Sử dụng phần mềm minh họa một số bài toán có yếu tố thay đổi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MA THỊ THÚY HỒNG SỬ DỤNG PHẦN MỀM MINH HỌA MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ YẾU TỐ THAY ĐỔI Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phần mềm "Vi giới" 1.2 Sử dụng phần mềm "Vi giới" để biểu diễn, minh họa kết toán 2 MINH HỌA KẾT QUẢ MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ YẾU TỐ THAY ĐỔI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT 15 2.1 15 2.1.1 Bài toán 15 2.1.2 Một số ví dụ 17 2.2 2.3 Bài toán tính tiếp xúc Bài tốn điểm cố định 25 2.2.1 Bài toán 25 2.2.2 Một số ví dụ 25 Bài tốn quỹ tích 35 2.3.1 Bài toán 35 2.3.2 Một số ví dụ 36 Kết luận 42 i Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn PGS TS Trịnh Thanh Hải giới thiệu giúp em làm quen với việc sử dụng phần mềm minh họa kết số tốn có yếu tố thay đổi chương trình Tốn trường phổ thơng nay, đồng thời thầy tận tình hướng dẫn em suốt trình từ em nhận đề tài đến em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn trường Đại học Khoa học, khoa Tốn - Tin, thầy giáo, giáo, bạn lớp cao học Toán K6C,các bạn đồng nghiệp động viên giúp đỡ em yên tâm học tập, cơng tác hồn thiện luận văn Với trình độ điều kiện nghiên cứu thân nhiều hạn chế, nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận phê bình, góp ý thầy, giáo bạn học viên cho luận văn đem lại ứng dụng thực tế tốt Một lần nữa,em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2014 Người viết Luận văn Ma Thị Thúy Hồng ii LỜI NĨI ĐẦU Trong chương trình tốn trường THPT tốn có yếu tố thay đổi như: Bài tốn hàm số có chứa tham số, tốn quỹ tích, tốn khó trừu tượng với hầu hết học sinh Với mong muốn minh họa cách trực quan kết lời giải tốn thơng qua việc sử dụng đồ họa máy tính, chọn đề tài "Sử dụng phần mềm minh họa số tốn có yếu tố thay đổi" làm luận văn thạc sĩ Nhiệm vụ luận văn là: - Hệ thống hóa vài dạng tốn có yếu tố thay đổi chương trình THPT, với dạng sau đưa định hướng giải luận văn lựa chọn vài ví dụ cụ thể đưa lời giải chi tiết - Nhiệm vụ luận văn sử dụng phần mềm minh họa kết lời giải toán - Trong luận văn phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo gồm hai chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương II: Minh họa kết số tốn có yếu tố thay đổi chương trình Tốn trường phổ thơng Trong q trình viết luận văn trình xử lý văn chắn khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái nguyên, tháng năm 2014 Học viên Ma Thị Thúy Hồng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phần mềm "Vi giới" Khái niệm "Vi giới" đề cập lần đầu vào năm 60 kỷ XX từ việc xác định đặc trưng cho vũ trụ hoạt động người máy Có thể nêu lên đặc trưng "Vi giới" là: (1) Một môi trường gồm đối tượng quan hệ (2) Một tập hợp thao tác cho phép hành động vật thể cho phép tạo vật thể mới, tạo quan hệ Với thuộc tính "cấu trúc", "động", "liên tục" tính tương tác cao, vi giới cung cấp chức để mô hình hóa tốn nghiên cứu tốn mơ hình, chẳng hạn vi giới cho phép người sử dụng: (1) Tạo đối tượng điểm, đoạn thẳng, mối quan hệ quan hệ liên thuộc, quan hệ giữa, quan hệ song song, quan hệ vng góc (2) Tác động lên đối tượng có nhằm xác lập đối tượng mới, quan hệ (3) Khi tác động vào đối tượng thay đổi thuộc tính đối tượng cấu trúc mối quan hệ đối tượng bảo toàn (4) Hỗ trợ nghiên cứu tượng cách liên tục (5) Có chức cho phép tính tốn, đo đạc, kiểm tra mối quan hệ đối tượng Trên giới phần mềm Omnigraph, Coypu, M entoniezh, Cheypre, Def i, Geometer0 s Sketchpad, Geospacw, Geoplanw, Euclides, Autograph, Geometry Cabri sử dụng rộng rãi thân chúng thỏa mãn phần hầu hết đặc trưng phần mềm "Vi giới" Hình 1.1: Hình vẽ minh họa 1.2 Sử dụng phần mềm "Vi giới" để biểu diễn, minh họa kết toán Sử dụng phần mềm "Vi giới" để biểu diễn, minh họa kết toán, cần thực bước sau: Bước 1: Xác định toán - Trong bước cần xác định rõ yếu tố thay đổi (đối tượng động) - Mối quan hệ đối tượng (thường cho dạng biểu thức giải tích hệ ràng buộc ) Bước 2: Xây dựng mơ hình biểu diễn tốn: - Trường hợp tốn hình học: Sử dụng cơng cụ "Vi giới" theo bước dựng hình - Trường hợp toán biểu diễn biểu thức giải tích f (x, m): Trình tự xây dựng mơ sau: (1) Xác định hệ trục toạ độ Oxy (2) Lấy điểm X(x; 0) thuộc miền xác định hàm số điểm M (m, 0) thuộc miền giá trị tham số (3) Tính giá trị y = f (x, m) (4) Dựng điểm Y (x; f (x, m)) Bước 3: Đưa mơ hình trực quan toán Ta sử dụng chức để thay đổi tham số nhận mơ hình trực quan tốn Ví dụ 1.1 Xét tốn: "Chứng tỏ đồ thị hàm số y = (m+1)x+m+2 x+m+2 luôn qua hai điểm cố định bất chấp m (ngoại trừ vài giá trị m mà ta tìm ra)" Việc sử dụng "Vi giới" để minh hoạ kết sau: Bước 1: Xác định toán: Trong trường hợp này, mối quan hệ yếu tố cho bới biểu thức giải tích: y = (m+1)x+m+2 , x+m+2 m giá trị thay đổi nhận giá trị thực Bước 2: Xây dựng mơ hình biểu diễn hàm số: Sử dụng phần mềm Geometry Cabri thao tác sau: - Chọn chức P oint on Object lấy X(x; 0), M (m; 0) trục Ox - Chọn chức Equation and Coordinates: cho toạ độ hai điểm X, M hình - Chọn cơng cụ Calculate: tính giá trị hàm số x hồnh độ điểm X, m hoành độ điểm M - Chọn chức M easurement T ransf er: bấm chọn giá trị vừa tính sau vào trục tung Oy Ta xác định điểm Y thuộc Oy - Chọn công cụ P erpendicular Line: dựng đường vng góc với trục Ox điểm X , vng góc với Oy điểm Y - Chọn chức Intersection P oints: xác giao điểm N hai đường thẳng vng góc vừa dựng N điểm có toạ độ (x, f (x)) - Chọn chức Locus: vào điểm N điểm X để Cabri Geometry đưa đồ thị hàm số Bước 3: Minh họa hình ảnh điểm cố định - Chọn chức T raceOn/Of f : gán thuộc tính để lại vết cho đường cong - Cho điểm M thay đổi vết để lại họ đường cong tương ứng với giá trị m cho ta hình ảnh đồ thị hàm số y = f (x, m) Hình ảnh cho thấy rõ ràng đồ thị hàm số cho qua hai điểm cố định (0; 1) (−4; −3) lời giải tốn Hình 1.2: Hình vẽ minh họa Ví dụ 1.2 Xét tốn: Cho đường trịn đường kính AB cố định, M điểm cố định chạy đường tròn Trên tia đối tia M A lấy điểm I cho M I = 2M B Tìm tập hợp điểm I Bước 1: Xác định toán: Đây dạng tốn quỹ tích hình học, yếu tố quỹ tích vị trí điểm M chạy đường trịn Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn: Sử dụng cơng cụ phần mềm Sketch P ad thực theo trình tự sau: -Dựng đoạn thẳng AB - Xác định trung điểm O đoạn thẳng AB - Dựng đường trịn tâm O, bán kính OA - Lấy điểm M kỳ thuộc (O, OA) - Chọn công cụ vẽ tia sau nhấp chuột vào điểm A điểm M - Chọn công cụ dựng đường tròn, dựng đường tròn tâm M bán kính M B xác định giao đường trịn với tia AM (gọi điểm F ) - Tiếp tục vẽ đường trịn tâm F , bán kính F M Gọi giao đường tròn với tia AM I Việc chứng minh quỹ tích toán học sinh, cụ thể: [ góc M IB khơng đổi nên tập hợp điểm I cung chứa góc dựng đoạn thẳng AB (điểm I ln nhìn đoạn thẳng AB với góc có tan ln 21 ) Bước 3: Minh họa mơ hình quỹ tích - Chọn lệnh Display/T raceP oint xác định thuộc tính để lại vết chuyển động cho điểm I chọn lệnh Display/AnimateP oint cho điểm M chuyển động ta thu hình ảnh trực quan quỹ tích điểm I Hình 1.3: Hình vẽ minh họa Bước 4: Khai thác tốn cho học sinh khá, giỏi: Ta mở rộng toán cho học sinh giỏi cách đặt câu hỏi sau: Ta nhận dạng quỹ tích cung chắn góc dựng đoạn thẳng AB cụ thể cung nằm đường tròn tâm nào? Hãy xác định tâm bán kính đường trịn chứa quỹ tích này? Trong tốn ta xác định quỹ tích điểm I thoả mãn M I = 2M B Nếu tỷ số mà M I = k.M B (với k số thực bất kỳ) quỹ tích điểm I nào? Trong trường hợp tổng qt, AB khơng phải đường kính mà dây cung Quỹ tích điểm I nào? Minh họa toán mở rộng với phần mềm Sketchpad a) Nhận dạng đường trịn chứa quỹ tích - Cho điểm M di chuyển đến vị trí đặc biệt Khi M tiến đến trùng với A tia AM tiếp tuyến At với đường trịn tâm O bán kính OA A - Sau lựa chọn điểm A đoạn thẳng AB ,ta chọn lệnh Construct/ Perpendicular Line để dựng đường thẳng qua điểm A vng góc với AB tiếp tuyến At Gọi G điểm thuộc At cho AG = 2AB (việc dựng điểm G hoàn toàn đơn giản) Vì AB cố định nên G cố định - Nối điểm I (yếu tố thay đổi) với điểm G B (là yếu tố cố định) Bằng trực quan, học sinh cảm thấy điểm M thay đổi vị trí d góc vng? học sinh sử dụng lệnh M easure/Angle nhận góc GIB d ln 900 kết góc GIB Kết luận I thuộc nửa đường trịn đường kính BG Hình 2.10: Hình vẽ minh họa Ví dụ 2.11.(Đề thi chọn HSG năm 2009) Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B cố định (A khác B ) Một điểm C di [ = α không đổi (00 < α < 1800 ) Đường động mặt phẳng cho ACB tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Đường thẳng AI, BI cắt đường thẳng EF M, N Chứng minh rằng: Đoạn M N có độ dài khơng đổi Đường trịn ngoại tiếp tam giác DM N qua điểm cố định Giải: d + IBA d = (ABC \ [ = 18002−Cb , M [ [ + ACB) [ = Ta thấy: M EB = CEF IB = IAB b 1800 −C d = 900 \ [ [ ⇒M EB = M IB ⇒ tứ giác M EIB nội tiếp suy IM B = IEB hay tam giác AM B vuông M Tương tự ta có tam giác N AB vng N Nên ta có: Tứ giác AN M B nội tiếp đường trịn đường kính AB AB IA IN [ M N = IN ⇒ M N = AB IA = AB.sinN AI \ \ = AB.sin(900 − CAB+2 CBA ) = AB.sin C2 = AB.sin α2 , không đổi \ CBA \ \ [ = 2.(900 − CAB+ Hơn ta thấy: M N B = I[ DN + IDM ) 4AIB ∼ 4N IB ⇒ 30 b =C Gọi K trung điểm AB K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AN M B \ \ b \ \ [ \ [ M KN = M KA − N KA = 2(M BA − N BA) = 2.(900 − CAB+2 CBA ) = C \ \ Do đó: M KN = M DN ⇒ tứ giác M N DK nội tiếp hay đường trịn ngoại tiếp tam giác DM N ln qua K cố định Hình 2.11: Hình vẽ minh họa Ví dụ 2.12 Cho tam giác ABC dựng phía ngồi tam giác ABC (giả sử có hướng thuận) hai hình vng ACLM BCN P Chứng minh giữ hai đỉnh A, B cố định cho C chạy khắp nửa mặt phẳng mở (nửa dương) có bờ đường thẳng (AB) đường thẳng M P qua điểm cố định Xác định điểm Giải: Khi giữ A, B cố định C chuyển động kéo theo chuyển động hai điểm M P , ngược lại điểm P chuyển động kéo theo C chuyển động, M chuyển động nhờ thực liên tiếp hai phép quay góc ϕ = + π2 lần 31 lượt xung quanh điểm B A Điều nói lên M suy từ P phép dời hình D tích hai phép quay Q(B, π2 ) Q(A, π2 ) theo thứ thự Vậy D phép đối xứng tâm biến P thành M Để xác định tâm O D ta phân tích phép quay Q(B, π2 ) Q(A, π2 ) thành tích hai phép đối xứng trục để đưa D dạng tắc ta phân tích sau: D = [D(Ax).D(AB)].[D(BA).D(By)] = D(Ax).D(By)] (1) Ax, By hai trục đối xứng xác định bởi: (By, BA) = (AB, Ax) = π4 , [modπ] (2) Gọi O = Ax ∩ By ta OAB tam giác vng cân O có hướng thuận Vậy O điểm cố định thuộc nửa mặt phẳng mở (dương) chứa C có bờ đường thẳng AB hoàn toàn xác định đẳng thức (1), (2) Kết luận: D = D(Ax).D(By) = D(O) biến P thành M đoạn thẳng M P nhận điểm O cố định làm trung điểm với vị trí C thuộc nửa mặt phẳng mở (dương) có bờ (AB) Hình 2.12: Hình vẽ minh họa Ví dụ 2.13.(Đề thi chọn HSG năm 2010) Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) hai điểm cố định B, C nằm đường trịn cho dây BC khơng đường kính Xét điểm A di động (O) cho AB 6= AC A không trùng với B, C Gọi D E giao điểm đường thẳng BC với đường phân giác đường phân giác 32 [ Gọi I trung điểm DE Đường thẳng qua trực tâm ngồi góc BAC tam giác ABC vng góc với AI cắt đường thẳng AD AE tương ứng M N Chứng minh rằng: Đường thẳng M N qua điểm cố định Giải: Gọi K giao điểm thứ hai AD (O) K trung điểm cung BC Dựng đường kính KL (O) L, A, E thẳng hàng Gọi J = M N ∩ KL Phép quay Q(A,+900 ) : tia AL thành tia AK , tia AK thành tia AE , tia AO thành tia AI Suy ra: AO ⊥ AI ⇒ AO k JH Mà OJ k AH nên AOJH hình bình hành ⇒ OJ = AH Mặt khác kẻ đường kính BB (O) B cố định AHCB hình bình hành Vậy OJ = AH = B C = √ 4R2 − a2 = số (với a = BC) ⇒ điểm J cố định Hình 2.13: Hình vẽ minh họa Ví dụ 2.14 Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Gọi d 33 đường thẳng qua D vng góc với đường thẳng AD Trên đường thẳng d lấy điểm M Gọi E, F trung điểm đoạn thẳng M B, M C Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P , đường thẳng qua F vng góc với đường thẳng d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng P Q ln qua điểm cố định M di động đường thẳng d Giải: Gọi H, K hình chiếu B, C lên đường thẳng d Do D trung điểm BC nên DH = DK , suy AD trung trực HK suy AH = AK Gọi (ω) đường tròn tâm A qua H K Gọi H , K điểm đối xứng với H, K qua đường thẳng AB, AC suy H , K thuộc (ω) Giả sử đường thẳng HH , KK cắt I I điểm cố định (*) Ta có: P E k BH (cùng vng góc với d) mà P E qua trung điểm M B nên qua trung điểm M H ⇒ P E trung trực M H suy P H = P M Gọi (ω1 ) đường tròn tâm P qua H M , tính đối xứng nên H thuộc ω1 Hồn tồn tương tự, ta có: QF trung trực M K ; gọi (ω2 ) đường tròn tâm Q qua K M K thuộc (ω2 ) Ta lại có: + (ω), (ω1 ) cắt H , H nên H, H trục đẳng phương (ω), (ω1 ) + (ω), (ω2 ) cắt K, K nên K, K trục đẳng phương (ω), (ω2 ) Mặt khác: M thuộc (ω1 ), (ω2 ) P, Q tâm (ω1 ), (ω2 ) nên đường thẳng d0 qua M , vng góc với P Q trục đẳng phương (ω1 ), (ω2 ) Từ suy ra: HH , KK , d0 đồng quy tâm đẳng phương ba đường tròn (ω), (ω1 ), (ω2 ) (*) Từ (*) (**) suy d0 qua I điểm cố định Vậy đường thẳng qua M , vng góc với đường thẳng P Q qua 34 điểm cố định M di động đường thẳng d Hình 2.14: Hình vẽ minh họa 2.3 2.3.1 Bài tốn quỹ tích Bài tốn i Khái niệm quỹ tích đưa vào chương trình phổ thơng với thuật ngữ "Tập hợp" hay "Quỹ tích" phát biểu mệnh đề tốn học dạng: Tập hợp (quỹ tích) điểm có tính chất P hình H Trong nội dung học sinh làm quen với dạng quỹ tích là đường thẳng, đường trịn, đường conic - Loại tốn tìm quỹ tích ta biểu diễn tọa độ điểm cần tìm quỹ tích theo tham số m: ( x = x(m)(1) I: y = y(m)(2) m tham số ii Phương pháp giải tốn quỹ tích - Khử m từ (1) (2) ta hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m: F (x; y) = (3) suy điểm M thuộc (C) có phương trình (3) - Xác định giới hạn quỹ tích (nếu có) từ điền kiện tham số m để có M - Kết luận: Quỹ tích tất hay phần (C) có phương trình F (x; y) = 35 thỏa mãn điều kiện giới hạn (nếu có) * Các trường hợp đặc biệt: Nếu M (x; y): ( x=a y = y(m) a số, m tham số điểm M thuộc đường thẳng (d) : x = a giới hạn y = y(m) Nếu M (x; y): ( x = x(m) y=b b số, m tham số điểm M thuộc đường thẳng (d) : x = b giới hạn x = x(m) * Loại tốn tìm quỹ tích điểm hay đường thẳng khơng cho dạng tham số giải loại tốn ta thường dùng đến tính chất hình học để giải (dạng tập mang nặng màu sắc hình học phẳng) Sau số ví dụ minh họa quỹ tích thường gặp chương trình 2.3.2 Một số ví dụ Ví dụ 2.15 Cho O điểm cố định đường thẳng (d) cố định P , Q theo thứ tự điểm di động đường trịn tâm O bán kính a đường trịn tâm O bán kính b (a > b) , cho (d) đường phân giác P[ OQ (với a, b hai độ dài cho trước) Xét điểm M cho −−→ −→ −→ OM = OP + OQ Tìm quỹ tích điểm M Giải: Lập hệ trục tọa độ vuông góc có gốc O, trục hồnh Ox chứa (d), trục tung Oy vng góc với Ox O −−→ Gọi M = (x, y) ta có OM = (x, y) −→ Tương tự: P = (xP , yP ) ta có OP = (xP , yP ) −→ Tương tự: Q = (xQ , yQ ) ta có OQ = (xQ , yQ ) −−→ −→ −→ Từ giả thiết: OM = OP + OQ Ta có: x = xP + xQ y = yP + yQ Vì Ox 36 phân giác P[ OQ, nên OP có phương trình y = kx OQ có phương trình y = −kx Vì x2P + yP2 = a2 nên x2P + k yP2 = a2 ⇔ x2P = k2 a2 1+k2 b2 x2Q = 1+k 2; a2 1+k2 Từ yP2 = Tương tự: = yQ k b2 1+k2 Chú ý (d) đường phân giác góc P[ OQ nên xP yQ > 0, yP yQ < ab k2 a.b 1+k2 ; yP yQ = − 1+k2 (a+b)2 xP + xQ ta có x2 = x2P + x2Q + 2xP xQ = 1+k2 (1) 2 + 2y y = (a−b) (2) yP + yQ ta có y = yP2 + yQ P Q 1+k Do xP xQ = Từ x = Từ y = Từ (1) (2) suy ra: x2 (a+b)2 + y2 (a−b)2 = Vậy quỹ tích M (E) có phương trình:là: x2 (a+b)2 + y2 (a−b)2 = Hình 2.15: Hình vẽ minh họa Ví dụ 2.16 Cho Parabol y = x2 M điểm Parabol M 6= (0 gốc tọa độ), P điểm khác Parabol cho OP ⊥OM a)Chứng minh M di động đường thẳng nối M P qua điểm cố định b) Gọi I trung điểm M P Tìm quỹ tích I 37 Giải: a) Giả sử M (m, m2 ) di động Parabol OM có phương trình là: y = mx Hồnh độ P nghiệm khác phương trình: 1 x ⇒ x = −m nên tọa độ P là: P (− m1 , − m12 ) x2 = − m y− m12 x+ m = (trong m+ m m2 − m12 m(m2 − 1)x − m2 y + m2 = (1) Vậy đường thẳng M P có phương trình là: hợp ta xét với |m| = 1) hay trường Gọi K(x0 , y0 ) điểm cố định họ (1) qua ∀m 6= 0, |m| = Khi ta có: m(m2 − 1)x0 − m2 y0 + m2 = ∀m 6= 0, |m| = ⇔ m3 x0 + m2 (1 − y0 ) − mx0 = 0, ∀m 6= 0, |m| = 1.(2) Vế trái (2) phương trình bậc ba m Phương trình có vơ hạn nghiệm ⇒ ta có hệ điều kiện sau để xác định x0 , y0 : ( x0 = − y0 = ( x0 = ⇔ y0 = Vậy điểm M (m, m2 ) (với ∀m 6= 0, |m| 6= 1) chạy Parabol đường thẳng nối M P qua điểm cố định K(0; 1) Xét m = ( tương tự với m = −1), OM tạo với chiều dương trục hồnh góc 450 \ Kẻ M P k Ox P điểm đối xứng với M qua Oy nên M OP = 900 Vì P (−1, 1) nên M P lúc qua điểm K(0, 1) Tóm lại ∀m 6= tức M chạy Parabol M 6= O đường thẳng nối M P qua điểm cố định K(0, 1) b) Gọi I(x, y) trung điểm M P Ta có:   x= m− m (3)  m2 + m12 y= 38 (4) Từ (3) (4) suy ra: y = (m− m ) +2 = 2x2 + Vậy quỹ tích trung điểm I M P parabol y = 2x2 + Hình 2.16: Hình vẽ minh họa Ví dụ 2.17 Trong mặt phẳng cho tam giác ABC Một đường tròn (O) thay đổi qua A, không tiếp xúc với đường thẳng AB, AC có tâm O chuyển động đường thẳng BC Đường tròn cắt lại đường AB AC M N Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác AM N (Đề thi HSG toàn quốc, bảng A, 3/2002) Giải: b = 900 H = A Ta thấy Ab = 900 A * Lời giải 1: Gọi D điểm xuyên tâm - đối điểm A đường trịn (O) Thế M N theo thứ tự hình chiếu (vng góc) D (AB) (AC) Do trực tâm H tam giác AM N điểm đối xứng với D qua trung điểm M N Gọi M N hình chiếu H (AC) (AB) Dễ thấy tam giác AHM đồng dạng nghịch với tam giác ADM Từ ta được: (AH, AM ) = −(AD, AM ) (modπ) AH AD = AM AM [ | =| cosBAC AH AO [ |= | cosα | = | cosBAC [ Các đẳng thức nói lên (AH) đối xứng với (AO) qua phân α = BAC giác Ap góc Ab tam giác ABC 39 AH AO = k (k khơng đổi), k = | cosα | Vậy H ảnh O phép vị tự - đối xứng Z(A, Ap, k) Trả lời: Nếu ký hiệu (BC) = a {H} đường thẳng a0 , ảnh a phép đồng dạng nghịch (vị tự - đối xứng) Z(A, = Ap, k = | cosA |), bỏ \ \ hai điểm Hi ảnh Oi (i − 1, 2) a = (BC) B AO1 = C AO2 = 900 Vậy {H} = a0 |{H1 , H2 }; Hi = Z(Oi ), i = 1, Chú thích: {H} ∪ {H1 , H2 } = a0 qua hai điểm E F E = P F ⊥AC, F = QF ⊥AB P = DB (A), Q = DC (A) Đường thẳng (P Q) suy từ a = (BC) qua phép vị tự V (A, 2) Hình 2.17: Hình vẽ minh họa Lời giải 2: Gọi P = DB (A), Q = DC (A); E = P F ⊥AC, F = QF ⊥AB Thế thì: O ∈ (BC) ⇔ D ∈ (P Q) (1) Ta có: M H hướng DN , DN song song với P E , M D hướng HN , HN song song với QF Suy ra: D ∈ (P Q) ⇔ FM FP = QD QP = DN PE = MH PE ⇔ H ∈ (EF ) (2) Từ (1) (2) suy ra: 40 {O} = (BC)|{O1 , O2 } ⇔ {{H} = (EF )|{H1 , H2 } Hi = AOj ∩ (EF ), i 6= j; {i, j} = {1, 2} Ví dụ 2.18 Cho đường trịn tâm F1 bán kính R1 , điểm F2 cố định Một đường tròn tâm C qua F2 tiếp xúc với đường trịn (F1 , R1 ) Tìm quỹ tích tâm C Giải: Ta giả sử điểm F2 thuộc bên đường trịn (F1 , R1 ), đó: Dễ thấy CM = CF2 Có CF1 + CF2 = CF1 + CM = R1 Vì điểm F2 nằm bên đường tròn (F1 , R1 ) nên CF1 +CF2 = R1 > F1 F2 Vậy quỹ tích tâm C Elíp nhận F1 F2 trục lớn Mặt khác: Nếu điểm F2 nằm ngồi đường trịn (F1 , R1 ), đó: |CF − CF 2| = R1 khơng đổi Vậy quỹ tích tâm C hypecbol Đặc biệt: Nếu F2 trùng với F1 quỹ tích tâm C đường trịn (F1 , R21 ) Nếu F2 nằm đường tròn (F1 , R1 ) quỹ tích tâm C đoạn thẳng F1 F2 Sử dụng phần mềm ta có hình ảnh minh họa sau: Hình 2.18: Hình vẽ minh họa 41 Kết luận Luận văn hoàn thành nhiệm vụ sau: - Sưu tầm số ví dụ chương trình tốn: + Bài tốn tính tiếp xúc họ hàm số + Bài toán tìm điểm cố định họ hàm số + Bài tốn quỹ tích - Với ví dụ cụ thể cố gắng đưa lời giải chi tiết cho số toán thi chọn học sinh giỏi tài liệu - Sử dụng phần mềm minh họa kết lời giải toán Kết luận văn giúp học sinh tiếp cận cách trực quan với toán trừu tượng, hiểu rõ lời giải toán, vẻ đẹp Toán học 42 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hải Châu (1992), Thi vơ địch tốn quốc tế NXB TP Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Quý Dy(Chủ biên), Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thoa (2009) Tuyển tập 200 Tốn vơ địch tốn (tập 1) NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Văn Xoa (2006) Tuyển tập đề thi tuyển sinh Trung học phổ thơng Chun mơn Tốn NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2008).Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh chuyên Toán - Hình học số vấn đề liên quan NXB Giáo dục [5] Đỗ Thanh Sơn (2008) Chuyên đề bồi dưỡng HSG Tốn THPT Phép biến hình mặt phẳng NXB Giáo dục [6] Vũ Dương Thụy (chủ biên), Nguyễn Văn Nho (2001) 40 năm Olympic Toán học quốc tế, NXB Giáo dục [7] Tuyển tập toán chọn lọc 45 năm tạp chí Tốn học tuổi trẻ (2009), NXB Giáo dục [8] V.V Praxolov (1994) Các toán hình học phẳng (tập 1, tập 2) NXB Hải Phòng [9] Exploring Algebra with theo Geometer’s Sketchpad (2006) Key Curriculum Press [10] Exploring Geometry with theo Geometer’s Sketchpad (2002) Key Curriculum Press [11] Rething Proof with theo Geometer’s Sketchpad (2006) Key Curriculum Press 43 44