Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu vai trò khái quát hoá, đặc biệt hoá trong việc giải toán.
Nghiên cứu và vận dụng các phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa trong việc giải toán.
Phương pháp nghiên cứu
-Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan tới phương pháp giải bài toán bằng phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá.
- Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với một số giáo viên THPT để tham khảo các kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán bằng phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá.
Bố cục của đề tài
Khoá luận gồm có 2 chương sau:
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.3 Vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá trong việc giải bài toán sơ cấp CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ
TRONG DẠY VÀ HỌC TOÁN
2.1 Vận dụng khái quát hoá để mở rộng bài toán
2.2 Vận dụng đặc biệt hoá để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
2.3 Một số vận dụng trong hình học
2.4 một số vận dụng liên quan đến định lí Viet đối với phương trình bậc hai và phương trình bậc ba
2.4.1 Phương trình bậc hai2.4.2 Phương trình bậc ba2.5 Một số vận dụng khác
2.5.1 Chứng minh bất đẳng thức2.5.2 Chứng minh đẳng thức
CƠ SỞ LÝ LUẬN
Vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá trong việc giải bài toán sơ cấp
TRONG DẠY VÀ HỌC TOÁN
2.1 Vận dụng khái quát hoá để mở rộng bài toán
2.2 Vận dụng đặc biệt hoá để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
2.3 Một số vận dụng trong hình học
2.4 một số vận dụng liên quan đến định lí Viet đối với phương trình bậc hai và phương trình bậc ba
2.4.1 Phương trình bậc hai2.4.2 Phương trình bậc ba2.5 Một số vận dụng khác
VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ TRONG DẠY HỌC VÀ HỌC TOÁN
Vận dụng đặc biệt hoá để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
Một số vận dụng khác
2.5.1 Chứng minh bất đẳng thức2.5.2 Chứng minh đẳng thức
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
Theo G.Polya: “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn bao gồm cả tập hợp ban đầu.
Còn theo Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn hơn tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” trong “Phương pháp dạy học môn Toán”.
“Chẳng hạn, chúng ta khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu tam giác sang việc nghiên cứu tứ giác, rồi đa giác bất kỳ với số cạnh bất kỳ Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác thường Chúng ta có thể chuyển việc nghiên cứu bất đẳng thức cho hai số sang bất đẳng thức cho n số tuỳ ý…Trong các ví dụ này cho thấy chúng ta thường thấy chúng ta thường khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó”.
Hãy xét ví dụ sau: Ở lớp 9 ta có định lí sau: “Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn”.
Ta có ba trường hợp sau:
Hình 1a: Tâm O nằm bên ngoài góc.
Hình 1b: Tâm O nằm trên cạnh của góc.
HÌnh 1c: Tâm O nằm bên trong góc.
Trong ba trường hợp trên ta đều chứng minh được góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung qua tiếp điểm bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung do đó cũng bằng nửa số đo của cung bị chắn Từ đó bằng khái quát hoá chúng ta đi đến quy luật phổ biến đối với mọi góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung qua tiếp điểm đều bằng một nửa số đo cung bị chắn Như vậy, trên cơ sở nghiên cứu ba trường hợp riêng lẻ có thể xảy ra (và chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp trên mà thôi) ta đã khái quát được vấn đề đặt ra.
Theo G.Polya: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”.
Có thể hiểu đặc biệt hoá là quá trình ngược lại của khái quát hoá.
Chẳng hạn chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ nghiên cứu một đa giác sang nghiên cứu một tam giác (là một đa giác đặc biệt có số cạnh bằng 3), ta tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển từ tam giác sang tam giác đều (là một tam giác đặc biệt có các cạnh bằng nhau).
Trong hai bước đặc biệt hoá trên đã tiến hành theo các hướng khác nhau.Trong lần đầu (từ đa giác sang tam giác) ta thay một biến bởi một hằng số cụ thể
( = 3); trong lần thứ hai (từ tam giác bất kì sang tam giác đều) chúng ta đã quy định những điều hạn chế (tam giác phải có các cạnh bằng nhau).
Ta dùng đặc biệt hoá để minh hoạ, giải thích những khái niệm, định lí tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể Đặc biệt hoá thường được sử dụng trong các bài toán dựng hình, tìm quỹ tích, phương pháp này giúp ta mò mẫm, dự đoán quỹ tích trên cơ sở đó hình thành phương pháp chứng minh cho toàn bộ bài toán.
Ta xét ví dụ sau: “Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn” Ta chỉ xét hai đường tròn không cắt nhau có bán kính ! > "
Nếu giải trực tiếp bài toán này rất khó khăn Ta xét trường hợp đường tròn ( " ; " )là đường tròn điểm Lúc đó cách dựng như sau: dựng đường tròn đường kính " ! , đường tròn này cắt ( ! ) tại và thì " và " là hai tiếp tuyến của đường tròn ( ! ) qua điểm " (hình 2a).
Trở lại bài toán ban đầu, ta vận dụng bài toán trên bằng cách dựng tiếp tuyến từ tâm " đến đường tròn ( ! , ! −
" ) Sau đó dựng hai đường thẳng lần lượt
SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 8 song song với hai tiếp tuyến vừa dựng được, ta dựng được tiếp tuyến ngoài chung của hai đường tròn (hình 2b) Tương tự ta dựng được hai tiếp tuyến trong bằng cách dựng tiếp tuyến từ tâm " đến đường tròn ( ! , ! + " ), rồi cùng dựng hai đường thẳng lần lượt song song hai đường đó, đó chính là hai tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn.
1.3 Vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá trong việc giải bài toán sơ cấp
Khái quát hoá, đặc biệt hoá có vai trò rất quan trọng trong Toán học, nó trở thành phương pháp suy nghĩ sáng tạo và luôn là nguồn gốc của nhiều phát minh.
Nó giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán, tìm phương pháp giải toán, mở rộng, đào sâu kiến thức.
Khi giải một bài toán, phương pháp chung là đưa nó về một bài toán đơn giản hơn sao cho khi giải bài toán này thì có thể giải được bài toán đã cho Khi đó các phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá có nhiều tác dụng.
Trong lịch sử Toán học, có nhiều bài toán mà suốt hàng chục năm, thậm chí hàng trăm năm, biết bao thế hệ nhà Toán học của nhiều nước với biết bao công sức chỉ mới giải được một số trường hợp đặc biệt.
