Tom tat kien thuc co ban gt 12

MỤC LỤC PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ .4 1.1 Định nghĩa 1.2 Quy tắc công thức tính đạo hàm 1.3 Bảng công thức tính đạo hàm 1.4 Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức 1.5 Đạo hàm cấp CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 2.4 Quy tắc tìm cực trị .8 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y ax  bx  cx  d 3.2 Cực trị hàm bậc trùng phương y ax4  bx2  c,  a  0 12 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 14 4.1 Định nghĩa 14 4.2 Phương pháp tìm GTLN,GTNN 14 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15 5.1 Đường tiệm cận ngang 15 5.2 Đường tiệm cận đứng 15 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 16 6.1 Khảo sát số hàm đa thức hàm phân thức .16 6.2 Một số phép biến đổi đồ thị 17 TIẾP TUYẾN 20 7.1 Tiếp tuyến 20 7.2 Điều kiện tiếp xúc 20 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ .20 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 21 9.1 Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong 21 9.2 Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun 21 9.3 Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng .21 9.4 Bài tốn tìm điểm đặc biệt, khoảng cách .22 PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT 25 LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 25 1.1 Khái niệm lũy thừa 25 n 1.2 Phương trình x b 25 1.3 Một số tính chất bậc n 26 1.4 Hàm số lũy thừa .26 1.5 Khảo sát hàm số mũ y a x ,  a  0, a 1 27 LOGARIT 28 2.1 Khái niệm Logarit 28 2.2 Bảng tóm tắt cơng thức Mũ-loarrit thường gặp 28 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT .29 3.1 Bất phương trình mũ 29 3.2 Bất phương trình logarit .29 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 30 4.1 Lãi đơn 30 4.2 Lãi kép .30 4.3 Tiền gửi hàng tháng 31 4.4 Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng 31 4.5 Vay vốn trả góp 31 4.6 Bài toán tăng lương 32 4.7 Bài toán tăng trưởng dân số 32 4.8 Lãi kép liên tục 32 PHẦN III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 33 NGUYÊN HÀM 33 1.1 Định nghĩa 33 1.2 Tính chất nguyên hàm .33 1.3 Sự tồn nguyên hàm .33 1.4 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp 33 1.5 Bảng nguyên hàm mở rộng 34 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 35 2.1 Phương pháp đổi biến .35 2.2 Phương pháp nguyên hàm phần 36 TÍCH PHÂN 37 3.1 Cơng thức tính tích phân 37 3.2 Tính chất tích phân 37 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 38 4.1 Phương pháp đổi biến .38 4.2 Phương pháp tích phân phần .39 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN .39 5.1 Tích phân hàm hữu tỉ 39 5.2 Tích phân hàm vơ tỉ 41 5.3 Tích phân hàm lượng giác 44 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 47 6.1 Diện tích hình phẳng .47 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay 47 SỐ PHỨC 49 1.1 Khái niệm số phức 49 1.2 Hai số phức 49 1.3 Biểu diễn hình học số phức 49 1.4 Số phức liên hợp 49 1.5 Môđun số phức 49 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 50 2.1 Phép cộng phép trừ số phức .50 2.2 Phép nhân số phức 50 2.3 Chia hai số phức .50 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 50 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 51 4.1 Căn bậc hai số thực âm 51 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực 51 BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MƠ ĐUN SỐ PHỨC .51 PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số   y f x xác định K ta có:  Hàm số   gọi đồng biến (tăng) K nếu: y f x     x1, x2  K , x1  x2  f x1  f x2  Hàm số   y f x gọi nghịch biến (giảm) K nếu:     x1, x2  K , x1  x2  f x1  f x2 Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K * Nhận xét:   đồng biến K f x    Hàm số   x2  x1  Hàm số hàm số lên từ trái sang phải f x    0  x ,x f x2  f x1     K ,  x1  x2 Khi đồ thị    0  x , x f x2  f x1  x2  x1 nghịch biến K  K ,  x1  x2 Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải  Nếu  Nếu    f  x   0, x   a; b     Nếu  Nếu  Nếu   f  x  0, x  a;b  hàm số hàm số     đồng biến khoảng  a;b f x   nghịch biến khoảng  a;b f x     f  x  0, x  a;b  f x a;b hàm số không đổi khoảng   đồng biến khoảng  a;b  f  x  0, x   a;b f x   nghịch biến khoảng  a;b  f  x  0, x   a;b f x  Nếu thay đổi khoảng giả thiết “hàm số  a;b một đoạn nửa khoảng phải bở sung thêm   liên tục đoạn hoặc nửa khoảng đó” f x 1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm Quy tắc tính đạo hàm: Cho     u u x ; v  v x ; C : số  Tổng, hiệu:  Tích:  u v  u v  u.v  u.v  v.u  C u  C u  u  u.v  v.u  C  C u  , v        2 v v u u  Thương:     Đạo hàm hàm hợp: Nếu      y  f u , u u x  yx yu.ux 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ cấp  C 0 (C số) Đạo hàm hàm hợp  x  x       x    x  u    u      (x  0) x x   u    u  u u  x   21x  x  0  u   2uu  u  0  sin x  cosx  cosx   sin x  sinu  u.cosu  cosu   u.sin u  tan x  cos1 x  tanu  cosu u  cot x   sin1 x  cot u   sinu u  e   e  a   a lna  ln x    x1  e   u.e  a   u.a lna  ln u    uu  log x    x ln1 a u  log u    u.ln a 1    x u x u u a u a 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức   ax  b  ad  bc     cx  d  cx  d   2 x u  x 1     ax2  bx  c      dx  ex  f  a   b a   c b   c x 2 x d   e d   f e   f  dx  ex  f  1.5 Đạo hàm cấp 1.5.1 Định nghĩa f  x   f  x    1.5.2 Ý nghĩa học Gia tốc tức thời chuyển động  s f t thời điểm t0 là:     a t0  f  t0 1.5.3 Đạo hàm cấp cao f  n   x   f    x  ,  n  , n 2 n * Một số ý:   f x  Nếu hàm số     f x g x hiệu  Nếu hàm số   g x đồng biến (nghịch biến) K Tính chất không     f x  gx   f x K hàm số   g x     f x g x hàm số dương đồng biến (nghịch biến) đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hàm số  Cho hàm số xác định với đồng biến (nghịch biến) K hàm số     f x ,g x không hàm số dương K   , xác định với x   a;b u u x   x  a;b     Hàm số u x  c;d f  u  x   Ta có nhận xét sau:  Giả sử hàm số với     u u x   x  a;b  f u  Giả sử hàm số biến với đồng biến với đồng biến với   u u x x   a; b   f  u    Khi đó, hàm số x  a;b u   c; d  nghịch biến với nghịch biến với f  u  x   đồng biến x   a; b  Khi đó, hàm số   f u x    nghịch   u  c;d Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K  Nếu   f ' x 0 với x  K   f ' x 0 số hữu hạn điểm x  K hàm số f đồng biến K     f ' x 0 f ' x 0 với x  K số hữu hạn điểm x  K hàm số f nghịch biến K  Nếu Chú ý: y * Đối với hàm phân thức hữu tỉ đạo hàm y không xảy ax  b  d  x   cx  d  c dấu "  " xét dấu     y  f x ax3  bx2  cx  d  f  x  3ax2  2bx  c Giả sử Hàm số đồng biến  Hàm số nghịch biến   a       f  x  0; x     a    b    c   a       f  x  0; x     a    b    c      Trường hợp hệ số c khác a b c  0thì   f x d (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều khoảng có độ dài l ta giải sau: Bước 1: Tính   y  f  x;m ax2  bx  c  x ;x   y  có nghiệm phân biệt Bước 2: Hàm số đơn điệu     a   * Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài l   x1  x2 l  x1  x2 Bước 4: Giải  * giao với   4x1x2 l  S  P l  * * để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa x K Giả sử hàm số f xác định tập K Ta nói:  * *  a; b  chứa x0 cho  x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng  a; b   K f  x  f  x  , x   a;b \  x  Khi f  x  0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f  x0   a;b x điểm cực đại hàm số f tồn khoảng chứa cho  a; b   K f  x  f  x  , x   a;b \  x  Khi f  x  0 gọi giá trị cực đại hàm số f  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số    x ; f x0  Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm đồ thị hàm số f gọi điểm cực trị * Nhận xét:  Giá trị cực đại (cực tiểu)   nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ nhất) f x0   f x0 hàm số f tập D; giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng  a;b chứa khoảng (a;b) chứa khoảng x0 x0 hay nói cách khác cho x0 điểm cực đại ( cực tiểu) tồn   giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f f x0  a;b  Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập K Hàm số khơng có cực trị tập cho trước 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số x0   đạt cực trị điểm x Khi đó, y  f  x y f x có đạo hàm điểm   f  x0  Chú ý:  Đạo hàm f  x  điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0  Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm  Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: x x Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm Khi đó, hàm số f có đạo hàm điểm f '  x0  0  Nếu   f x  khoảng x   f x  khoảng    f x  khoảng  x ;x 0 h  x0 x0   f x một điểm cực đại hàm số  Nếu  h;x0 x một điểm cực tiểu hàm số  h;x0    f x  khoảng x ;x 0  h   f x 2.4 Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm  Bước 2: Tìm điểm xi   f x  i 1;2;  mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm  Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu hàm số đạt cực trị xi   Nếu f  x f x đổi dấu qua Định lí 3: Giả sử   y f x  Nếu  Nếu có đạo hàm cấp khoảng   x  h;x0  h  với h  Khi đó:   x hàm số f đạt cực đại   x hàm số f đạt cực tiểu f  x0  0, f  x0  f  x0  0, f  x0  Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2:  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm  Bước 2: Tìm nghiệm  Bước 3: Tính  Nếu   f  x   f  xi    f x   xi i 1;2; tính phương trình   f  xi x hàm số f đạt cực đại điểm i   f  x  xi  Nếu   f  xi  hàm số f đạt cực tiểu điểm xi MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y ax  bx  cx  d 3.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước Bài tốn tổng qt: Cho hàm số đại, cực tiểu   y  f x;m ax3  bx2  cx  d x1, x2 Tìm tham số m để hàm số có cực thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp:  Bước 1:  Tập xác định: D  2  Đạo hàm: y  3ax  2bx  c Ax  Bx  C  Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu)  y  có hai nghiệm phân biệt y đổi dấu qua nghiệm  phương trình y  có hai nghiệm phân biệt A  3a      B  4AC  4b2  12ac   y  a   m  D1  b  3ac   Bước 3: Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình y   B 2b  x1  x2  A 3a  C c x x   A 3a Khi đó:   Bước 4: Biến đởi điều kiện K dạng tởng S tích P Từ giải tìm được m  D2  Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: * Chú ý: Hàm số bậc ba: m  D1  D2   y ax3  bx2  cx  d a  Ta có: y '  3ax  2bx  c Điều kiện b  3ac  Kết luận Hàm số khơng có cực trị 10