Đang tải... (xem toàn văn)
SỬ DỤNG MAPLE ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VI PHÂN Bài báo này sử dụng phần mềm toán học Maple làm công cụ phụ trợ để nghiên cứu các bài toán vi phân của bốn loại hàm số Chúng ta có thể thu được các.
SỬ DỤNG MAPLE ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VI PHÂN Bài báo sử dụng phần mềm toán học Maple làm công cụ phụ trợ để nghiên cứu toán vi phân bốn loại hàm số Chúng ta thu dạng chuỗi vơ hạn đạo hàm bậc hàm cách sử dụng định lý nhị thức đạo hàm hạng tử theo định lý hạng, giảm đáng kể khó khăn việc tính toán giá trị đạo hàm bậc cao chúng Mặt khác, chúng tơi đề xuất hai ví dụ để tính tốn thực tế Các phương pháp nghiên cứu áp dụng nghiên cứu liên quan đến việc tìm giải pháp thơng qua tính tốn thủ cơng xác minh giải pháp cách sử dụng Maple Giới thiệu Hệ thống đại số máy tính (CAS) sử dụng rộng rãi nghiên cứu tốn học khoa học Các tính tốn nhanh chóng giao diện đồ họa trực quan hấp dẫn chương trình giúp cho việc nghiên cứu sáng tạo trở nên khả thi Maple sở hữu tầm quan trọng hệ thống tính tốn tốn học coi cơng cụ hàng đầu lĩnh vực CAS Tính ưu việt Maple nằm hướng dẫn đơn giản dễ sử dụng, cho phép người bắt đầu học kỹ thuật vận hành thời gian ngắn Ngoài ra, thơng qua tính tốn số biểu tượng thực Maple, logic tư chuyển đổi thành chuỗi hướng dẫn Kết tính tốn Maple sử dụng để sửa đổi hướng suy nghĩ trước chúng ta, từ hình thành phản hồi trực tiếp mang tính xây dựng hỗ trợ nâng cao hiểu biết vấn đề nuôi dưỡng sở thích nghiên cứu Đặt câu hỏi thơng qua hệ thống hỗ trợ trực tuyến Maple cung cấp duyệt qua trang web Maple (www.maplesoft.com) giúp hiểu rõ Maple cung cấp hiểu biết mong đợi Về phần hướng dẫn thao tác Maple, tham khảo [1-7][ ] Trong chương trình tốn giải tích toán kỹ thuật, việc đánh giá giá trị đạo hàm bậc k f (k) (c) hàm số f(x) x=c , nói chung, cần trải qua hai thủ tục: thứ xác định đạo hàm bậc k đạo hàm bậc f (k) ( x ) f(c) , tính vào f (k) ( x ) Hai thủ tục khiến phải đối mặt với phép tính ngày phức tạp tính giá trị đạo hàm bậc cao hàm (tức klớn), để có câu trả lời cách tính tốn thủ cơng không dễ dàng Trong báo này, chủ yếu nghiên cứu toán vi phân bốn loại hàm số sau (1) (2) (3) (4) β ,r,s số thực Chúng ta xác định dạng chuỗi vô hạn đạo hàm bậc hàm cách sử dụng định lý nhị thức số hạng vi phân theo định lý số hạng; kết nghiên cứu (nghĩa Định lý 2), làm giảm đáng kể khó khăn việc tính tốn giá trị đạo hàm bậc cao chúng Để nghiên cứu tốn vi phân liên quan tham khảo [8-21] [ ] Ngồi ra, chúng tơi cung cấp hai ví dụ để tính tốn thực tế Các phương pháp nghiên cứu áp dụng nghiên cứu liên quan đến việc tìm giải pháp thơng qua tính tốn thủ cơng xác minh giải pháp cách sử dụng Maple Loại phương pháp nghiên cứu không cho phép phát lỗi tính tốn mà cịn giúp sửa đổi hướng suy nghĩ ban đầu từ tính tốn thủ cơng Maple Do đó, Maple cung cấp thơng tin chun sâu hướng dẫn phương pháp giải vấn đề Kết Đầu tiên, chúng tơi giới thiệu số công thức sử dụng nghiên cứu 2.1 Các công thức 2.1.1 Biểu thức chuỗi Taylor hàm Cosine , y số thực 2.1.2 Biểu thức chuỗi Taylor hàm sin , y số thực Sau hai định lý quan trọng sử dụng viết 2.2 Định lý 2.2.1 Định lý nhị thức Giả sử x, y số thực n số nguyên dương Sau tất số nguyên dương , đâu , cho 2.2.2 Số hạng vi phân theo Định lý số hạng ([22]) Với số nguyên không âm k , hàm gk : ( a,b ) → R thỏa mãn ba điều kiện sau：(i) tồn điểm x ∈ (a,b) hội khoảng mở (a,b) , (iii) tụ, (ii) hàm số g k (x) khả vi hội tụ (a,b) Khi hội tụ khả vi (a,b) Hơn nữa, đạo hàm Trước rút kết đầu tiên, cần bổ đề 2.3 bổ đề Giả sử r, s số thực n số nguyên dương sau (5) với x ∈ R Bằng chứng (Theo định lý nhị thức) Sau kết báo này, ta thu dạng chuỗi vô hạn đạo hàm bậc hàm (1) (2) 2.4 Định lý Giả sử β ,r,s số thực k số nguyên dương (1) Nếu tập xác định hàm (−∞,∞) Khi đạo hàm bậc k f (x) , (6) với x ∈ R (2) Giả sử tập xác định hàm số (−∞,∞) Đạo hàm bậc k g(x) , (7) với x ∈ R Chứng minh (1) Vì (Theo Cơng thức 2.1.1) (số 8) (Theo bổ đề 1) Bằng phép lấy đạo hàm theo định lý số hạng, lấy đạo hàm k - lần x hai vế (8), ta thu với x ∈ R (2) Vì (Theo Cơng thức 2.1.2) (9) (Theo bổ đề 1) Sử dụng phép lấy đạo hàm theo định lý số hạng, lấy đạo hàm k lần x hai vế (9), ta có với x ∈ R Để chứng minh kết thứ hai nghiên cứu này, cần bổ đề 2.5 bổ đề Nếu giả định giống Bổ đề 1, (10) với x ∈ R Bằng chứng (Theo định lý nhị thức) 2.6 Định lý Nếu giả định giống Định lý (1) Cho tập xác định hàm số (−∞,∞) Khi đạo hàm bậc -th , (11) với x ∈ R (2) Giả sử tập xác định hàm số (−∞,∞) sau (12) với x ∈ R Chứng minh (1) Vì (Theo Cơng thức 2.1.1) (13) (Theo bổ đề 2) Ngoài ra, phép lấy đạo hàm theo định lý số hạng, lấy đạo hàm k lần x hai vế (13), ta có với x ∈ R (2) Vì (Theo Công thức 2.1.2) (14) (Theo bổ đề 2) Sử dụng thuật ngữ vi phân theo định lý thuật ngữ, đạo hàm k - lần x hai phía (14), sau với x ∈ R Ví dụ Sau đây, toán vi phân bốn dạng hàm số nghiên cứu này, chúng tơi đưa hai ví dụ sử dụng Định lý 1,2 để xác định dạng chuỗi vô hạn đạo hàm cấp số giá trị đạo hàm bậc cao hàm Mặt khác, sử dụng Maple để tính tốn xấp xỉ giá trị đạo hàm bậc cao giải pháp chúng để xác minh câu trả lời 3.1 Ví dụ 3.1.1 Giả sử Miền Hàm (15) (−∞,∞) Sau đó, theo (6) Định lý 1, có đạo hàm bậc k f(x) , (16) với x ∈ R Như vậy, ta đánh giá giá trị đạo hàm cấp f(x) x=1/4 , (17) Tiếp theo, sử dụng Maple để kiểm tra tính đắn (17) >f:=x->cos(2*cosh(4*x-3)); >evalf((D@@5)(f)(1/4),28); 5.51145512574533574051334•10 >evalf(4^5*sum((-1)^n*2^(2*n)/(2^(2*n)*(2*n)!)*sum((2*n)!/ (m! *(2*nm)!)*(2*n-2*m)^5*exp(-4*(nm)), m=0,2*n),n=0.infinity),28); 5.51145512574533574051345•10 3.1.2 Nếu miền hàm (18) (−∞,∞) Sau đó, theo (7) Định lý 1, có (19) với x ∈ R Do đó, giá trị đạo hàm cấp g(x) x=1 , (20) >g:=x->sin(3*cosh(5*x-6)); >evalf((D@@7)(g)(1),24); 3.11674791628708010692687•10 >evalf(5^7*sum((-1)^n*3^(2*n+1)/(2^(2*n+1)*(2*n+1)!)*sum(( 2*n+1)!/(m! *(2*n-m+1)!)*(2*n-2*m+1)^7*exp(-(2*n-2*m+ 1)),m=0 (2*n+1)),n=0.infinity),24); 3.11674791628708010692539•10 3.2 Ví dụ 3.2.1 Giả sử miền chức (21) (−∞,∞) Sử dụng (11) Định lý 2, thu (22) với x ∈ R Do đó, giá trị đạo hàm cấp p(x) x= − 1/2 , (23) >p:=x->cos(4*sinh(8*x+6)); >evalf((D@@6)(p)(-1/2),24); -1.854326252223362289•10 12 >evalf(8^6*tổng((-1)^n*4^(2*n)/(2^(2*n)*(2*n)!)*tổng((-1)^m* (2*n)!/(m! *(2*nm)!)*(2*n-2*m)^6*exp(4*(nm)), m=0,2*n),n=0.infinity),24); 1.854326252223362269•10 12 3.2.2 Nếu miền hàm (24) (−∞,∞) Sử dụng (12) Định lý 2, thu (25) với x ∈ R Do đó, ta xác định giá trị đạo hàm cấp q(x) x=3 , (26) >q:=x->sin(7*sinh(2*x-5)); >evalf((D@@6)(q)(3),20); -9.468885110895329•10 >evalf(2^6*sum((-1)^n*7^(2*n+1)/(2^(2*n+1)*(2*n+1)!)*sum(( -1)^m*(2*n+1)!/ (m!*(2*n-m+1)!)*(2*n-2*m+1)^6*exp(2*n -2*m+1),m=0 (2*n+1)),n=0.infinity),20); -9.468885110895331•10 Kết luận Trong báo này, cung cấp kỹ thuật để xác định đạo hàm bậc số dạng hàm số Chúng tơi hy vọng kỹ thuật áp dụng để giải toán vi phân khác Mặt khác, định lý nhị thức thuật toán đạo hàm theo định lý số hạng đóng vai trị quan trọng suy luận lý thuyết nghiên cứu Trên thực tế, ứng dụng hai định lý rộng rãi, vận dụng để giải nhiều tốn khó cách dễ dàng; chúng tơi nỗ lực tiến hành nghiên cứu sâu ứng dụng liên quan Ngồi ra, Maple đóng vai trò hỗ trợ quan trọng việc giải vấn đề Trong tương lai, mở rộng đề tài nghiên cứu sang tốn giải tích toán kỹ thuật khác giải toán Maple ... Sau đây, toán vi phân bốn dạng hàm số nghiên cứu này, đưa hai ví dụ sử dụng Định lý 1,2 để xác định dạng chuỗi vô hạn đạo hàm cấp số giá trị đạo hàm bậc cao hàm Mặt khác, sử dụng Maple để tính... tính toán giá trị đạo hàm bậc cao chúng Để nghiên cứu toán vi phân liên quan tham khảo [8-21] [ ] Ngồi ra, chúng tơi cung cấp hai ví dụ để tính tốn thực tế Các phương pháp nghiên cứu áp dụng nghiên. .. ,r,s số thực Chúng ta xác định dạng chuỗi vô hạn đạo hàm bậc hàm cách sử dụng định lý nhị thức số hạng vi phân theo định lý số hạng; kết nghiên cứu (nghĩa Định lý 2), làm giảm đáng kể khó khăn vi? ??c