Bài toán tháp hà nội với chuyển động xoay vòng

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HỒNG NHUNG BÀI TỐN THÁP HÀ NỘI VỚI CHUYỂN ĐỘNG XOAY VỊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………… Lời nói đầu………………………………………………………… Chƣơng Một số cải biên toán Tháp Hà Nội…… … 1.1 Lịch sử toánTháp Hà Nội ……………………… 1.2 Một số phát triển cải biên toán Tháp Hà Nội …… 15 1.3 Tài liệu toán Tháp Hà Nội 26 Chƣơng Bài toán Tháp Hà Nội với chuyển động xoay vòng 28 2.1 Các tính chất tốn Tháp Hà Nội xoay vịng 28 2.2 Thuật tốn lặp cho tốn Tháp Hà Nội xoay vịng 45 2.3 Bài toán Tháp Hà Nội với hạn chế chuyển động đĩa 52 Kết luận…………………………………………………………… 64 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 65 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI NÓI ĐẦU Bài toánTháp Hà Nộiđược nhà toán họcPháp EdouardLucas nghĩ năm 1882 (xem [17]) phổ biếnvào năm 1883dưới dạng trị chơi, tốn thường giới thiệu sách trị chơi tốn học sử dụng giáo trình Tin học ví dụ điển hình thuật giải đệ qui, lập trình độ phức tạp tính tốn Trị chơi Tháp Hà Nộikhơng thú vị chỗ mang tên Hà Nội, thủ Việt Nam mà cịn hấp dẫn nhà nghiên cứu Tốn học Cơng nghệ thơng tin liên quan đến nhiều vấn đề Toán – Tin học giải thuật đệ qui, hệ đếm, tam giác Pascal, thảm Sierpinski, Fractal, lý thuyết đồ thị chu trình Hamilton, ơtơmát hữu hạn, độ phức tạp tính tốn, Các toán Tháp Hà Nộimở rộng cải biên gợi ý cho nhiều nghiên cứu toán học khoa học máy tính Đã có hai sách chuyên khảo đầu tiênviết Bài toán Tháp Hà Nội:The Tower of Hanoi –Myths and Maths[16]của Andreas M Hinz, Sandi Klavžar, Uroš Milutinović, Ciril Petrxuất năm 2013 sách hai tập Classical Tower of Hanoi Problem and Its Generalizations[18] A.A.K Majumdar xuất năm 2012 – 2013.Chỉ tính riêng số báo nghiên cứu tốn Tháp Hà Nội lĩnh vực Toán học Tin học có đến gần 500 với khoảng 250 với đầu đề có cụm từ "The Tower of Hanoi", đăng gần 200 tạp chí khoa học có uy tín(xem thống kê Tài liệu [7], [16] [22], tiếc chưa có nghiên cứu người Việt Nam toán Tháp Hà Nội) Đó chưa kể đến viết sử dụng toán Tháp Hà Nội khoa học giáo dục,sinh – y học sách tin học hay tốn trị chơi, có trình bày trị chơi Tháp Hà Nội Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Sau 100 năm, toánTháp Hà Nội có cải biên tổng qt hóa (trị chơi Tháp Hà Nội với nhiều cọc, trò chơi Tháp Hà Nội với đĩa màu, trò chơi Tháp Hà Nội với hạn chế hướng chuyển đĩa, trò chơi Tháp Hà Nội song song, ) Những cải biên tổng quát hóa dẫn đến vấn đề tốn học thú vị, chí dẫn tới nhiều tốn chưa có lời giải Dựa báo tác giả nước ngồi, Luận văn Bài tốn Tháp Hà Nội với chuyển động xoay vịngcó mục đích trình bày tính chất tốn Tháp Hà Nộivới hạn chế đặt lên chuyển động – biến thể toán Tháp Hà Nội,đặc biệt mơ tả giải thuật lặp để giải tốnTháp Hà Nội xoay vòng Luận văn gồm Phần mở đầu, hai chương Tài liệu tham khảo Chƣơng 1Một số cải biên toánTháp Hà Nội Chương giới thiệu tổng quan lịch sử phát triển trò chơi Tháp Hà Nội số biến thể toán Các tư liệu Chương bổ sung chi tiết thời so với [3] [5] Chƣơng 2Bài toán Tháp Hà Nội với chuyển động xoay vịng Chương 2trình bày tính chất,lời giải toán giải thuật lặp toán Tháp Hà Nộivới chuyển động xoay vịng Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tìnhcủa PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học Đặc biệt Thầy cung cấp nhiều tài liệu biên tập kĩ luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy Tơi xin cảm ơn khoa Tốn – Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun Trường Trung học Phổ thơng Hịn Gai –Thành phốHạLong quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè cổ vũ động viên tơi suốt q trình học cao học làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Hạ Long, 10.4.2015 Trần Thị Hồng Nhung CHƢƠNG I MỘT SỐ CẢI BIÊN CỦA BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI 1.1 Lịch sử Bài toán Tháp Hà Nội Dưới tư liệu q trị chơiTháp Hà Nội: Bìa hộp đựngtrò chơi Tháp Hà Nội(được làm gỗ),sản xuất lần Paris năm 1883 hai tờ hướng dẫn qui tắc chơi (xem: http://vi.wikipedia.org/wiki) Trên tờ bìa có hình tháp 10 tầng, tre, người Annam dòng chữ: La Tour d’Hanoϊ, Veritable casse-téte Annamite Jeu, rapporté du Tonkin par le professeur N Claus (de Siam) du college Mandarin Li-Sou-Stian - Tháp Hà Nội, Trò chơi trí tuệ người Annam, mang từ Bắc Kì giáo sư N Claus (ở Siam), trường trung học Li-Sou-Stian Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Bìa hộp đựng trò chơi Tháp Hà Nội đƣợc bán lần đầu Paris, 1883 Năm 1884, de Parvile (xem [16], trang 2-3) tiết lộ:Giáo sư N Claus ẩn danh(nikname) nhà toán học EduardLucas(N Claus de Siam đảo từ E Lucas d’Amiens, Amiens quê E Lucas Li-Sou-Stian đảo từ Sant Louis, trường trung học Paris, nơi Ông dạy học vào năm đó) Dựa phân tích hình vẽ hộp đựng trị chơi, “bờ thành tháp mơ tả tỉ mỉ đến chi tiết, người nông dân Annam vẽ thực, ”, có người cho rằng, thật có người bạn E Lucas mang thơng tin trò chơi từ Hà Nội Paris Cũng khơng khơng có lí! Dưới tờ hướng dẫn thứ giới thiệu trò chơi Tháp Hà Nội sản xuất lần Paris dịch: THÁP HÀ NỘI Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Trò chơi trí tuệ người Annam Trị chơi đem từ Đông Kinh Giáo sư N CLAUS (DE SIAM) Trường trung học Li-Sou-Stian! Trò chơi lần đầu tìm thấytrong sách có minh họa tiếng Quan thoại FER-FER-TAM-TAM, xuất bảntrong tương lai gần, phủ bảo hộ Tháp Hà Nội có đĩa, nhỏ dần, có số lượng thay đổi, mà chúng tơi làm gỗ, có lỗ Ở Nhật Bản, Trung Quốc, Đơng Kinh (Tonkin-Bắc Kì), chúng làm sứ Trị chơi có mục đích dỡ bỏ đĩa, đặt vào cột bên cạnh, theo quy tắc định Vui bổ ích, dễ học dễ chơi thành phố, ngồi nơng thơn, chuyến du lịch, tạo để mang đến kiến thức khoa học, giống trò chơi kỳ thú lạ giáo sư N CLAUS (của SIAM) Chúng tơi trao giải thưởng 1000 franc, 100 nghìn franc, triệu franc, nhiều hơn, cho hoàn thành, việc dùng tay di chuyển Tháp Hà Nội với 64 đĩa, theo qui tắc trò chơi Chúng tơi nói cần số lần di chuyển là18 446 744 073 709 551 615, nhiều năm tỷ kỷ! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Theo truyền thuyết Ấn Độ, người dân thành Brahma tiếp nối thời gian dài để thay đổi Đền Bernares, di chuyển 64 đĩa vàng Tịa tháp Brahma Khi cơng việc hồn thành, Tịa tháp thành Brahma đổ, lúc thời điểm kết thúc vũ trụ! PARIS, BẮC KINH, TOKYO SÀI GÒN Trong hiệu sách tiểu thuyết 1883 Bản quyền giữ Dưới tờ hướng dẫn thứ hai trò chơi Tháp Hà Nội sản xuất lần đầu Paris năm 1883và dịch: Luật chơi cách chơi trò chơiTHÁP HÀ NỘI Đế đặt nằm ngang; cọc thẳng đứng Các đĩa đặt theo thứ tự từ lớn đến nhỏ từ thấp lên cao, tạo nên tòa tháp Trò chơi đòi hỏi di chuyển đĩa, cách đặt chúng vào cọc bên cạnh, lần chuyển đĩa, theo luật sau I Sau lần chuyển, đĩa nằm một, hai, ba cọc, theo thứ tự từ lớn đến nhỏ, từ thấp đến cao II Đĩa ba cọc đặt vào cọc trống III Đĩa ba cọc đĩa đặt lên hai cọc khác, đĩa nhỏ đĩa cọc Trị chơi dễ dàng tự khám phá, việc giải dần từ 3, 4, đĩa Trò chơi ln giải địi hỏi thời gian chơi lâu khoảng gấp đôi cho thêm đĩa vào tịa tháp Bất kì giải cho tám đĩa, ví dụ, chuyển đĩa từ cọc sang cọc 2, biết cách giải cho chín đĩa Chỉ cần chuyển tám đĩa sang cọc 3, chuyển đĩa thứ chín sang cọc 2, mang tám đĩa từ cọc cọc Bây giờ, thêm đĩa vào trò chơi, tổng số di chuyển tăng gấp đơi, cộng với một, so với trước Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 10 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 57 không chuyển đĩa thẳng từ cọc A sang cọc B Như thường lệ, đĩa lớn không phép nằm đĩa nhỏ Cải biên gọi toán Tháp Hà Nội theo đường thẳng (Straightline Tower of Hanoi), trò chơi ba dòng hay trò chơi “lười” (lazy puzzle) Dễ dàng chứng minh số lần tối thiểu để chuyển tháp từ cọc A sang cọc B 3n Thật vậy, gọi Tn số lần cần chuyển đĩa từ cọc nguồn A sang cọc đích B Trước tiên ta cần chuyển n đĩa từ A sang B, cần Tn lần chuyển Sau ta phải chuyển đĩa lớn từ A sang cọc Tiếp theo ta lại phải chuyển n đĩa ngược lại từ B sang A chuyển đĩa lớn sang cọc B Cuối phải chuyển n đĩa ngược lại từ A sang B lần nữa, Tn lần chuyển Cuối ta có Tn 3Tn với T1 Suy Tn 3n lần chuyển Cơng thức chứng minh qui nạp Trong phạm vi nghiên cứu cho ba đĩa với hạn chế chuyển động, khơng có thay đổi khác với tốn ban đầu, phần chúng tơi phân tích tất biến thể xảy Mỗi biến thể tương ứng với biểu đồ với ba đỉnh, đỉnh miêu tả đĩa đoạn nối có hướng hai đĩa biểu thị cho phép di chuyển đĩa theo hai đĩa lại Có năm biểu đồ khác với ba đỉnh Hình 2.5 Xét tốn Tháp Hà Nội đồ thị G có hướng (tập đỉnh đoạn có hướng) trình bày tốn Tháp Hà Nội với hạn chế chuyển động sau 2.3.2 Bài toán Tháp Hà Nội với hạn chế chuyển động Bài tốn2.2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 58 Đầu vào: Cho đồ thị có hướng với ba đỉnh, có đường nối từ đỉnh tới đỉnh Tại đỉnh có cọc Trên số cọc, ban đầu có n đĩa xếp theo kích cỡ sau: đĩa nhỏ đĩa to Nhiệm vụ: Di chuyển tất đĩa từ cọc tới hai cọc lại, tuân thủ theo qui tắc Hà Nội Ta gọi cọc nguồn(source peg) cọc lúc đầu chứa tất đĩa cọc đích(destination deg) cọcmà đĩa di chuyển đến Cọc thứ ba gọi cọc trung gian (auxiliaxy) Thuật toán liên quan đồng thời đến tất năm đồ thị tất cặp đôi cọc cho đồ thị Thuật tốn Nếu n>=1 Nếu có cạnh nối từ cọc nguồn đến cọc đích Di chuyển n đĩa từ cọc nguồn đến cọctrung gian, Di chuyển đĩa thứ n từ cọc nguồn đến cọc đích, Di chuyển n đĩa từ cọctrung gian đến cọc đích Ngược lại Di chuyển n đĩatrên từ cọc nguồn tới cọc đích, Di chuyển đĩa thứ n từ cọc nguồn đến cọctrung gian, Di chuyển n đĩa từ cọc đích tới cọc nguồn, Di chuyển đĩa thứ n từ cọctrung gian tới cọc đích, Di chuyển n đĩa từ cọc nguồn đến cọc đích Đây thuật toán đệ qui, sựdi chuyển n đĩa (hai ba lần) trình kèm với trợ giúp thủ tục lặp (procedure) Ở đó, tồn số đĩa n thay cho n, thông số cọc nguồn, cọc đích cọc trung gian thay hốn vị chúng Ta có Định lý sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 59 Định lý 2.1Xét toán 2.2 (i) Thuật tốn cung cấp lời giải xác toán (ii) Số đĩa di chuyển thực thuật toán nhỏ Hơn nữa, lời giải khác Bài toán 2.2 cần số bước di chuyển nhiều hẳn số bước cần thiết theo thuật toán Định lýdưới cung cấp số lần di chuyển cần thực đồ thị Các trường hợp 1, biết từ trước (xem [18]) Định lý 2.2Số lần di chuyển đĩa thực thuật toán để di chuyển n đĩa xấp xỉ C n , hệ số C phụ thuộc vào loại đồ thị cặp cọc, phụ thuộc vào loại đồ thị, sau: (i) Nếu G = complete, = (ii) Nếu G = cyclic (iii) Nếu G = Three – in – a – row (iv) Nếu G = cyclic++ (v) Nếu G = complete – – 17 = 2.343 nghiệm lớn đa thức x3 x2 4x Tóm lại, ta viết rõ ràng công thức biểu diễn cho số lần di chuyển, mà trường hợp có dạng k i Ci n i Trong định lý đưa số hạng trội (điều giải thích cho từ xấp xỉ mệnh đề), cách chứng minh cho trường hợp iv v, cho cơng thức xác Chứng minh Cho i n cọc i j Kí hiệu: (i) T jk ,i : di chuyển bước đĩa thứ i từ cọc j tới cọc k (giả thiết ( j; k ) cạnh đồ thị G ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 60 (ii) T jk , i : dãy bước di chuyển thực thuật toán để di chuyển đĩa 1,2, ,i từ cọc j đến cọc k (với n, cọc đích cọc nguồn tương ứng thay i, j k ) Thuật toán hướng dẫn phân chia việc thực nhiệm vụ di chuyển số đĩa thành vài thao tác đơn giản chuyển số đĩa nhỏ Cách phân chia biểu thị mũi tên từ nhiệm vụ đến thao tác Ví dụ, kí hiệu T12, n T13, n T12,nT32, n có nghĩa để di chuyển đĩa 1,2, ,n từ cọc đến cọc 2, cần thực bước sau: Di chuyển đĩa từ tới n từ cọc đến cọc 3, Di chuyển đĩa thứ n từ cọc đến cọc 2, Di chuyển đĩa từ1 tới n từ cọc đến cọc Chứng minh Định lý2.2Thuật tốn viết thành thủ tục đệ qui cho trường hợp, mà cung cấp công thức đệ qui cho độ dài T jk , n dãycác chuyển động T jk , n Trong số trường hợp, tính đối xứng, vài cặp T jk , n với ( j ; k ) phân biệt, thực chất có độ dài (i) Trong completeta dễ dàng kiểm tra tất T jk , n , i j có độ dài (do tính đối xứng đồ thị) Kí hiệu chiều dài chung an , ta có an an 1 an 2an 1 (ii) Với cyclic, tương tự ta có T12, n Kí hiệu an T23, n T12, n bn T31, n , T21, n T32, n T13, n T21, n , có cơng thức đệ qui Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 61 an 2bn 1, bn an 2bn (iii) TrongThree – in – a – row ta có T12, n Kí hiệu an T21, n T23, n T13, n T31, n T13, n , ta có cơng thức đệ qui T12, n bn an T32, n , an bn 1, bn 3bn Hai đồ thị cuối cần phải suy luận phức tạp (iv) Đối với cyclic ++: T12, n T13, n T12,nT32, n , T13, n T13, n T12,nT31, n T23, nT13, n , T21, n T23, n T21, nT31, n , T23, n T21, n T23, nT13, n , T31, n T32, n T31, nT21, n , T32, n T32, n T31,nT23, n T12, nT32, n Bằng qui nạp qui nạp rằng, hai cặp độ dài: T23, n Kí hiệu an T31, n T13, n T12, n , bn T13, n , cn T32, n (các cặp phụ thuộc lẫn nhau) T21, n d n T23, n ta có cơng thức đệ qui sau: an 2bn 1; bn 2bn dn 2; cn 2dn 1; dn bn cn 1 Đưa hệ phương trình phương trình sai phân cấp bốn Ta có đa thức đặc trưng phương trình sai phân x4 x3 3x 4x x x x2 x Từ ta tính được, thí dụ: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 62 n bn 85 21 17 17 136 n 85 21 17 17 136 (v) Đối với Complete – –: T12, n T13, n T12, nT32, n ; T13, n T13, n T12, nT31, n T23, nT13, n ; T21, n T23, n T21, nT31, n ; T23, n T21, n T23, nT13, n ; T31, n T32, n T31, nT21, n ; T32, n T31, n T32, nT12, n Một lần T12, n T23, n T21, n T32, n Kí hiệu an T12, n , bn T13, n , cn T21, n d n T23, n ta được: an bn cn 1, bn 2bn dn 2, cn an dn 1, dn 2cn 1 Đưa hệ phương trình phương trình sai phân cấp bốn Ta có đa thức đặc trưng phương trình sai phân x4 Các nghiệm x3 3x 6x 2.343, 0.471, bn C1 C1 1.628, C2 n x x3 1.813, C2 n C3 n x2 4x Vì vậy, thí dụ 2, 0.378 C3 0.005 Chứng minh Định lý 2.1Cả hai phần chứng minh phương pháp qui nạp cho số đĩa n Sự xác thuật tốn điều hiển nhiên; ta ý rằng, đồ thị xét, cọc nguồn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên cọc đích khơng http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 63 cạnh hai cọc nguồn cọc trung gian cọctrung gian cọc đích thiết phải cạnh Để chứng minh thuật toán sinh trường hợp nghiệm cực tiểu, trước tiên ta kiểm tra với n n Bây cho n , giả sử tính cực tiểu chứng minh cho n đĩa Lấy nghiệm tối ưu tốn n đĩa Khơng hạn chế tổng quát, ta gán cho cọc nguồn 1, cọc đích cọc trung gian Vì đĩa thứ n phải di chuyển thời điểm đó, nên ta chia tồn dãy bước di chuyển thành ba dãy hai bước di chuyển đơn (di chuyển bước) (in-between) Chú ý có trường hợp có hai bước di chuyển đơn hợp ta có hai dãy Chính là, trước tiên ta có di chuyển đĩa đĩa thứ n di chuyển lần đầu, di chuyển từ đĩa thứ n di chuyển di chuyển lần cuối Bước di chuyển lần cuối đĩa thứ n tương ứng kí hiệu Tfirst Tlast Ta xét hai trường hợp sau tùy theo cấu trúc thuật tốn Trƣờng hợp ICạnh cọc nguồn cọc đích không thuộc đồ thị G Ở Tfirst bắt buộc phải T12,n Tlast bắt buộc T23,n Do đó, dãy bước di chuyển thực trước Tfirst di chuyển đĩa 1,2, , n từ cọc đến cọc Bằng giả thiết quy nạp, dãy phải trùng với T13, n Tương tự, dãy bước di chuyển thực sau Tlast phải T13, n Một dãy bước di chuyển Tfirst Tlast chuyển đĩa 1,2, ,n từ cọc đến cọc (có thể) bao gồm vài bước di chuyển đĩa n , bắt đầu kết thúc cọc Sử dụng giả thiết qui nạp lần nữa, dãy bước di chuyển Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 64 phải T31, n Nhìn chung ta phải thực xác dãy bước di chuyển T13, n T12,nT31, n T23,nT13, n thuật toán Trường hợp Trước Tfirst Giữa II.1 T12, n T13,n T13,n T23, n II.2 T12, n T13,n T23,n T13, n II.3 T13, n T12,n T13,n T23, n II.4 T13, n T12,n T23,n T13, n Tlast Sau 1 Bảng Cácgiai đoạn di chuyển Trƣờng hợp IICạnhcọc nguồn cọc đích thuộc G Trong trường hợp Tfirst T12,n T13,n Tlast T13,n T23,n Điều cho bốn tổ hợp xảy ra, cho tổ hợp số đó, với giả thiết qui nạp, chuỗi di chuyển trước Tfirst sau Tlast xác định cách Các khả mô tả Bảng Xét trường hợp riêng biệt sau: II.1 Nếu cócác bước di chuyển thực Tfirst Tlast việc bỏ qua bước di chuyển bước di chuyển Tlast , nhận nghiệm thực tốt toán Nghiệm nhận xác nghiệm Thuật tốn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 65 II.2 Sau T first , đĩa n cọc yêu cầu, lúc chuỗi bước di chuyển sau T first , chứa hai bước di chuyển đĩa n Bỏ qua tất bước di chuyển đĩa n sau T first , nghiệm thật ngắn hơn, mâu thuẫn với tối ưu nghiệm cho II.3 Tương tự trường hợp trên, ta bỏ qua tất bước di chuyển đĩa n trước Tlast , ta thu nghiệm tốt Do nghiệm cho khơng thể tối ưu II.4 Theo Thuật toán 1, chuỗi bước di chuyển thực là: TAlg1 = T12, n T13,nT23, n Với giả thiết nghiệm cực tiểu, mặt khác, sau Tfirst đĩa 1,2, , n cọc Khi thực Tlast , đĩa1,2, , n cọc Do vậy, Tfirst Tlast ta phải di chuyển chúng từ cọc sang cọc Theo giả thiết qui nạp, giai đoạn hồn thành T31, n Vì thế, dãy chuyển động là: Tmin T13, n T12,nT31, n T23,nT13, n Để đến mâu thuẫn, ta phải TAlg1 Tmin Sẽ thuận lợi để thay bước di chuyển n đĩa chuỗi các di chuyển n đĩa Bởi G chứa cạnhcọc nguồn nguồn cọc trung gian,cọc trung gian T13, n T12, n T13,n 1T23, n T23, n Đối với T31, n 1 cọc đích, cọc cọc đích, ta có: , T12, n T13, n T12,n 1T32, n , T21, n T23,n 1T13, n có hai khả xảy ra, T31, n T32, n T31,n 1T , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 66 G chứa cạnhcọc đích cọc nguồnvà T31, n T31, n T32,n 1T13, n T21,n 1T31, n ngược lại Do TA lg1 T13, n T12,n 1T32, n T13,nT21, n T23,n 1T13, n Và Tmin T12, n T13,n 1T23, n T12,nT32, n T31,n 1T21, n T23,nT12, n T13,n 1T23, n (2.11) T12, n T13,n 1T23, n T12,nT31, n T32,n 1T13, n T21,n 1T31, n T23,nT12, n T13,n 1T23, n (2.12) Tmin Kết hợp TA lg1 với Tmin , sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác Tik , m Tij, m T jk , m , Đúng với m n cọc i, j , k Nếu Tmin cho (2.11) Tmin T12, n T13, n T23, n T32, n T32, n T21, n T21, n T13, n 2 T32, n T21, n TA lg1 Trong Tmin cho (2.12) Tmin T12, n T12, n T13, n 2 T23, n T23, n T32, n 2 T31, n T31, n T21, n 2 T12, n T13, n T23, n T13, n T32, n T31, n 2 T21, n T13, n 2 TA lg1 Điều kết thúc chứng minh  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 67 KẾT LUẬN Chương luận văn trình bày lịch sử phát triển toán Tháp Hà Nội mở rộng biến thể Chương trình bày chi tiết tính chất tốn Hà nội với chuyển động xoay vòng với thuật tốn lặp chương trình giải tốn Chúng tơi cố gắng vẽ lên tranh tương đối đầy đủ mở rộng cải biên tốn Tháp Hà Nội với chuyển động xoay vịng.Tuy nhiên, phong phú tài liệu, nhiều vấn đề tốn Tháp Hà Nội xoay vịng cịn chưa đưa vào luận văn Mặc dù sơ lược chưa bao quát hết số lượng lớn viết riêng toán Tháp Hà Nội xoay vòng, hy vọng luận văn gợi ý quan tâm đến vấn đề thú vị tốn Tháp Hà Nội giúp ích cho người làm quen với toán Tháp Hà Nội Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Phạm Trà Ân (2000), “Bài toán Tháp Hà Nội”, Tạp chí Tốn học Tuổitrẻ, (280), tr – 11 Phạm Trà Ân (2002), “Bài toán Tháp Hà Nội – Cái nhìn từ lý thuyết Độ phức tạp tính tốn”, Tạp chí Thơng tin Tốn học, 6(2), tr 10 – 13 Mao Thị Hiền (2013), Trò chơi Tháp Hà Nội số vấn đề liên quan, Luận văn Cao học, Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Vũ Đình Hịa (2008),“Bài tốn Tháp Hà Nội”, Tạp chí Tốn Tuổi thơ 2, (68), tr 15 – 17 Nguyễn Thị Hồng Phượng (2010), Thuật toán Frame-Stewart giải toán Tháp Hà Nội tổng quát, Luận văn Cao học, Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên Tạ Duy Phượng (2010), “Trị chơi Tháp Hà Nội-Lịch sử tốn tổng qt”, Tạpchí Tốn học Tuổi trẻ, (280), tr 11 – 13 Tạ Duy Phượng (2014), Trò chơi Tháp Hà Nội: Lịch sử vấn đề Toán-Tin học liên quan(Bản thảo), 150 trang Nguyễn Xuân Tấn (2002),“Bài tốn “Tháp Hà Nội”-một tốn hóc búa mộttrăm năm nay”, Tạp chí Thơng tin Tốn học, 6(1), tr – Tiếng Anh Atkinson M (1981), “The cyclic Towers of Hanoi problem”, Information Processing Letters, 13 (3), pp 118-119 10 Dudeney H E (1907- 1908), The Canterbury Puzzles (and other curious problems), Thomas Nelson and Sons, Ltd, London; New York, E P Dutton and Company Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 69 11 Dunkel O (1941), “Editorial note concerning advanced problem 3918”, Amer Math Monthly,48, pp 219 12 ErM C (1982), “A Representation approach to the Towers of Hanoi Problem”, The Computer Journal, 25 (4), pp 442-447 13 ErM C (1984), “The Colour Towers of Hanoi: A Generalization”, The Computer Journal, 27 (1) , pp 80 - 82 14 ErM C (1984), “The CyclicTowers of Hanoi: A Representation approach”, The Computer Journal, 27 (2), pp 171-175 15.Frame J S (1941), “Solution to advanced problem 3918”, Amer Math Monthly,48, pp 216 - 217 16 Hinz A M., Klavžar S.,Milutinović U., Petr C (2013), The Tower of Hanoi - Myths and Maths, Birkhäuser Basel 17 Lucas E (1895), L’Arithméique Amusante: Introduction aux Récréations Mathematicques, Gauthier-Villars, Paris, pp 179-183 18 MajumdarA.A.K (2012), Classical Tower of Hanoi Problem and Its Generalizations, Vol 1: Multi-peg Generalizations, Lambert Academic Publishing 19 SapirA (2004), “The Towers of Hanoi with forbidden moves”, The Computer Journal, 47 (1), pp 20 - 24 20 StewartB M.(1939), “Advanced problem 3918” , Amer Math Monthly, 46, pp 363 21.StewartB M (1941), “Solution to advanced problem 3918”, Amer Math Monthly,48,pp 217 - 219 22 Stockmeyer P K (2005), The Tower of Hanoi: A Bibliography, http://w.w.w.cs.wm.edu/~pkstoc/hpapers.html, Version 2.2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 70 23 StockmeyerP K., Lunnon F., New Variations on the Tower of Hanoi, Thirteenth International Conference on Fibonaci Numbers and Their Applications, Patras, Greece 24 Symposium La “Tour d’Hanoi”-un casse-tete mathématique d’E’duard Lucas (1842-1891), Institute Henri Poicaré, Paris V, 5-8 février 2009 25 Wang Y K (1999), Analysis on an Iterative algorithm of “The Tower of Hanoi problem” with Parallel Moves, M Sc Thesis, Institute of Computer Science and Information Engineering, Chung Hoa University 26 WoodD (1981), “Towers of Brahma and Hanoi Revisited”, J Recr Math.14 (1), 17-24 27 Workshop on the Tower of Hanoi and Related Problems (2005), Maribor, Slovenia Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 71 Xác nhận luận văn chỉnh sửa theo ý kiến thảo luận Hội đồng chấm luận văn NGƢỜI HƢỚNG DẪN PGS.TS TẠ DUY PHƢỢNG HỌC VIÊN TRẦN THỊ HỒNG NHUNG Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/