Năm tuyển sinh: 2020 – 2021 DỰ ÁN GÓP ĐỀ TUYỂN SINH 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học: 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài (2,0 điểm) a) Cho số thực a, b không âm thỏa mãn điều kiện (a + 2)(b + 2) = Tính giá trị biểu thức: ( )( P = ab + a + b + − a + b + b) Cho số hữu tỉ B số hữu tỉ Bài (2,0 điểm) ) a, b, c đôi phân biệt Đặt 1) Giải phương trình: (x )( B= ) + 3x + x + x + 18 = 168 x 1 + + 2 ( a − b) (b − c) (c − a )2 Chứng minh 1 x + x2 + = y + y2 + x2 + 2x y + = 8x − y 2) Giải hệ phương trình: Bài (2,0 điểm) 2 a) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x + y − xy − x − y + = p2 − p −1 b) Tìm tất số nguyên tố p cho lập phương số tự nhiên Bài (3,0 điểm) ( ) ′ O Cho hai đường tròn (O ) cắt hai điểm A B Tiếp tuyến A đường tròn tâm ′ O cắt đường tròn tâm O P( P ≠ A) Tiếp tuyến A đường tròn tâm O′ cắt đường tròn tâm O Q(Q ≠ A) Gọi I điểm cho tứ giác AOIO′ hình bình hành D đối xứng với A qua B a) Chứng minh I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác A P Q Từ suy tứ giác A D P Q nội tiếp ? · · b) Gọi M trung điểm đoạn PQ Chứng minh ADP = QDM c) Giả sử hai đường thẳng 1 = + minh: SK SP SQ IB PQ cắt S Gọi K giao điểm AD PQ Chứng Bài (1,0 điểm) Cho bảng kẻ ô vng kích thước × gồm có 64 vng (như hình vẽ bên) Người ta đặt 33 quân cờ vào ô vuông bảng cho vng có khơng q qn cờ Hai quân cờ 1/7 Năm tuyển sinh: 2020 – 2021 DỰ ÁN GÓP ĐỀ TUYỂN SINH 10 gọi "chiếu nhau" chúng nằm hàng nằm cột Chứng minh với cách đặt ln tồn qn cờ đơi không chiếu LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài (2,0 điểm) a) Cho số thực a, b không âm thỏa mãn điều kiện (a + 2)(b + 2) = Tính giá trị biểu thức: ( )( P = ab + a + b + − a + b + b) Cho số hữu tỉ B số hữu tỉ ) a, b, c đôi phân biệt Đặt 1 + + 2 ( a − b) (b − c) (c − a )2 Chứng minh B= Bài giải a) Ta có: (a + 2)(b + 2) = ⇔ 2a + 2b + ab = Do đó: ( a2 + )(b ) +4 = ( a + ab + 2a + 2b = 2( a + b) ( a + 2)(b + 2) = Suy ra: ) (b + ab + 2a + 2b ) 2( a + b ) ×8 = 4( a + b) a + b + − ( a + ) ( b + ) = a + b + − 4(a + b) = (a + b )2 + − 4(a + b) − 2ab = (a + b ) = 2(a + b) Khi đó: P = ab + 2(a + b) = Vậy P = b) Đặt x = a − b, y = b − c, z = c − a ⇒ x, y , z ≠ x + y + z = Ta có: B= 1 1 1 2( x + y + z ) 1 1 1 + + = + + ÷ − 2 + + ÷ = + + ÷ − x y z xyz x y z xy yz zx x y z 1 1 1 = + + ÷ = + + x y z x y z Vì a, b, c số hữu tỷ nên x, y, z số hữu tỉ, B số hữu tỷ Bài (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: (x )( ) + 3x + x + x + 18 = 168 x 2/7 Năm tuyển sinh: 2020 – 2021 DỰ ÁN GÓP ĐỀ TUYỂN SINH 10 1 x + x2 + = y + y2 + x2 + 2x y + = 8x − y 2) Giải hệ phương trình: Bài giải a) Do x = khơng nghiệm phương trình nên phương trình cho tương đương: ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) = 168 x ⇔ x + x + x + x + = 168 x ( )( ) 2 6 6 6 6 6 ⇔ x + + ÷ x + + ÷ = 168 ⇔ x + ÷ + 12 x + ÷ + 35 = 168 ⇔ x + ÷ + 12 x + ÷− 133 = x x x x x x 6 ⇔ x + − ÷ x + + 19 ÷ = ⇔ x − x + x − 19 x + = x x x − 7x + = x = 337 − 19 337 + 19 ⇔ ⇔ x=− x = 2 x = x + 19 x + = ( )( ) 337 − 19 337 + 19 S = 1;6; ;− 2 Vậy tập nghiệm phương trình b) Điều kiện y > Phương trình thứ hệ tương đương: 1 ( x − y )( x + y ) x− y+ − =0⇔ x− y− =0 x +1 y +1 x + y2 + ( x+ y ⇔ ( x − y ) 1 − x + y2 + ( )( ) )( ) x = y =0⇔ 2 x + y + = x + y ( )( ) 2 1 1 x2 + y + = x + y ⇔ x2 − x + y − y + x2 y + = ⇔ x − ÷ + y − ÷ + x y + = 2 2 Ta có: , vơ lí Do trường hợp hệ phương trình vơ nghiệm Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( x; y ) = (2 + 3;2 + 3),(2 − 3;2 − 3) ( )( ) Bài (2,0 điểm) 2 a) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x + y − xy − x − y + = p2 − p −1 b) Tìm tất số nguyên tố p cho lập phương số tự nhiên Bài giải a) Ta có: x + y − xy − x − y + = ( ) ( ) ⇔ x + y + − xy − x + y + y − y + = ⇔ ( x − y − 1) + ( y − 3) = 2 ( x − y − 1) = Vì x, y ∈ ¢ ⇒ ( y − 3) = ( x − y − 1) = ho?c ( y − 3) = 3/7 Năm tuyển sinh: 2020 – 2021 DỰ ÁN GÓP ĐỀ TUYỂN SINH 10 ( x − y − 1) = ( x − 4) = x = x = ⇔ ⇔ y =3 ( y − 3) = y=3 Trường hợp: y = x = y + x = ( x − y − 1) = ⇔ y = ⇔ x = 2 y = ( y − 3) = y =1 Trường hợp: y = Vậy phương trình cho có bốn nghiệm ( x; y ) = (6;3),(2;3),(6;5),(2;1) p2 − p − = a3 b) Ta có: với a ≥ Khi đó: p2 − p − = a ⇔ p ( p − 1) = 2(a + 1) a − a + Vì ưcln ( p; p − 1) = nên p ( p − 1) chia hết cho (a + 1) ⇔ p chia hết cho ( a + 1) p − chia hết cho ( a + 1) ( ) k = k = ⇔ a + = a = - Xét p : (a + 1) ⇒ p = k (a + 1) Mà p số nguyên tố suy ra: a = ⇒ p = Với k = ⇒ p = a + ⇒ a (a + 1) = 2(a + 1) ( a − a + 1) Nếu , vô nghiệm p − 1: ( a + 1) ⇒ p = m ( a + 1) + Xét Khi ta có: 2 m(a + 1) p = 2( a + 1) ( a − a + 1) ⇔ mp = ( a − a + 1) Ta có: a − a + = a( a − 1) + số lẽ ( 2; a − a + 1) = Suy ra: ưcln ( a − a + 1) : m ⇔ : m a − a + 1) : m ( Nên m = 2:m ⇒ m = Nếu Với ( ) k = ⇒ a − a + = a + ⇔ 2a − 3a = ⇔ a = 2 Với k = ⇒ a − a + = 2( a + 1) + ⇔ a − 3a − = , vô nghiệm 2 Nếu a − a + 1: m ⇒ a − a + = mn Khi ta có: m( a + 1) + = 2n Mặt khác p = m(a + 1) + = 2n số nguyên tố suy p = 2, n = ⇒ a = Tóm lại p = số nguyên tố cần tìm Bài (3,0 điểm) ( ) O′ Cho hai đường tròn (O ) cắt hai điểm A B Tiếp tuyến A đường tròn tâm ′ O cắt đường tròn tâm O P( P ≠ A) Tiếp tuyến A đường tròn tâm O′ cắt đường tròn tâm O Q(Q ≠ A) Gọi I điểm cho tứ giác AOIO′ hình bình hành D đối xứng với A qua B a) Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A P Q Từ suy tứ giác A D P Q nội tiếp ? · · b) Gọi M trung điểm đoạn PQ Chứng minh ADP = QDM 4/7 Năm tuyển sinh: 2020 – 2021 DỰ ÁN GÓP ĐỀ TUYỂN SINH 10 c) Giả sử hai đường thẳng 1 = + minh: SK SP SQ IB PQ cắt S Gọi K giao điểm AD PQ Chứng Bài giải ′ ′ ′ a) Ta có: OA ⊥ AP mà IO / / OA ⇒ IO ⊥ AP ⇒ I nằm đường trung trực AP ⇒ IA = IP Chứng minh tương tự ta có: IA = IQ Từ suy ra: IA = IP = IQ ⇒ I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ ′ Gọi E , F giao điểm OO với AB AI Ta có: Dễ thấy E , F trung điểm AB AI ⇒ EF đường trung bình tam giác ABI Suy EF / / BI hay OO / / BI Do BI ⊥ AB B Từ IB đường trung trực AD ⇒ IA = ID Do tứ giác ADPQ nối tiếp 5/7 Năm tuyển sinh: 2020 – 2021 DỰ ÁN GÓP ĐỀ TUYỂN SINH 10 · · · · QPD = QAD = QAB = APB = ·AO ′ B = ·AO ′O · ′ · b) Ta có: , hay QPD = AO O ′ · PQD = ·AOO Chứng minh tương tự ta có: ′ Từ suy ∆AOO #∆DQP ′ · · Mà M trung điểm PQ F trung điểm OO ⇒ QDM = OAF ·ADP = ·AIP = ·AIO′ = OAF · Mặt khác ·APD = QDM · Từ suy ra: · · c) Theo chứng minh ta có: QPD = QAB · · · · · Mặt khác DQP = DAP = AQB , hay DQP = AQB Từ suy ∆AQB#∆PQD Suy ra: · · · · · · QBI + IPQ = QBA + ·ABI + IPQ = QDP + 90° + IPQ · 180° − QIP · · · = QPD + 90° + = 180° + QPD − QDP = 180° Do tứ giác QBIP nội tiếp Suy ra: SQ ×SP = SB ×SI Vì M trung điểm đoạn PQ ⇒ IM ⊥ PQ ⇒ tứ giác BKMI nội tiếp Suy ra: SK ×SM = SB ×SI SQ ×SP = SK ×SM ⇔ SM = SK SQ ×SP Tu ta suy: Mà SM = SP − MP = SP − MQ = SP − ( SM − SQ ) = SP + SQ − SM ⇒ SP + SQ = 2SM SM 2SM SQ + SP 1 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + SK SQ ×SP SK SQ ×SP SK SQ SP Nên ta có: SK SQ ×SP Bài (1,0 điểm) Cho bảng kẻ vng kích thước × gồm có 64 vng (như hình vẽ bên) Người ta đặt 33 quân cờ vào ô vuông bảng cho vng có khơng q quân cờ Hai quân cờ gọi "chiếu nhau" chúng nằm hàng nằm cột Chứng minh với cách đặt tồn qn cờ đơi khơng chiếu Lời giải Đánh số ô bảng hình vẽ 6/7 Năm tuyển sinh: 2020 – 2021 DỰ ÁN GÓP ĐỀ TUYỂN SINH 10 8 7 6 5 4 3 2 Theo nguyên lí Dirichle đặt 33 quân cờ vào mà có loại số đánh từ đến nên có quân cờ số Theo bảng qn cờ đặt có số khơng chiếu Suy điều phải chứng minh 7/7