt cừa giợi hÔn Tẵnh chĐt 1.1 Náu xx lim f (x) = A, A l mởt số hỳu hÔn õ hm f (x) l b chn mởt lƠn cên no õ V (x0), tùc l  ∃ mët sè M > cho: |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ V (x0), x 6= x0 Chựng minh iÃu kiằn cừa nh lỵ Êm bÊo tỗn tÔi mởt lƠn cên V (x0) cho: > |f (x) − A| ≥ |f (x)| − |A| ⇒ |f (x)| < + |A| vêy + |A| õng vai trỏ cừa M Tẵnh chĐt ữủc chựng minh Tẵnh chĐt 1.2 Náu xx lim f (x) = A, A 6= l  sè hỳu hÔn, õ cõ mởt lƠn cên V (x0) º cho |f (x)| > |A| , ∀x ∈ V (x0 ), x 6= x0 T½nh chĐt 1.3 Náu xx lim f1 (x) = A1 , lim f2 (x) = A2 v cõ mởt lƠn cên x→x th¼ A1 ≤ A2 V (x0 ) : f1 (x) ≤ f2 (x), ∀x ∈ V (x0 ), x 6= x0 Tẵnh chĐt 1.4 Náu xx lim f1 (x) = A, lim f2 (x) = A v  f1 (x) ≤ ϕ(x) ≤ x→x th¼ x→x lim ϕ(x) = A f2 (x), ∀x ∈ V (x0 ), x 6= x0 0 Tẵnh chĐt 1.5 (Tiảu chuân Cauchy) C¦n v  õ º ∃ x→x lim f (x) hỳu hÔn l hm y = f (x) xĂc nh mởt lƠn cên cừa x0 (cõ th trứ x0) v > lƠn cên V (x0 ) cho: |f (x0 ) − f (x”)| < ε, ∀x0 , x” ∈ V (x0 ); x0 , x 6= x0 Tẵnh chĐt 1.6 Cho x→x lim f (x) x→x0 â: x→x lim [f (x) ± g(x)] = A ± B; lim [f (x).g(x)] = A.B xx hỳu hÔn.Khi v náu B 6= th¼ = A, lim g(x) = B; A, B 0 f (x) A lim = x→x0 g(x) B sinx Vẵ dử 1.5 Chựng minh rơng x0 lim = x Chùng minh H m f (x) = sinx khæng xĂc nh tÔi im x0 = x xĂc nh tÔi lƠn cên cừa nõ chng hÔn V (x0 ) = x : < |x| < π Tr÷íng hđp 1: < x < , tø h¼nh v³ ta câ: S4AOM < SquatAOM < S4AOT 1 d < OA.AT (1.1) ⇔ OA.M H < OAAM 2 d < AT ⇔ sinx < x < tanx ⇔ < sinx < ⇔ M H < AM x cosx −π π Tr÷íng hđp 2: < x < 0, °t x = −t ⇒ < t < 2 sin(−t) sint π V¼ cosx = cos(−t) = cost; sinx = = v  < t < n¶n x t t (1.1) văn úng < x < sinx Do lim = ⇒ lim = x→0 cosx x→0 x 1.2 Sü liản tửc cừa hm mởt bián 1.2.1 CĂc nh nghắa nh nghắa 1.5 Hm f(x) ữủc gồi l liản tửc tÔi im x0 náu nõ thọa mÂn hai iÃu kiằn: i) f(x) xĂc nh tÔi x0 v lƠn cên ii) lim = f (x0 ) iºm x0 â gåi l  iºm li¶n tưc cõa y = f(x) x→x0 ành nghắa 1.6 Hm f(x) ữủc gồi l liản tửc trĂi (hoc phÊi) tÔi im x0 náu nõ thọa mÂn hai iÃu kiằn sau: i) f(x) xĂc nh tÔi x0 v lƠn cên trĂi hoc phÊi cừa im x0 ii) f (x0 − 0) = f (x0 ) ho°c f (x0 + 0) = f (x0 ) ành ngh¾a 1.7 Hm f(x) ữủc gồi l liản tửc trản oÔn [a, b] náu nõ liản tửc tÔi x (a, b) v liản tửc phÊi tÔi x = a, liản tửc trĂi tÔi x = b 1.2.2 CĂc tẵnh chĐt cừa hm liản tửc trản oÔn Tẵnh chĐt 1.7 Cho f(x) l  h m sè li¶n tưc tr¶n [a,b] v  f (a).f (b) < Khi â ∃c ∈ (a, b) : f (c) = Chùng minh Khỉng gi£m t½nh têng qu¡t ta gi£ thi¸t f(a) < 0; f(b) > °t α0 = a, β0 = b ⇔ f (α0 ) < 0; f (β0 ) > α0 + β0 °t u0 = , n¸u f (u0 ) = thẳ c = u0 , náu f (u0 < 0) th¼ °t α1 = u0 , β1 = cỏn náu f (u0 > 0) thẳ t = , = u0 Ta lÔi xt [α1 , β1 ] v  câ f (α1 ).f (β1 ) < + v quĂ trẳnh tiáp diạn vợi thuêt toĂn lp lÔi.Nhữ Tiáp tửc t u1 = n + n vêy ta s nhên ữủc [αn , β(n)], un = N¸u f (un ) = th¼ c = un v  c ch¿ l nghiằm cừa phữỡng trẳnh f(x) = Náu f (un ) < th¼ ta °t αn+1 = un , βn+1 = βn ; cán n¸u f (un > 0) th¼ °t αn+1 = αn , βn+1 = un Tiáp tửc quĂ trẳnh ny vổ hÔn ta nhên ữủc dÂy số n , n hởi tử v cõ chung giợi hÔn l c Tứ Ơy ta nhên ữủc f(c) = v cõ iÃu phÊi chựng minh Tẵnh chĐt 1.8 (Weierstrass 1) Náu hm số f(x) liản tửc trản oÔn [a, b] thẳ nõ s b chn trản oÔn Đy Tẵnh chĐt 1.9 ( Weierstrass 2) Náu hm số f (x) liản tửc trản oÔn [a,b] thẳ nõ Ôt giĂ tr lợn nhĐt, giĂ tr nhọ nhĐt trản oÔn Đy Tẵnh chĐt 1.10 Náu hm số f(x) liản tửc trản oÔn [a, b] v µ ∈ [m, M ] m = f (x), M = maxf (x) th¼ ∃ξ ∈ (a, b) : f () = 1.3 CĂc nh lỵ và hm khÊ vi 1.3.1 nh lỵ Fecmat nh lỵ 1.1 GiÊ sû h m y = f (x) x¡c ành kho£ng (a, b) Náu f (x) Ôt cỹc tr tÔi mởt im c (a, b) v náu tÔi c tỗn tÔi Ôo hm hỳu hÔn f (c) thẳ f (c) = 1.3.2 nh lỵ Rolle nh lỵ 1.2 Cho h m sè y = f (x) x¡c ành liản tửc trản oÔn [a; b] v khÊ vi kho£ng (a;b) gi£ sû f (a) = f (b) õ tỗn tÔi c (a; b) cho f 0(c) = Chựng minh Theo tẵnh chĐt cừa hm li¶n tưc ⇒ ∃M = max f (x), m = minf (x) Khi â câ hai kh£ n«ng x£y ra: hoc cÊ giĂ tr M, m Ôt tÔi mót a,b tùc l : f (a) = f (b) = m = M ⇒ f (x) = C(const), ∀x ∈ (a; b) ⇒ f (n) = 0, ∀x ∈ (a; b) ⇒ f (x) = 0, ∀x ∈ (a; b) hoc cõ mởt giĂ tr Ôt tÔi c (a; b) v theo nh lỵ Fecmat ta cõ f (c) = V½ dư 1.6 Cho f (x) = (x − 1)(x − 2) (x − 2014) Chựng minh rơng phữỡng trẳnh f 0(x) = cõ óng 2013 nghi»m Chùng minh Ta câ f1 = f2 = = f2014 p dửng nh lỵ Rolle cho cĂc oÔn [1; 2]; [2; 3]; ; [2013; 2014] ⇒ ∃c1 ∈ [1; 2]; c2 ∈ [2; 3]; ; c2013 ∈ [2013; 2014] cho f (c1 ) = 0, f (c2 ) = 0, , f (c2013 ) = Ta lÔi cõ f(x) l  a thùc bªc 2014 ⇒ f (x) l  a thùc bªc 2013 ⇒ f (x) = câ óng 2013 nghi»m C1 ; C2 ; C3 ; ; C2013 Vẵ dử 1.7 Chựng minh rơng phữỡng tr¼nh f (x) = x2 − xsinx − cosx =     −Π Gi£i V¼ f > 0, f (0) < 0, f Π2 > õ theo tẵnh chĐt cừa hm liản tửc f(x) = cõ ẵt nhĐt nghiằm Náu f(x) = cõ vổ số nghiằm lợn hỡn hoc bơng thẳ theo nh lỵ Rolle f , (x) = cõ ẵt nhĐt nghiằm vẳ f , (x) = 2x − sinx − xcosx + sinx = x(2 − cosx) = ch¿ câ nghi»m x = Do â f(x) = ch¿ câ óng hai nghiằm 1.3.3 nh lỵ Lagrange nh lỵ 1.3 Cho hm sè y = f (x) x¡c ành, li¶n tưc tr¶n [a, b] v  kh£ vi (a, b), â tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt im c (a, b) cho f (b) − f (a) f (c) = b−a − f (a) Chùng minh X²t h m bê trñ h(x) = f (x) − f (a) − (x − a) f (b)b − a ∀x ∈ [a, b] ThĐy rơng hm h(x) thọa mÂn nh lỵ Rolle n¶n ∃c ∈ (a, b): h0 (c) = f (b) − f (a) f (b) − f (a) ⇒ h0 (c) = f (c) − = → V¼ h0 (x) = f (x) − b−a b−a f (b) − f (a) f (c) = , c ∈ (a, b) b−a V½ dư 1.8 Cho < b < a, chùng minh: a −a b < ln ab < a −b b Chùng minh X²t h m sè f (x) = lnx tr¶n[a, b]: f(x) li¶n tửc trản oÔn [b, a], f (x) = 1, x (b, a) Khi õ theo nh lỵ Lagrange ∃c ∈ (b, a) v(x).u, (x) − u(x)v , (x) Chùng minh Ta câ y (x) = ⇒ y , (x0 ) = v (x) u, (x0 ) , , ⇒ v(x0 ).u (x0 ) = u(x0 ).v (x0 ), v(x0 ) 6= ⇒ y(x0 ) = , v (x0 , Gi£i c¥u 53: u(x) = x2 − mx + 1, v(x) = x − ⇒ v , (x) = 6= 0, ∀x 2x1 − m y , (x1 ) = 0, y , (x2 ) = p döng bê · ⇒ |y(x1 ) − y(x2 )| = | − 2x2 − m | = 2|x1 − x2 | Vỵi gi¡ trà n o cõa m th¼ h m sè (*) câ cỹc Ôi, cỹc tiu cho CƠu 54 |yCD yCT | = Gi£i H m sè (*) câ cüc Ôi, cỹc tiu y, = v ời dĐu ⇔ f (x) m − = (ii) câ nghi»m ph¥n bi»t kh¡c ⇒ i·u ( = x − 2x + ( 4, > 2−m>0 ki»n ⇔ ⇔ m < f (1) 6= m 6= Khi â |yCD − yCT | = ⇔ |y(x1 ) − y(x2 )| = ⇔ 2|x1 − x2 | = ⇔ (x1 − x2 )2 = 16 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 16 â x1 , x2 l  nghi»m cõa (ii) Theo Vi²t ta câ: − 4(m − 1) = 16 ⇔ −4m = ⇔ m = CƠu 55 Tẳm iÃu kiằn  ỗ th (*) cưt Ox tÔi im cõ honh ở x1, x2 cho tiáp tuyán tÔi x1 vuổng gõc vợi tiáp tuyán tÔi x2 GiÊi ỗ th (*) cưt Ox tÔi im ( x1 , x2 x (− mx + = câ nghi»m ph¥n bi»t kh¡c ⇒ i·u ki»n m 6= ⇔ m 6= ⇔ |m| > 4>0 m2 − > Tiáp tuyán tÔi x1 vuổng gõc vợi tiáp tuyán tÔi x2 y , (x1 ).y , (x2 ) = ; cõ Ôo hm tÔi x0, giĂ tr cừa hm tÔi Bờ à 2.2 Cho hm sè y = u(x) v(x) x0 l  u, (x0 ) y(x0 ) = ⇒ y (x0 ) = ) v(x0 , v(x).u, (x) − u(x).v , (x) Chùng minh y (x) = v (x) u, (x0 ) u(x0 ) v , (x0 ) u, (x0 ) , ⇒ y (x0 ) = − = v(x0 ) v(x0 ) v(x0 v(x0 ) , p dửng bờ Ã:yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng Tứ Ơy dũng Vit ta giÊi m 28 2x1 − m 2x2 − m =1 x1 x2 CƠu 56 Vợi giĂ tr no m thẳ ỗ th (*) nhên I(1,1) l m t¥m èi xùng Gi£i Ta câ y = x + − m + 2x−−m1 Vªy y = x + m l tiằm cên xiản,x - l tiằm cƠn ựng giao cừa tiằm cên J(1,2 - m) l tƠm ối xựng cừa ỗ th(*).Vêy I(1,1)l tƠm ối xựng cừa ỗ th(*) I J ⇒ − m = ⇒ m = −1 CƠu 57 Vợi giĂ tr no m thẳ tiằm cên xiản cừa ỗ th (*) tÔo vợi trửc toa ở mởt tam giĂc cõ diằn tẵch bơng GiÊi + Tiằm cên xiản giao vợi Ox tÔi E(m - 1,0) + Tiằm cên xiản giao vợi Oy tÔi F(0,1 - m) 1 Di»n t½ch tam gi¡c: S = |xE |.|yF | = (m − 1)2 = 2 " m=3 ⇒ (m − 1)2 = ⇒ m − = ±2 ⇒ m = −1 Vỵi giĂ tr no m thẳ tiằm cên xiản cừa ỗ th (*) tiáp xúc vợi ữớng trỏn tƠm O(0,0) bĂn kẵnh R = CƠu 58 GiÊi + Tiằm cên xiản y = x + m x − y + − m = √ + Tiằm cên xiản tiáp xúc vợi ữớng trỏn tƠm O(0,0) b¡n k½nh R = √ |1 − m| √ ⇔ kc(O, T CX) = ⇔ √ = ⇔ |m − 1| = 2 " √ m=3 ⇔m−1=± 2⇔ m = −1 √ Vỵi gi¡ trà no m thẳ hm số (*) thọa mÂn |y| 2, x 6= CƠu 59 GiÊi Yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng tẳm m  phữỡng trẳnh x − mx + = y (iii) væ nghi»m ∀y : −2 < y < x−1 ⇔ x2 − (y + m)x + + y = væ nghi»m ∀y : −2 < y < ⇔ < 0, ∀y : −2 < y < ⇔ (y + m)2 − 4(1 + y) < 0, ∀y ∈ (−2, 2) ⇔ f (y) = y + 2(m − 2)y + m2 − < 0, ∀y ∈ (−2, 2) + TH1: 4, ≤ ⇒ f (y) ≥ 0, ∀y khỉng thäa m¢n + TH2: 4, > ⇒ f (y) câ nghi»m y1 < y2 v cõ sỹ phƠn dĐu 29  f(y) < ∀y ∈ ( (−2, 2) ta ph£i câ y1 ⇔ f (x) = x2 − 2x + m − ≥ 0, ∀x > +TH1: 4, = − m ≤ ⇔ m ≥ ⇒ f (x) ≥ 0, ∀x ⇒ f (x) ≥ 0, ∀x > +TH2: 4, > 0, f (x) câ nghi»m x1 < x2 v cõ sỹ phƠn dĐu 4, >    1.f (2) ≥ º f (x) ≥ 0, ∀x > ta ph£i câ x1 < x2 ≤ ⇒ i·u ki»n   S   3m 3m Vỵi giĂ tr no cừa m hm số ỗng bián trản [2, +) CƠu 28 CƠu 29 Vợi giĂ tr no cừa m hm số ỗng bián trản [, 0) CƠu 30 Vỵi gi¡ trà n o cõa m h m sè nghàch bián trản [0, 1] CƠu 31 Vợi giĂ tr no cừa m ỗ th (***) cõ cỹc Ôi, cỹc tiu Viát phữỡng trẳnh ữớng thng qua im cỹc Ôi, cỹc tiu CƠu 32 Vợi giĂ tr no cừa m h m sè (***) câ C,CT: xCD , xCT > CƠu 33 Vợi giĂ tr no cừa m hm số (***) cõ C, CT v ữớng thng qua cỹc Ôi, cỹc tiu tÔo vợi trửc toa ở mởt tam giĂc cõ diằn tẵch bơng 2014 CƠu 34 Vợi giĂ trà n o cõa m h m sè (***) câ C, CT v  c¡c iºm cüc trà c¡ch ·u gèc tåa ë O(0,0) Gi£i y = x3 − 3mx2 + 3(m − 1)x + y , = 3x2 − 6mx + 3(m − 1) y , = ⇔ x2 − 2mx + m − = º h m sè cõ cỹc Ôi, cỹc tiu thẳ: 4, > m2 m + > thọa mÂn Phữỡng trẳnh ữớng thng qua cỹc Ôi, cỹc tiu: y = (2m − − 2m2 )x + (2 + m2 − m) Gåi A(x1 , y1 ); B(x2 , y2 ) l tồa ở cừa hai im cỹc Ôi, cỹc tiu Yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng OA = OB ⇔ OA2 = OB ⇔ x21 = x22 ⇔ (x1 − x2 )(x1 + x2 ) = ⇔ (x1 − x2 ).2m = Ta câ: (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 √ ⇔ x1 − x2 = m2 − m + > ⇒ 2m = ⇒ m = 36 Vêy vợi m = thẳ cĂc im cỹc Ôi v cỹc tiu cĂch Ãu O(0,0) CƠu 35 Vợi giĂ tr no cừa m ỗ th (***) câ iºm cüc trà v  mët hai iºm thuởc Ox CƠu 36 Tẳm m  C, CT cừa hm số (***) nơm trản ữớng thng y = 2x CƠu 37 ỗ th (***) cõ luổn tiáp xúc vợi mởt ữớng cong cố nh khổng? CƠu 38 Vợi giĂ tr no cừa m thẳ hm số (***) nghch bián trản oÔn cõ ở di bơng CƠu 39 Tẳm m  hm số (***) cõ cỹc tr tÔi x1, x2 : x1 < −1 < x2 Gi£i y = x3 − 3mx2 + 3(m − 1)x + y, = f (x) = 3x2 − 6mx + 3(m 1) Yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng y , cõ nghiằm phƠn biằt thọa mÂn x1 < < x2 ⇔ a.f (−1) < ⇔ 3.3m < m < CƠu 40 Tẳm m  ỗ th (***) giao Ox tÔi im phƠn biằt CƠu 41 Vợi giĂ tr no cừa m thẳ ỗ th (***) cưt Ox tÔi im phƠn biằt cõ honh ở lợn hỡn CƠu 42 Vợi giĂ tr no cừa m thẳ ỗ th (***) cưt Ox tÔi iºm ph¥n bi»t câ ho nh ë nhä hìn CƠu 43 Vợi giĂ tr no cừa m thẳ ỗ th (***) cưt Ox tÔi im cõ honh ở lỵn hìn 0, mët iºm câ ho nh ë nhä hìn CƠu 44 Vợi giĂ tr no cừa m thẳ ỗ th (***) cưt Ox tÔi im cõ honh ë nhä hìn 0,1 iºm câ ho nh ë lỵn hìn CƠu 45 Vợi giĂ tr no cừa m thẳ ỗ th (***) cưt Ox tÔi im phƠn biằt cõ honh ở nhọ hỡn CƠu 46 Vợi giĂ tr no cừa m thẳ ỗ th (***) cưt Ox tÔi v ch im GiÊi Phữỡng trẳnh honh ë giao iºm cõa (***) v  Ox l : x3 − ( 3mx + 3(m − 1)x + = x=1 ⇔ x2 + (1 − 3m)x − = (2)  (***) giao vợi Ox tÔi iºm v  ch¿ iºm ⇔ (2) câ nghi»m x = ho°c væ nghi»m TH1: (2) væ nghi»m < ⇔ 9m2 − 6m + < m  ta câ 9m2 − 6m + = (3m − 1)2 + > Do â khæng câ gi¡ trà cõa m thäa m¢n 37   4=0  9m2 − 6m + = TH2: (2) câ nghi»m x = ⇔ ⇔  3m − =  3m − = 2 2 m  ta câ 9m − 6m + = (3m − 1) + > Do â khæng câ gi¡ trà cõa m thäa mÂn CƠu 47 Vợi giĂ tr no cừa m thẳ ỗ th (***) cưt Ox tÔi im v tiáp xúc vợi Ox tÔi im khĂc CƠu 48 Vợi giĂ tr no cừa m thẳ ỗ th (***) cưt Ox tÔi im phƠn biằt cõ honh ở x1 , x2 , x3 : x21 + x22 + x23 > 10 Gi£i y = x3 − 3mx2 + 3(m 1)x + Phữỡng trẳnh honh ở giao im cõa (***) v  Ox l : x3 − ( 3mx + 3(m − 1)x + = x=1 ⇔ x2 + (1 − 3m)x − = (2)  ỗ th (***) cưt Ox tÔi 3(im phƠn biằt thẳ (2) cõ nghiằm phƠn biằt ( 4>0 9m2 − 6m + > kh¡c ⇔ ⇔ ⇔ m 6= (∗) −3m 6= −3m 6= Theo b i ta câ: x21 + x22 + x23 > 10 x21 + x22 + > 10 ⇔ x21 + x22 > (x1  + x2 )2 − 2x1√x2 > ⇔ 9m2 − 6m − >  1−  m< 3√ ⇒  +  m>  √  −  m< 3√ K¸t hđp i·u ki»n (*) ta ÷đc  +  m> Tẳm trản Oy nhỳng im m ỗ th (***) khổng bao giớ i qua CƠu 49 CƠu 50 Vợi giĂ tr no cừa m thẳ ỗ th (***) nghch bián trản mởt oÔn cõ ở di bơng 38 2.4 Mët sè · thi håc sinh giäi C¥u Cho h m sè y = 13 + (m − 1)x2 + (4 3m)x + cõ ỗ th l (Cm ), m l  tham sè T¼m c¡c gi¡ trà cừa m  trản (Cm ) cõ nhĐt mởt im cõ honh ở Ơm m tiáp tuyán cừa (Cm ) tÔi im õ vuổng gõc vợi ữớng thng (d): x + 2y = (· thi chån håc sinh giäi lỵp 12 váng b£ng A t¿nh Long An.) Gi£i Ta câ y, = mx2 + 2(m − 1)x + 3m Tiáp tuyán vợi (Cm cõ hằ số gõc bơng nản ta cõ: mx2 + 2(m − 1)x + − 3m = (∗) Y¶u cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng (*)" cõ úng nghiằm ¥m x=1 ⇔ (x − 1)(mx + 3m − 2) = ⇔ mx = − 3m Vỵi m = 0.x = (loÔi) m thọa mÂn yảu cƯu bi toĂn Cho h m sè y = x3 + 2mx2 − 3x (1) v ữớng thng (4) l CƠu y = 2mx vợi m l tham số Tẳm m  ữớng thng (4) v ỗ th hm số (1) cưt tÔi im phƠn biằt A, B, C cho diằn tẵch tam giĂc OBC bơng 17 (vợi A l  iºm câ ho nh ë khæng êi v  O l  gèc tåa ë) (· thi chån håc sinh giäi lợp 12 tnh HÊi Dữỡng.) GiÊi Honh ở giao im cừa ỗ th hm số (1) v (4) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh: x3 + 2mx2 3x = 2mx − ⇔ x3 + 2mx2 − (2m + 3)x + = ⇔ (x " − 1)(x + (2m + 1)x − 2) = x=1 ⇔ x2 + (2m + 1)x − 2) = (2) (4) v ỗ th hm số (1) cưt nhat tÔi im phƠn biằt phữỡng trẳnh 39 ( (2) câ nghi»m ph¥n bi»t x 6= ⇔ (2m + 1)2 + > ⇔ m 6= + 2m + − 6= Khi â giao iºm l  A(1, 2m − 2); B(x1 , 2mx1 − 2); C(x2 , 2mx2 − 2) Ta câ: S4OBC = BC.d â d = d(0; 4) = √ + 4m2  2 2 BC = (x1 − x2 ) + (2mx1 − 2mx2 ) = (x1 + x2 ) − 4x1 x2 (4m2 + 1) p ⇒ BC = [(2m + 1)2 + 8] (4m2 + 1) p ⇒ S = (2m + 1)2 + √ √ √ Vªy" S = 17 ⇔ 4m2 + 4m + = 17 m=1 ⇔ m = −2 2x + Cho hm số y = cõ ỗ th (C) v ữớng th¯ng (d) l  x+2 y = −2x + m Chùng minh rơng (d) cưt (C) tÔi im phƠn biằt A, B vợi CƠu mồi số thỹc m Gồi k1 , k2 lƯn lữủt l hằ số gõc cừa tiáp tuyán cừa (C) tÔi A v B Tẳm m  P = (k1 )2013 + k2 )2013 Ôt giĂ tr nhọ nhĐt (à thi chồn hồc sinh giọi lợp 12 tnh HÊi Dữỡng.) GiÊi Xt phữỡng trẳnh honh"ở giao iºm cõa (C) v  (d): 2x + = −2x + m ⇔ x+2 x 6= −2 2x2 + (6 − m)x + − 2m = (∗) X²t phữỡng trẳnh (*) ta cõ: > 0, m R v  x = −2 khæng l  nghi»m cõa (*) nản (d) luổn cưt (C) tÔi im phƠn biằt A, B vỵi ∀m 1 H» sè gâc cõa tiáp tuyán tÔi A v B l: k1 = ; k = (x1 + 2)2 (x2 + 2)2 õ x1 , x2 l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (*) 1 = Ta th§y k1 k2 = (x1 + 2)2 (x2 + 2)2 (x1 x2 + 2(x1 x2 ) + 4)2 = 4(k1 > 0, k2 ) > p P = (k1 )2013 + k2 )2013 ≥ (k1 k2 )2013 = 22014 , â Min P = 2014 Ôt 1 ữủc k1 = k2 ⇔ = k = ⇔ (x1 + 2)2 = (x2 + 2)2 2 (x1 + 2) (x2 + 2) ⇔ x1 + x2 = −4 ⇔ m = Vêy m = -2 l giĂ tr cƯn tẳm 40 KT LUN Luên vôn trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn và giợi hÔn, tẵnh liản tửc, tẵnh khÊ vi cừa hm mởt bián Trản cỡ s õ tĂc giÊ  xƠy dỹng v giÊi bi toĂn tờng hủp và hm phƠn thực bêc hai trản bêc nhĐt ỗng thới ữa bi toĂn tờng hủp và hm bªc ba C¡c b i to¡n têng hđp n y gióp gi¡o viản v hồc sinh phờ thổng cõ cĂi nhẳn bao qu¡t xung quanh lỵp c¡c h m sè a thùc v  phƠn thực ữủc hồc têp v nghiản cựu chừ yáu chữỡng trẳnh phờ thổng 41 Ti liằu tham khÊo [1] S M Nikolsky, A course of Mathematical Analysis, Vol 1, Mir publishers, 1981 [2] à thi tuyn sinh Ôi håc (1970 - 2014) [3] P E anko, A Y Porop, T la Cogiepnhicova, Bi têp toĂn hồc cao cĐp, Nh xuĐt bÊn "Mir" Maxcova [4] Nguyạn Cam, GiÊi toĂn Ôo hm v khÊo sĂt hm số, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc Quốc gia H Nởi, 1999 [5] Nguyạn Vôn Qúy, Nguyạn Tián Dụng, Nguyạn Viằt H, KhÊo số 42 s¡t h m