BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHỦ ĐỀ 8: ƯỚC VÀ BỘI A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Nhắc lại quan hệ chia hết: Nếu a = b.q ( b ≠ ) ta nói a M b Định nghĩa Ước Bội : Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b : a bội b b ước a Tức : a Mb ⇒ a bội b ⇒ b ước a Cách tìm ước bội: * Tập hợp ước a – kí hiệu Ư(a) Tập hợp bội b – Kí hiệu B(b) * Qui tắc tìm bội b: Muốn tìm bội b ta nhân b với số ; ; ; ; … Tích tìm bội b Ví dụ : Tìm bội mà nhỏ 40 Ta nhân với số ; ; ; ; ; ; ta bội nhỏ 40 : ; ;12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 * Qui tắc tìm ước a: Ta tìm ước a cách chia a cho số từ đến a Khi a chia hết cho số số ước a Ví dụ: Viết tập hợp Ư(28) Ư(28) = {1 ; ; ; ; 14; 28} B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: DẠNG TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tìm tất số có hai chữ số là: a) Bội 32 b) Bội 41 Hướng dẫn a) Nhân 32 với số tự nhiên 1, 2, 3, … => Nhận B(32) có chữ số {32, 64, 96} b) Nhân 41 với số tự nhiên 1, 2, 3, … => Nhận B(41) có chữ số {41, 82} BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài 2: Tìm tất số có hai chữ số ước : a) 50 b) 45 Hướng dẫn a) Ư(50) có hai chữ số {50 ; 25 ; 10} b) Ư(45) có hai chữ số {45 ; 15} Bài 3: Viết tập hợp sau a) Ư(6); Ư(9); Ư(12) d) B(23); B(10); B(8) b) Ư(7); Ư(18); Ư(10) e) B(3); B(12); B(9) c) Ư(15); Ư(16); Ư(250) g) B(18); B(20); B(14) Hướng dẫn a) Ư(6) = {1, 2, 3, 6} Ư(9) = {1, 3, 9} Ư(12) = {1, 2, 3, ,4 ,6 , 12} b) Ư(7) = {1, 7} Ư(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Ư(10) = {1, 2, 5, 10} c) Ư(15) = {1, 3, 5, 15} Ư(16) = {1, 2, 4, 8, 16} Ư(250) = {1, 5, 10, 25, 50, 250} d) Nhân 23 với số tưh nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được: B(23) = {0, 23, 46, 69,….} Nhân 10 với số tưh nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được: B(10) = {0, 10, 20, 30,….} Nhân với số tự nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được: B(10) = {0, 8, 16, 24,….} BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà e) Nhân với số tự nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được: B(3) = {0, 3, 6, 9,….} Nhân 12 với số tự nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được: B(12) = {0, 12, 24, 36,….} Nhân với số tự nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được: B(9) = {0, 9, 18, 27,….} DẠNG 2: TÌM TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ QUAN HỆ CHIA HẾT Bài 1: Tìm tất số tự nhiên x cho a) x M15 45 < x < 136 b) 18 Mx x > Hướng dẫn a) x B(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … } Vì 45 < x < 136 => x ∈ {60, 75, 90, 105, 120, 135} b) x Ư(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Vì x > => x ∈ {9, 18} Bài 2: Tìm tất số tự nhiên x cho a) 6M( x − 1) b) 14M(2 x + 3) Hướng dẫn a) x – ∈ Ư(6) = {1, 2, 3, 6} x – = => x = x – = => x = x – = => x = x – = => x = b) 2x + ∈ Ư(14) Với x ∈ N nhỏ => 2x + nhỏ => 2x + ∈ {7, 14} 2x + = => 2x = => x = 2x + = 14 => 2x = 11 => khơng có x 11 không chia hết cho Vậy x = Bài 3: Tìm số tự nhiên a biết : BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà a) (a + 11) M( a + ) b) ( a – ) M( a – 14) c) ( 2a + 27 ) M( 2a + 1) d) ( 5a + 28) M( a + 2) e) ( 3a + 15 ) M( 3a – 1) Hướng dẫn a) Ta có a + 11 = (a + 3) + => (a + 11) M(a + 3) M(a + 3) a + ∈ Ư(8) Với a ∈ N => a nhỏ cho a + nhỏ => a + ∈ Ư(8) = {4, 8} a + = => a = a + = => a = b) Ta có a - = (a - 14) + 11 => (a – 3) M(a – 14) 11 M(a - 14) a -14 ∈ Ư(11) = {1 , 11} a - 14 = => a = 15 a - 14 = 11 => a = 25 c) Ta có 2a + 27 = (2a + 1) + 26 => (2a + 27 ) M(2a + 1) 26 M(2a + 1) 2a + ∈ Ư(26) = {1 , 2, 13, 26} 2a + = => 2a = => a = 2a + = => 2a = => Khơng có a không chia hết cho 2a + = 13 => 2a = 12 => a = 2a + = 26 => 2a = 25 => Khơng có a 25 khơng chia hết cho Bài 4: Tìm cặp số tự nhiên x ; y biết : a) ( 3x − ) ( y − 3) = b) (2x +1) (y – 3) = 10 c) xy − x + y = 13 d) xy − x − y + = e) xy − x + y = 13 f) xy − x + y = 148 Hướng dẫn a) Ta có x , y số tự nhiên nên ( 3x − ) ( y − 3) tích hai số tư nhiên vế phải ( 3x − ) = x = => => ( y − 3) = y = BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà b) Ta có x , y số tự nhiên nên (2x + 1)(y – 3) tích hai số tư nhiên vế phải (2x + 1)(y – 3) = 10 = 2 x + = 2 x + = Hoặc y −3 = y −3 = => 2 x = khơng tìm x khơng chia hết y = Với 2 x = x = => y = y = Với c) 2xy – x + 2y = 13 (2xy + 2y) – x = 13 2y.(x + 1) – x = 13 => 2y(x + 1) = 13 + x => 2y(x + 1) = 12 + (x + 1) => 2y(x + 1) – (x + 1) = 12 => (x + 1).(2y – 1) = 12 = 2.6 = 3.4 x + = x = => Khơng có y ∈ N khơng chia hết cho 2y − = 2y = Trường hợp 1: x + = x = => Khơng có y ∈ N khơng chia hết cho 2y − = 2y = Trường hợp 2: x + = x = => Khơng có y ∈ N khơng chia hết cho 2y − = 2y = Trường hợp 3: x + = x = x = => => 2y − = 2y = y = Trường hợp 4: * Các ý d), e), f) làm tương tự ý c) Bài 5: Năm Bình học lớp Tuổi mẹ Bình bội số tuổi Bình số chia hết cho Mẹ Bình 24 tuổi Tìm tuổi Bình mẹ Bình Hướng dẫn Tuổi mẹ Bình x (x ∈ N x > 24) Mẹ Bình 24 tuổi => Tuổi Bình x – 24 (tuổi) Tuổi mẹ Bình bội số tuổi Bình nên x M(x – 24) Ta có x = (x – 24) + 24 => 24 M(x – 24) => x – 24 ∈ Ư(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Tức Số tuổi Bình Ư(24) Vì Bình học lớp nên tuổi Bình x – 24 = 12 BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Tuổi mẹ Bình x = 12 + 24 = 36 (thỏa mãn bội 4) Bài 6: a) Tìm số chia thương phép chia biết số bị chia 145 , số dư 12 thương khác b) Tìm số chia thương phép chia biết số bị chia 155 , số dư 12 c) Tìm số chia phép chia biết số bị chia 236 , số dư 15 số chia số có hai chữ số Hướng dẫn a) Ta có 145 = (Số chia)* Thương + 12 => (Số chia)* Thương = 133 = 133 = 7.19 Vì thương khác Số chia > 12 => Số chia = 19 Thương = b) Ta có 155 = (Số chia)* Thương + 12 => (Số chia)* Thương = 143 = 143 Số chia > 12 => Số chia = 143 Thương = b) Ta có 236 = (Số chia)* Thương + 15 => (Số chia)* Thương = 221 = 1.221 = 17 13 Số chia > 15 số chia có hai chữ số => Số chia = 17 Thương = 13 Bài 7: Tìm hai số tự nhiên bội biết : a) Tổng hai số *657 hiệu hai số * 91 b) Tổng hai số 513* số lớn gấp đôi số nhỏ Hướng dẫn a) Gọi hai số tự nhiên a b Vì a M9 b M9 Ta có: a + b = *657 M9 => * + + + M9 => * + 18 M9 => * = (vì * ∈ {1, 2, 3, …, 9} Do : a + b = 9657 => a = 9657 – b (1) Ta có: a - b = * 91 M9 => + * + + M9 => * + 15 M9 => * = (vì * ∈ {1, 2, 3, …, 9} Do : a - b = 5391 => a = 5391 + b (2) Từu (1) (2) => 9657 – b = 5391 + b => 9657 – 5391 = 2b => b = 2133 => a = 9657 – 2133 = 7524 b) Gọi số bé a => số lớn 2a Ta có 2a + a = 513* => 3a = 513* BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà mà a M9 => 513* M9 => + + + * M9 => + * M9 => * = (vì * ∈ {1, 2, 3, …, 9} Do 3a = 5139 => a = 1713 Vậy hai số cần tìm 1713 3426 Bài 8: Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho , biết chữ số hàng chục bẳng trung bình cộng hai chữ số cịn lại Hướng dẫn Số có TN chữ số abc = 100a + 10b + c Vì abc M5 => c ∈ {0, 5} Với c = , có số: ab0 Biết ab0 M9 => 100a + 10b M9 Mà b = ( a + ) : = a : hay a = 2b mà a , b ∈ {1, 2, 3, …, 9} nên b < => 100.2b + 10b M9 => 210b M9 => b M9 => b = => a = => Ta có số 630 Với c = , có số: ab5 Biết ab5 M9 => 100a + 10b + M9 Mà b = ( a + 5) : hay a + = 2b hay a = 2b – mà a , b ∈ {1, 2, 3, …, 9} nên b < => 100.(2b – 5) + 10b M9 => 210b – 500 M9 (1) Thay b ∈ {1 2, 3, 4, 5, 6, 7} khơng có giá trị b thỏa mãn (1) Vậy ta có số 630 thỏa mãn tốn Bài 9: Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho biết hiệu số với số viết theo thứ tự ngược lại 297 Hướng dẫn Số có TN chữ số abc = 100a + 10b + c Số TN viết theo thứ tự ngược lại cba = 100c + 10b + a Bài cho: abc - cba = 297 => 99a – 99c = 297 => a – c = (1) Ta có abc ⋮ => c = (Vì có số cba nên c ≠ 0) => Có số ab5 Vì ab5 ⋮ => a + b + ⋮ (2) Từ (1) ta chọn c ∈ {1, 2, 3, ….,9} cho a < 10 + Với c = => a = thay vào (2) b + ⋮ => b = => Có số 491 BỒI DƯỠNG TỐN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà + Với c = => a = thay vào (2) b + 10 ⋮ => b = => Có số 582 + Với c = => a = thay vào (2) b + 11 ⋮ => b = => Có số 673 + Với c = => a = thay vào (2) b + 12 ⋮ => b = => Có số 764 + Với c = => a = thay vào (2) b + 13 ⋮ => b = => Có số 855 + Với c = => a = thay vào (2) b + 14 ⋮ => b = => Có số 946 Bài 10: Tìm số tự nhiên n để 3n + số tự nhiên n +1 Hướng dẫn Ta có 3n + = 3.(n + 1) + Vì 3.(n + 1) ⋮ (n + 1) => Để 3n + số TN ⋮ (n + 1) hay n + ∈ Ư(3) = {1, 3} n +1 Với n + = => n = Với n + = => n = DẠNG 3: CHỨNG MINH QUAN HỆ CHIA HẾT: Bài 1: Cho n số tự nhiên Chứng tỏ : a) (n + 10) (n + 15) bội b) n (n + 1) (n + 2) bội c) n( n+1) (2n + 1) bội Hướng dẫn a) Ta có (n + 10) (n + 15) = (n + 10).[(n + 10) + 5] (1) Với n ∈ N coi n + 10 số (1) tích hai số tự nhiên cách đơn vị Do hai số ln có số chẵn => Tích cho bội b) n ( n + 1) (n + 2) với ∈ N ln tích ba số Tự nhiên liên tiếp Trong tích ln có số chẵn số bội => Tích bội Bài 2: Chứng tỏ số có ba chữ số mà chữ số hàng chục , hàng đơn vị tổng ba chữ số số chia hết cho số chia hết cho Hướng dẫn Gọi số TN abb = 100a + 10b + b = 100a + 11b = 98a + (2a + 4b) + 7b BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Ta có a + b + b ⋮ hay a + 2b ⋮ => 2(a + 2b)⋮ hay 2a + 4b ⋮ Mà 98 ⋮ 7b ⋮ => abb ⋮ Bài 3: Cho hai số tự nhiên a b Chứng tỏ : a) Nếu a + 4b chia hết cho 13 10a + b chia hết cho 13 ngược lại b) Nếu 3a + 2b chia hết cho 17 10a + b chia hết cho 17 ngược lại Hướng dẫn a) Xét tổng 3.(a + 4b) + (10a + b) = 13a + 13b ⋮13 Ta có a + 4b ⋮13 3(a + 4b) ⋮13 => 10a + b ⋮ 13 (Tính chất chia hết tổng) Ngược lại 10a + b ⋮ 13 => 3.(a + 4b) ⋮ 13 (Tính chất chia hết tổng) => a + 4b ⋮ 13 b) Xét tổng 5.(3a + 2b) + 7.(10a + b) = 85a + 17b ⋮17 Ta có 3a + 2b ⋮17 => 15a + 10b ⋮17 => 7.(10a + b) ⋮ 17 (Tính chất chia hết tổng) => 10a + b ⋮ 17 Ngược lại 10a + b ⋮ 17 => 5.(3a + 2b) ⋮ 17 (Tính chất chia hết tổng) => 3a + 2b Bài 4: a) Cho hai số abc def , giả sử abc < def số khơng chia hết cho 37 tổng hai số chia hết cho 37 Chứng tỏ abcdef chia hết cho 37 b) Cho hai số abc def chia cho có số dư Chứng tỏ abcdef chia hết cho Hướng dẫn a) Xét abcdef = 1000 abc + def = ( abc + def ) + 999 abc Vì abc + def ⋮ 37 (Bài cho) 999 ⋮ 37 => abcdef ⋮ 37 BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà b) Xét abcdef = 1000 abc + def Bài cho abc def chia cho có số dư k nên: abc = 7.x + k def = 7.y + k (x y thương số) => abcdef = 1000(7.x + k) + 7.y + k = 7.(1000x + y) + 1001.k Vì 7.(1000x + y) ⋮ 1001 ⋮ => abcdef ⋮ ... d) ( 5a + 28) M( a + 2) e) ( 3a + 15 ) M( 3a – 1) Hướng dẫn a) Ta có a + 11 = (a + 3) + => (a + 11) M(a + 3) M(a + 3) a + ∈ Ư (8) Với a ∈ N => a nhỏ cho a + nhỏ => a + ∈ Ư (8) = {4, 8} a + =... = thay vào (2) b + ⋮ => b = => Có số 491 BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà + Với c = => a = thay vào (2) b + 10 ⋮ => b = => Có số 582 + Với c = => a = thay vào (2)... = => Có số 673 + Với c = => a = thay vào (2) b + 12 ⋮ => b = => Có số 764 + Với c = => a = thay vào (2) b + 13 ⋮ => b = => Có số 85 5 + Với c = => a = thay vào (2) b + 14 ⋮ => b = => Có số 946