Một Số Ứng Dụng Của Phương Trình Sai Phân Giải Toán Sơ Cấp.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP Chun ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS: Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Trang Lời nói đầu Chương Một số kiến thức phép tính sai phân 1.1 Định nghĩa 1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân 1.3 Định lý tồn nghiệm 12 1.4 Toán tử ∆ E 13 1.5 Các tính chất tốn tử sai phân 16 1.6 Toán tử ∆−1 phép lấy tổng 20 Chương Phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng 24 2.1 Các định nghĩa 24 2.2 Cách tìm nghiệm tổng quát nghiệm riêng 26 2.3 Một số phương pháp khác giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 28 2.3.1 Phương trình tuyến tính tổng qt 28 2.3.2 Phương trình dạng yk+1 − yk = (n + 1)kn 31 2.3.3 Phương trình dạng yk+1 = Rk yk 35 2.4 Một số ứng dụng giải toán sơ cấp 35 2.4.1 Tính tổng 35 2.4.2 Dãy Số Fibonacci 42 2.4.3 Đa thức Chebyshev 44 2.4.4 Một số dạng toán liên quan tới dãy số 47 Kết luận 53 Lời nói đầu Phương trình sai phân lĩnh vực nhiều nhà khoa học quan tâm tính hữu hiệu giải số mơ hình đề xuất, ta tham khảo ứng dụng đa dạng phương trình sai phân tài liệu [3] tài liệu tham khảo Bên cạnh ứng dụng mạnh mẽ phương trình sai phân nghiên cứu mơ hình phức tạp phương trình sai phân có nhiều ứng dụng hiệu giải tốn chương trình phổ thơng như: tính tổng chuỗi, tìm số hạng tổng quát, chứng minh bất đẳng thức, Luận văn gồm có hai chương Chương trình bày lại số kiến thức liên quan tới phương trình sai phân định lý tồn nghiệm, toán tử ∆ toán tử E, toán tử ∆−1 , Chương nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, cách tìm nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời giới thiệu số phương pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp Phần cuối chương trình bày vài ứng dụng phương trình sai phân việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổng quát dãy số số toán liên quan Để thực hoàn thành đề tài Luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phận Sau đại học - Phịng đào tạo, Khoa Tốn- Tin trường Đại học Khoa học – Đại Học Thái Nguyên quý thầy cô trường giảng dạy giúp đỡ em suốt trình hoc tập nghiên cứu Đồng thời xin chân thành cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè anh chị lớp tạo điều kiện giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu đề tài Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Ngọc Oanh người hướng dẫn khoa học trực tiếp dành thời gian, công sức hướng dẫn em trình nghiên cứu thực luận văn Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2019 Học viên Phan Thị Thu Huyền Chương Một số kiến thức phép tính sai phân Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức liên quan tới phép tính sai phân, định nghĩa định lý nghiệm, tồn nghiệm; toán tử sai phân ∆ tính chất bản, tốn tử dịch chuyển E Nội dung chương tham khảo Chương Chương tài liệu [2], Chương tài liệu [3] 1.1 Định nghĩa Một dãy số hàm mà miền xác định tập số nguyên Trong phần này, xét dãy mà miền xác định số nguyên không âm Ta ký hiệu số hạng tổng quát dãy yk sử dụng ký hiệu {yk } để biểu diễn dãy y0 , y1 , y2 , Cho dãy số {yk } thỏa mãn yk+n = F (k, yk+n−1 , yk+n−2 , , yk ) (1.1) Khi cho trước giá trị ban đầu ta tính tốn giá trị cịn lại Như vậy, từ phương trình (1.1), rõ ràng n giá trị liên tiếp yk xác định cách cụ thể dãy {yk } xác định Các giá trị cụ thể gọi điều kiện ban đầu Định nghĩa sau cho ta liên hệ dãy phương trình sai phân Định nghĩa 1.1 Một phương trình sai phân thường quan hệ có dạng cho trước phương trình (1.1) Định nghĩa 1.2 Cấp phương trình sai phân hiệu số cao số thấp xuất phương trình Phương trình cho dạng (1.1) phương trình sai phân cấp n thành phần yk xuất hàm F vế phải Chú ý dịch chuyển số không đổi cấp phương trình sai phân Chẳng hạn với số nguyên r yk+n+r = F (k + r, yk+n+r−1 , yk+n+r−2 , , yk+r ) (1.2) phương trình sai phân cấp n tương đương với phương trình (1.1) Định nghĩa 1.3 Một phương trình sai phân gọi tuyến tính cho dạng yk+n + a1 (k)yk+n−1 + a2 (k)yk+n−2 + · · · + an−1 (k)yk+1 + an (k)yk = Rk , (1.3) (k), i = 1, 2, , n Rk hàm k cho trước Định nghĩa 1.4 Một phương trình sai phân gọi phi tuyến khơng tuyến tính Định nghĩa 1.5 Một nghiệm phương trình sai phân hàm φ(k) thỏa mãn phương trình Các ví dụ sau làm rõ định nghĩa vừa đưa phần Ví dụ 1.1 Xét số phương trình sau yk+1 − 3yk + yk−1 = e−k yk+1 = yk2 (bậc hai, tuyến tính), (bậc một, phi tuyến), yk+4 − yk = k2k (bậc bốn, tuyến tính), yk+1 = yk − (1/100)yk2 (bậc một, phi tuyến), yk+3 = cos yk (bậc ba, phi tuyến), k yk+2 + (3k − 1)yk+1 − yk = (bậc hai, tuyến tính) k+1 Ví dụ 1.2 Hàm φ(k) = 2k nghiệm phương trình vi phân tuyến tính bậc yk+1 − 2yk = 0, thay φ(k) vào phương trình, ta thu 2k+1 − 2.2k = Ví dụ 1.3 Phương trình phi tuyến bậc yk+1 − yk2 = có nghiệm φ(k) = √ (1.4) k+c c số Thật vậy, φ(k) vào phương trình (1.4) thu √ √ ( k + + c)2 − ( k + c)2 = (k + + c) − (k + c) = Ví dụ 1.4 Phương trình tuyến tính bậc hai yk+1 − yk−1 = có hai nghiệm, φ1 (k) = (−1)k , φ2 (k) = (1.5) Gọi c1 c2 hai số tùy ý Bây giờ, ta thấy hàm ϕ(k) = c1 ϕ1 (k) + +c2 ϕ2 (k) = c1 (−1)k + c2 nghiệm Thật vậy, ϕ(k) phương trình (1.5) ta c1 (−1)k+1 + c2 − c1 (−1)k−1 − c2 = 1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân Giả sử yk phần tử tổng quát dãy {yk } xác định theo hàm cụ thể k n số c1 , c2 , , cn Bây giờ, ta yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n Theo giả thiết, ta có yk = f (k, c1 , c2 , , cn ) (1.6) yk+1 = f (k + 1, c1 , c2 , , cn ), (1.7) yk+n = f (k + n, c1 , c2 , , cn ) Đây dãy gồm n + phương trình với n số ci , i = 1, 2, , n Khử số ci ta nhận quan hệ có dạng G(k, yk , yk+1 , , , yk+n−1 ) = (1.8) Đây phương trình sai phân cấp n Như vậy, phần tử tổng quát yk dãy {yk } biểu diễn hàm k n số yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n Ví dụ 1.5 Các đa thức Chebyshev xác định biểu thức sau Ck (x) = 2k−1 cos(k cos−1 x), k = 0, 1, 2, , ; |x| < (1.9) Bây ta hàm quan hệ truy hồi với theo phương trình sau Ck+1 (x) − xCk (x) + Ck−1 (x) = (1.10) 24 Chương Phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng Chương hệ thống lại khái niệm, định nghĩa nghiệm,cách tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời trình bày số ứng dụng phương trình sai phân giải số tập tốn phổ thơng Nội dung chương tham khảo chủ yếu Chương tài liệu [1], Chương tài liệu [2] 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính hệ thức tuyến tính sai phân cấp, có dạng: F (xn , ∆xn , ∆2 xn , , ∆k xn ) = 0, (2.1) xn hiểu sai phân cấp hàm xn , ∆k xn sai phân cấp k xn , k gọi bậc phương trình Định nghĩa 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính hàm xn hệ thức tuyến tính giá trị hàm xn điểm khác nhau, có dạng sau: Lh xn = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + · · · + ak xn = fn , (2.2) 25 hệ số a0 , , ak , a0 6= 0, ak 6= số hay hàm số n; h bước lưới, tức h = |xn+1 − xn |; Lh (xn ) tốn tử tuyến tính tác dụng lên hàm số xn xác định lưới có bước lưới h; fn hàm biến số n; xn ẩn số cần tìm Định nghĩa 2.3 Nếu fn ≡ phương trình (2.2) gọi phương trình sai phân tuyến tính nhất; Nếu fn 6= phương trình (2.2) gọi phương trình sai phân tuyến tính không nhất; Nếu fn ≡ a0 6= 0, ak 6= 0, phương trình (2.2) trở thành Lh xn = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + · · · + ak xn = (2.3) gọi phương trình sai phân tuyến tính bậc k với hệ số số; Nếu a0 , a1 , a2 , , ak hàm n (2.2) phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên Định nghĩa 2.4 (Nghiệm phương trình sai phân) Hàm số xn với biến n, thỏa mãn phương trình (2.2) gọi nghiệm phương trình sai phân tuyến tính (2.2) Hàm số x˜n phụ thuộc k tham số, thỏa mãn (2.3) gọi nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính (2.3), với tập giá trị ban đầu x0 , x1 , , xk−1 , ta xác định tham số C1 , C2 , , Ck để nghiệm x˜n trở thành nghiệm riêng (2.3), tức vừa thỏa mãn (2.3) vừa thỏa mãn x˜0 = x0 , x˜1 = x1 , , x˜k−1 = xk−1 Định lý 2.1 Nghiệm tổng quát (2.2) xn = x˜n +x∗n , x˜n nghiệm tổng quát (2.3) x∗n nghiệm riêng (2.2) 26 Chứng minh Thật vậy, Lh xn = L(˜ xn + x∗n ) = Lh x˜n + Lh x∗n = + fn Do xn nghiệm (2.2) Định lý 2.2 Nếu xn1 , xn2 , , xnk k nghiệm độc lập tuyến tính (2.3), tức từ hệ thức C1 xn1 + C2 xn2 + · · · + Ck xnk = ta suy C1 = C2 = · · · = Ck = 0, nghiệm tổng quát x˜n (2.3) có dạng x˜n = C1 xn1 + C2 xn2 + · · · + Ck xnk , C1 , C2 , , Ck số tùy ý Chứng minh Sử dụng tính tuyến tính Lh ta dễ dạng điều phải chứng minh 2.2 Cách tìm nghiệm tổng quát nghiệm riêng Vì phương trình (2.3) ln có nghiệm xn = nên để tìm nghiệm tổng quát, ta tìm nghiệm xn dạng xn = Cλn , C 6= 0, λ 6= Thay xn = Cλn vào phương trình (2.3), ước lược cho Cλn 6= ta nhận Lh λ = a0 λk + a1 λk−1 + · · · + ak = (2.4) Phương trình (2.4) gọi phương trình đặc trưng (2.3) (cũng coi phương trình đặc trưng (2.2)) Nghiệm tổng quát x˜n phương trình (2.3) Định lý 2.3 • Nếu (2.4) có k nghiệm thực khác λ1 , λ2 , , λk nghiệm tổng quát x˜n (2.3) có dạng x˜n = C1 λn1 + C2 λn2 + ··· + Ck λnk = k X i=1 Ci λni 27 Ci , i = 1, , k số tùy ý; • Nếu (2.4) có nghiệm thực λj bội s, ngồi nghiệm λnj ta lấy thêm s − nghiệm dạng nλnj , n2 λnj , , ns−1 λnj , nghiệm độc lập tuyến tính (2.3) x˜n = s−1 X Cji ni λnj + i=0 k X Ci λni j6=i=1 Cji Ci số tùy ý; • Nếu (2.4) có nghiệm phức λj = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) (2.4) có nghiệm liên hợp phức λj = a − ib = r(cos ϕ − i sin ϕ), nghiệm tổng quát phương trình (2.3) có dạng Cji Ci số tùy ý; • Nếu (2.4) có nghiệm phức λj = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) bội s (2.4) có nghiệm liên hợp phức λj = a − ib = r(cos ϕ − i sin ϕ) bội s, nghiệm tổng qt phương trình (2.3) có dạng Cji Ci số tùy ý Nghiệm riêng x∗n phương trình (2.2) Trong số trường hợp vế phải hàm có dạng đặc biệt ta tìm nghiệm riêng x∗n sau: Trường hợp Nếu fn đa thức bậc m n có dạng fn = Pm (n), m ∈ N • Nếu nghiệm λ1 , λ2 , , λk nghiệm khác phương trình đặc trưng x∗n = Qm (n) Qm (n) đa thức bậc m • Nếu nghiệm λ bội s x∗n = ns Qm (n) Trường hợp Nếu fn = β n Pm (n) • Nếu nghiệm phương trình đặc trưng nghiệm khác 28 β x∗n = β n Qm (n) Qm (n) đa thức bậc m • Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm λ = β bội s x∗n = ns β n Qm (n) Trường hợp Nếu fn = α cos(nx) + β n sin(nx) nghiệm riêng có dạng x∗n = A cos(nx) + B sin(nx) Trường hợp Nếu fn = fn1 + fn2 + · · · + fns nghiệm riêng x∗ni ứng với hàm fni Khi x∗n = x∗n1 + x∗n2 + · · · + x∗ns 2.3 Một số phương pháp khác giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2.3.1 Phương trình tuyến tính tổng qt Dạng tổng qt phương trình sai phân tuyến tính cấp yk+1 − pk yk = qk , (2.5) pk qk hàm cho trước Nếu qk đồng ta có phương trình yk+1 − pk yk = (2.6) Đối với trường hợp khác phương trình (2.5) phương trình khơng Nghiệm tổng quát phương trình (2.5) tổng nghiệm phương trình (2.6) nghiệm riêng phương trình (2.5) Bây ta chứng minh nghiệm tổng qt phương trình (2.5) tìm dạng hữu hạn 29 Đầu tiên ta xét phương trình (2.6) Chú ý y1 cho trước y = p1 y , y = p2 y yk−1 = pk−2 yk−2 yk = pk−1 yk−1 Nhân lại với ta yk =y1 p1 p2 pk−2 pk−1 =y1 k−1 Y (2.7) pi i=1 Vì y1 có thất lấy giá trị nên ta hy vọng biểu thức (2.7) nghiệm tổng quát phương trình (2.6) Bây ta xét phương trình khơng (2.5) Chia hai vế Q cho ki=1 pi ta yk qk yk+1 − Qk−1 = Qk , Qk p p p i=1 i i=1 i i=1 i ta viết ∆ ! y Qk−1 i=1 pi qk = Qk i=1 pi Do đó, nghiệm riêng phương trình (2.5) ! yk qk −1 , Qk−1 = ∆ Qk p p i=1 i i=1 i ta viết lại sau yk = k−1 Y pi ! k−1 X i=1 ! qi Qi r=1 pr i=1 Nghiệm tổng quát (2.5) tổng nghiệm nghiệm khơng có dạng sau yk A k−1 Y i=1 pi + k−1 Y i=1 pi ! k−1 X qi Qi i=1 r=1 pr ! , 30 A số Ví dụ 2.1 Phương trình sai phân với hệ số có dạng sau yk+1 − βyk = 0, β = const Điều có nghĩa pk = β Do đó, từ phương trình (2.7) nghiệm yk A k−1 Y β = Cβ k , i=1 C = A/β số Ví dụ 2.2 Bây giờ, ta xét phương trình khơng yk+1 − βyk = α, α β số Với trường hợp này, ta có pk = β gk = α Do k−1 X ! qi Qi i=1 r=1 pr k−1 k−1 X X α = =α β −i i β i=1 i=1 Từ khẳng định k−1 X i=1 r − rk r = 1−r i suy k−1 X β i=1 −i − β −k+1 = β−1 Do đó, với β 6= 1, nghiệm tổng quát yk Cβ k − α , β−1 với C số Khi β = 1, ta có yk+1 − yk = α, 31 với pk = qk = α Khi đó, k−1 Y pk = i=1 k−1 X i=1 Qk−1 r=1 = 1, i=1 ! qi k−1 Y pr k−1 X =α (1) = α(k − 1) i=1 Do đó, với β = nghiệm tổng qt yk = A + α(k − 1) = C + αk, A C = A − α số 2.3.2 Phương trình dạng yk+1 − yk = (n + 1)kn Phương trình sai phân tuyến tính khơng dạng yk+1 − yk = (n + 1)k n (2.8) ∆yk = (n + 1)k n (2.9) viết lại sau n số ngun Xét phương trình sau nghiệm tương ứng ∆yk = 0, yk = A; (2.10) ∆yk = 1, yk = k + A; (2.11) yk = k − k + A; ∆yk = 3k , yk = k − k + k + A; 2 ∆yk = 2k, (2.12) (2.13) Trong trường hợp trên, A số Với n bất kỳ, ta có −1 n yk = (n + 1)∆ (k ) = (n + 1) k−1 X i=1 in + A, (2.14) 32 cho ta yk đa thức bậc (n + 1) Đa thức Bernoulli Bn (k) định nghĩa nghiệm phương trình sai phân sau Bn (k + 1) − Bn (k) = nk n−1 (2.15) λekλ , G(k, λ) = λ e −1 (2.16) lim G(k, λ) = (2.17) Ta đặt λ→0 Khai triển phương trình (2.16) thành chuỗi theo λ ta ∞ X λn G(k, λ) = Bn (k) n! n=0 (2.18) Đống hai vế phương trình (2.18) theo lũy thừa λ, ta tìm Bn (k) thỏa mãn phương trình (2.15) Do đó, ngoại trừ số A chưa biết, nghiệm phương trình sai phân cho phương trình (2.10)-(2.13) ba đa thức Bernoulli Ta xác định số cách đặt A = Bn (0), đó, Bn (0) số Bernoulli Giá trị chúng tính cách cho k = phương trình (2.16) (2.17),  −1 X ∞ λ λ λ2 λn = 1+ + + = Bn (0) eλ − 2! 3! n! n=0 So sánh với lũy thừa λ ta thu B0 (0) = 1, B1 (0) = − , B2 (0) = , B3 (0) = 0, B4 (0) = − , B5 (0) = 0, 30 B6 (0) = , 42 (2.19) 33 Các đa thức Bernoulli tương ứng B0 (k) = B1 (k) = k − B2 (k) = k − k + B3 (k) = k − k + k 2 30 5 B5 (k) = k − k + k − k B4 (k) = k − 2k + k − Từ đây, ta viết lại phương trình sai phân khơng sau yk+1 − yk = n X am k m , (2.20) m=0 đó, am số cho trước nghiệm biểu diễn theo đa thức Bernoulli Ta ý đa thức Bernoulli biểu diễn hàm k với Bn (k) bậc n Nó biểu diễn k n tổng đa thức Bernoulli Sử dụng kết cho phía trên, ta thu k = B1 (k) + k = B2 (k) + B1 (k) + 3 k = B3 (k) + B2 (k) + B1 (k) + 2 19 k = B4 (k) + 2B3 (k) + 2B2 (k) + B1 (k) + 30 n Ta k có biểu diễn sau  n  X n+1 n k = Bi (k) (2.21) n i=0 i Ví dụ 2.3 Phương trình yk+1 − yk = − k + 2k (2.22) 34 có nghiệm riêng yk = = k−1 X i=1 k−1 X (1 − i + 2i3 ) k−1 X (1) − i=1 i+2 i=1 =(k − 1) − k−1 X i3 i=1 k(k − 1) (k − 1)2 k + 2 Nghiệm tổng quát yk = k − k + k + A, 2 A số Theo biểu diễn đa thức Bernoulli, biểu diễn cuối viết lại sau 1 yk = B1 (k) − B2 (k) + B4 (k) + A1 , 2 (2.23) A1 hàm số Kết phương trình (2.20) viết cách lưu ý phương trình (2.23) phương trình tuyến tính đó, nghiệm riêng tổng nghiệm riêng phương trình có dạng yk+1 − yk = αm k m , ≤ m ≤ n (2.24) Qua phép biến đổi, ta có yk = αm Bm+1 (k), m+1 (2.25) phương trình (2.24) trở thành Bm+1 (k + 1) − Bm+1 (k) = (m + 1)k m , (2.26) phương trình sai phân xác định đa thức Bernoulli Do đó, từ hệ số am biết, nghiệm riêng thu từ (2.25) 35 2.3.3 Phương trình dạng yk+1 = Rk yk Cho Rk hàm phân thức theo k biểu diễn sau Rk = C(k − α1 )(k − α2 ) (k − αn ) , (k − β1 )(k − β2 ) (k − βn ) (2.27) C αi , βi số Do Γ(k + − αi ) = (k − αi )Γ(k − αi ), nên nghiệm phương trình yk+1 = Rk yk có dạng yk = AC k Γ(k − α1 )Γ(k − α2 ) Γ(k − αn ) , Γ(k − β1 )Γ(k − β2 ) Γ(k − βm ) A số Ví dụ 2.4 Phương trình yk+1 = (k − k )yk viết lại sau yk+1 = (−)k(k − 1)yk Nghiệm phương trình yk = A(−)Γ(k)Γ(k − 1) = A(−)k (k − 1)Γ2 (k − 1), A số 2.4 2.4.1 Một số ứng dụng giải toán sơ cấp Tính tổng Xét tổng hữu hạn sau đây: Sk = k X n=0 f (n), (2.28) 36 f (n) hàm cho trước n Bây giờ, ta trình bày quy trình để tính Sk Ta có Sk+1 = k+1 X f (n) = n=0 k X f (n) + f (k + 1) (2.29) n=0 Từ phương trình (2.28) (2.29) cho thấy Sk phải thỏa mãn phương trình vi phân bậc nhất, tuyến tính, khơng đồng sau: Sk+1 − Sk = f (k + 1), (2.30) S0 = f (0) (2.31) với điều kiện ban đầu Do đó, nghiệm phương trình (2.30) với điều kiện cho phương trình (2.31) cho ta tổng chuỗi hữu hạn biểu diễn phương trình (2.28) Ví dụ 2.5 Tính tổng k X Sk = n, n=0 f (n) = n Ta có Sk+1 − Sk = k + Nghiệm phương trình nghiệm riêng tương ứng (H) Sk (P ) = c, Sk = k(k + 1) , với c số Do đó, Sk = c + k(k + 1) S0 = 0, ta thu c = kết Sk = k(k + 1) Ví dụ 2.6 Tính tổng Sk = k X n=0 an (2.32) 37 Ta có f (n) = an , a 6= Phương trình vi phân cần giải Sk+1 − Sk = ak+1 , S0 = (2.33) Nghiệm chung phương trình (2.33) ak+1 Sk = c + −1 a c số tùy ý xác định điều kiện S0 = Điều cho c giá trị 1−a Hệ tổng phương trình (2.32) cho biểu thức c= Sk = k X an = n=0 ak+1 − a−1 Lưu ý |a| < 1, ∞ X lim Sk = = an k→∞ − a n=0 Chuỗi gọi chuỗi hình học Ví dụ 2.7 Sử dụng Định lý 1.4, tính tổng An = 1.1! + 2.2! + · · · + n.n! Bn = (12 + + 1)1! + (22 + + 1)2! + · · · + (n2 + n + 1)n! Tm = 1m + 2m + · · · + nm , m = 2, Sn = sin x + sin 2x + · · · + sin nx Cn = cos x + cos 2x + · · · + cos nx Bài giải Xét hàm f (k) = fk = k!, ∆fk = ∆k! = fk+1 − fk = (k + 1)! − k! = kk! 38 Như An = 1.1! + 2.2! + · · · + n.n! = n X kk! = k=1 n X ∆fk = fn+1 − = (n + 1)! − k=1 Xét hàm f (k) = fk = kk!, (k +k+1)k! = (k +2k+1−k)k! = (k+1)2 k!−kk! = (k+1)(k+1)!−kk! = ∆kk! Như Bn = (12 + + 1)1! + (22 + + 1)2! + · · · + (n2 + n + 1)n! n n X X = (k + k + 1)k! = ∆fk = (n + 1)(n + 1)! − k=1 k=1 Ta có T2 = 12 + 22 + · · · + n2 Xét hàm f (k) = fk = k , ∆fk = fk+1 − fk = (k + 1)3 − k = 3k + 3k + Do n X (3k + 3k + 1) = k=1 n X ∆k = (n + 1)3 − = n3 + 3n2 + 3n k=1 Mặt khác n X (3k + 3k + 1) = k=1 n X 3k + k=1 n X =3 =3 k=1 n X n X 3k + k=1 n X k2 + n X k=1 k+n k=1 k2 + k=1 n(n + 1) + n Do T2 = n X k=1  1 n(n + 1) k = n + 3n + 3n − −n 2 = n(n + 1)(2n + 1)