Điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng

cho khổng tỗn tÔi x ∈ M ∩ B(x; δ) thäa m¢n F (x) cho khổng tỗn tÔi x M B(x; ) thäa m¢n F1 (x) < F1 (x), F2 (x) < F2 (x), ho°c F1 (x) ≤ F1 (x), F2 (x) < F2 (x), ho°c F1 (x) < F1 (x), F2 (x) ≤ F2 (x) Do â nghi»m LU−tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CIOP) câ thº khỉng l nghi»m húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n tèi ÷u hai mưc ti¶u (MP) Fe(x) = (F1 (x), F2 (x)), thäa m¢n x ∈ M = {x ∈ C : gi (x) ≤ 0, i ∈ I, hj (x) = 0, j L} Nhên xt trản ữủc minh hồa Vẵ dử 4.1 65 Nhên xt 4.2 Tứ Nhên xt 4.1 ta thĐy, náu x M l nghiằm LUtối ữu a phữỡng cừa bi toĂn (CIOP) thẳ nõ l cỹc tiu yáu a phữỡng cừa bi toĂn tối ữu hai mửc tiảu (MP), iÃu ngữủc lÔi khổng úng iÃu ny ữủc minh hồa bi vẵ dử sau V½ dư 4.2 Gi£ sû X = R, C = [−1, 2], x = Cho F : R T ữủc nh nghắa nhữ sau F (x) := [F1 (x), F2 (x)] (x ∈ R), â F1 (x) := −|x| − 1,    x + 2, x < 0,   2 F2 (x) := 2, ≤ x ≤ 1,     x2 + 1, x > 1, v g : R → R vỵi g(x) := x2 − x Ta nhên thĐy F1 (x) F2 (x), v nhữ vêy, F (x) T , vợi mồi x C Ta câ x = l cüc tiºu yáu cừa bi toĂn F (x) vợi rng buởc x ∈ M2 := {x ∈ C : g(x) ≤ 0} = [0, 1], thĐy x = l cüc tiºu cõa b i to¡n: min{F2 (x) : x ∈ M2 } Tuy nhi¶n, x = khỉng l nghi»m LU−tèi ÷u cõa b i to¡n min{(F1 (x), F2 (x)) : x M2 } Bi vẳ vợi bĐt ký x0 ∈ [0, 1], ta câ F1 (x0 ) < F1 (x) = −1, F2 (x0 ) = F2 (x) = Theo Nhªn x²t 4.1, ta câ x khỉng l nghiằm LUtối ữu cừa bi toĂn õ Nhên xt 4.3 Náu x l cỹc tiu Pareto a phữỡng cừa bi toĂn tối ữu hai mửc tiảu (MP) v F1 (x) ≤ F2 (x), vỵi måi x ∈ C ∩ B(x; δ) vỵi sè δ > n o â Khi â x l nghi»m LU−tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CIOP) Náu iÃu kiằn F1 (x) F2 (x) vợi måi x ∈ C ∩ B(x; δ) vỵi sè δ > no õ khổng thọa mÂn, thẳ khng nh n y khỉng óng, bði v¼ F (x) = [F1 (x), F2 (x)] ∈ / T 66 4.2 i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m LUtèi ÷u àa ph÷ìng Trong mưc n y, chúng tổi thiát lêp cĂc iÃu kiằn cƯn v ừ tối ữu ối vợi nghiằm LUtối ữu a phữỡng cừa b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ c¡c r ng buởc têp, ng thực v bĐt ng thực dữợi ngổn ngỳ dữợi vi phƠn suy rởng khổng gian vổ hÔn chiÃu Tứ kát quÊ nhên ữủc suy ữủc kát quÊ [30] cho bi toĂn tối ữu giĂ trà kho£ng ch¿ câ r ng buëc b§t ¯ng thùc khổng gian hỳu hÔn chiÃu 4.2.1 iÃu kiằn cƯn Fritz John cho nghi»m LU−tèi ÷u àa ph÷ìng Trong mưc n y, chúng tổi ữa nh lỵ vÃ iÃu kiằn cƯn kiºu Fritz John cho nghi»m LU−tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CIOP) câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thực v rng buởc têp thiát lêp cĂc iÃu kiằn cƯn kiu Fritz John cho nghiằm LUtối ữu a ph÷ìng cõa b i to¡n (CIOP), ta ÷a v o c¡c gi£ thi¸t sau Gi£ thi¸t 4.1 (i) C¡c h m F1 , F2 , h1 , , h` l Lipschitz àa ph÷ìng tÔi x; gi (i I(x)) l cĂc hm liản tửc; C l têp lỗi (ii) Hm Fk cõ dữợi vi ph¥n suy rëng bà ch°n l ∂Fk (x) (k = {1, 2}) v gi cõ dữợi vi phƠn suy rởng trản l gi (x), vợi mồi i I(x)) tÔi x (iii) CĂc hm |hj |, vợi mồi j L chẵnh quy theo nghắa Clarke tÔi x i·u ki»n c¦n Fritz John cho nghi»m LU−húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CIOP) ÷đc ph¡t biºu nh÷ sau nh lỵ 4.1 GiÊ sỷ x l nghiằm LUtối ÷u àa ph÷ìng cõa (CIOP); x l ch½nh quy theo nghắa Ioffe cừa h theo C ; vợi mội j L, hj cõ dữợi vi phƠn suy rởng hj (x) tÔi x lƠn cên cừa x; cĂc Ănh xÔ dữợi vi phƠn suy rởng F1, F2, hj l cĂc Ănh xÔ a tr nỷa liản tửc trản tÔi x v thọa mÂn cĂc GiÊ thiát 4.1 Khi õ, tỗn tÔi k 0, vợi k = 1, 2; µi ≥ 0, P vỵi måi i ∈ I(x); γ j ∈ R, vỵi måi j ∈ L cho λ1 + λ2 + i∈I(x) µi = 67 v ∈ cl (λ1 conv ∂F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) X X µi conv ∂ ∗ gi (x) + γ j conv ∂hj (x) + NC (x)) + i∈I(x) (4.1) j∈L Chùng minh °t Fe = (F1, F2) Do x l nghi»m LU−tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i toĂn (CIOP), nản tứ Nhên xt 4.1, tỗn tÔi > cho khổng tỗn tÔi x M ∩ B(x; δ) thäa m¢n F1 (x) < F1 (x), F2 (x) < F2 (x), ho°c F1 (x) ≤ F1 (x), F2 (x) < F2 (x), ho°c F1 (x) < F1 (x), F2 (x) ≤ F2 (x) Do â Fe(x) − Fe(x) ∈ / −int R2+ , vỵi måi x ∈ M ∩ B(x; δ), â, R2+ l nân orthant khổng Ơm R2 Vẳ vêy, x l cüc tiºu y¸u cõa b i to¡n (MP): Fe(x) thäa m¢n x ∈ M = {x ∈ C : gi (x) ≤ 0(i ∈ I), hj (x) = 0(j ∈ L)} p dửng nh lỵ 1.2 cho bi toĂn (MP), tỗn tÔi hm liản tửc, thuƯn nhĐt dữỡng, dữợi cởng tẵnh trản R2 thọa mÂn tẵnh chĐt y2 − y1 ∈ int R2+ =⇒ Λ(y1 ) < Λ(y2 ), v Λ ◦ (Fe(x) − Fe(x)) ≥ (∀x ∈ M ∩ B(x; δ)) (4.2) °t Fbx (x) = Fb(x, x) = Fe(x) − Fe(x), ta câ Fbx (x) = (Fb1,x (x), Fb2,x (x)) = (F1 (x) − F1 (x), F2 (x) − F2 (x)) Ta ch¿ r¬ng câ thº ¡p dưng Bê · 1.4 cho h m hđp Λ ◦ Fbx (x) Thªt vªy, Λ l h m lỗi liản tửc, ta Ăp dửng Bờ Ã 2.2.6 [11] suy 68 Λ l h m Lipschitz àa ph÷ìng Do õ, C (Fbx (x)) l dữợi vi phƠn suy rởng b chn cừa hm tÔi Fx (x) = Do l hm lỗi Lipschitz a phữỡng, nản theo M»nh · 7.3.9 [59], ta câ ∂C Λ(Fbx (x)) = C (Fbx (x)) Hỡn nỳa, Ănh xÔ a tr C l nỷa liản tửc trản tÔi Fbx (x) M°t kh¡c, ta th§y ∂ Fbk,x (x) = ∂Fk (x) vỵi måi k = 1, Theo Gi£ thi¸t 4.1 ta suy ra, ∂F1 (x) v ∂F2 (x) l cĂc dữợi vi phƠn suy rởng b chn cừa F1 v F2 tÔi x Hỡn nỳa, cĂc Ănh xÔ a trà ∂F1 v ∂F2 l nûa li¶n tưc tr¶n tÔi x Do õ, Ăp dửng Bờ Ã 1.4, suy C (Fbx (x))(F1 (x), F2 (x)) l dữợi vi phƠn suy rởng cừa Fbx (x) tÔi x Mt khĂc, cĂc giÊ thiát cừa nh lỵ 1.2 thọa mÂn cho bi toĂn cƠn bơng vổ hữợng (EP): Tẳm x ∈ M cho vỵi måi x ∈ M , Fb(x, x) Chú ỵ rơng, mởt nghiằm a phữỡng cừa bi toĂn cƠn bơng vổ hữợng (EP) cụng l nghiằm hỳu hiằu a phữỡng Vẳ thá, ta cõ th Ăp dửng nh lỵ 3.2 [38] cho nghi»m húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n cƠn bơng vổ hữợng (EP) v suy tỗn tÔi 0, ài vợi mồi i I(x), P γ j ∈ R vỵi måi j ∈ J cho τ + i∈I(x) µi = v ∈ cl τ ∂C Λ(Fbx (x))(conv ∂ Fb1,x (x), conv ∂ Fb2,x (x)) (4.3) X X ∗ + µi conv ∂ gi (x) + γ j conv ∂hj (x) + NC (x) i∈I(x) j∈L Do ∂ Fbk,x (x) = ∂Fk (x) (k = 1, 2) v Fbx (x) = 0, n¶n tø (4.3) ta suy tỗn tÔi dÂy 69 X zn ∂C Λ(0) conv ∂F1 (x), conv ∂F2 (x) + µi conv∂ ∗ gi (x) i∈I(x) + X γ j conv ∂hj (x) + NC (x), (4.4) j∈L cho limn→∞ zn = M°t kh¡c tø (4.4), ta suy tỗn tÔi dÂy {n } C (0) R2 cho X zn ∈ τ χn conv ∂F1 (x), conv ∂F2 (x) + µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) + X γ j conv ∂hj (x) + NC (x) (4.5) j∈L Bði v¼ ∂C Λ(Fbx (x)) l têp compưc R2 , nản khổng mĐt tẵnh chĐt tờng quĂt, ta giÊ sỷ rơng n ∈ ∂C Λ(Fbx (x)) °t λ = τ χ vỵi λ = (λ1 , λ2 ) ∈ R2 Tø (4.5), ta câ ∈ λ(conv ∂F1 (x), conv ∂F2 (x)) X + ∗ µi conv ∂ gi (x) + X γ j conv ∂hj (x) + NC (x) i∈J i∈I(x) Tø â, ta suy (4.1) Ta cƯn chựng minh R2+ \{0} Thêt vêy, vỵi måi y ∈ int R2+ , ta câ thº viát (y) int R2+ Vẳ thá, ta câ hχ, −yi = hχ, (Fbx (x) − y) − Fbx (x)i ≤ Λ(Fbx (x) − y) − Λ(Fbx (x)) = Λ(−y) < Λ(0) = Do â, ta ÷đc χ ∈ R2+ \{0} v ta câ thº gi£ sỷ + = P Vẳ vêy, + + iI(x) ài = 1, nh lỵ ữủc chựng minh 70 Nhên xt 4.4 Kát quÊ (4.1) cừa nh lỵ 4.1 tữỡng ữỡng vợi cl λ1 conv ∂F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) + + X X µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I γ j conv ∂hj (x) + NC (x) , µi gi (x) = vỵi måi i ∈ I jL Nhên xt 4.5 nh lỵ 4.1 l tờng quĂt hõa cừa nh lỵ 3.1 [30] Cử th, nh lỵ 4.1 chữỡng Â chựng minh iÃu kiằn cƯn kiºu Fritz John cho nghi»m LU−tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ c¡c r ng buởc ng thực, bĐt ng thực v rng buởc têp qua dữợi vi phƠn suy rởng khổng gian Banach, õ nh lỵ 3.1 [30] Â thiát lêp iÃu kiằn cƯn Fritz John cho nghiằm LUtối ữu cừa bi toĂn tối ữu giĂ tr khoÊng vợi rng buởc bĐt ng thực khổng gian hỳu hÔn chiÃu (khỉng câ r ng bc ¯ng thùc v r ng bc tªp) Hỡn nỳa, nh lỵ 3.1 [30], h(x) v C = X v vẳ vêy, x l chẵnh quy theo nghắa Ioffe, hm gi vợi mồi i I ữủc giÊ thiát l cõ dữợi vi phƠn suy rëng bà ch°n l ∂ ∗ gi (x) v ¡nh xÔ gi l nỷa liản tửc trản tÔi x, nh lỵ 4.1, thẳ giÊ thiát ny cõ th bọ ữủc Vợi bi toĂn (CIOP) khổng cõ r ng buëc ¯ng thùc, ta câ i·u ki»n c¦n Fritz John cho nghi»m LU−tèi ÷u ÷đc ph¡t biºu h» qu£ sau H» qu£ 4.1 Gi£ sû x l nghi»m LU−húu hi»u àa ph÷ìng cõa (CIOP) khỉng câ r ng bc ng thực GiÊ sỷ cĂc Ănh xÔ dữợi vi phƠn suy rëng ∂F1 , ∂F2 , l c¡c nûa li¶n tửc trản tÔi x v GiÊ thiát 4.1 (khổng cõ h) úng Khi õ, tỗn tÔi k 0, vợi mồi k = 1, 2; ài 0, vợi mồi i ∈ I(x) P cho λ1 + λ2 + i∈I(x) µi = v X ∗ ∈ cl λ1 conv ∂F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) + µi conv ∂ gi (x) + NC (x) i∈I(x) Chùng minh Vỵi b i to¡n (CIOP) khỉng câ r ng bc ¯ng thùc h, nghi»m LU−húu hi»u àa ph÷ìng cừa bi toĂn (CIOP) l chẵnh quy theo nghắa Ioffe cừa h theo C Nhữ vêy, mồi giÊ thiát cừa nh lỵ 4.1 thọa mÂn p dửng nh lỵ 4.1, ta suy h» qu£ ÷đc chùng minh 71 Trong trữớng hủp X = Rn , hm mửc tiảu v c¡c h m r ng bc l Lipschitz àa ph÷ìng, bao âng (4.1) câ thº bä ÷đc Gi£ sû X = Rn v C l têp lỗi; x l nghiằm LUtối ữu a phữỡng cừa (CIOP); F1, F2; gi, vợi måi i ∈ I(x); hj , vỵi måi j ∈ L l cĂc hm Lipschitz a phữỡng tÔi x ; gi cõ dữợi vi phƠn suy rởng trản gi (x), vợi mồi i I(x) tÔi x; cĂc hm |hj |, vợi mồi j L l chẵnh quy theo nghắa Clarke tÔi x Khi õ, Ănh xÔ dữợi vi phƠn suy rởng trản gi b chn a phữỡng tÔi x, vợi mồi i I(x) v tỗn tÔi k 0, vợi mồi k = 1, 2; ài 0, vợi mồi i I(x); j ∈ R, vỵi måi j ∈ L cho λ1 + λ2 P + i∈I(x) µi = v H» qu£ 4.2 ∈ λ1 conv ∂ F1 (x) + λ2 conv ∂ F2 (x) + C C X µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) + X γ j conv ∂ C hj (x) + NC (x), j∈L â, ∂ C F1(x), ∂ C F2(x), ∂ C hj (x), vợi mồi j J tữỡng ựng l cĂc dữợi vi phƠn Clarke cừa F1, F2, hj , vợi mồi j J tÔi x Chựng minh Do gi (i I(x)) l Lipschitz a phữỡng tÔi x, theo Hằ quÊ 5.2 [31], chúng cõ Ănh xÔ dữợi vi phƠn b chn l gi tÔi x Vẳ vêy, gi (x) (i I(x)) l compưc Hỡn nỳa, cĂc dữợi vi phƠn Clarke C F1 (x), ∂ C F2 (x), ∂ C hj (x) (∀j ∈ J) tữỡng ựng l cĂc dữợi vi phƠn suy rởng compc cõa F1 , F2 , hj (∀j ∈ J) tÔi x Do X = Rn , ta suy cĂc Ănh xÔ dữợi vi phƠn suy rởng C F1 , ∂ C F2 , ∂ C hj (∀j J) l nỷa liản tửc trản tÔi x Nhữ vêy, cĂc giÊ thiát cừa nh lỵ 4.1 thọa mÂn Ta câ, X λ1 conv ∂ C F1 (x) + λ2 conv ∂ C F2 (x) + µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) + X γ j conv ∂ C hj (x) + NC (x)), j∈L l tªp âng p dửng nh lỵ 4.1, ta suy iÃu cƯn chựng minh nh lỵ 4.1 ữủc minh hồa bi vẵ dư sau 72 V½ dư 4.3 Gi£ sû X = R2 , C = [0, 1] × [0, 1], x = (0, 0); F : R2 → T nh÷ sau: F (x) = [F1 (x), F2 (x)] vỵi  x2 sin − 1, x2 6= 0, x2 F1 (x) = −1, x2 = 0, F2 (x) = |x1 | + x22 + 1, (x = (x1 , x2 ) ∈ R2 ) Gi£ sû g = R2 → R2 , vỵi g = (g1 , g2 ), â g1 (x) = −x21 + x2  −x1 , x1 ≥ g2 (x) = x4 − 2x2 , x < 0, 1 h(x) = −x31 + x2 Khi â, F1 (x) ≤ F2 (x) (∀x ∈ C), v x = (0, 0) l nghi»m LU−tèi ÷u cõa b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng sau: F (x) vỵi r ng bc x ∈ M = {x ∈ C : gi (x) ≤ 0, i = 1, 2, h(x) = 0} Ta câ M = {(x1 , x2 ) ∈ C : x2 = x31 } Dạ thĐy, bi toĂn ny thọa mÂn cĂc giÊ thiát cừa nh lỵ 2.2 1 Hỡn nỳa, ta câ ∂ ∗ F1 (x) = {(0, −1), (0, 1)}, ∂ ∗ F2 (x) = {(− , 0), ( , 0)}, 2 ∂ ∗ g1 (x) = {(0, 1)}, ∂ ∗ g2 (x) = {(−1, 0), (0, 0)}, v ∂ ∗ h(x) = {(0, 1)}, TC (x) = R2+ , NC (x) = −R2+ Do â, i·u kiằn cƯn tối ữu (4.1) ữủc thọa mÂn vợi λ1 = 2, λ2 = 1, µ1 = 1, µ2 = , γ = 4.2.2 i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker cho nghiằm LUtối ữu a phữỡng iÃu kiằn chẵnh quy kiu MangasarianFromovitz (CQ1) sau Ơy ữủc ữủc nhưc lÔi thiát lêp cĂc iÃu kiằn cƯn tối ữu cho nghiằm LUtối ữu a phữỡng cừa bi toĂn (CIOP): Tỗn tÔi TC (x) v số > 0, vỵi måi i ∈ I(x) cho (i) hξi , υ0 i ≤ −ai , vỵi måi ξi ∈ ∂ ∗ gi (x), i ∈ I(x); (ii) hηj , υ0 i = 0, vỵi måi ηj ∈ ∂ ∗ hj (x), j L 73 Ta cõ nh lỵ vÃ iÃu kiằn cƯn KarushKuhnTucker cho nghiằm LUtối ữu a phữỡng ữủc thiát lêp nhữ sau GiÊ sỷ x l nghiằm LUtối ữu a phữỡng cừa (CIOP), thọa mÂn cĂc giÊ thiát cừa nh lỵ 4.1 v iÃu kiằn chẵnh quy (CQ1) Khi õ, tỗn tÔi k 0, vợi mồi k = 1, v λ1 + λ2 = 1; µi ≥ 0, vỵi måi i ∈ I(x); γ j ∈ R, vỵi måi j ∈ L cho ành lỵ 4.2 cl conv F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) + X µi conv ∂ ∗ gi (x) + X γ j conv ∂hj (x) + NC (x) (4.6) j∈L i∈I(x) Chùng minh Tứ nh lỵ 4.1, ta suy tỗn tÔi k ≥ (k = 1, 2), µi ≥ (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λ1 + λ2 + ∈ cl λ1 conv ∂F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) + X µi conv ∂ ∗ gi (x) + X P i∈I(x) µi = v γ j conv ∂hj (x) + NC (x) , j∈L i∈I(x) Ta c¦n chùng minh + 6= Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi Khi õ, P ta cõ = = Do õ, ta ữủc iI(x) ài = Vẳ vêy, tỗn tÔi (n) i (n) conv gi (x), vỵi måi i ∈ I(x), ηj ∈ conv ∂hj (x), vỵi måi j ∈ L v χ(n) ∈ NC (x) cho  = lim   X n→∞ (n) µi ξi + X (n) γ j ηj + χ(n)  j∈L i∈I(x) Tø â suy ra, vỵi måi υ ∈ X, ta câ   X X (n) (n) µi hξi , υi + γ j hηj , υi + hχ(n) , υi = lim  n→∞ i∈I(x) (4.7) j∈L M°t kh¡c, tø (CQ1 ), suy tỗn tÔi TC (x) v > (i ∈ I(x)) P cho (i)−(ii) óng Hìn núa, i∈I(x) µi = 1, ta nhên ữủc X X (n) (n) lim µi hξi , υ0 i + γ j hηj , υ0 i + hχ(n) , υ0 i n→∞ i∈I(x) j∈L 74 ≤− X µi < i∈I(x) i·u n y mƠu thuăn vợi (4.7) Vẳ vêy, + 6= v ta câ thº xem nh÷ λ1 + λ2 = cõ thnh phƯn thự s cừa nhƠn tû Lagrange kh¡c 0, chóng tỉi ÷a v o i·u ki»n chẵnh quy kiu MangasarianFromovitz (CQ(s) 2) mÔnh hỡn nhữ sau: Tỗn tÔi s {1, 2}, TC (x) v > (i ∈ I(x)), bk > 0, (k ∈ {1, 2}, k 6= s) cho (i') v (ii) thọa mÂn, vợi (i') nhữ sau (i') hi , υ0 i ≤ −ai , vỵi måi ξi ∈ ∂ ∗ gi (x), i ∈ I(x); hχk , υ0 i ≤ −bk , vỵi måi χk ∈ ∂Fk (x), k ∈ {1, 2}, k 6= s Nhªn x²t 4.6 (a) (CQ(s) 2) = (CQ1) (b) Vợi iÃu kiằn chẵnh quy (CQ(s) 2) (s ∈ {1, 2}), chùng minh t÷ìng tỹ nh lỵ 4.2 ta suy tỗn tÔi s > 0, λk ≥ 0, vỵi s ∈ {1, 2}, k 6= s; ài 0, vợi mồi i I(x); γ j ∈ R, vỵi måi j ∈ L cho X ∈ cl λ1 conv ∂F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) + µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) (4.8) X γ j conv ∂hj (x) + NC (x) + j∈L i·u ki»n KarushKuhnTucker mÔnh cho nghiằm LUtối ữu a phữỡng cừa bi to¡n (CIOP) ÷đc ph¡t biºu nh÷ sau Gi£ sû x l nghiằm LUtối ữu a phữỡng cừa (CIOP), thọa mÂn cĂc giÊ thiát cừa nh lỵ 4.1 v iÃu kiằn chẵnh quy (CQ(s)2) vợi s = 1, Khi õ, tỗn tÔi s > 0, vợi s = 1, 2; µi ≥ 0, vỵi måi i ∈ I(x); γ j ∈ R, vỵi måi j ∈ L cho ành lỵ 4.3 cl conv F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) + X i∈I(x) X + γ j conv ∂hj (x) + NC (x) j∈L 75 µi conv ∂ ∗ gi (x) (4.9) Chùng minh Theo (s) Nhên xt 4.6, vợi mội s = 1, 2, tỗn tÔi s (s) (s) > 0, (s) λk > 0, vỵi måi k ∈ {1, 2}, k 6= s; ài 0, vợi mồi i I(x), γj ∈ R, vỵi måi j ∈ L cho (s) (s) ∈ cl λ1 conv ∂F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) + X (s) µi conv ∗ ∂ gi (x) + X (s) γj conv ∂hj (x) + NC (x) (4.10) j∈L i∈I(x) L§y s = 1, (4.10), v cëng tøng v¸ cĂc bao hm thực nhên ữủc, ta cõ X X (s) (s) (s) 0∈ cl λ1 conv ∂F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) + µi conv ∂ ∗ gi (x) s=1 i∈I(x) X (s) + γj conv ∂hj (x) + NC (x) , j∈L X ⊆ cl λ1 conv ∂F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) + µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) X + γ j conv ∂hj (x) + NC (x) , j∈L (s) â, λk = λs + P2 vỵi måi i ∈ I(x) v γ j = (s) s=1 λk s6=k P2 > (k = 1, 2), µi = (s) s=1 γj (s) s=1 µi P2 ≥ 0, R, vợi mồi j L, nh lỵ ÷đc chùng minh 4.2.3 i·u ki»n õ cho nghi»m LU−tèi ÷u y¸u àa ph÷ìng Sû dưng c¡c kh¡i ni»m v· hm lỗi suy rởng ữủc trẳnh by Mửc 1.4, chúng tổi thiát lêp cĂc iÃu kiằn ừ tối ữu cho nghi»m LU−tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CIOP) Gi£ sû x ∈ M v thäa m¢n c¡c i·u kiằn sau (i) Tỗn tÔi k > 0, vợi k = 1, ; ài 0, vợi mồi i ∈ I(x); γ j ∈ j ∈ L cho nh lỵ 4.4 76 R, vợi mồi X ∗ ∈ cl λ1 conv ∂ F1 (x) + λ2 conv ∂ F2 (x) + µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) (4.11) X + γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) j∈L Mët cĂc dữợi vi phƠn suy rởng trản Fk (x), vợi mồi k = 1, chẵnh quy trản tÔi x; hm Fe = 1F1 + 2F2 giÊ lỗi tiằm cên tÔi x trản M ; cĂc hm gi tỹa lỗi tiằm cên tÔi x trản M, vợi mồi i I(x); cĂc hm hj tỹa tuyán tẵnh tiằm cên tÔi x trản M, vợi mồi j L; C l têp lỗi Khi õ, x l nghiằm LUtối ÷u cõa b i to¡n (CIOP) ∗ Chùng minh Tø (4.11), suy tỗn tÔi (n) k conv Fk (x) vỵi k = 1, 2, (ii) (n) ξi (n) ∈ conv ∂ ∗ gi (x), vỵi måi i ∈ I(x), ηj ∈ conv ∂ ∗ hj (x) vỵi måi j ∈ L v σ (n) ∈ NC (x) cho   (n) (n) = lim λ1 χ1 + λ2 χ2 + X n→∞ (n) µi ξi + X (n) γ j ηj + σ (n)  j∈L i∈I(x) Do â, vỵi måi x ∈ M, ta câ (n) lim hλ1 χ1 n→∞ + (n) λ2 χ2 , x − xi + X (n) µi lim hξi , x − xi n→∞ i∈I(x) + X j∈L (n) γ j lim hηj , x − xi + lim hσ (n) , x − xi = n→∞ n→∞ (4.12) Vỵi måi x ∈ M v i ∈ I(x), ta câ gi (x) ≤ = gi (x) Do gi tỹa lỗi tiằm cên tÔi x, nản vợi mồi x ∈ M, ta câ (n) lim hξi , x − xi ≤ n→∞ (4.13) Bði v¼ hj (x) = = hj (x), vỵi måi j ∈ L v hj l tỹa tuyán tẵnh tiằm cên tÔi x, vỵi måi x ∈ M , ta câ (n) lim hηj , x − xi = n→∞ (4.14) Do C l têp lỗi, vợi mồi x C , n¶n ta câ lim hσ (n) , x − xi n 77 (4.15) Vẳ mởt cĂc dữợi vi phƠn suy rởng trản Fk (x) vợi mồi k = 1, l chẵnh quy trản tÔi x, theo Quy tc 4.2 [31], h m λ1 ∂ F1 +2 F2 l dữợi vi phƠn suy rëng tr¶n cõa h m λ1 F1 + λ2 F2 tÔi x Tứ (4.12)(4.15), vợi mồi x M ta câ (n) (n) lim hλ1 χ1 + λ2 χ2 , x − xi ≥ n→∞ Do h m λ1 F1 + F2 giÊ lỗi tiằm cên tÔi x, vợi måi x ∈ M , ta câ λ1 F1 (x) + λ2 F2 (x) ≥ λ1 F1 (x) + λ2 F2 (x) i·u â câ ngh¾a l λFe(x) ≥ λFe(x) Vẳ > 0, > 0, nản khổng tỗn tÔi x M cho F1 (x) < F1 (x), F2 (x) < F2 (x), ho°c F1 (x) < F1 (x), F2 (x) ≤ F2 (x), ho°c F1 (x) ≤ F1 (x), F2 (x) < F2 (x) Theo Nhªn x²t 4.1, ta câ x l nghi»m LU−tèi ÷u cõa (CIOP) Nhên xt 4.7 nh lỵ 4.4 bao hm nh lỵ 3.2 [30] nhữ mởt trữớng hủp c biằt Thêt vêy, nh lỵ 3.2 [30], dim X < ∞ v c¡c h m F1 , F2 , gi vỵi i I ữủc giÊ thiát l cõ cĂc dữợi vi phƠn suy rởng trản b chn F1 (x), ∂ ∗ F2 (x), ∂ ∗ gi (x), vỵi mồi i I(x) Vẳ vêy, têp hủp conv ∂ ∗ F1 (x) + λ2 conv ∂ ∗ F2 (x) X X ∗ + µi conv ∂ gi (x) + γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x), i∈I(x) j∈L l âng Do â, bao âng (4.1) cõ th bọ ữủc Hỡn nỳa, tẵnh -giÊ lỗi [30] ko theo tẵnh giÊ lỗi tiằm cên chữỡng ny 78