Bài 5 xác suất của biến cố đáp án

Bài XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A LÝ THUYẾT I Một số khái niệm xác suất Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu Có phép thử mà ta khơng thể đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử Những phép thử gọi phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) Tập hợp  kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử Ví dụ Một hộp có thẻ loại, thẻ ghi số 1, 2,3 ; hai thẻ khác ghi hai số khác Rút ngẫu nhiên thẻ từ hộp, ghi lại số thẻ rút bỏ lại thẻ vào hộp Xét phép thử "Rút ngẫu nhiên liên tiếp hai thẻ hộp" Hãy cho biết không gian mẫu phép thử Giải Khơng gian mẫu phép thử tập hợp  {(1;1);(1; 2);(1;3);(2;1);(2; 2) ; (2;3); (3;1);(3; 2);(3;3)} , đó, chẳng hạn (1; 2) kết "Lần thứ rút thẻ ghi số 1, lần thứ hai rút thẻ ghi số 2" Ví dụ Một hộp có bóng xanh, bóng đỏ, bóng vàng; bóng có kích thước khối lượng giống Lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp, ghi lại màu bóng lấy bỏ lại bóng vào hộp Xét phép thử "Lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai bóng hộp" Hãy cho biết khơng gian mẫu phép thử Giải Khơng gian mẫu phép thử tập hợp  { XX ; XĐ,XV ; ĐĐ; ĐV ; ĐX ; VV ; VX ;VĐ }, đó, chẳng hạn XĐ kết "Lần thứ lấy bóng xanh, lần thứ hai lấy bóng đỏ" Biến cố a) Định nghĩa Nhận xét - Mỗi kiện liên quan đến phép thử T tương ứng với (và một) tập A không gian mẫu  - Ngược lại, tập A khơng gian mẫu  phát biểu dạng mệnh đề nêu kiện liên quan đến phép thử T Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau: Biến cố ngẫu nhiên (gọi tắt biến cố) tập không gian mẫu Chú ý: Vì kiện tính chất đặc trưng cho phần tử biến cố nên ta gọi kiện biến cố Chẳng hạn: Sự kiện "Kết hai lần tung giống nhau" phép thử "Tung đồng xu hai lần liên tiếp" biến cố Ví dụ Xét phép thử “Gieo xúc xắc hai lần liên tiếp" a) Sự kiện "Tổng số chấm hai lần gieo chia hết cho " tương ứng với biến cố phép thử trên? D   1;5  ;  5;1 ;  2;  ;  4;  ;  3;3  ;  6;6   b) Phát biểu biến cố không gian mẫu (của phép thử trên) dạng mệnh đề nêu kiện Giải a) Sự kiện "Tổng số chấm hai lần gieo chia hết cho 5" tương ứng với biến cố: C   1;  ;  4;1 ;  2;3 ;  3;  ;  4;6  ;  6;  ;  5;5   phép thử b) Tập D bao gồm tất phần tử không gian mẫu có tính chất đặc trưng tổng hai số cặp chia hết cho Vậy biến cố D phát biểu dạng mệnh đề nêu kiện "Tổng số chấm hai lần gieo chia hết cho 6" Trang b) Biến cố không Biến cố chắn Xét phép thử T với không gian mẫu  Mỗi biến cố tập tập hợp  Vì thế, tập rỗng  biến cố, gọi biến cố khơng thể (gọi tắt biến cố khơng) Cịn tập hợp  gọi biến cố chắn Chẳng hạn, gieo xúc xắc, biến cố "Mặt xuất có chấm" biến cố khơng, cịn biến cố "Mặt xuất có số chấm khơng vượt q 6" biến cố chắn c) Biến cố đối Xét phép thử T với không gian mẫu  Giả sử A biến cố Như vậy, A tập tập hợp  Ta xét tập  \ A phần bù A  Tập  \ A xác định biến cố, gọi biến cố đối biến cố A , kí hiệu A Chẳng hạn, gieo ngẫu nhiên xúc xắc lần, biến cố "Mặt xuất xúc xắc có số chấm số lẻ" biến cố đối biến cố "Mặt xuất xúc xắc có số chấm số chẵn" Chú ý: Nếu biến cố A mô tả dạng mệnh đề tốn học Q biến cố đối A mô tả mệnh đề phủ định mệnh đề Q (tức mệnh đề Q ) Xác suất biến cố n( A) Xác suất biến cố A , kí hiệu P( A) , tỉ số n() , n( A), n() số phần tử hai n( A) P ( A)  n ( ) tập hợp A  Như vậy: Vi dụ Một hộp có thẻ loại, thẻ ghi số 1, 2, , 4, 5; hai thẻ khác ghi hai số khác Rút ngẫu nhiên đồng thời thẻ từ hộp a) Gọi  không gian mẫu trị chơi Tính số phần tử tập hợp  b) Tính xác suất biến cố E : "Tổng số hai thẻ số lẻ" Giải a) Mỗi phần tử không gian mẫu  tổ hợp chập phẩn tử tập hợp {1; 2;3; 4;5} Vì 5! 5.4 n() C52   10 2!.3! b) Biến cố E gồm cách chọn hai thẻ ghi số là: 2;1 4; 3; ; 4; Vì n( E ) 6 Vậy xác suất biến cố E n( E )   n() 10 Ví dụ Từ hộp chứa cầu trắng cầu đỏ; cầu có kích thước khối lượng giống Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai cầu Tính xác suất lấy hai cầu khác màu Giải Mỗi lần lấy đồng thời hai cầu cho ta tổ hợp chập 10 phần tử Do đó, khơng gian mẫu  gồm tổ hợp chập 10 phần tử 10! 10 9 n() C102   45 2!.8! Xét biến cố G : "Hai cầu lấy khác màu" Khi hai cầu lấy khác màu cầu lấy có màu trắng, cầu cịn lại có màu đỏ Có cách lấy cầu màu trắng cüng có cách lấy cầu màu đỏ Theo quy tắc nhân, ta có n(G ) 5.5 25 P( E )  Vậy xác suất biến cố G n(G ) 25 P (G )    n() 45 Ví dụ Một đội văn nghệ có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên phụ trách đội muốn chọn đội tốp ca gồm ba bạn cho có bạn nam bạn nữ tham gia a) Giáo viên phụ trách đội có cách chọn đội tốp ca vậy? Trang b) Tính xác suất biến cố H : "Ba bạn chọn có nam nữ" Giải a) Khi ba bạn chọn có nam nữ có hai khả năng: - Chọn bạn nam hai bạn nữ; - Chọn hai bạn nam bạn nữ - Xét khả thứ nhất: Chọn bạn nam hai bạn nữ Có cách chọn bạn nam Mỗi lần chọn hai bạn nữ cho ta tổ hợp chập phần tử Do đó, số cách chọn hai bạn nữ 5! 5.4 C52   10 2!.3! Theo quy tắc nhân, ta có số cách chọn bạn nam hai bạn nữ 4.10 40 - Xét khả thứ hai: Chọn hai bạn nam bạn nữ Có cách chọn bạn nữ Mỗi lần chọn hai bạn nam cho ta tổ hợp chập phần tử Do đó, số cách chọn hai bạn nam 4! 4.3 C42   6 2!.2! Theo quy tắc nhân, ta có số cách chọn hai bạn nam bạn nữ 5.6 30 Theo quy tắc cộng, số cách chọn đội tốp ca gồm ba bạn cho có bạn nam bạn nữ tham gia 40  30 70 (cách) b) Mỗi lần chọn đồng thời ba bạn học sinh cho ta tổ hợp chập phần tử Do đó, khơng gian mẫu  gồm tổ hợp chập phần tử 9! 9.8 7 n() C93   84 3!.6! Theo câu a), ta có n( H ) 70 Vậy xác suất biến cố H n( H ) 70 P( H )    n() 84 II TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT Xét phép thử T với không gian mẫu  Khi đó, ta có tính chất sau: - P ( ) 0; P() 1 ; - P( A) 1 với biến cố A ; - P ( A) 1  P ( A) với biến cố A Chứng minh n( )  0 n (  ) n (  ) - Xác suất biến cố không ; n( ) P ( )  1 n (  ) Xác suất biến cố chắn n( A) P ( A)  n() n( A) n() nên P( A) 1 với biến cố A - Do - Do n( \ A) n()  n( A) nên xác suất biến cố A là: n( \ A) n()  n( A) n( A) P ( A)   1  1  P( A) n ( ) n ( ) n ( ) Ví dụ Một hộp có 10 bóng trắng 10 bóng đỏ; bóng có kích thước khối lượng giống Lấy ngẫu nhiên đồng thời bóng hộp Tính xác suất để bóng lấy có bóng màu đỏ Giải Mỗi lần lấy đồng thời bóng cho ta tổ hợp chập 20 phần tử Do đó, khơng gian mẫu  gồm tổ hợp chập 20 phần tử n() C20 P ( )  Xét biến cố K : "Trong bóng lấy có bóng màu đỏ" Trang Khi biến cố đối biến cố K biến cố K : "Trong bóng lấy khơng có bóng màu đỏ nào", tức bóng lấy có màu trắng Mỗi lần lấy đồng thời bóng màu trắng cho ta tổ hợp chập 10 phần tử Do n( K ) 10 10 ! P( K )   n( K ) C109  10 n (  ) C20 ! 1! Suy P ( K ) 1  P ( K ) 1  Vậy 10 C20 III NGUYÊN LÍ XÁC SUẤT BÉ Qua thực nghiệm quan sát thực tế, người ta thấy biến cố có xác suất bé gần khơng xảy phép thử Chẳng hạn, chuyến bay có xác suất bé bị xảy tai nạn Nhưng thực tế, tai nạn chuyến bay khơng xảy Từ đó, ta thừa nhận nguyên lí sau đây, gọi nguyên lí xác suất bé: Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất bé thực tế cho phép thử biến cố khơng xảy Tuy nhiên, xác suất xem bé phải tuỳ thuộc vào toán cụ thể Ví dụ xác suất để dù khơng mở 0,01 (dùng cho nhảy dù) khơng thể coi bé khơng thể dùng loại dù Nhưng xác suất để tàu ga chậm 0,01 lại xem tàu ga PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số nhỏ 20 Lấy số tự nhiên A a a Mơ tả khơng gian mẫu  ? b b Tính xác suất để lấy số tự nhiên lẻ? c c Tính xác suất để lấy số tự nhiên chia hết cho ? a a Giải   10,11,12,13,14,15,16,17,18,19   10    A   11,13,15,17,19    A  5  P  A   0, 10 b b Gọi A biến cố “số tự nhiên lẻ”   B   12,15,18    B  3  P  B   10 c c Gọi B biến cố “số tự nhiên chia hết cho ” Câu Tung súc sắc a Mơ tả khơng gian mẫu? b Tính xác suất để thu mặt có số chấm chia hết cho ? c Tính xác suất để thu mặt có số chấm nhỏ ? Giải   1, 2,3, 4,5, 6  n    6 a b Gọi A biến cố “số chấm chia hết cho ”   A   2, 4, 6    A  3  P  A      B   1, 2,3    B  3  P  B    c Gọi B biến cố “số chấm nhỏ ”, Câu Tung đồng xu đồng chất (giả thiết đồng xu hoàn toàn giống gồm mặt: sấp ngửa) a Mô tả không gian mẫu kết đạt được? b Tính xác suất thu mặt giống nhau? Giải Trang Lần a Lần s Kết s Lần s s s n SSN s n s SNS s n n SNN n s s NSS n s n NSN n n s NNS n n n NNN SSS   SSS, SSN , SNS, SNN , NNN , NNS , NSS, NSN    8   A   SSS, NNN     A  2  P  A    b Gọi A biến cố “có mặt giống nhau” Câu Trong hịm có 10 chi tiết, có chi tiết hỏng Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có khơng q chi tiết hỏng Giải + Số cách lấy chi tiết từ 10 chi tiết C10  n    C106 210 + Gọi A1 biến cố “Trong chi tiết lấy khơng có chi tiết hỏng” A2 biến cố “Trong chi tiết lấy có chi tiết hỏng” A biến cố “Trong chi tiết lấy có khơng chi tiết hỏng” + Khi A  A1  A2 Do A1 A2 xung khắc nên P  A  P  A1   P  A2  + Có chi tiết không bị hỏng nên n  A1  C86 28 + Số cách lấy chi tiết từ chi tiết KHÔNG bị hỏng C8 + Số cách lấy chi tiết từ chi tiết hỏng C2 + Theo quy tắc nhân ta có n  A2  C85 C21 112 + Do ta có: n  A1  28 P  A1     n    210 15 P  A2   n  A2  112   n    210 15 2  P  A  P  A1   P  A2     15 15 Câu X  0;1; 2;3; 4;5;6 chưa mà không chứa Giải + Số tập hợp không chưa phần tử X \ ; C5 Tính số tập hợp Trang + Số tập hợp chứa phần tử X \ ; C5 + Số tập hợp chứa phần tử X \ ; C5 + Số tập hợp chứa phần tử X \ ; C5 + Số tập hợp chứa phần tử X \ ; C5 + Số tập hợp chứa phần tử X \ ; C5 Suy số tập hợp X \ ; C5  C5  C5  C5  C5  C5 32 Ta hợp tập hợp với  1 32 tập hợp thỏa tốn Một lớp có 30 học sinh gồm học sinh giỏi, 15 học sinh học sinh trung bình Người ta muốn chọn ngẫu nhiên em để dự Đại Hội Tính xác suất để chọn được: Câu a) Ba học sinh chọn học sinh giỏi? b) b Có học sinh giỏi? Bài giải: C3  P  A   38 C30 a) A ‘Chọn học sinh học sinh giỏi b) B =”Chọn học sinh có học sinh giỏi”  B = “ Chọn học sinh khơng có học sinh giỏi nào” C3 C22  P  B  1  P B 1  22  P B  C303 C303   Câu được:   Một hộp bóng có 12 bóng đèn, có bóng tốt, lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để a Ít bóng tốt b Cả bóng khơng tốt Bài giải: a A ”Lấy bóng tốt” C72C51  P  A1   A1 ”Lấy bóng tốt” C12 C3  P  A2   37 A2 ”Lấy bóng tốt” C12 C72C51 C73  C303 C30 C3  P  B   35 C12 b B ” Cả bóng khơng tốt” A  A1  A2  P  A  P  A1   P  A2   Cho số 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số khác Lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số là: a Số lẻ b Số chia hết cho 10 c Số lớn 59.000 Câu Bài giải: Số số tự nhiên lẻ có chữ số là: 9.9.8.7.6 27216 a A  “số lẻ có chữ số” Trang Để số lẻ chữ số cuối phải số 1,3,5, 7,9 Như có cách chọn chữ số cuối Số số số lẻ khác có chữ số: 8.8.7.6.5 13440 13440 40  27216 81 b B ”Số có chữ số khác chia hết cho 10”  n  B  9.8.7.6 3024  P  A   9.8.7.6  9.9.8.7.6 c C  “Số có chữ số khác lớn 59000 ”  P  B   gọi số có chữ số khác lớn 59000 là: abcde a 5 b 9 cịn c có cách chọn, d có cách chọn, e có cách chọn  có 8.7.6 366 cách chọn Nếu a   a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn, e có cách chọn  có 4.9.8.7.6 12096 cách chọn Vậy số số có chữ số khác lớn 59000 là: 12432 12432 37  P  C    27216 81 Gieo đồng thời súc sắc cân đối đồng chất.Tính xác suất để: a) Tổng số chấm mặt súc sắc Câu b) Hiệu số nốt mặt hai súc sắc có giá trị tuyệt đối Bài giải: a Gọi A  “Tổng số chấm mặt hai súc sắc 6”  A   1,5  ;  2,  ;  3,3  ;  5,1 ;  4,    n  A  5  P  A   36 b B  “Hiệu số nốt mặt hai súc sắc có giá trị tuyệt đối ”  B   1, 3 ;  2,  ;  3,5  ;  4,  ;  3,1 ;  4,  ;  5,3  ;  6,    n  B  8  P  B    36 Câu 10 Lớp học môn xác suất gồm 70 học sinh, có 25 nữ Chọn ngẫu nhiên nhóm gồm 10 học sinh.Tính xác suất để nhóm chọn có học sinh nữ Bài giải: Gọi A ”Chọn học sinh nữ học sinh nam”  n  A  C456 C254  P  A   C45 C25 10 C70 Câu 11 Một lớp có 40 học sinh, đánh số từ  40 Chọn ngẫu nhiên bạn học sinh Tính xác suất để bạn chọn: a Mang số chẵn b Mang số chia hết cho Bài giải: a Gọi A ”Học sinh mang số chẵn”  n  A  20  P  A   20 0,5 40 Trang b Gọi B ”Học sinh mang số chia hết cho 3” số bội không vượt 40  B  3, 6, 9,12,15,18, 21, 24, 27,30, 33,36, 39  n  B  13  P  B   13 40 Câu 12 Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: a Biến cố A : “Trong hai lần gieo lần xuất mặt chấm” b Biến cố B : “Trong hai lần giao tổng số chấm hai lần giao số nhỏ 11 ” Giải + Không gian mẫu    i, j  | i, j   1, 2, , 6   n    6.6 36 a Ta có biến cố đối A   i, j  | i, j   2, , 6   n  A  25 P  A  n  A n    25 11  P  A  1  P  A   36 36 b Ta có: B   i, j  | i, j   12, , 6 , i  j 11  B   5,  ;  6,5  ;  6,    n  B  3  P  B   n B n    11   P  B  1  P  B   36 12 12 Câu 13 Một sọt Cam có 10 trái có trái hư.Lấy ngẫu nhiên trái a Tính xác suất để lấy trái hư b Tính xác suất để lấy trái hư c Tính xác suất để lấy trái hư Bài giải: a Gọi A ”Lấy trái hư trái tốt ” C C  n  A  C43 C61  P  A   4 C10 b Gọi B ” Lấy trái hư trái tốt ” C1 C  n  B  C41 C63  P  B   4 C10 c Gọi C ” Lấy trái hư ”  C ” Khơng có trái hư ”      n C C64  P C  C64 C64  P C   P C     C104 C104   PHẦN C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Xét phép thử gieo súc sắc cân đối đồng chất mặt hai lần Xét biến cố A: “Số chấm xuất hai lần gieo giống nhau” Khẳng định sau đúng? n  A  6 n  A  12 n  A  16 n  A  36 A B C D Lời giải Chọn A Trang  x; y  số chấm xuất hai lần gieo Gọi cặp số Xét biến cố A: “Số chấm xuất hai lần gieo giống nhau”  1;1 ;  2;  ;  3;3 ;  4;  ;  5;5  ;  6;6   Các kết biến cố A là:  n  A  6 Suy Gieo đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp ba lần Gọi A biến cố “Có hai mặt sấp xuất liên tiếp” B biến cố “Kết ba lần gieo nhau” Xác định biến cố A  B Câu A A  B  SSS , SSN , NSS , SNS , NNN  C A  B  SSS , SSN , NSS , NNN  Chọn C A  SSS , SSN , NSS  Câu , B  SSS , NNN  B A  B  SSS , NNN  D A  B  Lời giải Suy A  B  SSS , SSN , NSS , NNN  Gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối đồng chất lần Tính số phần tử không gian mẫu A 64 B 10 C 32 D 16 Lời giải Chọn C Mỗi lần gieo có hai khả nên gieo lần theo quy tắc nhân ta có 32 n    32 Số phần tử không gian mẫu Câu Xét phép thử gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần liên tiếp Gọi A biến cố “Lần đầu xuất mặt chấm” B biến cố “Lần thứ hai xuất mặt chấm” Khẳng định sai khẳng định sau? A A B hai biến cố xung khắc B A  B biến cố “Ít lần xuất mặt chấm” C A  B biến cố “Tổng số chấm mặt xuất hai lần gieo 12 D A B hai biến cố độc lập Lời giải Chọn A Hai biến cố A B xảy Câu n   Rút ngẫu nhiên lúc ba từ cỗ tú lơ khơ 52 bao nhiêu? A 140608 B 156 C 132600 D 22100 Lời giải Ta có n    C523 22100 Câu Gieo ngẫu nhiên hai xúc sắc cân đối đồng chất Xác suất biến cố “ Có xúc sắc xuất mặt chấm” 11 A 36 B 25 C 36 15 D 36 Lời giải Trang Đáp án A Gọi A biến cố: “Có xúc sắc xuất mặt chấm” Bước 1: Tìm số phần tử khơng gian mẫu  6.6 36 Do xúc sắc xảy trường hợp nên số kết xảy Bước 2: Tìm số kết thuận lợi cho A Ta có trường hợp sau:   1;1 ;  1;2  ;  1;3 ;  1;4  ;  1;5  ;  1;6  ;  2;1 ;  3;1 ;  4;1 ;  5;1 ;  6;1  Bước 3: Xác suất biến cố A Câu P  A  A 11   36  A 11 Gieo súc sắc Xác suất để mặt chấm xuất A B C D Lời giải Chọn A Gieo súc sắc có không gian mẫu   1;2;3;4;5;6  n    6 A  6  n  A 1 Xét biến cố A : “mặt chấm xuất hiện” Do P  A  Câu Gieo súc sắc cân đối đồng chất lần Tính xác suất để tổng số chấm hai lần gieo nhỏ 11 A B 36 C D 18 Lời giải Chọn D n    62 36 Số phần tử không gian mẫu là: Gọi A biến cố “Tổng số chấm hai lần gieo nhỏ 6” Tập hợp biến cố A là: A   1;1 ;  1;  ;  1;3  ;  1;  ;  2;1 ;  2;  ;  2;3  ;  3;1 ;  3;  ;  4;1  Số phần tử biến cố A là: n  A  10 10 P  A   36 18 Xác suất biến cố A là: Gieo ngẫu nhiên xúc sắc cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố: “ Hiệu số chấm xuất xúc sắc ” 5 A B C 18 D Câu Lời giải Trang 10