Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC D×ÌNG CỈNG CØ B‡T NG THÙC V€ CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC „I SÈ BA BI˜N LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N - 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! „I HÅC THI NGUY–N TRìNG I HC KHOA HC DìèNG CặNG Cỉ BT NG THÙC V€ CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC „I Sẩ BA BIN Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M¢ sè: 60 46 01 13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TSKH Nguyạn Vôn Mªu THI NGUY–N - 2019 i Mưc lưc MÐ †U Chữỡng a thực v cĂc hằ thực liản quan 1.1 Mët sè b§t ¯ng thùc cê iºn liản quan án a thực 1.2 a thực bêc ba v  mët sè h» thùc cì b£n 1.3 1.2.1 Cỉng thùc Vi±te v  ph÷ìng trẳnh bêc 1.2.2 Hằ phữỡng trẳnh ối xựng ba ân 13 1.2.3 PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ 16 1.2.4 Tẵnh chia hát cừa cĂc a thực ối xùng 18 a thùc bªc ba v  c¡c h» thùc tam gi¡c 19 Ch÷ìng C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc Ôi số ba bián 22 2.1 2.2 2.3 BĐt ng thùc sinh bði a thùc bªc ba 22 2.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 22 2.1.2 CĂc nh lỵ cỡ bÊn cừa a thực Ôi số ba bián 24 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thực Ôi số ba bián 28 2.2.1 Mët sè m»nh · b§t ¯ng thùc 28 2.2.2 p dưng chùng minh b§t ¯ng thùc 33 Mët sè dÔng bĐt ng thực ba bián phƠn thực 35 Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián 38 3.1 Cüc trà theo r ng buëc têng v  t½ch ba số 3.2 CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián 41 3.3 Mởt số dÔng toĂn liản quan 45 K˜T LUŠN T€I LI›U THAM KHƒO 38 47 48 M Ưu Chuyản à bĐt ng thực cõ vai trỏ rĐt quan trồng bêc trung håc phê thỉng B§t ¯ng thùc khỉng ch¿ l  ối tữủng nghiản cựu trồng tƠm cừa Ôi số v Gi£i t½ch m  cán l  cỉng cư ­c lüc nhiÃu lắnh vỹc khĂc cừa toĂn hồc Ta  biát rơng cĂc bĐt ng thực a thực  ữủc nhi·u nh  to¡n håc kh£o s¡t nh÷ Newton, Lagrange, Berstein, Markov, Kolmogorov, Landau, C¡c b§t ¯ng thùc dÔng ny cụng cõ th chựng minh ữủc bơng nhiÃu phữỡng phĂp khĂc cừa hẳnh hồc nhữ phữỡng phĂp v²ctì v  ph÷ìng ph¡p tåa ë, ph÷ìng ph¡p sè phùc, Tuy nhiản, cĂc dÔng bĐt ng thực ựng vợi lợp a thực tờng quĂt thẳ ngữới ta cƯn án cĂc cổng cử cừa giÊi tẵch (tẵnh lỗi, lóm)  khÊo sĂt chúng  Ăp ựng nhu cƯu bỗi dữùng giĂo viản v bỗi dữùng hồc sinh giọi v nƠng cao nghiằp vử cừa bÊn thƠn và chuyản à b§t ¯ng thùc v  cüc trà sinh bði c¡c a thực Ôi số ba bián, tổi chồn à ti luên vôn "BĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián" Luên vôn ny nhơm cung cĐp mởt số dÔng bĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số mởt số dÔng liản quan Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, kát luên v chữỡng Chữỡng a thực v cĂc hằ thực liản quan Chữỡng CĂc bĐt ng thực sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián Mửc ẵch cừa à ti luên vôn l khÊo sĂt mởt số lợp bĐt ¯ng thùc v  cüc trà sinh bði c¡c a thùc Ôi số ba bián v xt cĂc m rởng cừa chóng º ¡p dưng kh£o s¡t c¡c b i to¡n cüc trà li¶n quan T¡c gi£ xin b y tä láng biát ỡn sƠu sưc tợi GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu  tên tẳnh hữợng dăn v giúp ù tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu luên vôn TĂc giÊ cụng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi cĂc ThƯy Cổ khoa ToĂn-Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy v  gióp ï cho t¡c gi£ st thíi gian hồc têp tÔi Trữớng ỗng thới, tĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh v cĂc bÔn ỗng mổn  luổn giúp ù v ởng viản tổi thới gian hồc têp v quĂ trẳnh hon thnh luên vôn ThĂi Nguyản, 12 thĂng 05 nôm 2019 TĂc giÊ Dữỡng Cổng Cứ Chữỡng a thực v cĂc hằ thực liản quan Mửc ẵch cừa chữỡng ny l trẳnh by mởt số bĐt ng thực cờ in liản quan án a thực nõi chung, a thực bêc ba nõi riảng v xt mởt số hằ thực cỡ bÊn Mởt phƯn cừa chữỡng ny ữủc dnh  nảu và a thực bêc ba v cĂc hằ thực tam giĂc CĂc kát quÊ chẵnh cừa ch÷ìng ÷đc tham kh£o tø c¡c t i li»u [2], [3] 1.1 Mởt số bĐt ng thực cờ in liản quan án a thực nh nghắa 1.1 A Cho bêc n bi¸n x l  mët v nh giao ho¡n câ ìn Ta gồi a thực l mởt biu thực cõ dÔng fn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an 6= 0), â c¡c ∈ A ÷đc gåi l  h» sè, an l  h» sè cao nh§t v  a0 (1.1) l  h» sè tü cõa a thùc fn (x) l  sè mơ cao nh§t cõa lơy thøa câ m°t (1.1) v ữủc kỵ hiằu l deg(f ) Khi õ náu (1.1) an 6= thẳ deg(f ) = n N¸u = 0, i = 1, , n v  a0 6= th¼ ta cõ bêc cừa a thực l Náu = 0, i = 0, , n th¼ ta coi bªc cõa a thùc l  −∞ v  gåi a Bêc cừa a thực thực khổng (nõi chung thẳ ngữới ta khổng nh nghắa bêc cừa a thực khổng) Têp hủp tĐt cÊ cĂc a thực vợi hằ số lĐy vnh hiằu l A[x] A=K A ữủc kỵ K[x] l  mët v nh giao ho¡n câ ìn Ta th÷íng x²t A = Z, ho°c A = Q ho°c A = R ho°c A = C Khi â, ta câ c¡c v nh a thùc t÷ìng ùng l  Z[x], Q[x], R[x], C[x] Khi l mởt trữớng thẳ vnh CĂc php tẵnh trản a thực Cho hai a thực f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , g(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 Ta nh nghắa cĂc php tẵnh sè håc f (x) + g(x) = (an + bn )xn + · · · + (a1 + b1 )x + a0 + b0 , f (x) − g(x) = (an − bn )xn + · · · + (a1 − b1 )x + a0 − b0 , f (x)g(x) = c2n x2n + c2n−1 x2n−1 + · · · + c1 x + c0 , â ck = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 , k = 0, , n CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn nh lỵ 1.1 GiÊ sû A l  mët tr÷íng, f (x) v  g(x) 6= l  hai a thùc A[x], th¸ A[x] cho cõa v nh thc th¼ bao gií cơng câ c°p a thực nhĐt f (x) = g(x)q(x) + r(x) Náu r(x) = GiÊ sỷ a ỵ cừa vnh ta nõi f (x) vợi chia hát cho l phƯn tỷ tũy ỵ cừa vnh A[x], phƯn tỷ f (a) = n P q(x) v  r(x) deg r(x) < deg g(x) g(x) A, f (x) = n P x i l a thực tũy i=0 ai cõ ữủc bơng cĂch thay x bi a i=0 f (x) tÔi a Náu f (a) = thẳ ta gồi a l nghi»m cõa f (x) B i to¡n t¼m c¡c nghi»m cõa f (x) A gồi l giÊi phữỡng trẳnh Ôi số bêc n A ữủc gồi l giĂ tr cõa an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an 6= 0) nh lỵ 1.2 GiÊ sỷ A l mởt trữớng, a ∈ A v  f (x) ∈ A[x] D÷ sè cõa ph²p chia f (x) cho x−a ch½nh l  f (a) nh lỵ 1.3 a l nghiằm cừa f (x) v  ch¿ f (x) chia h¸t cho (x−a) a ∈ A, f (x) ∈ A[x] v  m l  mët số tỹ nhiản hỡn hoc bơng Khi õ a l  nghi»m bëi c§p m cõa f (x) v  ch¿ f (x) chia h¸t cho (x − a)m v  f (x) khỉng chia h¸t cho (x − a)m+1 GiÊ sỷ A l mởt trữớng, lợn Trong trữớng hủp m = thẳ ta gồi a l nghiằm ỡn cỏn m = thẳ a ữủc gåi l  nghi»m k²p Sè nghi»m cõa mët a thùc l  têng sè c¡c nghi»m cõa a thùc â kº cÊ cừa cĂc nghiằm (náu cõ) Vẳ vêy, ngữới ta coi mët a thùc câ mët nghi»m bëi c§p m nh÷ mët a thùc câ m nghi»m trịng Lữủc ỗ Horner GiÊ sỷ f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 A[x] (vợi A l mởt trữớng) Khi õ thữỡng gƯn úng cừa mởt a thực cõ bêc b¬ng n − 1, f (x) cho (x − a) l cõ dÔng q(x) = bn1 xn1 + à à · + b1 x + b0 , â bn−1 = an , bk = abk+1 + ak+1 , k = 0, , n − 2, v  số r = ab0 + a0 nh lỵ 1.4 (nh lẵ Vite) a GiÊ sỷ phữỡng trẳnh an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an 6= 0) câ n nghi»m (thüc ho°c phùc) x1 , x2 , , xn th¼    E1 (x) := x1 + x2 + · · · + xn       E2 (x) := x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn         En (x) := x1 x2 xn b Ngữủc lÔi náu cĂc số x1 , x2 , , xn (1.2) an−1 =− an an−2 = an a0 = (−1)n an (1.3) thäa mÂn hằ trản thẳ chúng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.2) H» (1.3) câ k th nh ph¦n thù k câ Cn số hÔng n thnh phƯn v vá trĂi cõa E1 (x), E2 (x), , En (x) ữủc gồi l hm (a thực) ối xựng bêc 1, 2, , n, t÷ìng ùng c CĂc hm sỡ cĐp Vite nh lỵ 1.5 Mội a thùc thüc bªc n ·u câ khỉng qu¡ n nghi»m thüc H» qu£ 1.1 a thùc câ væ sè nghi»m l  a thùc khỉng H» qu£ 1.2 N¸u a thùc câ bªc ≤ n m  nhªn cịng mët giĂ tr nhữ tÔi n+1 im phƠn biằt cừa ối số thẳ õ l a thực hơng Hằ quÊ 1.3 Hai a thùc bªc ≤ n m  nhªn n + trũng tÔi n + im phƠn biằt cừa ối số thẳ chúng ỗng nhĐt bơng nh lỵ 1.6 Mồi a thực f (x) R[x] cõ bêc n v cõ hằ số chẵnh (hằ số an 6= cao nhĐt) Ãu cõ th phƠn tẵch (duy nhĐt) thnh nhƠn tỷ dÔng m s Y Y f (x) = an (x − di ) (x2 + bk x + ck ) i=1 vỵi k=1 di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, s, m, n ∈ N∗ ành ngh¾a 1.2 1) Måi nghi»m x0 cõa a thực (1.1) Ãu thọa mÂn bĐt ng thực |x0 | ≤ + A , |a0 | A = max |ak | 1≤k≤n r 2) N¸u am l  h» sè Ơm Ưu tiản cừa a thực (1.1) thẳ số n 1+ cên trản cừa cĂc nghiằm dữỡng cừa a thực ¢ cho, â B B am l  l  gi¡ tr lợn nhĐt cừa mổun cĂc hằ số Ơm fn (x) dÔng (1.1) viát dữợi dÔng fn (x) = g(x)q(x) vợi deg(g) > v deg(q) > thẳ ta nõi g l ữợc cừa fn (x) v ta viát g(x)|fn (x) hay fn (x) g(x) N¸u g(x)|f (x) v g(x)|h(x) thẳ ta nõi g(x) l ữợc chung cừa f (x) v  h(x) N¸u hai a thùc f (x) v h(x) ch cõ ữợc chung l cĂc a thực bêc thẳ ta nõi rơng chúng nguyản tố v  vi¸t (f (x), h(x)) = 3) Khi a thực nh lỵ 1.7 iÃu kiằn cƯn v ừ º hai a thùc f (x) v  h(x) nguy¶n tè l tỗn tÔi cp a thực u(x) v v(x) cho f (x)u(x) + h(x)v(x) ≡ T½nh chĐt 1.1 cĂc a thực g(x)h(x) Náu cĂc a thực f (x) h(x) v  g(x) nguy¶n tè cịng v  nguyản tố thẳ cĂc a thực f (x) v cụng nguyản tố Tẵnh chĐt 1.2 f (x)h(x) v  f (x) chia h¸t cho chia h¸t cho g(x) f (x), g(x), h(x) thäa m¢n i·u ki»n g(x), g(x) v h(x) nguyản tố thẳ f (x) Náu cĂc a thực Tẵnh chĐt 1.3 Náu a thực vợi nguyản tố thẳ g(x) h(x) v Tẵnh chĐt 1.4 m [f (x)] v f (x) Náu c¡c a thùc n [g(x)] chia h¸t cho c¡c a thùc f (x) f (x) v  g(x) chia h¸t cho g(x) v h(x) g(x)h(x) nguyản tố thẳ s nguyản tố vợi mồi m, n nguyản dữỡng Mởt số bĐt ng thực Ôi số cỡ bÊn Trong phƯn ny trẳnh by cĂc bĐt ng thực liản quan án cĂc a thực Ôi số cỡ bÊn nh lỵ 1.8 GiÊ sỷ (BĐt ng thực giỳa trung bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn) x1 , x2 , , xn l  c¡c sè khỉng ¥m Khi â √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 xn n D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ (1.4) x1 = x2 = = xn B§t ¯ng thùc (1.4) câ nhi·u t i li»u bơng tiáng Viằt v ữủc gồi l bĐt ng thực Cổsi (Cauchy) Tuy nhiản, cĂc ti liằu nữợc ngoi bĐt ng thực trản cõ tản tiáng Anh l AM-GM Inequality, cho nản và sau, ta gồi bĐt ng thực (1.4) l BĐt ng thực giỳa trug bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn BĐt ng thực (1.4) khĂ quen thuởc vợi a số bÔn ồc v  ữủc chựng minh nhiÃu ti liằu bơng tiáng Viằt, nản chúng tổi s khổng trẳnh by chựng minh m ch xt vẵ dư ¡p dưng V½ dư 1.1 Cho c¡c sè khỉng ¥m x, y, z Chùng minh b§t ¯ng thùc x y z + + ≥ x1/2 y 1/3 z 1/6 Líi gi£i B§t ¯ng thùc  cho tữỡng ữỡng vợi 3x + 2y + z p ≥ x3 y z Ta vi¸t vá trĂi cừa bĐt ng thực trản dÔng 3x + 2y + z x+x+x+y+y+z = 6 Theo bĐt ng thực giỳa trung bẳnh cởng v trung bẳnh nh¥n ta câ 3x + 2y + z x+x+x+y+y+z p = ≥ x3 y z 6 B§t ¯ng thùc ÷đc chùng minh M p = − a n−1 q q ∈ Z) Suy q = |p − qa|.|M | M  (q, p − qa) = nản M chia n vẳ vêy M = r.q Do â = |p − qa||r| v  |p − qa| = (vỵi M l  mët số n nh lỵ 2.4 qn v (nh lỵ nhĐt) Náu hai a thực v = xyz hát cho cho ta ϕ(t, u, v), ψ(t, u, v) thay t = x+y+z, u = xy+yz+zx, còng mët a thùc èi xùng P (x, y, z) th¼ chóng ph£i ỗng nhĐt bơng Mằnh à 2.2 Cho fm(x, y, z) l mởt a thực ối xựng thuƯn nhĐt bêc m Khi õ fm (x, y, z) ữủc biu diạn qua c¡c a thùc èi xùng cì sð theo cỉng thùc fm (x, y, z) = X aijk σ1i σ2j σ3k , (i, j, k ∈ N) i+2j+3k=m M»nh · 2.2 ữủc suy trỹc tiáp tứ cĂc nh lỵ trản Ta cõ mởt số trữớng hủp riảng cừa Mằnh · n y f1 (x, y, z) = a1 σ1 , f2 (x, y, z) = a1 σ12 + a2 σ2 , f3 (x, y, z) = a1 σ23 + a2 σ1 σ2 + a3 σ3 , 27 f4 (x, y, z) = a1 σ12 + a2 σ12 σ2 + a3 σ22 + a4 σ1 σ3 , , (i = 1, 2, ) l  c¡c h¬ng sè ữủc xĂc nh nhĐt Ta cõ th xĂc nh bơng cĂch cho x, y, z nhên cĂc giĂ trà cư thº th½ch â, hđp n o â V½ dử 2.3 Biu diạn a thực sau Ơy theo cĂc a thùc èi xùng cì sð f (x, y, z) =x3 + y + z − 4xyz + 2x2 y + 2xy + + 2x2 z + 2xz + 2y z + 2yz Líi gi£i Ta câ f (x, y, z) =(σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 ) − 4σ3 + 2(σ1 σ2 − 3σ3 ) =σ13 − σ1 σ2 − 7σ3 nh lỵ 2.5 (nh lỵ Bezout) f (t) l thùc cho t − a f (a) = Gi£ sỷ a thực bêc bơng Chựng minh f (a) n ≥ a thùc Khi â sè d÷ ph²p chia cừa a f (t) chia hát cho ta Thêt vªy, thüc hi»n ph²p chia a thùc v  ch¿ f (t) cho t − a, ta ÷đc f (t) = g(t)(t − a) + r(t) t − a cõ bêc bơng 1, nản a thực r(t) cõ bêc bơng khổng, nghắa l r(t) = r = const Trong ng thực trản cho t = a, ta ữủc r = f (a) Tø â suy f (t) chia h¸t cho t − a v  ch¿ f (a) = nh lỵ ữủc Vẳ chựng minh nh lỵ 2.6 Mồi a thực phÊn ối xựng ba bián f (x, y, z) Ãu cõ dÔng f (x, y, z) = (x − y)(x − z)(y − z)g(x, y, z), â g(x, y, z) B i to¡n 2.2 l  a thùc èi xùng theo c¡c bi¸n Cho a thùc bªc 3n P (x) = (x3 + 3x + 1)n Tẵnh P (a) vợi s a= 1+ + s √ 1− x, y, z 28 Líi gi£i Sû dưng ¯ng thùc (u + v)3 = u3 + v + 3uv(u + v) a ta chùng minh ÷đc v  vẳ vêy chẵnh l nghiằm cừa phữỡng trẳnh x3 + 3x − = P (a) = 2n 2.2 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc Ôi số ba bián Trong phƯn ny ta ỗng nhĐt kỵ hiằu cừa a thực ối xựng cỡ s ba bián nhữ sau = xx + y + z,   σ2 = xy + yz + zx,    σ = xyz 2.2.1 Mët sè m»nh · b§t ¯ng thùc M»nh · 2.3 Vỵi c¡c sè thüc x, y, z câ c¡c b§t ¯ng thùc: a)σ12 ≥ 3σ2 , D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ b)σ22 ≥ 3σ1 σ3 (2.4) x = y = z Chùng minh a) Vỵi måi sè thüc x, y, z ta ln câ b§t ¯ng thùc (x − y)2 + (x − z)2 + (y − z)2 ≥ x = y = z Khai trin vá trĂi cừa bĐt ng thực trản v giÊn ữợc ta ữủc s2 Thay s2 = σ1 − 2σ2 , ta 2 câ b§t ¯ng thùc σ1 − 3σ2 ≥ Tø â suy σ1 ≥ 3σ2 D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ b) Theo a), ta câ (x + y + z)2 ≥ 3(xy + xz + yz) Trong bĐt ng thực trản thay x = ab, y = bc, z = ca, ta ÷đc (ab + bc + ca)2 ≥ 3(a2 bc + ab2 c + abc2 ) = 3(a + b + c)abc Tø â suy σ22 ≥ 3σ1 σ3 vỵi c¡c sè thüc a, b, c 29 M»nh · 2.4 Vợi cĂc số thỹc dữỡng x, y, z ta cõ b)σ13 ≥ 27σ3 , a)σ1 σ2 ≥ 9σ3 , c)σ23 ≥ 27σ32 (2.5) Chùng minh a) Do x, y, z l cĂc số dữỡng nản , , σ3 cơng l  c¡c sè d÷ìng Theo M»nh · 2.3 ta câ σ12 ≥ 3σ2 , σ22 ≥ 3σ1 σ3 NhƠn tứng vá cĂc bĐt ng thực trản, ta ÷đc σ12 σ22 ≥ 9σ1 σ2 σ3 ⇒σ1 σ2 ≥ 9σ3 tùc l  (x + y + z)(xy + yz + xz) ≥ 9xyz b) Tø b§t ¯ng thùc tø â suy σ13 ≥ 27σ3 , σ12 ≥ 3σ2 , suy σ13 ≥ 3σ1 σ2 V¼ σ1 σ2 ≥ 9σ3 n¶n tùc l  (x + y + z)3 27xyz Tứ cổng thực trản ta cõ bĐt ng thực quen biát giỳa trung bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn: x+y+z xyz 22 3σ1 σ3 , σ1 σ2 ≥ 9σ3 , σ23 ≥ 2732 , tực l c) NhƠn tứng vá cĂc bĐt ¯ng thùc σ1 σ23 ≥ 27σ1 σ32 Suy bĐt ng thực ta ữủc (xy + yz + xz)3 ≥ 27x2 y z M»nh · 2.5 Vợi cĂc số dữỡng x, y, z ta cõ cĂc b§t ¯ng thùc σ12 σ2 ≥ 3σ1 σ3 , σ1 σ22 ≥ 2σ12 σ3 + 2σ2 σ3 , σ13 σ3 + σ23 ≥ 6σ1 σ2 σ3 Chùng minh Tø c¡c b§t ¯ng thùc M»nh · 2.3, ta câ σ12 σ2 ≥ 3σ22 = σ22 + 2σ22 ≥ 1σ1 + 222 Nhữ vêy bĐt ng thực cĂc sè d÷ìng x, y, z σ12 σ2 ≥ 3σ1 σ3 ữủc chựng minh v õ, vợi ta cõ bĐt ¯ng thùc (x + y + z)2 (xy + yz + xz) ≥ 3(x + y + z)xyz + 2(xy + yz + xz)2 30 σ1 σ22 ≥ 2σ12 σ3 + 2σ2 σ3 Theo M»nh · 2.3 a), ta câ σ12 σ3 ≥ 3σ2 σ3 M°t kh¡c, cơng theo M»nh · 2.3 b), ta X²t b§t ¯ng thùc σ12 ≥ 3σ2 , suy câ σ2 ≥ 3σ1 σ3 , â σ1 σ22 ≥ 3σ12 σ3 = 2σ12 σ3 + σ12 σ3 ≥ 2σ12 σ3 + 3σ2 σ3 Tø b§t ¯ng thùc vøa chùng minh tr lÔi cĂc bián (x, y, z) > ta câ b§t ¯ng thùc (x + y + z)(xy + yz + xz)2 ≥ 2(x + y + z)2 xyz + 3(xy + yz + xz)xyz σ13 σ3 + σ23 ≥ 6σ1 σ2 σ3 ÷đc chùng minh t÷ìng tü Do õ vợi x, y, z ta cõ bĐt ng thực BĐt ng thực cĂc số dữỡng (x + y + z)3 xyz + (xy + yz + xz)3 ≥ 6(x + y + z)(xy + yz + xz)xyz D¹ thĐy rơng cĂc bĐt ng thực mằnh à ny văn cỏn úng náu x, y, z l cĂc số khỉng ¥m M»nh · 2.6 Gi£ sû x, y, z (Schur) l  c¡c sè thüc khỉng ¥m Khi â, vợi mội r>0 thẳ fr (x, y, z) := xr (x − y)(x − z) + y r (y − x)(y − z) + z r (z − x)(z − y) (2.6) Chựng minh Thêt vêy, vẳ fr (x, y, z) khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta giÊ sû r¬ng l  h m èi xùng theo x, y, z nản x y z Khi õ bĐt ng thực  cho ữủc viát lÔi nhữ sau fr (x, y, z) := (x − y)[xr (x − z) + y r (y − z)] + z r (x−)(y z) Dạ thĐy rơng bĐt ng thực n y óng X²t mët v i tr÷íng hđp °c bi»t cõa fr (x, y, z) ÷đc x¡c ành theo cỉng thùc (2.6) Ta câ f1 (x, y, z) = x(x − y)(x − z) + y(y − x)(y − z) + z(z − x)(z − y) = (x3 + y + z ) + 3xyz − (x2 y + x2 z + y x + y z + z x + z y) = (σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 ) + 3σ3 − (σ1 σ2 − 3σ3 ) = σ13 − 4σ1 σ2 + 9σ3 f2 (x, y, z) =x2 (x − y)(x − z) + y (y − x)(y − z) + z (z − x)(z − y) =(x4 + y + z ) + (x + y + z)xyz