Đs9 cđ5 hàm bậc hai 1

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = y ax (a ≠ 0) , SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ THẲNG A Lý thuyết ) : y ax (a ≠ 0) đường thẳng d := Cho Parabol ( P= y mx + n Khi phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có dạng: ax = mx + n ⇔ ax − mx − n = 0(*) với ∆= m2 + 4an STT Vị trí tương đối d (P) Biệt thức Ghi ∆ d tiếp xúc với (P) ∆ =0 d không cắt (P) ∆0 biệt Hoành độ tiếp điểm x = m 2a Hoành độ giao điểm nghiệm (*) B Hệ thống tập sử dụng Đề thi tuyển sinh Tỉnh Năm học Hà Nội 2008, 2010, 2011, 2013, 2014, 2016, 2017, 2019 Bắc Ninh 2018 Hà Nam 2017, 2019 Thái Bình 2019 Vĩnh Phúc 2019 Đà Nẵng 2018 Phú Thọ 2017 Chuyên Toán Lê Q Đơn Đã Nẵng 2014 – 2015 Chun Tốn Lê Khiết Quảng Ngãi 2014 – 2015 Chuyên Lê Quý Đơn Bình Định 2014 – 2015 Chun Lương Văn Tụy Ninh Bình 2014 – 2015 C Bài tập dạng tốn GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 1: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = ax hàm số bậc hai Vẽ đồ thị hàm số Cách giải: - Hàm số y = ax hàm số bậc hai a ≠ + Nếu hệ số a có chứa f ( m ) cần thêm điều kiện f ( m ) ≥ (hoặc f ( m ) > mẫu thức) + Nếu hệ số a có dạng phân thức cần thêm điều kiện mẫu thức khác - Để vẽ đồ thị hàm = số y ax ( a ≠ ) ta thực theo bước sau + Lập bảng giá trị + Vẽ vài điểm bên phải trục Oy lấy điểm đối xứng với chúng qua trục Oy Bài 1: y ( m − 1) x Tìm m để hàm số hàm số bậc hai Cho hàm số = Lời giải Hàm số cho hàm số bậc hai m − ≠ ⇔ m ≠ Vậy m ≠ giá trị cần tìm Bài 2: Cho hàm số= y ( m − 1) x Tìm m để hàm số hàm số bậc hai Lời giải Hàm số cho hàm số bậc hai m − ≠ ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ ±1 Vậy m ≠ ±1 giá trị cần tìm Bài 3: Cho hàm số y = m −1 x Tìm m để hàm số hàm số bậc hai m+2 Lời giải  m −1 >0 m > Hàm số cho hàm số bậc hai  m + ⇔  m < −2  m + ≠ f ( m ) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 m > Vậy  giá trị cần tìm  m < −2 Bài 4: Cho hàm số = y m m + x Tìm m để hàm số hàm số bậc hai Lời giải m + >  m > −5 ⇔ m ≠ m ≠ Hàm số cho hàm số bậc hai   m > −5 Vậy  giá trị cần tìm m ≠ Bài 5: Cho hàm số y = m−2 x Tìm m để hàm số hàm số bậc hai m Lời giải m−2  ≠0 m ≠ Hàm số cho hàm số bậc hai  m ⇔ m ≠  m ≠ Vậy m ∉ {0; 2} giá trị cần tìm Bài 6: Cho hàm số y = m2 − x Tìm m để hàm số hàm số bậc hai m−2 Lời giải  m2 − ≠ m ≠  ⇔ Hàm số cho hàm số bậc hai  m − m > m − >  m ≠ giá trị cần tìm m > Vậy  Bài 7: Vẽ đồ thị hàm số sau GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) y = x b) y = −1 x Lời giải a) Ta có bảng giá trị sau x −2 −1 y = x2 2 b) Ta có bảng giá trị sau x y= −1 x −4 −2 −4 −1 −1 −4 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = y f= Dạng 2: Tính giá trị hàm số ( x ) ax ( a ≠ ) x = x0 toán liên quan Cách giải: = y f= = y0 f= Giá trị hàm số ( x0 ) a.x02 ( x ) ax x = x0 Bài 1: = y f= Cho hàm số ( x ) 3x Tính giá trị hàm số giá trị −5; ; 7; + Lời giải Ta có: f ( −5 ) = ( −5 ) ( 2 1 1 = 75; f   =   = ; f 2 2 ( ) = 3.( ) = 21; f ( ) ( + = ) = 3 + 2 = 9+6 Bài 2: = y f= Cho hàm số f ( 13 ) ( x ) 2ax Chứng minh f ( ) + f ( 3) = Lời giải Ta có f= = a.22 8a; f= a.32 18a; f ( = 13 ) 2a ( 13 ( ) 2= ( 3) 2= ) 26a ⇒ f ( ) + f ( 3) =8a + 18a =26a =f ( 13 ) Bài 3: Cho hàm số = y f= ( x) −1 x Xác định giá trị m để a) f ( m ) ≥ −12 27 b) f ( m + ) − f ( m − 1) = Lời giải a) Ta có f ( m ) = −1 −1 m , f ( m ) ≥ −12 ⇔ m ≥ −12 ⇔ −6 ≤ m ≤ 3 ) +1 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vậy −6 ≤ m ≤ f ( m ) ≥ −12 b) Ta có f ( m + = 2) −1 −1 2 1) ( m + ) ; f ( m −= ( m − 1) , đó: 3 f ( m + ) − f ( m − 1) = 27 ⇔ −1 2 ( m + ) + ( m − 1) = 27 ⇔ m = −14 3 27 Vậy m = −14 f ( m + ) − f ( m − 1) = Bài 4: f ( 5) = y f= Cho hàm số ( x ) a x Chứng minh f ( 3) + f ( ) = Lời giải Ta có f ( 3) = 9a ; f ( ) = 16a ; f ( ) = 25a ⇒ f ( 3) + f ( ) = f ( ) (đpcm) Bài 5: = y f= Cho hàm số ( x ) kx Tìm k để  f ( ) − f ( 2 ) − =0 Lời giải Ta= có f ( 3) 3= k ; f ( 2 ) 8k ,  f ( )  − f ( 2 ) − = ⇔ 9k − 8k − = ⇔ ( k − 1)( 9k + 1) =   ⇔k= k = −1 Bài 6: Cho hàm y = f ( x ) = ( m − m + 14 ) x số a =+ + + + 9; b = + + + + So sánh f (a) f (b) , 10 Lời giải Áp dụng n > n + + n − (n số nguyên dương), ta chứng minh a > b 7 Ta có m − 7m + 14 =  m −  + > 0, ∀m ⇒ y = f ( x ) đồng biến x > ⇒ f ( a ) > f ( b )  2 biết GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = y f= Dạng 3: Tính đồng biến, nghịch biến hàm số ( x ) ax ( a ≠ ) Cách giải: + Nếu a > hàm số y = ax đồng biến x > nghịch biến x < + Nếu a < hàm số y = ax đồng biến x < nghịch biến x > Bài 1: y ( m − 1) x với m ≠ Cho hàm số = a) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến x < b) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến x < Lời giải a) Hàm số đồng biến x < , m − < ⇔ m < b) Hàm số nghịch biến x < , m − > ⇔ m > Bài 2: Cho hàm số y = ( m2 − 2m + 3) x Chứng minh x > hàm số đồng biến, từ so sánh f ( ) − f ( ) −1 Lời giải Xét a = m − 2m + = ( m + 1) + > 0, ∀m ⇒ hàm số đồng biến x > Vì − < − ⇒ f ( − ) < f ( − 1) Bài 3: Cho hàm số y = 3x Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số a) ≤ x ≤ b) −3 ≤ x ≤ −2 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải a) Vì ≤ x ≤ hàm số y = 3x đồng biến Vậy x = hàm số đạt giá trị nhỏ y = x = hàm số đạt giá trị lớn = y 3.2 = 12 b) Vì −3 ≤ x ≤ −2 hàm số y = 3x nghịch biến Vậy x = −2 hàm số đạt giá trị nhỏ y = ( −2 ) =12 x = −3 hàm số đạt giá trị lớn y = ( −3) = 27 Bài 4: Cho hàm số= y ( ) m2 + − x a) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến x > b) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến x > Lời giải m > 2 a) Hàm số đồng biến x > 0, m + − > ⇔ m + > ⇔ m > ⇔   m < −2 b) Hàm số nghịch biến x > 0, m + − < ⇔ m + < ⇔ m < ⇔ −2 < m < 2 Bài 5: Cho hàm số y= (m − m + 1) x Chứng minh hàm số đồng biến x dương Lời giải Xét a = m − m + =  m −  + > 0, ∀m Vậy hàm số đồng biến x dương  2 Bài 6: Cho hàm số y = m +1 x ( m ≠ 0) m2 a) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến x > b) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến x < Lời giải GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH a) Hàm số đồng biến x > Zalo: 0382254027 m +1 > ⇔ m + > ⇔ m > −1 m2 kết hợp với điều kiện cho, ta có m > −1 m ≠ thỏa mãn toán b) Hàm số đồng biến x < m +1 < ⇔ m + < ⇔ m < −1 m2 kết hợp với điều kiện cho, ta có m < −1 thỏa mãn toán Bài 7: Cho hàm số y = m−3 x 5−m a) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến x > b) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến x < Lời giải Điều kiện − m > ⇔ m < a) Hàm số nghịch biến x > m−3 < ⇔ m−3< ⇔ m < 5−m kết hợp với điều kiện cho, ta có m < thỏa mãn toán b) Hàm số nghịch biến x < m−3 > ⇔ m−3 > ⇔ m > 5−m kết hợp với điều kiện cho, ta có < m < thỏa mãn tốn GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = y f= Dạng 4: Xác định hệ số a hàm số ( x ) ax ( a ≠ ) Cách giải: = y f= Nếu biết đồ thị hàm số ( x ) ax ( a ≠ ) qua điểm ( x0 ; y0 ) ta có y0 = ax02 ⇒ a= y0 ( x0 ≠ ) x02 Bài 1: Xác định hệ số a hàm số y = ax ( P ) Biết đồ thị hàm số qua điểm A (10;30 ) Lời giải Vì A (10;30 ) ∈ ( P) ⇒ y A = axA2 ⇒ a = 30 = = 0,3 10 10 Bài 2: y ( k + ) x có đồ thị cắt đường thẳng y − x + = Cho hàm số = điểm M (1; m ) Hãy xác định k m Lời giải y ( k + ) x ( d ) : y − x + = Gọi ( P) : = Vì M ∈ ( d ) ⇒ m =2.1 − ⇔ m =−1 Vì M ∈ ( P ) ⇒ −1 = ( k + ) 12 ⇒ k = −3 Bài 3: = y ax ( a ≠ ) Biết A  ; y A  B ( 3; yB ) hai điểm thuộc (P) thỏa mãn tam giác Cho Parabol a  AOB vuông O Tính giá trị a 10 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Vậy ( d )= :y Zalo: 0382254027 −1 x− 200 Bài 15: Cho Parabol ( P ) : y = −1 x Xác định tọa độ điểm M thuộc (P), biết đường thẳng tiếp xúc với (P) M song song với đường thẳng ( d ')= :y −1 x −1 Lời giải Đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) điểm M ( x0 ; y0 ) song song với đường thẳng (d’) có dạng :y ( d )= −1 x+m Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: −1 −1 x= x + m ⇔ x − x + 2m = ( *) 2 (d) tiếp xúc với (P) ⇔ phương trình (*) có nghiệm kép ( x1 = x2 ) ⇔ ∆ = ⇔ m = −1 Tiếp điểm M  ;  2  Bài 16: Cho Parabol ( P ) : y = x Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A (1; −3) tiếp xúc với (P) Lời giải Gọi (d) qua A (1; −3) có dạng: ( d ) : y= k ( x − 1) − hay ( d ) : y = kx − k − Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x = kx − k − ⇔ x − kx + k + = (1) (d) tiếp xúc với (P) ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ( x1 = x2 ) ⇔ ∆ = ⇔ k − 4k − 12 = y 6x − ( d ) : = k = ⇔ ( k − ) = 16 ⇔  ⇒ −2 x −  k = −2 ( d ) : y = Bài 17: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : = y 2x + 47 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Tìm tọa độ giao điểm A B d (P), A điểm có hồnh độ âm Vẽ d (P) hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB (P) để S ABC lớn Lời giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): −1  y = x = x2 = x + ⇔ x2 − x − = ⇔  ⇒ =  x 3= y Vậy tọa độ giao điểm d (P) A ( −1;1) ; B ( 3;9 ) b) Có A ( −1;1) ; B ( 3;9 ) cố định nên độ dài đoạn thẳng AB không đổi, S ABC lớn khoảng cách từ C đến đường thẳng d lớn nhất, C tiếp điểm đường thẳng d1 / / d d1 tiếp xúc với (P) y ax + b Gọi phương trình đường thẳng d1 : = ad1 = ad a = ⇔ ⇒ d1 : y =2 x + b ( b ≠ 3) = b ≠ bd1 bd  Do d1 / / d ⇒  Xét phương trình hồnh độ giao điểm d1 (P): x = x + b ⇔ x − x − b = (*) (*) có ∆ ' = ( −1) − ( −b ) = b + d1 tiếp xúc với (P) (*) có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = ⇔ b = −1 (thỏa mãn) Thay b = −1 vào (*) ta được: x − x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = ⇒ y = 12 = Vậy C (1;1) điểm cần tìm Bài 18: Tuyển sinh Hà Nội, năm 2008 - 2009 Cho d := y mx + ( P ) : y = x a) Chứng minh d cắt (P) hai điểm phân biệt với m b) Gọi A, B hai giao điểm d (P) Tính diện tích tam giác AOB theo m (O gốc tọa độ) 48 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) : x = mx + ↔ x − mx − 1= 4 Có ∆= m + > 0∀m → d cắt (P) hai điểm phân biệt b) S ∆AOB = S ∆AOI + S ∆BOI = OI ( AH + BK ) S ∆AOB = ( x1 + x2 ) = m + Bài 19: Tuyển sinh Hà Nội, năm 2014 - 2015 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho d : y =− x + 6;( P) : y =x a Tìm tọa độ giao điểm d (P) b Gọi A, B hai giao điểm d P Tính diện tích tam giác AOB Lời giải a) Hoành độ giao điểm P d nghiệm phương A −3  y = x = trình : x2 = - x + ⇔  ⇒ =  x 3= y I b) Giả sử A (-3; 9), B (2; 3) Ta có A B nằm hai phía B Oy Gọi I giao điểm Oy đường thẳng d, I (0; 6) 2 Ta có: S AOB = S AOI + S BOI = 6.3 + 6.2 = 15 (đvdt) 49 O GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 9: Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho hoành độ xA , xB thỏa mãn điều kiện dấu, trái dấu Cách giải: (1) - Lập phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) có dạng: ax + bx + c = - Tính ∆= b − 4ac - Giải điều kiện toán: + (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt xA , xB ⇔∆>0 + Các hoành độ xA , xB thỏa điều kiện mãn dấu  x A + xB > (cùng dấu dương A, B nằm bên phải trục tung)   x A xB >  x A + xB < (cùng dấu âm A, B nằm bên trái trục tung)  x x >  A B + Các hoành độ xA , xB thỏa mãn điều kiện trái dấu ⇔ ac < Bài 1: Cho Parabol ( P ) : y = x ( d ) : y = mx + − m Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A, B nằm hai phía trục tung Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x = mx + − m ⇔ x − mx + m − 2= (*) Ta có ∆= b − 4ac= m − 4m + 8= ( m − ) + > 0, ∀m Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung ⇔ phương trình (*) có hai ∆ > ∀m ⇔ ⇔m ⇔ −4m − 16 > ⇔ m < −4 ( ) −2  x1 + x2 =  x1 x2= m + Theo định lý Viét ta có:  Hai giao điểm A, B nằm bên trái trục tung hoành độ giao điểm x1 , x2 dấu âm  x1 + x2 < −2 < ⇔ ⇔ ⇔ m > −5 ( 3) m + >  x1 x2 > Kết hợp (2) (3) ta có: −5 < m < −4 Bài 3: Cho Parabol ( P ) : y = x ( d ) : y= ( m − ) x + − m Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A ( x1 ; y ) B ( x2 ; y2 ) cho x1 < −2 x2 > Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x =( m − ) x + − m ⇔ x − ( m − ) x − + m =0 (1) ; ∆ =b − 4ac =m − 8m + =( m − ) − (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 ⇔ ∆ > m − > 2 m > + 2 2 ⇔ ( m − 4) − > ⇔ ( m − 4) > ⇔  ⇔  m − < −2  m < − 2  x1 + x2 = m −  x1 x2= m − Theo định lí Viét ta có  Theo đầu ta có: 51 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  x1 + <   2m − + m − < −4  x1 < −2  x2 ( x1 + ) < 2 x1 + x2 + x1 x2 < −4 3m < m < ⇒ ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ m ∈∅   x2 >  x1 ( x2 − ) <  x1 x2 − x1 − x2 + < m − − ( m − ) + < −m < −7 m > 2 − x <  Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn tốn y mx − Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Bài 4: Cho Parabol ( P ) : y = − x ( d ) := A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) nằm hai phía trục tung cho x1 > x2 với x1 < x2 Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x 2= mx − ⇔ x − mx + 1= (1) ; ∆= b − 4ac= m + > 0, ∀m ⇒ phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m −m  x1 + x2 =  x1 x2 = −1 Theo định lí Viét ta có  Vì x1 x2 =−1 < ⇒ x1 , x2 trái dấu Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B nằm hai phía trục tung Giải điều kiện x1 > x2 ta có hai cách sau + Cách 1: Xét dấu x1 , x2 Do x1 < x2 x1 , x2 trái dấu nên x1 < 0; x2 > ⇒ x1 =− x1 ; x2 =x2 Khi x1 > x2 ⇔ − x1 > x2 ⇔ x2 + x1 < , mà x1 + x2 = −m ⇒ −m < ⇔ m > + Cách 2: Bình phương hai vế x1 > x2 ta được: x1 > x2 ⇔ x1 > x2 ⇔ x12 − x22 > ⇔ ( x1 − x2 )( x1 + x2 ) > 2 Vì x1 < x2 ⇒ x1 − x2 < ⇒ x1 + x2 < , mà x1 + x2 = −m ⇒ −m < ⇔ m > Vậy m > giá trị cần tìm −mx + 2m + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân Bài 5: Cho Parabol ( P ) : y = x ( d ) : y = biệt A, B nằm bên phải trục tung 52 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: 2 x = (1) ; ∆ = b − 4ac = 16 ( m + 1) + 32 > 0, ∀m −mx + 2m + ⇔ x + 4mx − 8m − 12 = ⇒ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m −4m  x1 + x2 = −8m − 12  x1 x2 = Theo định lí Viét ta có  Hai giao điểm A B nằm bên phải trục tung hoành độ giao điểm x1 , x2 dấu dương m <  x1 + x2 > −4m > −3  ⇔ ⇔ ⇔ −3 ⇔ m < −8m − 12 >  x1 x2 > m < Vậy m < −3 thỏa mãn toán Bài 6: Cho Parabol ( P ) : y = x ( d ) : y = ( m − 1) x + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) cho x1 < −1 x2 > Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x = ( m − 1) x + ⇔ x − ( m − 1) x − = (1) Vì ac =1 ( −3) =−3 < 0, ∀m ⇒ phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 trái dấu ⇒ ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B nằm hai phía trục tung  x1 + x2 = m −  x1 x2 = −3 Theo định lí Viét ta có  Theo tốn ta có:  x1 + <   x1 + x2 < m − < m <  x1 < −1  x2 ( x1 + 1) <  x1 + x2 + x1 x2 < −1    ⇔ ⇒ ⇒  1⇔ 1⇒  x2 >  x1 ( x2 − ) <  x1 x2 − x1 − x2 + <  x1 + x2 > m − > m > x − >  53 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 7: Cho Parabol ( P ) : y = x ( d ) : y = −mx + + m − Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) nằm hai phía trục tung cho x > x2 với x1 < x2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x =−mx + m − ⇔ x + mx − m + =0 (1) Ta có ∆= b − 4ac= m − 4m + 4= ( m − ) ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 ⇔ ∆ > ⇔ ( m − 2) > ⇔ m ≠ ( 2) −m  x1 + x2 =  x1 x2 = − m Theo định lí Viét ta có  Để A, B nằm hai phía trục tung x1 , x2 phải trái dấu ⇔ x1 , x2 < ⇔ − m < ⇔ m > 1( 3) Giải điều kiện x > x2 ta có hai cách sau: + Cách 1: Xét dấu x1 , x2 Do x1 < x2 x1 , x2 trai dấu nên x1 < 0; x2 > ⇒ x1 =− x1 ; x2 =x2 Khi x > x2 ⇔ − x1 > x2 ⇔ x2 + x1 < Mà x1 + x2 = −m ⇒ −m < ⇔ m > ( ) + Cách 2: Bình phương hai vế x > x2 Ta có x > x2 ⇔ x > x2 ⇔ x12 − x22 > ⇔ ( x1 + x2 )( x1 − x2 ) > 2 Vì x1 < x2 ⇒ x1 − x2 < ⇒ x1 + x2 < Mà x1 + x2 = −m ⇒ −m < ⇔ m > Kết hợp (2)(3)(4) ta có m > m ≠ Vậy m > m ≠ thỏa mãn tốn 54 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 10: Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho hoành độ giao điểm số nguyên Cách giải: *) Lập phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P), tìm điều kiện để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B *) Viết hệ thức định lí Viét cho hồnh độ giao điểm xB k ( k ∈ Z ) + Nếu tích xA ,= - Ta phân tích k thành tích số nguyên, chọn xA , xB số nguyên tương ứng - Thay giá trị xA , xB tìm vào tổng xA + xB , tìm m + Nếu tổng xA + xB = k ( k ∈ Z ) ta dựa vào tổng để chọn số nguyên thỏa mãn điều kiện cho + Nếu tích xA xB xA + xB biểu thức m, ta cần tìm xA , xB theo cơng thức nghiệm phương trình bậc hai, sau lập luận xA ∈ Z để tìm m, thay m tìm vào xB để kiểm tra xB có ngun hay khơng kết luận giá trị m *) Nếu toán yêu cầu tìm m ngun, dựa vào điều kiện ∆ > để tìm miền chặn m, từ chọn m ngun thử lại tốn 55 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 1: Cho Parabol ( P ) : y = x ( d ) : y = 10 x − m − Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt cho hoành độ xA , xB số nguyên tố Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x = mx + − m ⇔ x − mx + m − 2= (*) y mx + Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm Bài 2: Cho Parabol ( P ) : y = − x ( d ) := phân biệt cho hoành độ xA , xB số nguyên Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: − x = x + m + ⇔ x + x + m + = (1) Ta có ∆ = b − 4ac = −4m − 16 Bài 3: Cho Parabol ( P ) : y = x ( d ) : y = 2mx − 2m − 3m + Tìm giá trị nguyên m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có điểm có hồnh độ ngun Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x =( m − ) x + − m ⇔ x − ( m − ) x − + m =0 (1) ; ∆ =b − 4ac =m − 8m + =( m − ) − (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 ⇔ ∆ > m − > 2 m > + 2 2 ⇔ ( m − 4) − > ⇔ ( m − 4) > ⇔  ⇔  m − < −2  m < − 2 Bài 4: Cho Parabol ( P ) : y = x ( d ) : y = mx − m − 2m + Tìm giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có điểm có hồnh độ ngun Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x 2= mx − ⇔ x − mx + 1= (1) ; ∆= b − 4ac= m + > 0, ∀m ⇒ phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m −m  x1 + x2 =  x1 x2 = −1 Theo định lí Viét ta có  56 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vì x1 x2 =−1 < ⇒ x1 , x2 trái dấu Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B nằm hai phía trục tung Giải điều kiện x1 > x2 ta có hai cách sau + Cách 1: Xét dấu x1 , x2 Do x1 < x2 x1 , x2 trái dấu nên x1 < 0; x2 > ⇒ x1 =− x1 ; x2 =x2 Khi x1 > x2 ⇔ − x1 > x2 ⇔ x2 + x1 < , mà x1 + x2 = −m ⇒ −m < ⇔ m > + Cách 2: Bình phương hai vế x1 > x2 ta được: x1 > x2 ⇔ x1 > x2 ⇔ x12 − x22 > ⇔ ( x1 − x2 )( x1 + x2 ) > 2 Vì x1 < x2 ⇒ x1 − x2 < ⇒ x1 + x2 < , mà x1 + x2 = −m ⇒ −m < ⇔ m > Vậy m > giá trị cần tìm Bài 5: Cho Parabol ( P ) : y = x ( d ) : y = x − m − Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho hồnh độ xA , xB có hồnh độ số ngun tố Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: x = x − m − ⇔ x − x + m + = (1) ; ∆ = b − 4ac = −4m + 21 Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt x A , xB ⇔ ∆ > ⇔ 21 − 4m > ⇔ m < 21 ( 2)  x A + xB =  x A xB= m + Theo định lí Viét ta có  7, hồnh độ x A , xB có hồnh độ số nguyên tố, suy Xét xA + xB = =  x A 2=  x A 5=  x A 3=  xA ; ; ; =  xB 5=  xB 2=  xB 4=  xB ra:  Thay vào tích xA xB= m + - Trường hợp 1: m + = 10 ⇒ m = (thỏa mãn điều kiện 2) - Trường hợp 2: m + = 12 ⇒ m = (thỏa mãn điều kiện 2) 57 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vậy= m 3;= m giá trị cần tìm −6 x + m + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân Bài 6: Cho Parabol ( P ) : y = − x ( d ) : y = biệt A, B cho hồnh độ xA , xB có hoành độ số nguyên tố Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: − x =−6 x + m + ⇔ x − x + m + =0 (1) ; ∆ =b − 4ac =−4m + 24 Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt x A , xB ⇔ ∆ > ⇔ 24 − 4m > ⇔ m < ( )  x A + xB =  x A xB= m + Theo định lí Viét ta có  6, hồnh độ x A , xB có hồnh độ số nguyên tố, suy ra: Xét xA + xB = =  x A 2=  x A 4=  x A 5=  xA ; ; ;  =  xB 4=  xB 2=  xB 1=  xB Thay vào tích xA xB= m + , ta có trường hợp sau - Trường hợp 1: m + = ⇒ m = (thỏa mãn điều kiện 2) - Trường hợp 2: m + = ⇒ m = (thỏa mãn điều kiện 2) y mx + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm Bài 7: Cho Parabol ( P ) : y = ( m − 1) x ( m ≠ 1) ( d ) := phân biệt A, B cho hoành độ xA , xB số nguyên Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: ( m − 1) x 2= mx − ⇔ ( m − 1) x − mx + 1= (1) Ta có ∆= b − 4ac= m − ( m − 1)= ( m − )2 ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x A , xB ⇔ ∆ > ⇔ ( m − 2) > ⇔ m ≠ 2 Vì a + b + c = m − − m + = 0, nên phương trình (1) có hai nghiệm là: = x A 1,= xB 58 m −1 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Vì xA , xB số nguyên, nên Zalo: 0382254027 ∈ Z ⇒ m − ∈ U (1) = {−1;1} m −1 Xét m − =−1 ⇒ m =0 (thỏa mãn) Xét m − = ⇒ m = (loại) Vậy m = giá trị cần tìm Bài 8: Cho Parabol ( P ) : y = ( m − ) x ( m ≠ ) ( d ) : y = ( m − 1) x − Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho hồnh độ xA , xB có hồnh độ số ngun tố chẵn Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: ( m − ) x = ( m − 1) x − ⇔ ( m − ) x − ( m − 1) x + = (1) Ta có ∆= b − 4ac= ( m − 1) − ( m − 2=) ( m − 3) ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x A , xB ⇔ ∆ > ⇔ ( m − 3) > ⇔ m ≠ Vì a + b + c = m − − m + + = 0, nên phương trình (1) có hai nghiệm = x A 1,= xB Do hoành độ xA = khơng phải số ngun tố, nên hồnh độ xB = chẵn ⇒ 1 = ⇔ m − = ⇔ m = (thỏa mãn) m−2 2 Vậy m = giá trị cần tìm m−2 phải số nguyên tố m−2 y ( m + 1) x ( m ≠ −1) ( d ) : y = ( m + 1) x − 3m + Tìm m để (d) cắt (P) Bài 9: Cho Parabol ( P ) : = hai điểm phân biệt A, B cho hoành độ xA , xB số ngun Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( m + 1) x =( m + 1) x − 3m + ⇔ ( m + 1) x − ( m + 1) x + 3m − = (1) Ta có ∆= b − 4ac= ( m + 1) − ( m + 1)( 3m − 6=) ( m + 1)( 25 − 11m ) 59 (d) (P) là: GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt ⇔ ( m + 1)( 25 − 11m ) > ⇒ −1 < m < Zalo: 0382254027 ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x A , xB ⇔ ∆ > 25 ( 2) 11  x A + xB =  Theo định lí Viét ta có  3m − x A xB =  m +1  Xét xA xB = 3m − ( m + 1) − 9 = = 3− m +1 m +1 m +1 Vì xA , xB số nguyên nên xA xB ⇒ ∈ Z ⇒ 9 ( m + 1) hay m + ∈ U ( ) = {−9; −3; −1;1;3;9} m +1 - Xét m + =−9 ⇔ m =−10 (không thảo mãn 2) - Xét m + =−3 ⇔ m =−4 (không thảo mãn 2) - Xét m + =−1 ⇔ m =−2 (không thảo mãn 2) xB =  x A +=  xA  x = −2  A ⇔ −6 −2  x A xB =  xB =  xB = - Xét m + = ⇔ m = 0, ta có  xB =  x A +=  xA x =  A ⇔ =  x A xB 0=  xB  xB = - Xét m + = ⇔ m = 2, ta có  - Xét m + = ⇔ m = (không thảo mãn 2) Vậy= m 0;= m thỏa mãn toán −m x − 2m − Tìm giá trị nguyên dương m Bài 10: Cho Parabol ( P ) : y = x ( d ) : y = để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho hồnh độ xA , xB có hồnh độ ngun Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x =−m x − 2m − ⇔ x + m x + 2m + =0 (1) Ta có ∆= b − 4ac= m − ( m + 2=) m − 8m − ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x A , xB ⇔ ∆ > ⇔ m − 8m − > ( ) Vì m nguyên dương nên ta xét khả sau: - Khi = m 1,= m (2) khơng thỏa mãn 60 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 x A 1,= xB (thỏa mãn toán) - Khi m = ∆ =49, (1) có nghiệm = - Khi m ≥ 4, ta có ∆ = m − 8m − = ( m − ) + ( m − 2m − 3) = ( m − ) + ( m − 1) − 16 > 2 −m2 + ∆ −m2 − ∆ Theo cơng thức nghiệm, phương trình (1) có x1 = = ; x2 2 Khi để phương trình (1) có nghiệm ngun trước hết ∆ phải số phương Ta có ∆= m − 8m − = ( m − ) + ( m − 2m − ) > ( m − ) 2 ∆ = m − 8m − < m Do ( m − ) < ∆ < ( m ) ∆ số phương = ∆ 2 (m − 1) ⇔ m − 8m − = m − 2m + ⇔ 2m − 8m − = (vô nghiệm m nguyên dương) Vậy m = giá trị cần tìm 61