Tom tat kien thuc on tap toan 12 HK1

TĨM TẮT KIẾN THỨC ƠN TẬP HỌC KỲ I MƠN TOÁN 12 Kiến thức 1: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Định lí Viet thuận Phương trình bậc hai (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎) −𝑏  Tổng nghiệm: 𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 =  Tích nghiệm: 𝑃 = 𝑥1 𝑥2 = 𝑐 𝑎 𝑎 Điều kiện nghiệm phương trình bậc hai  Có nghiệm trái dấu⇔ 𝑎 𝑐 < 𝛥>0  Có nghiệm dấu⇔ { 𝑃>0 𝛥>0  Có nghiệm dương ⇔ {𝑆 > 𝑃>0 𝛥>0  Có nghiệm âm ⇔ {𝑆 < 𝑃>0 Định lí Viet đảo 𝛼+𝛽 =𝑆 Nếu 𝛼, 𝛽 hai số có: { 𝛼 𝛽 = 𝑃 chúng nghiệm phương trình:𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎 Phương trình bậc hai chứa tham số thỏa điều kiện cho trước  𝑥1 < 𝑎 < 𝑥2 ⇔{ 𝑥1 − 𝑎 < 𝛥>0 ⇔{ (𝑥1 − 𝑎)(𝑥2 − 𝑎) < 𝑥2 − 𝑎 >  𝑥1 < 𝑥2 < 𝑎 𝛥>0 𝑥1 − 𝑎 < ⇔{ ⇔ {(𝑥1 − 𝑎) + (𝑥2 − 𝑎) < 𝑥2 − 𝑎 < (𝑥1 − 𝑎)(𝑥2 − 𝑎) >  𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 𝛥>0 𝑥 −𝑎 > ⇔{ ⇔ {(𝑥1 − 𝑎) + (𝑥2 − 𝑎) > 𝑥2 − 𝑎 > (𝑥1 − 𝑎)(𝑥2 − 𝑎) > Kiến thức 2: ĐẠO HÀM Hàm sơ cấp Hàm hợp Hàm thường gặp Hàm thường gặp (𝐶 )′ = (𝑢𝛼 )′ = 𝛼𝑢𝛼−1 𝑢′ (𝑥 )′ = 𝑢′ ′ ( 𝑢) = √ (𝑥 𝑛 )′ = 𝑛 𝑥 𝑛−1 2√𝑢 ′ ′ −𝑢′ (√𝑥) = ( ) = 2√𝑥 𝑢 𝑢 ′ −1 ( ) = 𝑥 𝑥 Hàm lượng giác (𝑠𝑖𝑛 𝑥 )′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Hàm lượng giác (𝑐𝑜𝑠 𝑥 )′ = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 (𝑠𝑖𝑛 𝑢 )′ = 𝑢.′ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 (𝑐𝑜𝑠 𝑢)′ (𝑡𝑎𝑛 𝑥 )′ = = −𝑢′ 𝑠𝑖𝑛 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑢′ (𝑐𝑜𝑡 𝑥 )′ = − ′ (𝑡𝑎𝑛 𝑢) = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑢 Hàm mũ-logarit (𝑐𝑜𝑡 𝑢)′ 𝑥 𝑥 (𝑎 )′ = 𝑎 𝑙𝑛 𝑎 𝑢′ (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥 =− 𝑠𝑖𝑛2 𝑢 Quy tắc tính * Quy tắc: (𝑢 ± 𝑣 )′ = 𝑢′ ± 𝑣′ (𝑢 𝑣 )′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑣′ 𝑢 𝑢 𝑢′ 𝑣 − 𝑣′ 𝑢 ( )= 𝑣 𝑣2 * CT Tính nhanh: ( 𝑎𝑥+𝑏 ′ 𝑎𝑑−𝑏𝑐 ) = (𝑐𝑥+𝑑)2 𝑐𝑥+𝑑 ′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎𝑑𝑥 + 2𝑎𝑒𝑥 + 𝑏𝑒 − 𝑑𝑐 ( ) = (𝑑𝑥 + 𝑒)2 𝑑𝑥 + 𝑒 ′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ( ) 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 (𝑎𝑏1 − 𝑎1 𝑏)𝑥 + 2(𝑎𝑐1 − 𝑎1 𝑐)𝑥 + (𝑏𝑐1 − 𝑏1 𝑐) = (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 )2 Ứng dụng Phương trình tiếp tuyến 𝑦 = 𝑓′(𝑥0 ) (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0 www.luyenthivn.com Trang 1 𝑥 𝑙𝑛 𝑎 (𝑙𝑛 𝑥 )′ = 𝑥 (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 )′ = Hàm mũ-logarit (𝑎𝑢 )′ = 𝑢′ 𝑎𝑢 𝑙𝑛 𝑎 (𝑒 𝑢 )′ = 𝑢′ 𝑒 𝑢 𝑢′ (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢 )′ = 𝑢 𝑙𝑛 𝑎 𝑢′ (𝑙𝑛 𝑢 )′ = 𝑢 + (𝑥0 ; 𝑦0 )là tọa độ tiếp điểm + 𝑓′(𝑥0 ) hệ số góc Ứng dụng vật lí Một chuyển động với quãng đường 𝑠(𝑡)có: + Vận tốc: 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) + Gia tốc: 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = 𝑠′′(𝑡) Kiến thức 3: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ Khảo sát biến thiên  Các bước khảo sát Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’ Bước 3: Tìm nghiệm y’ điểm y’ khơng xác định Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến  Áp dụng giải phương trình + Nếu 𝑓 tăng (giảm) và𝑓(𝑥0 ) = 𝑎 phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑎 có nghiệm 𝑥 = 𝑥0 + Nếu 𝑓 tăng 𝑔 giảm và𝑓(𝑥0 ) = 𝑔(𝑥0 ) phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) có nghiệm 𝑥 = 𝑥0 + Nếu 𝑓 tăng (giảm) tập xác định D thì: f (u)  f (v)  u  v (ví i u,v  D) Tìm cực trị  Cách 1: Dùng BBT (Tương tự bước mục 1)  Cách 2: Dùng y’’ Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’ Bước 3: Tìm nghiệm 𝑥𝑖 y’ Bước 4: Tính 𝑦′′ Bước 5: Tính 𝑦′′(𝑥𝑖 ) Bước 6: Kết luận 𝑦′′(𝑥𝑖 ) < ⇒ 𝑥𝑖 điểm cực đại 𝑦′′(𝑥𝑖 ) > ⇒ 𝑥𝑖 điểm cực tiểu Tìm max,  Max, đoạn [a;b] Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’ Bước 3: Tìm điểm xi nghiệm y’ điểm mà y’ không xác định khoảng (a,b) Bước 4: Tính giá trị f(xi), f(a), f(b) Bước 5: So sánh kết luận Max,  Max, khoảng nửa khoảng Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’ Bước 3: Tìm nghiệm y’ điểm y’ không xác định khoảng (a,b) Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận Max, Tìm tiệm cận  Tiệm cận ngang Bước 1: Tính 𝑙𝑖𝑚 𝑦 = 𝑦1 𝑥→+∞ ⇒ 𝑦 = 𝑦1 tiệm cận ngang Bước 2: Tính 𝑙𝑖𝑚 𝑦 = 𝑦2 𝑥→−∞ ⇒ 𝑦 = 𝑦2 tiệm cận ngang Chú ý: Nếu hai giới hạn đths có TCN  Tiệm cận đứng Bước 1: Tìm điểm 𝑥0 điểm khơng xác định hàm số( với hàm phân thức thường nghiệm mẫu) Bước 2: Kiểm tra điều kiện: 𝑙𝑖𝑚+ 𝑥 = ±∞ 𝑥→𝑥0 𝑙𝑖𝑚 𝑥 = ±∞ 𝑥→𝑥0− ⇒ 𝑥 = 𝑥0 tiệm cận đứng www.luyenthivn.com Trang Kiến thức 4: CÁC DẠNG ĐỒ THỊ Hàm số bậc ba𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑 (𝑎 ≠ 0) Số nghiệm 𝑦′ y O nghiệm (2 cực trị) y x x O 𝑎0 y y O nghiệm (0 cực trị) x x O 𝑎>0 𝑎0 Số nghiệm 𝑦′ 𝑎0 𝑎0 𝑎 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 < Các dạng toán liên quan đến đồ thị  Tương giao hai đồ thị (tìm giao điểm)𝒚 = 𝒇(𝒙); 𝒚 = 𝒈(𝒙) Bước 1: Tìm nghiệm 𝑥0 phương trình hồnh độ giao điểm𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) Bước 2: Thay vào công thức 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)  Phương trình tiếp tuyến Cơng thức: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) (𝑥0 ; 𝑦0 ) tọa độ tiếp điểm 𝑓′(𝑥0 ) Là hệ số góc www.luyenthivn.com Trang Được tung độ 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑔(𝑥0 ) ⇒Giao điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑦0 ) * Các trường hợp đặc biệt: + Giao với trục hoành (trục Ox): 𝑦 = + Giao với trục tung (trục Oy): 𝑥 = * Các trường hợp đặc biệt: + Tiếp tuyến song song với đường thẳng: 𝑑: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⇒ 𝑓′(𝑥0 ) = 𝑎 + Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: 𝑑: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⇒ 𝑓′(𝑥0 ) 𝑎 = − Kiến thức 5: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Tịnh tiến đồ thị hàm số Hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥 )có đồ thị đường cong(𝐶 )  Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙) + 𝒂: Tịnh tiến (𝐶 ) lên 𝑎 đơn vị  Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙) − 𝒂: Tịnh tiến (𝐶 )xuống 𝑎 đơn vị  Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙 + 𝒂): Tịnh tiến (𝐶 )sang trái 𝑎 đơn vị  Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙 − 𝒂): Tịnh tiến (𝐶 )sang phải 𝑎 đơn vị Suy biến đồ thị Hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥 )có đồ thị đường cong(𝐶 )  Đồ thị hs 𝒚 = −𝒇(𝒙): Lấy đối xứng (C) qua Ox  Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(−𝒙): Lấy đối xứng (C) qua Oy  Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(|𝒙|): + Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶 )bên phải Oy, bỏ phần bên trái + Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶 ) giữ lại qua Oy  Đồ thị hs 𝒚 = |𝒇(𝒙)|: + Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶 ) nằm 𝐴(2; −3), bỏ phần đồ thị(𝐶 ) phía 𝐴(2; −3) + Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶 ) bị bỏ qua 𝑦 = 2𝑥−1 1−𝑥 𝑓 (𝑥 ) ≥ 𝑦 = ±𝑓(𝑥 ) + Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶 ) nằm 𝑦 = 2𝑥−1 ;, bỏ phần đồ thị nằm phía dưới𝐴(2; −3) 𝑥−1 + Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶 ) giữ lại qua 2𝑥−1 𝑦=  Đồ thị hs |𝑦| = 𝑓 (𝑥 ) ⇔ { 1−𝑥 www.luyenthivn.com Trang Kiến thức 6: LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT Lũy thừa  Định nghĩa Lũy thừa mũ nguyên dương:𝒂𝒏 𝟏 Lũy thừa mũ nguyên âm: 𝒂−𝒏 = 𝒏 𝒂 Lũy thừa mũ 0: 𝒂𝟎 = 𝟏 𝒎 𝒏 Lũy thừa mũ hữu tỉ: 𝒂 𝒏 = √𝒂𝒎 Lũy thừa mũ vơ tỉ: 𝒂𝜶  Tính chất (𝑎 ∈ ℝ) (𝑎 ≠ 0) (𝑎 ≠ 0) ( 𝑎 > 0) (𝑎 > 0) 𝑎𝛼 ⋅ 𝑎𝛽 = 𝑎𝛼+𝛽 𝑎𝛼 𝑎𝛽 = 𝑎𝛼−𝛽 (𝑎𝛼 )𝛽 = 𝑎𝛼.𝛽 (𝑎𝑏)𝛼 = 𝑎𝛼 ⋅ 𝑏 𝛼 𝒂 𝜶 𝒂𝜶 ( ) = 𝜶 𝒃 𝒃  Định nghĩa Số a bậc n b 𝑎𝑛 = 𝑏  Chú ý: 𝑛 + Số dương b có bậc chẵn: ± √𝑏 𝑛 + Số thực b có bậc lẻ: √𝑏 𝑛 + √0 = 0(∀𝑛 ∈ ℕ ∗, 𝑛 ≥ 2) Căn bậc n  Tính chất Với a, b số dương: 𝒏 𝒏 𝒏 √𝒂 √𝒃 = √𝒂𝒃 𝒏 √𝒂 𝒏 𝒂 = √ (𝒃 > 𝟎) 𝒃 √𝒃 𝒏 𝒏 𝒎 𝒏 ( √𝒂) = √𝒂𝒎 (𝒂 > 𝟎) 𝒎 𝒏 √ √𝒂 = 𝒎𝒏√𝒂 𝒏 √𝒂𝒏 = {  Định nghĩa Với số dương𝑎, 𝑏và 𝑎 ≠ 0: 𝛼 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 ⇔ 𝑎𝛼 = 𝑏 Logarit thập phân: 𝑙𝑜𝑔10 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑙𝑔 𝑏 Logarit tự nhiên: 𝑙𝑜𝑔 𝑒 𝑏 = 𝑙𝑛 𝑏  Tính chất 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝟏 = 𝟎 𝒂 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 = 𝒃 = ếẻ || ếẵ Logarit  Quy tắc tính Lơgarit của tích: log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2 Lôgarit của thương: log a b1  log a b1  log a b2 b2 Lôgarit của lũy thừa: log a b   log a b Đổi số: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 ⇔ 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 Đặc biệt: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = www.luyenthivn.com 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 ; log a b   log a b Trang So sánh hai lũy thừa logarit  So sánh hai lũy thừa số  So sánh hai logarit số 𝜶 𝜷 + Nếu 𝒂 > 𝟏: 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃𝟏 < 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃𝟐 ⇔ + Nếu 𝒂 > 𝟏: 𝒂 < 𝒂 ⇔ 𝜶 < 𝜷 𝜶 𝜷 𝒃𝟏 < 𝒃𝟐 + Nếu 𝟎 < 𝒂 < 𝟏: 𝒂 < 𝒂 ⇔ 𝜶 > 𝜷 + Nếu 𝟎 < 𝒂 < 𝟏: 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃𝟏 < 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃𝟐 ⇔  So sánh hai lũy thừa số mũ (cơ số 𝒃𝟏 > 𝒃𝟐 dương) 𝒎 𝒎 + Nếu 𝒎 > 𝟎: 𝒂 < 𝒃 ⇔ 𝒂 < 𝒃 + Nếu 𝒎 < 𝟎: 𝒂𝒎 < 𝒃𝒎 ⇔ 𝒂 > 𝒃 Kiến thức 7: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Hàm số lũy thừa  Dạng tổng quát 𝑦 = 𝑥 𝛼 với 𝛼 ∈ ℝ TXĐ: + 𝛼nguyên dương: 𝐷 = ℝ + 𝛼 nguyên âm 0: 𝐷 = ℝ\{0} + 𝛼 không nguyên: 𝐷 = (0; +∞)  Đạo hàm (𝑥 𝛼 )′ = 𝛼 𝑥 𝛼−1 Đối với hàm hợp: (𝑢𝛼 )′ = 𝛼 𝑢𝛼−1 𝑢′ Hàm số mũ Hàm số logarit  Dạng tổng quát 𝑦 = 𝑎 𝑥 , (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) TXĐ: 𝐷 = ℝ  Dạng tổng quát 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 , (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) TXĐ: 𝐷 = (0; +∞)  Đạo hàm (𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛 𝑎 Đặc biệt: (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥  Đạo hàm (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 )′ = Đối với hàm hợp: (𝑎𝑢 )′ = 𝑢′ 𝑎𝑢 𝑙𝑛 𝑎 Đặc biệt: (𝑒 𝑢 )′ = 𝑒 𝑢 𝑢′ 𝑥 𝑙𝑛 𝑎 Đặc biệt: (𝑙𝑛 𝑥)′ = 𝑥 Đối với hàm hợp: 𝑢′ (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢 = 𝑢 𝑙𝑛 𝑎 )′ Đặc biệt: (𝑙𝑛 𝑢)′ = 𝑢′ 𝑢 Kiến thức 8: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Phương trình mũ Phương trình logarit  Phương trình mũ  Phương trình logarit 𝑥 Dạng TQ: 𝑎 = 𝑏với < 𝑎 ≠ Dạng TQ: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏với < 𝑎 ≠ Nghiệm: Điều kiện: 𝑥 > + Nếu 𝑏 ≤ phương trình vơ nghiệm Nghiệm: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = 𝑎𝑏 𝑥 + Nếu 𝑏 > 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏  Một số phương pháp giải  Một số phương pháp giải - Đưa số (chú ý trường hợp số (Chú ý đặt điều kiện phương trình) ẩn cần xét thêm trường hợp số 1) - Đưa số - Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ) - Đặt ẩn phụ - Logarit hóa - Mũ hóa www.luyenthivn.com Trang Kiến thức 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bất phương trình mũ  Bất phương trình mũ Dạng TQ: 𝑎 𝑥 > 𝑏 (với < 𝑎 ≠ 1) (hoặc𝑎 𝑥 < 𝑏; 𝑎 𝑥 ≥ 𝑏; 𝑎 𝑥 ≤ 𝑏) Nghiệm: + Nếu b 𝑏vô số nghiệm + Nếu b>0: 𝑎𝑥 > 𝑏 𝑎𝑥 < 𝑏 𝑎>1 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑥 < 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 0 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑏 (với < 𝑎 ≠ 1) (hoặc 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 < 𝑏; log a x  b; 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 ≤ 𝑏 ) Điều kiện: 𝑥 > Nghiệm: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑏 𝑥 > 𝑎𝑏 𝑥 < 𝑎𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 < 𝑏 𝑥 < 𝑎𝑏 𝑥 > 𝑎𝑏 𝑎>1 0