1 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 12 – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY A Kiến thức: 1) Bổ đề hình thang: “Trong hình thang có hai đáy không nhau, đường thẳng qua giao điểm đường chéo qua giao điểm đường thẳng chứa hai cạnh bên qua trung điểm hai đáy” Chứng minh: Gọi giao điểm AB, CD H, AC, BD G, trung điểm AD, BC E F Nối EG, FG, ta có: ADG CBG (g.g) , nên : (1) Ta lại có : (SL ) Từ (1) (2) suy : Do đó: AEG H (2) CFG (c.g.c) E , G , H thẳng hàng (3) Tương tự, ta có: AEH A E / BFH / D G H , E , F thẳng hàng (4) Tõừ (3) vaø (4) suy : H , E , G , F thẳng hàng // B // F C 2) Chùm đường thẳng đồng quy: Nếu đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song chúng định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ O n * Đảo lại: A m Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy O chúng cắt m A, B, C cắt n A’, B’, C’ A' a B C C' B' b c + Nếu ba đường thẳng có hai đường thẳng cắt nhau, định hai đường thẳng song song cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ba đường thẳng đồng quy + Nếu hai đường thẳng bị cắt ba đường thẳng đồng quy tạo thành cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chúng song song với Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com B p dụng: 1) Bài 1: Cho tứ giác ABCD có M trung điểm CD, N trung điểm CB Biết AM, AN cắt BD thành ba đoạn Chứng minh ABCD hình bình hành Giải Gọi E, F giao điểm AM, AN với BD; G, H giao điểm MN với AD, BD MN // BC (MN đường trung bình BCD) A D Tứ giác HBFM hình thang có hai cạnh bên G F đòng quy A, N trung điểm đáy BF nên theo bổ đề hình thang N trung điểm đáy MH M E B MN = NH (1) Tương tự : hình thang CDEN M trung điểm GN GM = MN (2) C N H Từ (1) vaø (2) suy GM = MN = NH Ta có BNH = Tương tự: CNM (c.g.c) GDM = BH // CM hay AB // CD (a) NCM (c.g.c) GD // CN hay AD // CB (b) Từ (a) (b) suy tứ giác ABCD có cặp cạnh đối song song nên hình bình hành 2) Bài 2: Cho ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự tạ P, Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Chứng minh: HM PQ A N P H Giải Q K Gọi giao điểm AH BC I Từ C kẻ CN // PQ (N ta chứng minh MH AB), CN M B HM I C PQ Tứ giác CNPQ hình thang, có H trung điểm PQ, hai cạnh bên NP CQ đồng quy A nên K trung điểm CN MK đường trung bình BCN MK // CN MK // AB (1) H trực tâm ABC nên CH Từ (1) (2) suy MK Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word CH toán A B (2) MK đường cao zalo: CHK (3) Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Từ AH BC MC HK MI đường cao Từ (3) (4) suy M trực tâm CHK CHK (4) MH CN MH PQ 3) 3: Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự trung điểm AD, BC Gọi E điểm thuộc tia đối tia DC, K A B giao điểm EM AC K Chứng minh rằng: NM tia phân giác N // Giải Gọi H giao điểm KN DC, giao điểm AC MN I IM = IN H I // M D C E Ta coù: MN // CD (MN đường trung bình hình chữ nhật ABCD) Tứ giác EMNH hình thang có hai cạnh bên EM HN đồng quy K I trung điểm MN nên C trung điểm EH Trong ENH NC vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên cân N NC tia phân giác mà NC MN (Do NM AB) NM tia phân giác góc N ENH ENH BC – MN // Vậy NM tia phân giác Bài 4: Trên cạnh BC = cm hình vuông ABCD lấy điểm E cho BE = cm Trên tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = cm Gọi M giao điểm AE BF Tính Giải A Gọi giao điểm CM AB H, AM DF G Ta có: B H M E D C F G Ta laïi coù FG = cm BAE = BH = BE BCH (c.g.c) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu mà word tốn zalo: = 900 Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Mặt khác = 900 = 900 Bài 5: Cho tứ giác ABCD Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ đường thẳng song song với BD, cắt cạnh lại tứ giác F, G a) Có thể kết luận đường thẳng EH, AC, FG b) Gọi O giao điểm AC BD, cho biết OB = OD Chứng minh ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy Giải a) Nếu EH // AC EH // AC // FG B Nếu EH AC không song song EH, AC, FG đồng quy E A b) Gọi giao điểm EH, HG với AC Trong hình thang DFEB có hai cạnh bên DF, BE đồng quy A OB = OD nên theo bổ đề hình thang M trung điểm EF Tương tự: N trung điểm GH Ta có Liên hệ tài 039.373.2038 F H M O N D G C nên ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy O liệu word toán zalo: Tài liệu toán học