PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HĨA LỚP Mơn kiểm tra: Toán Ngày thi: 13/09/2023 Thời gian làm bài: 90 phút (Khơng tính thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (5,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a) A =- - + + - - + + - - 10 +11 +12 - L - 1997 - 1998 +1999 + 2000 ỉ ỉ ổ ữ ữ ữ ỗ ỗ B =ỗ 1+ + 1+ L ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữỗ ữố ữì ỗ ỗ ì5 ứ è ø è ø × × b) ổ ữ ìỗ 1+ ữ ỗ ữ ç 2021×2023 ø è Bài (5,0 điểm) a) So sánh hai biểu thức A B biết A= 1015 +1 1016 +1 B = 1016 +1 1017 +1 1 1 1 < + + +L + < 100 b) Chứng minh Bài (5,0 điểm) x x +1 x +2 x +100 = 2101 - a) Tìm số tự nhiên x biết + + +L + b) Chứng minh p số nguyên tố lớn ( p - 1)( p +1) chia hết cho 24 Bài (3,0 điểm) a) Trên mặt phẳng cho điểm phân biệt, có điểm thẳng hàng Cứ nối điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành tam giác, hỏi có tam giác tạo thành nối điểm từ điểm b) Cho đường tròn, đường tròn lấy 2023 chấm đỏ 2024 chấm xanh Người ta viết số vào hai chấm đỏ, viết số –1 vào hai chấm xanh, viết số vào hai chấm khác màu Hỏi tổng số đường tròn bao nhiêu? Bài (2,0 điểm) Cho k số tự nhiên khác 0, chứng minh tồn số tự nhiên có k dạng 1011 - chia hết cho 2023 -HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng: Đáp án Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: a) ( 2,5 điểm) A = -1- + + - - + + - - 10 + 11 + 12 - - 1997 - 1998 + 1999 + 2000 A = (-1- 2+3+4) + (- 5- 6+7+ 8) + (- 9-10+11+12)+ + (-1997-1998+1999+2000) Ta có tổng A có 2000 số hạng nên có 2000 : = 500 nhóm A = + + + … + (tổng có 500 số 4) A = 500 A = 2000 b) ( 2,5 điểm) B 1 1 1.3 2.4 3.5 2021.2023 22 32 42 2022 1.3 2.4 3.5 2021.2023 (2.3.4 2022).(2.3.4 2022) (1.2.3 2021).(3.4.5 2023) 2022.2 4044 2023 2023 Bài 2: a) ( 2,5 điểm) 1015 1016 A 16 B 17 10 , 10 So sánh hai biểu thức A B biết: Ta có: 1016 10 10 A 16 1 16 10 10 1017 10 10 B 17 1 17 10 10 9 17 16 Vì 10 10 1 nên 10 A 10 B Suy ra: A B b) ( 2,5 điểm) 1 1 1 100 Chứng minh rằng: 6 1 1 100 Đặt : A = Ta có : 1 1 1 1 1 1 99.100 = 5 99 100 = 100 ( 1,25 điểm) A < 4.5 5.6 6.7 1 1 1 99.100 100.101 101 ( 1,25 điểm) * A > 5.6 6.7 Bài 3: a) ( 2,5 điểm) Đặt: x x 1 x 2 x 100 2101 A 2 x x 1 x 2 x 100 2 x 101 x x 101 x 2101 x 1 2101 1 0 x 1 0 x 1 x 0 ( 1,5 điểm) b) ( 2,5 điểm) Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ không chia hết cho Với p không chia hết cho p 1 , p 1 hai số chẵn liên tiếp p 1 p 1 8 ( 1,5 điểm) Mặt khác p không chia hết p 3k 1, p 3k Nếu p 3k p 1 3 p 1 p 1 24 ( 0,5 điểm) Nếu p 3k p 1 3 p 1 p 1 24 ( 0,5 điểm) Bài 4: a) ( 1,5 điểm) Trên mặt phẳng cho điểm phân biệt, có điểm thẳng hàng Cứ điểm phân biệt tạo thành tam giác, hỏi có tam giác tạo thành từ điểm Ta có: Sơ tam giác tạo từ điểm không thẳng hàng Số tam giác tạo từ điểm không thẳng hàng điểm đường thẳng 3.5=15 Số tam giác tạo từ điểm đường thẳng điểm đường thẳng 10.3=30 Vậy tổng có 46 tam giác b) ( 1,5 điểm) Cho đường tròn, đường tròn lấy 2023 chấm đỏ 2024 chấm xanh Người ta viết số vào hai chấm đỏ, viết số -1 vào hai chấm xanh, viết số vào hai chấm khác màu Hỏi tổng số đường tròn bao nhiêu? Dễ dàng nhận thấy số lượng chấm đỏ bên cạnh chấm xanh = số lượng chấm xanh bên cạnh chấm đỏ Vì số lượng chấm xanh cạnh luôn lớn số lượng chấm đỏ cạnh 2024 – 2023 = Vậy tổng số đường tròn -1 Bài 5: ( 2,0 điểm) Cho k số tự nhiên khác 0, chứng minh tồn số tự nhiên có dạng 1011k – chia hết cho 2023 Ta thấy 1011 2023 số ngun tố Vì số có dạng 10111, 10112,…., 10112024 không chia hết cho 2023 Theo nguyên lí Dirichlet 2014 số tồn số có số dư chia cho 2023 1011m 1011m+k Khi 1011m+k – 1011m = 1011m.(1011k -1) chia hết cho 2023 Do 1011m không chia hết cho 2023, nên tồn số tự nhiên k để 1011k -1 chia hết cho 2023