Phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng hai cấp

I HC THI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM Dữỡng Vôn Thi PHìèNG PHP CHIU GII BI TON CN BNG HAI C‡P LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n, n«m 2016 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M Dữỡng Vôn Thi PHìèNG PHP CHIU GII BI TON CN BNG HAI CP Chuyản ngnh: GiÊi Tẵch M số: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TSKH NGUYN XUN TN ThĂi Nguyản, nôm 2016 Lới cam oan Tổi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc, khổng trũng l°p vỵi c¡c · t i kh¡c v  c¡c thỉng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2016 Ngữới viát luên vôn Dữỡng Vôn Thi i Lới cÊm ỡn Luên vôn ữủc hon thnh khõa 22 o tÔo ThÔc sắ cừa trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TS Nguyạn XuƠn TĐn, Vi»n To¡n håc Tỉi xin b y tä láng bi¸t ìn chƠn thnh tợi thƯy hữợng dăn, ngữới  tÔo cho tổi mởt phữỡng phĂp nghiản cựu khoa hồc, tinh thƯn lm viằc nghiảm túc v  dnh nhiÃu thới gian, cổng sực hữợng dăn tổi hon thnh luên vôn Tổi cụng xin by tọ lỏng cÊm ỡn sƠu sưc tợi cĂc thƯy cổ giĂo cừa trữớng Ôi hồc ThĂi Nguyản, Viằn ToĂn hồc, nhỳng ngữới  tên tẳnh giÊng dÔy, khẵch lằ, ởng viản tổi vữủt qua nhỳng khõ khôn hồc têp Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban lÂnh Ôo Khoa Sau Ôi hồc, Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm  Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo mồi iÃu ki»n thuªn lđi, gióp ï tỉi st thíi gian tỉi håc tªp Ci cịng, tỉi xin c£m ìn gia ẳnh, ngữới thƠn v bÔn b  ởng viản, ừng hë tæi º tæi câ thº ho n th nh tèt khâa hồc v luên vôn cừa mẳnh ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2016 Ngữới viát luên vôn Dữỡng Vôn Thi ii Mưc lưc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Mửc lửc iii Mởt số kỵ hiằu viát tưt v M Ưu 1 Mởt số kián thực chuân b 1.1 1.2 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cỡ bÊn cừa giÊi tẵch lỗi 1.1.1 KhĂi niằm và têp lỗi v hm lỗi 1.1.2 Ôo hm v dữợi vi phƠn cừa hm lỗi Bi toĂn cƠn bơng v cĂc trữớng hủp riảng 11 1.2.1 B i to¡n tèi ÷u 12 1.2.2 Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn 12 1.2.3 B i to¡n iºm b§t ëng 14 1.2.4 Bi toĂn cƠn bơng Nash trá chìi khỉng hđp t¡c 15 iii 1.2.5 Sü tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn cƠn bơng 16 1.3 B i to¡n c¥n bơng tữỡng ữỡng 19 1.4 Bi toĂn cƠn bơng hai cĐp 21 1.4.1 B i to¡n bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp 22 1.4.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bián phƠn trản têp nghiằm cừa bi toĂn cƠn bơng Ph÷ìng ph¡p chiáu giÊi bi toĂn cƠn bơng 2.1 22 24 Thuêt toĂn chiáu cho bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn gi£ ìn i»u 24 2.2 Thuêt toĂn chiáu giÊi bi toĂn cƠn bơng giÊ ỡn iằu 31 2.3 p dưng gi£i mët sè b i to¡n hai c§p 42 2.3.1 T¼m cüc tiºu cõa h m chuân Euclide trản têp nghiằm cừa bi toĂn cƠn bơng gi£ ìn i»u 2.3.2 42 Gi£i b i to¡n b§t ¯ng thực bián phƠn trản têp nghiằm cừa bi toĂn cƠn b¬ng 53 K¸t luªn 69 T i li»u tham kh£o 70 iv Mët sè kỵ hiằu viát tưt R têp số thỹc N têp sè tü nhi¶n H khỉng gian Hilbert thüc Rn khỉng gian Euclide n chi·u hx, yi = xT y p kxk = hx, xi tẵch vổ hữợng cừa hai vctỡ x v  y domf mi·n húu hi»u cõa h m f imF miÃn Ênh cừa Ănh xÔ F epif trản ỗ th cừa hm f chuân cừa vctỡ x (x) = 5(x) Ôo hm cừa tÔi x (x; d) Ôo hm theo hữợng d cừa tÔi x (x) dữợi vi phƠn cừa tÔi x 5x f (x, y) Ôo hm cừa hm f (., y) tÔi x 5y f (x, y) Ôo hm cừa hm f (x, ) tÔi y f (x, x) dữợi vi phƠn cừa f (x, ) tÔi x intC phƯn cừa têp C riC phƯn tữỡng ối cừa têp C xk x dÂy xk hởi tử tợi x PC (x) hẳnh chiáu cừa x lản têp C v NC (x) nõn phĂp tuyán ngoi cừa C tÔi x B[a, r] quÊ cƯu õng tƠm a bĂn kẵnh r C bao õng cừa têp C lim = lim inf giợi hÔn dữợi lim = lim sup giợi hÔn trản EP (C, f ) bi toĂn cƠn bơng V IP (C, f ) bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn (ỡn tr) Sf tªp nghi»m cõa b i to¡n EP (C, f ) SF tªp nghi»m cõa b i to¡n V IP (C, F ) BEP (C, f, g) bi toĂn cƠn bơng hai cĐp M N EP (C, f ) bi toĂn tẳm cỹc tiu cừa hm chuân trản têp Sf V IEP (C, f, F ) b i to¡n V IP (Sf , F ) BV IP (C, F, G) b i to¡n bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp vi M Ưu Lỵ chồn à ti Bi toĂn tối ữu: f (x), x∈D (1) vỵi D ⊂ Rn l  b i to¡n âng vai trá quan trång vi»c ùng dửng toĂn hồc vo cuởc sống Khi f cõ Ôo hm (1) liản quan tợi: hf (x), x xi ≥ 0, ∀x ∈ D (2) N«m 1960 Stampacchia ÷a b i to¡n têng qu¡t Cho F : D → Rn T¼m x ∈ D cho hF (x), x − xi ≥ 0, ∀x ∈ D B i to¡n ny ữủc gồi l bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn Cho D l têp khĂc rộng cừa khổng gian X , f : D × D → R l song hm cƠn bơng Xt bi toĂn: Tẳm x ∈ D cho f (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ D B i to¡n n y ÷đc gåi l  b i to¡n cƠn bơng Chẵnh xĂc, bi toĂn cƠn bơng ữủc ữa lƯn Ưu bi H Nikaido v K Isoda nôm 1955 têng qu¡t hâa b i to¡n c¥n Nash trỏ chỡi khổng hủp tĂc v ữủc Ky Fan giợi thiằu nôm 1972 (thữớng ữủc gồi l bĐt ng thực Ky Fan) Bi toĂn cƠn bơng bao hm nhiÃu lợp bi toĂn quen thuởc nhữ bi toĂn tối ữu, bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn, bi toĂn im bĐt ởng, bi toĂn cƠn bơng Nash lỵ thuyát trỏ chỡi khổng hủp tĂc Vẳ vêy, cĂc kát quÊ thu ữủc và bi toĂn cƠn bơng ữủc Ăp dưng trüc ti¸p cho c¡c b i to¡n °c bi»t cõa nõ CĂc hữợng nghiản cựu bi toĂn cƠn bơng rĐt a dÔng, õ viằc nghiản cựu xƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp giÊi  ữa toĂn hồc vo giÊi quyát nhiÃu vĐn à t thỹc tá PhƯn trồng tƠm cừa luên vôn ny l trẳnh by mởt phữỡng phĂp chiáu giÊi bi toĂn cƠn bơng giÊ ỡn iằu v Ăp dửng vo lợp bi toĂn cƠn bơng hai cĐp CĐu trúc luên vôn gỗm chữỡng: Chữỡng 1: Nhưc lÔi cĂc kián thực cỡ bÊn cừa giÊi tẵch lỗi ữủc sỷ dửng chữỡng sau Tiáp theo i giợi thiằu bi toĂn cƠn bơng, bi toĂn cƠn bơng tữỡng ữỡng v bi toĂn cƠn bơng hai cĐp Chữỡng 2: Trẳnh by thuêt toĂn chiáu giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn giÊ ỡn iằu, bi toĂn cƠn b¬ng gi£ ìn i»u v  ¡p dưng gi£i b i to¡n cƠn bơng hai cĐp Mửc ẵch nghiản cựu Mửc ẵch cừa luên vôn l xƠy dỹng phữỡng phĂp giÊi bi toĂn cƠn bơng giÊ ỡn iằu v Ăp dửng vo mởt lợp bi toĂn cƠn bơng hai cĐp Chùng minh Ta câ kxk+1 − x∗ k = kPC (uk − λk G(uk )) − PC (x∗ )k ≤ kuk − λk G(uk ) − x∗ k
= k uk − λk G(uk ) − (x∗ − λk G(x∗ )) k + λk kG(x∗ )k = k(1 − L2 λβk )(uk − x∗ ) − L2 λβk [( Lβ2 G − I)uk − ( Lβ2 G − I)x∗ ]k + λk kG(x∗ )k ≤ (1 − L2 λk λk )kuk − x∗ k + L2 Tk + λk kG(x∗ )k, β β (2.48) vỵi Tk = k( Lβ2 G − I)uk − ( Lβ2 G − I)x∗ k Do to¡n tû G l  Lipchitz vỵi h» sè L v ỡn iằu mÔnh vợi hằ số nản ta câ β β k G − I)u − ( G − I)x∗ k2 2 L L β β = kG(uk ) − G(x∗ )k2 − 2 hG(uk ) − G(x∗ ), uk − x∗ i + kuk − x∗ k2 L L 2 β β ≤ kuk − x∗ k2 − 2 kuk − x∗ k2 + kuk − x∗ k2 L L β ≤ (1 − )kuk − x∗ k2 , L q â Tk ≤ − L kuk x k Kát hủp vợi (2.48), ta câ Tk2 = k( r λ β2 k kxk+1 − x∗ k ≤ (1 − L2 (1 − − ))kuk − x∗ k + λk kG(x∗ )k β L λk ≤ (1 − L2 γ)kuk − x∗ k + λk kG(x∗ )k (2.49) β β = (1 − γk )kuk − x∗ k + γk kG(x∗ )k, Lγ q vỵi γ = − − Lβ v  γk = L2 λβk γ ∈ (0; 1) 57 Tø (2.46) v  (2.49) ta suy kxk+1 − x∗ k ≤ (1 − γk ) kxk − x∗ k + γk β kG(x∗ )k Lγ Bơng quy nÔp ta nhên ữủc   k ∗ ∗ kx − x k ≤ max kx − x k, kG(x )k ≤ ≤ Lγ   β ∗ ∗ max kx − x k, kG(x )k Lγ  k  Tø ¥y suy d¢y x bà ch°n, tø (2.46) ta câ d¢y uk cơng bà ch°n k+1 ∗ Bê · 2.3.10   Tỗn tÔi mởt dÂy xki xk hëi tö v· mët iºm    x ∈ C , hìn núa c¡c d¢y y ki , z ki v  ω ki ·u bà ch°n  Chùng minh Theo Bê · 2.3.9 ta câ d¢y xk bà ch°n, vẳ C l têp õng nản   tỗn tÔi d¢y xki ⊂ xk hëi tư v· mët iºm x C Ta s ch tỗn tÔi h¬ng sè M > cho kxki − y ki k ≤ M vỵi måi ch¿ sè i õ lợn Thêt vêy, tứ tẵnh lỗi mÔnh cừa hm fki (.) = ρf (xki , ) + h(.) − h(xki ) h5h(xki ), xki i, nản vợi méi s(xki ) ∈ ∂fki (xki ) v  s(y ki ) ∈ ∂fki (y ki ) ta câ hs(xki ) − s(y ki ), xki − y ki i ≥ δkxki − y ki k2 , suy hs(xki ), xki − y ki i ≥ hs(y ki ), xki − y ki i + δkxki − y ki k2 Theo ành ngh¾a cõa y ki , y ki = argmin {fki (y) : y ∈ C} , n¶n ta câ ∈ ∂fki (y ki ) + NC (y ki ), 58 (2.50) tùc l  s(y ki ) NC (y ki ), iÃu ny tữỡng ữỡng vợi hs(y ki ), y − y ki i ≥ 0, ∀y ∈ C, °c bi»t hs(y ki ), xki − y ki i Kát hủp iÃu ny vợi (2.50) ta ÷đc hs(xki ), xki − y ki i ≥ δkxki − y ki k2 Tø ¥y suy kxki − y ki k ≤ √ ks(xki )k, ∀s(xki ) ∈ ∂fki (xki ) δ (2.51) Bði vẳ xki x v dÂy {fki } hởi tử im trản C và hm f vợi f (y) = ρf (x, y) + h(y) − h(x) − h5h(x), y xi, nản theo nh lỵ 1.1.14 ta suy tỗn tÔi số nguyản io > 0, ừ lợn cho ∂fki (xki ) ⊂ ∂f (x) + B[0; 1], i > io , (2.52) vợi B[0; 1] l hẳnh cƯu ỡn v õng cõ tƠm tÔi v bĂn kẵnh bơng khổng gian Rn Mt khĂc ta câ ∂fki (xki ) = ρ∂2 f (xki , y ki ), ∀i v  ∂2 f (x) = ρ∂2 f (x, x), n¶n (2.52) trð th nh ∂2 f (xki , y ki ) ⊂ ∂2 f (x, x) + B[0; 1], ∀i > io ρ 59 (2.53) Do têp f (x, x) b chn, kát hủp vợi (2.51) v (2.53) ta suy dÂy số  k   kx i − y ki k bà chn M dÂy xki b chn nản suy dÂy y ki bà ch°n  Theo ành ngh¾a cõa z ki , z ki = (1 − ηki ) xki + ki y ki , nản dÂy z ki cụng b chn Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt , ta giÊ sû z ki hëi tö v· iºm z n o â  Bði v¼ ω ki ∈ ∂2 f (z ki , z ki ) nản Ăp dửng nh lỵ 1.1.14 ta suy d¢y ω ki bà ch°n Bê · 2.3.11   Náu dÂy xki xk hởi tö v· mët iºm x n o â v  kxki − y ki k4 ( ηki ) → i → ∞, kω ki k (2.54) th¼ x ∈ Sf Chựng minh Ta xt hai trữớng hủp phƠn bi»t η Tr÷íng hđp lim inf i→∞ kωkkii k > Tø (2.54) ta suy lim kxki − y ki k = 0, i→∞ â y ki → x v  z ki → x i → ∞ Theo ành ngh¾a y ki ta câ  1 h(y) − h(xki ) − h5h(xki ), y − xki i ≥ ρ  1 ≥ f (xki , y ki ) + h(y ki ) − h(xki ) − h5h(xki ), y ki − xki i , ∀y ∈ C ρ f (xki , y) + Do f, h, 5h liản tửc, chuyn qua giợi hÔn bĐt ng thực trản i ta ữủc f (x, y) + [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] ≥ 0, ∀y ∈ C, ρ 60 i·u n y câ nghắa l x Sf  Trữớng hủp lim inf i→∞ kωkkii k = Trong tr÷íng hủp ny dÂy ki b chn ta ữủc lim ηki = 0, i→∞ â z ki = (1 − ηki ) xki + y ki ηki → x i → ∞ Khỉng gi£m t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû r¬ng ω ki → ω ∈ ∂2 f (x, x) v  y ki → y i → ∞ Ta câ   f (xki , y) + ρ1 h(y) − h(xki ) − h5h(xki ), y − xki i ≥ ≥ f (xki , y ki ) +   ki h(y ) − h(xki ) − h5h(xki ), y ki − xki i , ∀y ∈ C ρ Cho i → ∞ ta thu ÷đc f (x, y) + ρ1 [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] ≥ ≥ f (x, y) + [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] ≥ 0, ∀y ∈ C ρ M°t kh¡c theo quy t­c tẳm kiám theo tia Armijo (2.43), vợi số mki 1, tỗn tÔi ki ,mki f (z ki ,mki −1 , z ki ,mki −1 ) cho hω ki ,mki −1 , xki − y ki i <   ki h(y ) − h(xki ) − h5h(xki ), y ki − xki i (2.55) Chuyn qua giợi hÔn i v kát hủp vợi z ki ,mki x, ω ki ,mki −1 → ω ∈ ∂2 f (x, x), tø (2.55) ta thu ÷đc hω, x − yi ≤ [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] , ρ â ≤ hω, x − yi + [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] 61 iÃu ny dăn án f (x, y) + [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] Vẳ vêy f (x, y) + [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] ≥ 0, ∀y ∈ C ρ Tùc l  x ∈ Sf nh lỵ 2.3.12 GiÊ sỷ têp nghiằm Sf cừa bi toĂn cƠn bơng EP (C, f ) l khĂc rộng, hm h(.) l lỗi mÔnh v khÊ vi liản tửc trản , dÂy {k } l P P mởt dÂy số dữỡng cho k=0 k = ∞ v  k=0 λk < ∞ Song h m f thäa m¢n c¡c i·u ki»n (1),(2),(3), to¡n tû G l  L−Lipchitz v ỡn iằu mÔnh trản C Khi õ dÂy {xk } sinh bði Thuªt to¡n 2.5 hëi tư v· nghi»m nh§t x∗ cõa b i to¡n V IEP (C, f, G) Chùng minh Theo Bê · 2.3.8 ta câ k+1 kx ∗ k ∗ k k − x k − kx − x k − ku − x k +  ηk δ ρkω k k 2 kxk − y k k4 ≤ −2λk huk − x∗ , G(uk )i + λ2k kG(uk )k2 , ∀k (2.56)   Tø Bê · 2.3.9 v  t½nh Lipchitz cõa to¡n tû G, ta suy c¡c d¢y xk , uk  v  G(uk ) bà ch°n, â tỗn tÔi cĂc hơng số dữỡng A,B cho k hu − x∗ , G(uk )i ≤ A, kG(uk )k2 ≤ B, ∀k °t ak = kxk − x∗ k2 , kát hủp vợi bĐt ng thực trản, (2.56) tr th nh   ηk δ k ak+1 − ak + kx − y k k4 ≤ 2λk A + λ2k B (2.57) k ρkω k 62 Ta x²t hai trữớng hủp phƠn biằt  Trữớng hủp Tỗn tÔi sè ko cho d¢y ak l  d¢y gi£m k ≥ ko Khi â, ak ≥ 0, k nản tỗn tÔi giợi hÔn limk ak = a, lĐy giợi hÔn hai vá cừa (2.57) ta nhên ữủc  lim k→∞ ηk δ ρkω k k 2 kxk − y k k4 = (2.58) Th¶m v o â
kxk+1 − uk k2 = kPC uk − λk G(uk ) − PC (uk )k2 ≤ kuk − λk G(uk ) − uk k2 (2.59) = λk kG(uk )k → k → ∞ Tø ¥y suy limk→∞ kuk − x∗ k2 = limk→∞ kxk+1 − x∗ k2 = a    Do uk bà ch°n, nản tỗn tÔi dÂy uki uk cho uki → u ∈ C v  lim infhuk − x∗ , G(u∗ )i = limk→∞ huki − x∗ , G(u∗ )i Kát hủp iÃu ny vợi (2.58),(2.59) ta thu ữủc  2 ηki +1 δ ki +1 x → u v  ρkωki +1 k kxki +1 − y ki +1 k4 → i → ∞ Theo Bê · 2.3.11, ta câ u ∈ Sf Do â lim inf huk − x∗ , G(u∗ )i = lim huki − x∗ , G(u∗ )i = hu − x∗ , G(u∗ )i ≥ k→∞ k→∞ Bði v¼ G l  - ỡn iằu mÔnh, nản huk x , G(uk )i = huk − x∗ , G(uk ) − G(u∗ )i + huk − x∗ , G(u∗ )i ≥ βkuk − x∗ k2 + huk − x∗ , G(u∗ )i 63 Chuyn qua giợi hÔn k v  v¼ limk→∞ kuk − x∗ k2 = a, ta thu ÷đc lim inf huk − x∗ , G(u∗ )i a (2.60) k Náu a > 0, bơng cĂch chån  = 12 βa, th¼ tø (2.60) ta suy tỗn tÔi ko > cho huk − x∗ , G(u∗ )i ≥ βa, ∀k ≥ ko Do (2.56), ta câ ak+1 − ak ≤ −λk βa + λ2k B, ∀k ≥ ko L§y tờng liản tiáp tứ ko án k ta thu ữủc ak+1 − ako ≤ − k X λj βa + B j=ko M°t kh¡c, v¼ P∞ k=0 λk = ∞ v  P∞ k=0 λk k X λ2j j=ko < ∞ n¶n ta suy lim inf k→∞ ak = Ta gp mƠu thuăn vẳ ak 0, ∀k Vªy a = 0, tùc l , limk→∞ kxk x k = Trữớng hủp Tỗn tÔi d¢y {aki }i≥0 ⊂ {ak }k≥0 cho aki < aki +1 vợi mồi i Trong trữớng hủp ny, ta xt dÂy ch số {(k)} ữủc xĂc ành nh÷ Bê · 2.3.7 Khi â ta câ a(k)+1 a(k) 0, kát hủp iÃu ny vợi (2.57) dăn án  (k) k (k) k 2 kxσ(k) − y σ(k) k4 ≤ 2λσ(k) A + λ2σ(k) B Do â  lim k→∞ ησ(k) δ ρkω σ(k) k 2 kxσ(k) − y σ(k) k4 = 64  Tø t½nh bà ch°n cõa xσ(k) , khỉng gi£m t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû xσ(k) → x Theo Bờ à 2.3.11 ta nhên ữủc x Sf M°t kh¡c, uσ(k) = PC∩Hσ(k) (xσ(k) ) = PCσ(k) (xσ(k) ), nản kát hủp vợi (2.46) ta suy ku(k) − xk ≤ kxσ(k) − xk → k → ∞, â limk→∞ uσ(k) = x Tø (2.56) ta câ σ(k) 2λσ(k) hu ∗ σ(k) − x , G(u  )i ≤ aσ(k) − aσ(k)+1 − ησ(k) δ ρkω σ(k) k 2 kxσ(k) − y σ(k) k4 + λ2σ(k) kG(uσ(k) )k2 ≤ λ2σ(k) B Tùc l  huσ(k) − x∗ , G(uσ(k) )i ≤ λσ(k) B V¼ G l ỡn iằu mÔnh, nản ku(k) x k2 huσ(k) − x∗ , G(uσ(k) ) − G(x∗ )i = huσ(k) − x∗ , G(uσ(k) )i − huσ(k) − x∗ , G(x )i Kát hủp iÃu ny vợi (2.61), ta suy   λσ(k) σ(k) ∗ σ(k) ∗ σ(k) B − hu − x , G(u )i ku −x k ≤ β Bði vªy lim kuσ(k) − x∗ k2 ≤ − k→∞ lim huσ(k) − x∗ , G(uσ(k) )i ≤ β k→∞ 65 (2.61) Tø ¥y suy lim kuσ(k) − x∗ k = k→∞ (2.62) Th¶m v o â kxσ(k)+1 − uσ(k) k = kPC (uσ(k) − λσ(k) G(uσ(k) )) − PC (uσ(k) )k ≤ λσ(k) kG(uσ(k) )k, k → ∞ Kát hủp vợi (2.62), ta suy limk x(k) = x∗ , tùc l  limk→∞ aσ(k)+1 = Theo Bê · 2.3.7, ta câ ≤ ak ≤ aσ(k)+1 → k → ∞  Do â xk hëi tử tợi nghiằm nhĐt x cừa bi toĂn V IEP (C, f, G) Ta xt mởt trữớng hủp riảng quan trång cõa b i to¡n V IEP (C, f, G) l bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp BV IP (C, F, G) sau: T¼m iºm x∗ ∈ SF cho hG(x∗ ), y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ SF (2.63) ð â, SF l  tªp nghiằm cừa bi toĂn cƠn bơng : Tẳm im u ∈ C cho hF (u), y − ui ≥ 0, ∀y ∈ C, (2.64) â F : Ω −→ Rn l  to¡n tû x¡c ành tr¶n Ω Trong tr÷íng hđp n y, °t f (x, y) = hF (x), y − xi th¼ b i to¡n BV IP (C, F, G) trð th nh b i to¡n V IEP (C, f, G), hm f l giÊ ỡn iằn theo têp S trản C v  ch¿ to¡n tû F l  gi£ ỡn iằu theo S trản C 66 Bơng cĂch chån h m h(x) = kxk2 v  ¡p dưng Thuªt to¡n 2.5 cho b i to¡n BV IP (C, F, G) ta nhên ữủc Thuêt toĂn 2.6 sau: Thuêt toĂn 2.6 Bữợc tÔo Chồn x0 C v cĂc tham số (0, 1), > Bữợc lp thự k (k=0,1,2, ) Cõ xk ta thỹc hiằn cĂc bữợc sau: Bữợc Tẵnh y k = PC (xk F (xk )) Náu xk = y k lĐy uk = xk v chuyn sang Bữợc Ngữủc lÔi, thỹc hiằn Bữợc Bữợc 2.(quy tưc tẳm kiám theo tia Armijo) Tẳm số nguyản dữỡng mk nhọ nhĐt cĂc số nguyản dữỡng m thọa mÂn z k,m = (1 − η m )xk + η m y k , (2.65)   hF (z k,m ), xk − y k i ≥ ky k − xk k2 ρ °t ηk = η mk , z k = z k,mk , Bữợc LĐy uk = PCk (xk ), vỵi  Ck = x ∈ C : hF (z k ), x − z k i (2.66) Bữợc t xk+1 = PC (uk − λk G(uk )) v  chuyºn v· bữợc lp thự k vợi k ữủc thay bi k + p dửng nh lỵ 2.3.12 v Thuêt toĂn 2.6 ta câ h» qu£ sau : H» qu£ 2.3.13 GiÊ sỷ têp nghiằm SF cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn V IP (C, F ) khĂc rộng, to¡n tû F li¶n tưc tr¶n Ω, gi£ ìn i»u theo têp SF trản C , toĂn tỷ G l LLipchitz v ỡn iằu mÔnh trản C , dÂy P P {k } l mởt dÂy số dữỡng cho ∞ λ = ∞ v  k k=0 k=0 λk < ∞ Khi â, 67