THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ TỐN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành :Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Lâm Thùy Dƣơng THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu Lời nói đầu Chương Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh 1.1 1.2 1.3 Không gian Banach Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Một số tính chất khơng gian Hilbert Tốn tử tuyến tính liên tục 16 1.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2 Ví dụ 17 Toán tử đơn điệu mạnh 18 1.3.1 Hàm lồi vi phân 18 1.3.2 Toán tử đơn điệu mạnh 22 Chương Hiệu chỉnh phương trình tốn tử với tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh 25 2.1 Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 25 2.1.1 Định nghĩa 25 2.1.2 Ví dụ 26 2.2 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh dựa tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh 27 ii 2.3 2.2.1 Phương trình hiệu chỉnh 27 2.2.2 Sự tồn toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 28 2.2.3 Sự hội tụ phương pháp hiệu chỉnh 31 2.2.4 Phương pháp lặp 35 Ví dụ 36 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Lâm Thùy Dương Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa 2014–2016) ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Mỵ Bảng ký hiệu R tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X C tập đóng lồi H A tốn tử đơn điệu không gian Hilbert dom(A) miền hữu hiệu toán tử A Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ S PC (x) phép chiếu mêtric điểm x tập C hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y δC (.) hàm C kxk chuẩn vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn ⇀ x xn hội tụ yếu đến x I ánh xạ đơn vị H Lời nói đầu Rất nhiều tốn thực tiễn, khoa học, cơng nghệ dẫn tới tốn đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa tốn (khi kiện thay đổi nhỏ) khơng tồn nghiệm, nghiệm không nhất, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Do tính khơng ổn định tốn đặt khơng chỉnh nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện tốn dẫn đến sai số lời giải Đề tài luận văn nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh dạng phương trình tốn tử A(x) = f , (1) A : X −→ X ∗ toán tử đơn điệu đơn trị từ không gian Banach phản xạ X vào không gian liên hợp X ∗ X Để giải loại toán này, ta phải sử dụng phương pháp ổn định, cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Năm 1963, A.N Tikhonov [5] đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng kể từ lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh phát triển sơi động có mặt hầu hết toán thực tế Nội dung chủ yếu phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tốn tử (1) khơng gian Hilbert thực H dựa việc tìm phần tử cực tiểu xαh,δ phiếm hàm Tikhonov Fαh,δ (x) = kAh (x) − fδ k2 + α kx∗ − xk2 (2) α > tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h δ , x∗ phần tử cho trước đóng vai trị tiêu chuẩn chọn (Ah , fδ ) xấp xỉ (A, f ) Hai vấn đề cần giải tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov δ chọn tham số hiệu chỉnh α = α (h, δ ) thích hợp để phần tử cực tiểu xh, α (h,δ ) dần tới nghiệm xác tốn (1) h δ dần tới khơng Việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov gặp nhiều khó khăn trường hợp tốn phi tuyến Đối với lớp toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : X → X ∗ , F Browder [3] đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu phương pháp F Browder đề xuất sử dụng tốn tử B : X → X ∗ có tính chất đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày lại phương pháp giải ổn định (phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov) phương trình tốn đơn điệu với việc sử dụng tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh báo "Regularization by linear operators" Giáo sư Nguyễn Bường cơng bố tạp chí Acta Mathematica Vietnamica Nội dung đề tài trình bày hai chương Chương giới thiệu số kiến thức tốn đặt khơng chỉnh phương trình tốn tử đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình tốn tử với tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Chương Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Chương trình bày khái niệm số tính chất không gian Banach, không gian Hilbert thực; khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính; tốn tử đơn điệu mạnh số ví dụ minh họa Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Không gian Banach Không gian Hilbert Mục giới thiệu khái niệm số tính chất khơng gian Banach, khơng gian Hilbert ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn không gian tuyến tính X ứng với phần tử x ∈ X ta có số kxk gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: (1) kxk > với x 6= 0; kxk = ⇔ x = 0; (2) kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác); (3) kα xk = |α |kxk với x ∈ X, α ∈ R Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach Định nghĩa 1.1.2 Không gian L(X, R)-tập tất phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định X gọi không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu X, ký hiệu X ∗ Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X không gian định chuẩn R, X ∗ không gian liên hợp X gọi X ∗∗ = L(X ∗ , R) không gian liên hợp thứ hai X Ta cho tương ứng với x ∈ X phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ X ∗∗ nhờ hệ thức hx∗∗ , f i = h f , xi, với f ∈ X ∗∗ Ở h f , xi ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X ∗ x ∈ X Ta có kxk = kx∗∗ k Đặt h(x) = x∗∗ , h : X −→ X ∗∗ tồn ánh khơng gian X gọi khơng gian phản xạ Ví dụ 1.1.4 Các không gian vectơ định chuẩn hữu hạn chiều, không gian l p , L p [a, b], < p < ∞ không gian Banach phản xạ Định lý 1.1.5 Cho X không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) X không gian phản xạ; (ii) Mọi dãy bị chặn X có dãy hội tụ yếu Ký hiệu SX := {x ∈ X : kxk = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach X Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach X gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ SX , x 6= y, suy k(1 − λ )x + λ yk < ∀λ ∈ (0, 1) Điều có nghĩa mặt cầu đơn vị SX không chứa đoạn thẳng Điều x+y có nghĩa trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm x, y phân biệt mặt cầu đơn vị khơng nằm mặt cầu đơn vị Nói cách khác x, y ∈ SX : kxk = kyk = k x+y k, x = y Zt !2 |x(s)|ds = kxk2 , ≤ Z1 |x(s)|2 ds ∀s ∈ [0, 1] Do Ax ∈ L2 [0, 1] tốn tử A bị chặn Dễ thấy A tốn tử tuyến tính Do đó, A liên tục Ví dụ 1.2.8 Cho H không gian Hilbert, A : H −→ H tốn tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện hAx, yi = hx, Ayi với x, y ∈ H, A tốn tử liên tục 1.3 Tốn tử đơn điệu mạnh Mục trình bày khái niệm hàm lồi, vi phân hàm lồi, khái niệm ví dụ tốn tử đơn điệu mạnh 1.3.1 Hàm lồi vi phân Định nghĩa 1.3.1 Cho H không gian Hilbert thực, C ⊂ H f : C → R ∪ {−∞, +∞} Ta có định nghĩa sau (i) Trên đồ thị (epigraph) hàm f , ký hiệu epi( f ), định nghĩa bởi: epi( f ) = (x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r 19 (ii) Hàm f gọi hàm lồi epi( f ) tập lồi H × R Hàm f gọi hàm lõm − f hàm lồi (iii) Miền hữu dụng (miền xác định) hàm f ký hiệu dom( f ) định nghĩa là: dom( f ) := x ∈ C : f (x) < +∞ (iv) Hàm f xác định H gọi dương (positively homogeneous), với x ∈ H với λ ∈ (0, +∞) ta có: f (λ x) = λ f (x) Ví dụ 1.3.2 Hàm f (x) = |x| với x ∈ R hàm lồi Định lý 1.3.3 Giả sử C tập lồi, khác rỗng không gian H, hàm f : C → (−∞, +∞] Khi đó, hàm f lồi C khi: f (λ x + (1 − λ )y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] ∀x, y ∈ C Định nghĩa 1.3.4 Hàm f gọi thường (proper) f thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) dom( f ) 6= 0; (ii) f (x) > −∞ với x ∈ C Mệnh đề 1.3.5 Hàm dương f : H → (−∞, +∞] lồi với x, y ∈ H ta ln có: f (x + y) ≤ f (x) + f (y) Định nghĩa 1.3.6 Hàm f : D −→ R gọi nửa liên tục x ∈ D với ε > tồn δ > cho f (x) ≤ f (x) + ε , ∀x ∈ D, kx − xk < δ 20 Hàm f gọi nửa liên tục D f nửa liên tục điểm x ∈ D Định nghĩa 1.3.7 Cho f hàm lồi thường H, phiếm hàm (vectơ) x∗ ∈ H gọi gradient f x nếu: f (x) − f (x) ≥ hx∗ , x − x i với x ∈ H Tập tất gradient f x gọi vi phân f x Ký hiệu ∂ f (x) Như vậy: n o ∂ f (x) = x ∈ H : f (x) − f (x) ≥ hx , x − xi với x ∈ H ∗ ∗ / Hàm f gọi khả vi phân x ∂ f (x) 6= Ví dụ 1.3.8 Cho C tập lồi khác rỗng H Xét hàm tập C: Khi x0 ∈ C 0 δC (x) := +∞ x ∈ C x ∈ / C n ∂ δC (x0 ) = x∗ ∈ H : hx∗ , x − x0 i ≤ δC (x) o ∀x ∈ C Với x ∈ / C δC (x) = +∞ nên bất đẳng thức hx∗ , x − x0i ≤ δC (x) ln Do n ∂ δC (x0 ) = x∗ ∈ H : hx∗ , x − x0 i ≤ 0, o ∀x ∈ C = NC (x0 ), nón pháp tuyến ngồi C x0 Ví dụ 1.3.9 Cho f : H → R hàm lồi dương Nếu z ∈ ∂ f (x) hz, xi = f (x) hz, xi ≤ f (x) ∀x ∈ C Thật vậy, z ∈ ∂ f (x) hz, x − xi ≤ f (x) − f (x) ∀x ∈ C (1.8) 21 Thay x = 2x vào (1.8) ta có hz, xi ≤ f (2x) − f (x) = f (x) (1.9) Còn thay x = vào (1.8) ta có −hz, xi ≤ − f (x) (1.10) hz, xi = f (x) (1.11) hz, x − xi = hz, xi − hz, xi = hz, xi − f (x) (1.12) Kết hợp (1.9) (1.10) suy Hơn nữa, Do đó, hz, xi ≤ f (x) ∀x ∈ C Nhận xét 1.3.10 Nếu f hàm lồi dương thỏa mãn f (−x) = f (x) ≥ ∀x ∈ C, hz, xi ≤ f (x) ⇔ |hz, xi| ≤ f (x) ∀x ∈ C ∀x ∈ C Định nghĩa 1.3.11 Hàm f : Rn −→ Rm gọi khả vi Gâteaux x tồn ma trận M cấp m × n cho với u ∈ Rn ta có lim t→0 f (x + tu) − f (x) = M(u) t 22 Khi M gọi đạo hàm Gâteaux hàm f x Chú ý 1.3.12 Nếu hàm lồi f khả vi Gâteaux f khả vi phân Ngược lại, hàm lồi f khả vi phân điểm x0 vi phân gồm điểm f khả vi Gâteaux đạo hàm Gâteaux x0 trùng với vi phân 1.3.2 Tốn tử đơn điệu mạnh Cho H không gian Hilbert thực, A : H → 2H ánh xạ Ký hiệu đồ thị toán tử A G(A) := {(x, Ax) : x ∈ H} Định nghĩa 1.3.13 Cho H khơng gian Hilbert Tốn tử A : H → 2H gọi (i) đơn điệu với (x, u) (y, v) thuộc đồ thị G(A) A ta ln có (1.13) hu − v, x − yi ≥ Trong trường hợp toán tử A đơn trị ta có hAx − Ay, x − yi ≥ ∀x, y ∈ D(A) (1.14) (ii) η -đơn điệu mạnh C, tồn số η dương cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ η ||x − y||2 ∀x, y ∈ C Ví dụ 1.3.14 Cho f : H → R ∪ {+∞} hàm lồi, thường Ánh xạ vi phân ∂ f : H → 2H f toán tử đơn điệu dom(∂ f ) Thật vậy, với x, y ∈ dom(∂ f ), u ∈ ∂ f (x), v ∈ ∂ f (y) ta có u ∈ ∂ f (x) ⇔ hu, y − xi ≤ f (y) − f (x) ∀y ∈ H, (1.15) v ∈ ∂ f (x) ⇔ hv, x − yi ≤ f (x) − f (y) ∀y ∈ H (1.16) 23 Cộng vế (1.15) (1.16) ta có hv, x − yi − hu, x − yi ≤ ⇔ hu − v, x − yi ≥ Hay ∂ f toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.3.15 Một toán tử đơn điệu A : H −→ 2H gọi đơn điệu cực đại đồ thị G(A) khơng thực chứa đồ thị toán tử đơn điệu khác H Ví dụ 1.3.16 Cho f : H → R hàm lồi thường nửa liên tục Khi đó, tốn tử vi phân n o ∗ ∗ ∂ f (x) = x ∈ H : f (y) − f (x) ≥ hy − x, x i ∀y ∈ H toán tử đơn điệu cực đại Ví dụ 1.3.17 Ánh xạ T : R −→ 2R xác định sau: T (x) = [0, 1] −x2 x > x = x < toán tử đơn điệu cực đại Thật vậy, với M(x, y) ∈ / G(T ) ta ln tìm −−→ −−→ điểm M0 (x0 , y0 ) ∈ G(T ) cho góc OM OM0 góc tù Nghĩa −−→ −−→ h(x, y), (x0 , y0 )i = OM.OM0 < Vậy T toán tử đơn điệu cực đại Định lý 1.3.18 (Định lý Minty) Cho A toán tử đơn điệu từ H đến 2H Khi A gọi đơn điệu cực đại ran(I + λ A) = H với 24 λ > 0, ran(I + λ A) miền ảnh toán tử I + λ A I toán tử đồng H Cho H khơng gian Hilbert thực, tốn tử A : H → 2H đơn điệu cực đại, tốn bao hàm thức đơn điệu cực đại phát biểu sau Tìm phần tử z ∈ H cho ∈ A(z) (1.17) Nếu tốn tử A đơn trị (1.17) tốn giải phương trình A(z) = Nếu tốn tử A tốn tử đa trị (1.17) tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại A Về mặt hình thức tốn đơn giản, nhiên bao hàm nhiều lớp toán quan trọng khác thuộc nhiều lĩnh vực toán cực tiểu hàm lồi, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán điểm bất động 25 Chương Hiệu chỉnh phương trình tốn tử với tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Chương trình bày khái niệm ví dụ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh; phương pháp hiệu chỉnh phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh với thành phần hiệu chỉnh tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1] báo [4] 2.1 2.1.1 Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Định nghĩa Xét phương trình tốn tử: A(x) = f , (2.1) A : X → Y toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , f phần tử thuộc Y Sau định nghĩa Hadamard Định nghĩa 2.1.1 Cho A tốn tử từ khơng gian Banach X vào khơng gian Banach Y Bài toán (2.1) gọi tốn đặt chỉnh (well-posed) (1) phương trình A(x) = f có nghiệm với f ∈ Y ; (2) nghiệm nhất; 26 (3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Nếu điều kiện không thỏa mãn tốn (2.1) gọi tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) 2.1.2 Ví dụ Ví dụ 2.1.2 Xét phương trình tốn tử (2.1) với A ma trận vuông cấp M = xác định 2 2 2 2, 001 2 A= 2 2, 001 2 2, 001 vế phải T f = 8, 001 8, 001 8, 001 ∈ R4 Ta thấy phương trình A(x) = f có nghiệm T x = 1 1 ∈ R4 Nếu vế phải 2 2 2 2, 001 2 A = Ah1 2 2, 001 2 2 T f = fδ1 = 8, 001 8, 001 ∈ R4 27 Khi đó, ta thấy phương trình A(x) = f có vơ số nghiệm Nếu 2 A = Ah1 = 2 vế phải 2 2, 001 2 2, 001 2 2 T f = 8, 001 8, 001 8, 001 ∈ R4 Khi phương trình A(x) = f vô nghiệm Như ta thấy cần thay đổi nhỏ kiện ban đầu dẫn đến thay đổi lớn nghiệm Vậy toán cho tốn đặt khơng chỉnh Vì tính khơng nghiệm tốn đặt khơng chỉnh nên người ta thường có tiêu chuẩn cho lựa chọn nghiệm Ta sử dụng nghiệm x0 cho x0 − x∗ có chuẩn nhỏ nhất, nghĩa ta tìm nghiệm x0 ∈ S thỏa mãn A(x0 ) = f , kx0 − x∗ k = min{kx − x∗ k : Ax = f }, S tập nghiệm tốn (2.1), giả thiết khác rỗng Bằng cách chọn x∗ ta có nghiệm mà ta muốn xấp xỉ 2.2 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh dựa tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh 2.2.1 Phương trình hiệu chỉnh Cho X khơng gian Banach phản xạ thực X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn ký hiệu k.k Ta viết hx∗ , xi thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Cho A toán tử đơn điệu, liên tục bị chặn với miền xác 28 định D(A) = X miền giá trị R(A) ⊆ X ∗ f0 phần tử cố định R(A) Nếu thêm điều kiện đặt lên tốn tử A, chẳng hạn tính đồng bức, đơn điệu mạnh tốn A(x) = f0 (2.2) nói chung tốn đặt khơng chỉnh Điều có nghĩa nghiệm (2.2) không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu A f0 Ta xét phương trình hiệu chỉnh A(x) + α J(x) = fδ , (2.3) đó, J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X, α > tham số hiệu chỉnh fδ xấp xỉ f thỏa mãn điều kiện k fδ − f k ≤ δ δ → (2.4) Định lý 2.2.1 Phương trình (2.3), với α > có nghiệm xαδ xαδ hội tụ tới nghiệm (2.2) δ /α → 2.2.2 Sự tồn tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Định nghĩa 2.2.2 Toán tử B : X → X ∗ gọi toán tử đơn điệu mạnh hBx, xi ≥ mB kxk2 , với mB > 0, x ∈ D(B) Ví dụ 2.2.3 Cho Ω tập bị chặn, mở đo Rn với biên trơn ΓΩ Đặt τ u toán tử vi phân phần τu = ∑ ¯ (Ω ¯ = Ω ∪ ΓΩ) aβ Dβ u, aβ (x) ∈ C(Ω); 1≤kBk≤2m kBk chuẩn B Rn Cho V tập đóng chuẩn khơng 29 gian Wq2m tất hàm từ C2m (Ω) thỏa mãn điều kiện: Dr u(x) = 0, q > n − 2m ≤ q > x ∈ ΓΩ, ≤ |r| ≤ m − 2n n − 2m > Khi đó, n + 2m hBu, ui ≥ mBkuk2 , ∀u ∈ V, mB > 0, p−1 + q−1 = đó, Bu = ru, D(B) = V Ví dụ 2.2.4 Không gian véctơ định chuẩn Y gọi đơn ánh tồn không gian Hilbert H cho Y ֒→ H đơn ánh tự nhiên ֒→ trù mật liên tục Nếu X không gian Banach phản xạ với X ∗ đơn ánh tồn khơng gian Hilbert H cho X ∗ ֒→ H ֒→ X đó, đơn ánh trù mật liên tục Trong H ta tìm tốn tử tuyến tính Bˆ cho: mBˆ kϕ k2∗ ≥ hBˆ ϕ , ϕ i ≥ MBˆ kϕ k∗ , ∀ϕ ∈ H, mBˆ > ˆ X ∗ ) B = Bˆ −1 D(B) ֒→ H Ta có: Đặt D(B) = R(B| hBϕ , ϕ i ≤ mB kϕ k2 , ∀ϕ ∈ D(B) H nhúng liên tục X Nó biết đến R(B) = X ∗ Vì B−1 trù mật X ∗ liên tục Vì B−1 đơn điệu cực đại Vì vậy, B đơn điệu cực đại 30 Ví dụ 2.2.5 Đặt W˜ pm (Ω) không gian Sobolev với chuẩn: kϕ kW˜ pm (Ω) = ∑ kD |a|≥m α 1 ϕ k2L p (Ω) , < p < Từ Lq (Ω) ֒→ L2 (Ω) ֒→ L p (Ω), kϕ kL2 (Ω) , c0 số xác định dương, với ϕ ∈ W˜ 2m (Ω) ta có: kϕ kW˜ m (Ω) ≤ c0 kϕ kW˜ pm (Ω) W˜ pm (Ω)∗ ֒→ W˜ 2m (Ω) ֒→ W˜ pm (Ω) Do đó, chọn tốn tử B cách Tiếp theo ta chứng minh kết sau Định lý 2.2.6 Nếu X không gian Banach phản xạ tách được, tồn tốn tử B với tính chất Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh tồn không gian Hilbert H cho H ֒→ X Thật vậy, cho ϕ˜ j đếm trù mật tập X phần tử độc lập tuyến tính Đặt ϕ j = ϕ˜ j /kϕ˜ j k Đặt H0 tập tất tổ hợp tuyến tính ϕ j Thì H0 ⊂ X H0 khơng gian tuyến tính Trong H0 ta có cấu trúc tích vơ hướng: π2 ∞ hϕ , ψ i = ak bk k2 , ∑ k=1 ϕ= ∞ ∞ k=1 k=1 ∑ akϕk , ψ = ∑ bk ϕk Ta biết ak bk có hữu hạn phần tử khác phần tử khơng Ta có: kϕ k ≤ ∞ ∞ ∑ |ak | = ∑ k k=1 k=1 −1 |ak |k ≤ ∞ ∑k k=1 −2 −1/2 ∞ ∑ k |ak | k=1 1/2 := kϕ k1 Nói cách khác, H0 liên tục nhúng X Vì vậy, phần bù H chuẩn k.k1 liên tục nhúng X X ∗ ⊂ H ∗
Ngày đăng: 10/10/2023, 15:32
Xem thêm: