CHUYÊN ĐỀ: PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Để cộng trừ hai đa thức biến ta thực theo hai cách sau: Cách 1: Thực theo cách cộng, trừ đa thức học Cách 2: Sắp xếp hạng tử hai đa thức theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) biến, đặt phép tính theo cột dọc tương tự cộng, trừ số (chú ý đặt đơn thức đồng dạng cột) PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Cộng trừ đa thức biến I Phương pháp giải: Bước 1: Viết phép tính A B Bước 2: Bỏ dấu ngoặc, nhóm hạng tử bậc thu gọn Bước 3: Thực phép tính II Bài tốn * Nhận biết Bài Cho hai đa P(x) x4 2x3 x 2; Q(x) 2x4 x3 x2 1 Tính tổng hai đa thức thức theo cách Cách 1: Lời giải: 4 P(x) Q(x) (x 2x x 2) (2x x x2 1) 4 x 2x x 2x x x 1 4 3 x 2x (2x x ) x x 2 1 x4 x3 x2 x 1 Cách 2: P(x) x4 2x3 x2 Q(x) 2x4 x3 x2 P(x) Q(x) x4 1 x3 x2 x Bài Cho hai đa thức: P x 2x3 3x2 x ; Q x = x3 x2 2x 1 Tính P x Q x ; P x Q x Lời giải: P x Q x 2x 3x x x x 2x 1 3 2x3 3x2 x x3 x2 2x 1 3x3 4x2 3x 1 P x Q x 2x 3x2 x x x2 2x 1 2x3 3x2 x x3 + x2 2x 1 x3 2x2 x 1 Bài Cho hai đa thức: P x 2x4 2x3 3x2 x ; Q x x4 x3 x2 2x 1 Tính P x Q x ; P x Q x Lời giải : P x Q x 2x 2x3 3x2 x 6 x x3 x2 2x 1 2x4 2x3 3x2 x x4 x3 x2 2x 1 3x4 x3 4x2 3x P x Q x 2x 2x3 3x2 x 6 x x3 x2 2x 1 2x4 2x3 3x2 x x4 + x3 + x2 2x 1 x4 3x3 2x2 x Bài Cho hai đa thức: P x x3 2x2 x Q x x3 2x2 3x Tính P x Q x ; P x Q Lời giải: x 3 P x Q x x 2x x 5 x 2x2 3x 9 x3 2x2 x x3 2x2 3x 4x 14 P x Q x x 2x2 x 5 x 2x2 3x 9 x3 2x2 x x3 2x2 3x+9 2x3 4x2 2x +4 Bài Cho hai đa thức: P x 5x3 x2 x 3; Q x x3 2x2 3x Tính P x Q x ; P x Q Lời giải: x P x Q x 5x x x 3 x 2x 3x 2 3 5x3 x2 x x3 2x2 3x 6x3 x2 +2x P x Q x 5x3 x2 x 3 x 2x2 3x 2 5x3 x2 x x3 +2x2 3x 4x3 3x2 4x 1 * Thông hiểu Bài Cho hai đa thức F (x) 3x2 2x G(x) 3x2 2x Tính tìm bậc H (x) Lời giải: H (x) F(x) G(x) Ta H (x) F (x) G(x) 3x2 2x 5 3x2 2x 2 3x2 2x 3x2 2x 3 có Vậy H (x) 3 bậc H (x) Bài Cho hai đa thức F (x) 3x2 2x G(x) 3x2 2x K (x) F (x) G(x) Tính tìm bậc K (x) Lời giải: Ta có: K (x) F (x) G(x) 3x2 2x 5 3x2 2x 2 3x2 2x 3x2 2x 6x 4x Vậy K (x) 6x2 4x bậc K (x) Bài Cho hai đa F (x) x5 3x4 x2 thức G(x) 2x4 7x3 x2 F (x) G(x) Tính xếp kết theo lũy thừa tăng dần biến Lời giải: Ta có F (x) G(x) x 3x4 x2 5 2x 7x3 x2 6 x5 3x4 x2 2x4 7x3 x2 x5 5x4 7x3 2x2 11 Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần biến ta 11 2x2 7x3 5x4 x5 Bài Cho P(x) 5x4 4x3 3x2 2x 1 Q(x) x4 2x3 3x2 4x Tính P(x) Q(x) tìm bậc đa thức thu Lời giải: Ta có P(x) Q(x) 5x4 4x3 3x2 2x 1 x 2x3 3x2 4x 5 5x4 4x3 3x2 2x 1 x4 2x3 3x2 4x 4x4 6x3 6x2 6x Bậc đa thức P(x) Q(x) 4x4 6x3 6x2 6x Bài 10 Cho P(x) 3x4 6x 6x4 2x2 x Q(x) x4 3x3 5x2 2x3 5x Tính P(x) Q(x) tìm bậc đa thức thu Lời giải: Ta có P(x) Q(x) 3x4 6x 3x4 6x 6x4 2x2 x x 3x3 5x2 2x3 5x 3 6x4 2x2 x x4 3x3 5x2 2x3 5x 10x4 x3 3x2 12x Bậc đa P(x) Q(x) 10x4 x3 3x2 12x thức * Vận dụng Bài 11 Cho hai đa thức: P x 2x4 3x3 3x2 x4 4x 2x2 6x Q x x4 3x2 5x 1 x2 3x x3 a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến b) Tính P(x) Q(x); P(x) Q(x) Lời giải: a) Ta có: P x 2x4 3x3 3x2 x4 4x 2x2 6x 2x x4 3x3 3x2 2x2 4x 6x x4 3x3 x2 2x ; Q x x4 3x2 5x 1 x2 3x x3 x4 x3 3x2 x2 5x 3x 1 x4 x3 2x2 2x +1 b) Ta có : P(x) Q(x) x4 3x3 x2 2x 2 x x3 2x2 2x + 1 2x4 4x3 3x2 4x ; P(x) Q(x) x 3x3 x2 2x 2 x x3 2x2 x +1 2x3 x2 1 Bài 12 Cho hai đa thức: P x 5x3 3x2 x4 2x 2x2 x Q x 2x4 x2 2x 3x2 5x 2x3 x4 a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến b) Tính P(x) Q(x); P(x) Q(x) Lời giải: a) P x 5x3 3x2 x4 2x 2x2 x x4 5x3 3x2 2x2 2x x 3 2 x4 5x3 x2 x 1; Q x 2x4 x2 2x 3x2 5x 2x3 x4 2x x4 2x3 x 3x2 2x 5x x4 2x3 2x2 3x b) P x Q x x 5x3 x2 x 1 x 2x3 2x2 3x 2 P x Q x x4 5x3 x2 x 1 x4 2x3 2x2 3x P x Q x 2x4 7x3 3x2 4x 3; P x Q x x 5x3 x2 x 1 x 2x3 2x2 3x 2 P x Q x x4 5x3 x2 x 1 x4 2x3 2x2 3x P x Q x 3x3 x2 2x 1 Bài 13 Cho đa thức: F x 3x4 3x2 12 3x4 x3 2x 3x 15 ; G x x3 5x4 2x 3x2 5x4 12x x2 a) Thu gọn xếp hạng tử hai đa thức theo thứ tự giảm dần biến b) Cho biết hệ số cao hệ số tự đa thức c) Tính M x F x G x ; N x G x F x Lời giải: a) Thu gọn xếp hạng tử hai đa thức theo thứ tự giảm dần biến F x 3x4 3x2 12 3x4 x3 2x 3x 15 3x4 3x4 x3 3x2 2x 3x 15 12 G x3 3x2 x 3; x x3 5x4 2x 3x2 5x4 12x x2 5x4 5x4 x3 3x2 x2 2x 12x 3 x3 2x2 14x 1 b) Cho biết hệ số cao hệ số tự đa thức Đa F có hệ số cao 1; hệ số tự 3 thức x Đa thức G x có hệ số cao 1; hệ số tự 1 c) Tính: M x F x G x x 3x2 x 3 x 2x2 14x 1 x3 3x2 x x3 2x2 14x 1 x2 13x ; N x G x F x x 2x2 14x 1 x 3x2 x 3 x3 2x2 14x 1 x3 3x2 x 2x3 5x2 15x Bài 14 Cho hai đa thức: A x x5 8x4 2x3 x 5x4 x2 4x3 B x 3x5 x4 4x 4x3 2x4 3x5 a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến b) Tính A x B x ; A x B Lời giải: x a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến A x x5 8x4 2x3 x 5x4 x2 4x3 A x x5 5x4 8x4 2x 4x3 x2 x A x x5 3x4 2x3 x2 x B x 3x5 x4 4x 4x3 2x4 3x5 B x 3x5 x4 4x 4x3 2x4 3x5 B x 3x5 3x5 x 2x4 4x3 4x B x x4 4x3 4x b) Tính A x B x ; A x B x A x B x x 3x4 2x3 x2 x 5 x 4x3 4x 7 A x B x x5 3x4 2x3 x2 x x4 4x3 4x A x B x x5 3x4 x4 2x 4x3 x2 x 4x 5 7 A x B x x5 4x4 6x3 x2 3x 12 A x B x x 3x4 2x3 x2 x 5 x 4x3 4x 7 A x B x x5 3x4 2x3 x2 x x4 4x3 4x A x B x x5 x 3x4 4x 2x3 x2 x 4x 5 7 A x B x x5 2x4 2x3 x2 5x Bài 15 Cho hai đa thức: P x 4x 1 x2 2x3 x 3x x3 2x2 5 Q x 3x4 2x5 3x 5x4 x5 x 2x3 1 a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến b) Tính P x Q x ; P x Q Lời giải: x a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm,dần biến P x 4x 1 x2 2x3 x 3x x3 2x2 5 P x 4x 1 x2 2x3 x4 3x x3 2x2 P x x4 3x3 x2 x Q x 3x4 2x5 3x 5x4 x5 x 2x3 1 Q x x5 2x4 2x3 2x 1 b) Tính P x Q x ; P x Q x P x Q x x4 3x3 x2 x 6 x 2x4 2x3 2x 1 x4 3x3 x2 x x5 2x4 2x3 2x 1 x5 3x4 5x3 x2 x ; P x Q x x4 3x3 x2 x 6 x 2x4 2x3 2x 1 x4 3x3 x2 x x5 + 2x4 2x3+2x +1 x5 x4 x3 +x2 3x * Vận dụng cao Bài 16 Cho ba đa thức: A x 2x2 3x3 x4 4x 1; B x x3 x4 x2 3x x2 ; C x 6x3 4x 3x4 x2 Tính: a) A x B x C x a) Ta có: b) B x C x A x A x B x C x Lời giải: 2x 3x3 x4 4x 1 x x4 x2 3x x2 6x3 4x 3x4 x2 2x2 3x3 x4 4x 1 x3 x4 x2 3x x2 6x3 4x 3x4 x2 x x4 3x4 3x3 x3 6x3 2x x2 x2 x2 4x 3x 4x 1 2 b) Ta có: x4 10x3 3x2 11x B x C x A x x x4 x2 3x x2 6x3 4x 3x4 x2 2x 3x3 x4 4x 1 x3 x4 x2 3x x2 6x3 4x 3x4 x2 2x2 3x3 x4 4x 1 x 3x4 x4 x 6x3 3x3 x x2 x2 2x2 4x 3x 4x 2 1 2 3x4 4x3 x2 3x Bài 17 Cho hai đa thức: P x 2x3 3x2 P x 3Q x x Q x x3 x2 2x 1 Tính Lời giải: P x 2Q x 2x 3x2 x x x2 2x 1 P x 2Q x 2x3 3x2 x 2x3 2x2 4x P x 2Q x 2x 2x3 3x2 2x2 x 4x P x 2Q x x2 3x ; P x 3Q x 2x 3x2 x x x2 2x 1 P x 3Q x 2x3 3x2 x 3x3 3x2 6x P x 3Q x 2x 3x3 3x2 3x2 x 6x P x 3Q x 5x3 6x2 7x Vậy P x 2Q x x2 3x P x 3Q x 5x3 6x2 7x 2 Bài 18 Cho hai đa thức: P x 5x3 x2 x 3; Q x x3 2x2 3x Tính P x 2Q x ; P x 4Q x Lời giải: P x 2Q x ; P x 2Q x 5x3 x2 x 3 x 2x2 3x 2 5x3 x2 x 2x3 4x2 6x 7x3 3x2 + 5x P x 4Q x 5x3 x2 x 3 x 2x2 3x 2 P x 4Q x 5x3 x2 x 4x3 + 8x2 12x P x 4Q x x3 9x2 13x Bài 19 Cho ba đa thức: P x 5x3 7x2 x 7; Q x 7x3 7x2 2x 5; H x 2x3 4x 1 Tính 2P x Q x H x Lời giải: 2P x Q x H x 2.5x 7x x 7 7x 7x 2x 5 2x 1 4x 2P x Q x H x 10x3 14x2 2x 14 7x3 7x2 2x 2x3 4x 1 2P x Q x H x 5x3 7x2 4x 10 Bài 20 Cho hai đa thức: P x 2x2 x 1 5 x 2 2x x 2 ; Q x x2 2x 3 x x 1 3x 2 a) Thu gọn xếp P x , Q x theo lũy thừa giảm dần biến b) Tính K x P x Q x a) Thu gọn xếp Lời giải: P x , Q x theo lũy thừa giảm dần biến P x 2x2 x 1 5 x 2 2x x 2 P x 2x3 2x2 5x 10 2x2 4x P x 2x3 4x2 x 10 ; Q x x2 2x 3 x x 1 3x 2 Q x 2x3 3x2 x2 x 3x Q x 2x3 4x2 4x b) Tính K x P x Q x K x 2x 4x2 x 10 2x 4x2 4x 2 K x 2x3 4x2 x 10 2x3 4x2 4x K x 4x3 8x2 5x Dạng 2: Tìm biểu thức, tính giá trị biểu thức I Phương pháp giải: Hồn tồn tương tự tốn tìm đa thức học, ta áp dụng quy tắc chuyển vế quy tắc cộng trừ đa thức biến để tìm đa thức M chưa biết II Bài tốn * Nhận biết Bài Tìm đa H biết F(x) H (x) G(x) F (x) x2 x 1; G(x) 2x3 x4 7x5 thức (x) Lời giải: F(x) H (x) G(x) H (x) F(x) G(x) Ta có Mà F (x) x2 x 1; G(x) 2x3 x4 7x5 nên