55 hsg9 thanh hoa 1

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 99    Câu Tỉnh Thanh Hóa Giáo viên góp đề: Đỗ Văn Hồn + 0979760783 Giáo viên góp đề: Phạm Văn Vượng +976978545 Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực (4,0 điểm) x   x  14    x  x    x  x  với x 0 Cho biểu thức Rút gọn biều thức P tìm giá trị x để biểu thức P có giá trị số tự nhiên 4 Cho số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời a  b ; b  c ; c  a P Câu Tính giá trị biểu thức (4,0 điểm) B a  b  c  a 2b 2c   a 2b  b 2c  c a   2022 Giải phương trình x  13x  14 x 3  15 x  Câu  x3  xy  49 0  x  xy  y 8 y  17 x Giải hệ phương trình  (4,0 điểm) Tìm tất số nguyên nguyên tố Câu  m, p, q  m thỏa mãn: p  q m  0; p, q hai số 2 ab  a  b  Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn a khác b chia hết cho a  ab  b a  b  ab Chứng minh (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Đường trịn tâm I đường kính BC cắt cạnh AB AC M N Các tia BN CM cắt H Gọi K giao điềm IH với MN Qua I kẻ đường thẳng song song với MN cắt đường thẳng CM BN E Q   Chứng minh ANM đồng dạng với ABC BQI ECI KN  HN    IQ IE  IC KM  HM  Chứng minh Gọi D la giao điểm AH với BC Chứng minh 1    AD BN BN CM CM AD 3( R  OH ) Câu 16abc   ab  bc  ca  81  24  a  b  c  (2,0 điểm) Cho ba số a, b, c 1 thỏa mãn Tìm giá Q trị nhỏ biểu thức a  a  1a   b b  1b   c c  1c  -Hết - Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 61  VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 LỜI GIẢI    Câu Giáo viên góp đề: Đỗ Văn Hồn + 0979760783 Giáo viên góp đề: Phạm Văn Vượng +976978545 Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực (4,0 điểm) x   x  14    x  x    x  x  với x 0 Cho biểu thức Rút gọn biều thức P tìm giá trị x để biểu thức P có giá trị số tự nhiên 4 Cho số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời a  b ; b  c ; c  a P B a  b  c  a 2b 2c   a 2b  b 2c  c a   2022 Tính giá trị biểu thức Lời giải x   x  14    x 3  x   x  x  với x 0 Cho biểu thức Rút gọn biều thức P tìm giá trị x để biểu thức P có giá trị số tự nhiên Điều kiện x 0 Ta có: P P     x  2  x 1  x    x  11 x  14 P Vậy    Ta có Do P  N nên  x 2 x 7  x 1  2   x 14 x 2   x 1 x 7 x 1 x 7 x  với x 0 P    x x 1 x   x 14       x 3  x 2  x 3 x 2 x 1 x 2  x 1  x 1 2  P   3; 4;5;6;7  5 0 5 x  , x 0 nên x 1 suy  P 7   1; 2;3; 4;5  x 1  5  x   5; ; ; ;1       x  4; ; ; ;0   x  16; ; ; ;     16    x  16; ; ; ;0   16  giá trị cần tìm Kết hợp với điều kiện ta thấy   x  16; ; ; ;0   16  Vậy để P có giá trị số tự nhiên 4 Cho số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời a  b ; b  c ; c  a Tính giá trị biểu thức B a  b  c  a 2b 2c   a 2b  b 2c  c a   2022 Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 62  VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 a  b   b  1  b  1   2 b  c   c  1  c  1  2 c  a   a  1  a  1 Từ giả thiết ta suy ra: Nhân vế với vế đằng thức với ta được: a 1 b2  c 1  b2  c  a  b 1 c 1 a 1  Do  a      1  b  1  c  1  nên  b    1  c  1  a  1 1   Khai triền ta b c a  a 2b  b c  c a  a  b  c  1  a 2b c  a  b  c  a 2b  b 2c  c a 2  Câu  Vậy B 2  2022 2024 (4,0 điểm) Giải phương trình x  13x  14 x 3  15 x   x3  xy  49 0  x  xy  y 8 y  17 x Giải hệ phương trình  Lời giải Giải phương trình: x  13x  14 x 3  15 x  ĐKXĐ: x  Pt cho x  13x  14 x   15 x  0  x  13x  12 x   x  3  15 x  0   x  3x   x      x    15 x   0   x  3x   x      x  3x   x    (2 x  3)   15 x    x  3  15 x  0 x  12 x   15 x  0  x  3  15 x   x  3x 0 (1)      x  3x   x    0   x   0 x   15 x     x   15 x   2  x 0  Pt  1    x 3  (đều thoả mãn ĐKXĐ) x4 Xét Pt (2): Vì x  x   15 x  0 17 x   15 x      x4 x   15 x  9 5 Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 63  VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP x4 Suy TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 128  0 x   15 x  45 nên pt (2) vô nghiệm  3 S 0;   4 Vậy phương trình cho có tập nghiệm  x3  xy  49 0  x  xy  y 8 y  17 x Giải hệ phương trình  Nhân hai vế phương trình (2) với 3, cộng với phương trình (1) vế theo vế ta pt: x  x  xy  24 xy  y  49 24 y  51x  x  3x  3x   y  x  1  24 y  x  1  48  x  1 0   x  1  ( x 1)2  y  24 y  48 0   x  1  ( x  1)  3( y  4)  0 x  0   2  ( x  1)  3( y  4) 0  x  TH1:    x  3xy  49  x    y 4; y  ( x  1)  3( y  4) 0  x  TH2:    y 4  x  xy  49 Vậy hệ cho có hai nghiệm Câu  x, y      1;  ,   1;    (4,0 điểm) Tìm tất số nguyên nguyên tố  m, p, q  m thỏa mãn: p  q m  0; p, q hai số 2 ab  a  b  Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn a khác b chia hết cho a  ab  b a  b  ab Chứng minh Lời giải m m, p, q  Tìm tất số nguyên  thỏa mãn: p  q m  0; p, q hai số nguyên tố m Vì m  p nguyên tố nên p  lẻ  q lẻ   2m 2  q   q  1 q  q  q  q  2m 2 Nếu p 2 m Vì q lẻ  q  q  q  q  lẻ lớn  có ước lẻ lớn , vơ lý Do p lẻ q  1  q  q  q  q  1 2m p  Ta viết phương trình cho dạng 4 Do q  q  q  q  lẻ lớn nên q  q  q  q   p 2 q  q  q  q   p Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 64  VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 m m  Xét trường hợp q  q  q  q   p  q  2 p Do p  p nên q   q  q  q  q  (vô lý)  Xét trường hợp q  q  q  q   p  4q  4q  q  p 4q  4q  4q  4q   4q  4q  9q  q    q  q   p   q  q   p  2q  q  1 Ta phương trình Từ suy  q  q  q  q  1  2q  q  1  q  2q  0 , mà q nguyên tố, suy q 3 , từ tìm p 11; m 1 Vậy ta có ba số nguyên thoả mãn yêu cầu toán là:  m, p, q   1;11;3 2 ab  a  b  Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn a khác b chia hết cho a  ab  b a  b  ab Chứng minh x, y  1 Đặt d ƯCLN(a, b) Suy a xd , b  yd với ƯCLN  Khi đó: ab  a  b  dxy  x  y   Z 2 a  ab  b x  xy  y Ta có UCLN  x  xy  y ; x  UCLN  y ; x  1 Tương tự UCLN  x  xy  y ; y  1 x  y, x  xy  y   d '  Đặt UCLN  x  y d '     x  xy  y  d '  2   x  xy  y   x  x  y  d '  x d '   d ' 1   2 y  d ' x  xy  y  y x  y  d '      2 2 Do d : x  xy  y  d x  xy  y Mặt khác Vậy Câu   a  b |3 d x  y |3 d x  y d d x  xy  y  d xy ab a  b  ab (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Đường trịn tâm I đường kính BC cắt cạnh AB AC M N Các tia BN CM cắt H Gọi K giao điềm IH với MN Qua I kẻ đường thẳng song song với MN cắt đường thẳng CM BN E Q   Chứng minh ANM đồng dạng với ABC BQI ECI KN  HN    2 Chứng minh IQ.IE IC KM  HM  Gọi D la giao điểm AH với BC Chứng minh Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 65  VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 1    AD BN BN CM CM AD 3( R  OH ) Lời giải A N M K O H P B D E I C Q   Chứng minh ANM đồng dạng với ABC BQI ECI AN AB ANB AMC  g g    AM AC Ta có: Xét ANM ABC có: AN AB   ;A AM AC góc chung  ANM ABC ( c.g.c ) (Đpcm)   Vì ANM ABC  ANM  ABC        BN  AC ; CM  AB   MNB MCB Mà ANM  MNB  ABC  MCB 90 (Do   mà MNB BQI (2 góc so le trong)      BQI MCB hay BQI ECI ( đpcm ) KN  HN    2 Chứng minh IQ.IE IC KM  HM       BIQ EIC  g.g  Theo câu a, BQI ECI lại có BIQ EIC (2 góc đối đỉnh) IQ IB    IQ IE IC.IB IB IC  gt   IQ.IE IC IC IE mà IQ  IC      1 IE  IE  Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 66  VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 KN HK KM KN IQ     IQ HI IE KM IE (2) Ta Áp dụng hệ - Lét ta có: KN  IC     KM  IE  Từ (1) (2)   IP IE  P  E   IPE Trên cạnh EM lấy P cho cân I  IPC IEP       Mà IEP HMN (2 góc so le trong, MN  EQ )  HMN IPE hay HMN IPC Lại có:    ICP HNM  HMN IPC  g g  IC HN IC HN    IP HM mà IP IE (cách lấy điểm P ) IE HM (4) KN  HN      đpcm  KM  HM  Từ (3) (4) Gọi D la giao điểm AH với BC Chứng minh 1    AD BN BN CM CM AD 3( R  OH ) Vì BN  AC ; CM  AB;  H  BN  CM  H trực tâm ABC  AH  BC hay AD  BC HD HN HM S HBC S HAC S HAB      1 AD BN CM S S S ABC ABC ABC Do ta có:  AD  AH BN  BH CM  CH AH BH CH   1    2 AD BN CM AD BN CM Do H trực tâm ABC nhọn nên H nằm ABC  AH  AO  OH R  OH     BH BO  OH R  OH  CH CO  OH R  OH   (BĐT ba điểm) AH BH CH 1  1   2    R  OH         5  AD BN CM AD BN CM R  OH  AD BN CM  2 Với x, y ta có : ( x  y ) 0  x  y 2 xy 2 2 Chứng minh tương tự : y  z 2 yz; z  x 2 zy Cộng theo vế ba BĐT ta được: 2 x  y  z 2  2  xy  z  zx   x  y  z  xy  yz  zx  ( x  y  z ) 3  xy  yz  zx  Áp dụng BĐT với x 1 ;y ;z  AD BN CM ta suy được: Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 67  VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 1  1          3    6  AD BN CM   AD BN BN CM CM AD  1 Từ (5) (6)     (ñpcm) AD BN BN CM CM AD 3( R  OH ) Dấu " =" xảy  dấu " =" bất đẳng thức đồng thời xảy  ABC 16abc   ab  bc  ca  81  24  a  b  c  (2,0 điểm) Cho ba số a, b, c 1 thỏa mãn Tìm giá Q trị nhỏ biểu thức a  a2   a   b b2   b   c c2   c  Lời giải Ta coù: Q   a2   a b2   b c2   c   a  a   a  b  b2   b2  c  c   c  a2   a b2   b c2   c   3  a b c  a2  b2  c2        a  b c    a2  b2  c2   a2  b2  c2   Q          P Với P   a b c  a b c  Sử dụng bất đẳng thức : Với x, y, z 0 , ta ln có x  y  z x  y  z  3 x  y  z  Dấu "=" xảy Từ bất đẳng thức cho ta có: P  1 Suy 1   1   1  1           a b c   a b c   1 1 P  9     a b c  1 1 3    a b c  Từ giả thiết  16  Ta có 16abc   ab  bc  ca  81  24  a  b  c  81 1    24     abc  ab bc ca   1 1 4     *   a b c 1 1  1 1 1  1 1             ab bc ca  a b c  abc 27  a b c  Dấu "=" xảy a b c 1 t    ;  t 3 a, b, c 1 a b c Đặt (Vì Từ   * ta có 16 3t  8t  4t  3t  8t  4t  16 0   3t   (t  2) 0  t  ( Vi  t 3) Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 68  VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 2 65  1 1  4 65  65 P  9      9     Q   P   Q a b c  3 3 Dấu Suy 16abc   ab  bc  ca  81  24  a  b  c    a b c  a b c a, b, c 1  "=" xảy 9 Vậy giá trị nhỏ Q 65 a b c  Địa truy cập click vào  https://vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 69 