Thiết kế bộ lọc IIR

Trong khi ta cần thiết kế các bộ lọc chọn tần khác thông cao, thông dải, chắn dải, v.v… „ Cần áp dụng các phép biến đổi băng tần đối với các bộ lọc thông thấp.. Nội dung chính của chương

Chương 8 Thiết kế lọc IIR

TS.NGÔ VĂN SỸĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG

Giới thiệu

„ Bộ lọc IIR có đáp ứng xung vô hạn , vì vậy chúng có thể khớp với các bộ lọc analog , mà nói chung đều

có đáp ứng xung dài vô hạn.

„ Kỹ thuật cơ bản để thiết kế lọc IIR là biến đổi các

bộ lọc analog điển hình (well-known) thành các bộ lọc digital sử dụng các ánh xạ giá trị-phức

„ Sự thuận tiện của kỹ thuật này là ở chỗ có sẵn các bảng thiết kế lọc analog (AFD) và các ánh xạ được

mở rộng trong thư viện.

Giới thiệu

„ Các kỹ thuật cơ bản được gọi là các phép biến đổi lọc A/D

„ Tuy nhiên, các bảng AFD chỉ dùng cho các bộ lọc

thông thấp Trong khi ta cần thiết kế các bộ lọc chọn tần khác (thông cao, thông dải, chắn dải, v.v…)

„ Cần áp dụng các phép biến đổi băng tần đối với các

bộ lọc thông thấp Các phép biến đổi này cũng được gọi là ánh xạ giá trị-phức, và chúng cũng có sẵn

trong thư viện.

Desired IIR filter

Design analog

lowpass filter

Apply filter transformation

Approach 1, used in Matlab

Approach 2, study

Các bước thiết kế lọc IIR

băng tần để thu được các bộ lọc số khác từ

bộ lọc số thông thấp

Nội dung chính của chương này

„ Các chỉ tiêu của bộ lọc analog và các tính chất của đáp ứng bình phương biên độ được sử dụng trong

việc thiết kế các bộ lọc analog.

„ Các đặc trưng của ba bộ lọc analog được sử dụng

phổ biến

„ Bộ lọc Butterworth, Chebyshev, và Elliptic

„ Phép biến đổi để chuyển các bộ lọc analog điển hình (prototype) này thành các bộ lọc số chọn tần khác

nhau

Một vài lưu ý

„ Tỷ lệ tuyến tính tương đối

„ Các đặc trưng của bộ lọc thông thấp trên đáp ứng bìnhphương biên độ được cho bởi

|

|,

1

|)(

|0

|

|,1

|)(

|1

≤Ω

≤

Ω

≤Ω

≤Ω

≤+

s a

p a

A

j H

ε

1 1

2

1

1 2

2 1

20

/ 2

10

2 10

1

1 1

1

2 1

1 1

1

10

1 log

10

1

10 1

1 log

δ

δ δ

δ

δ

δ ε

ε δ

δ

ε ε

+

=

⇒

= +

−

=

⇒ +

= +

−

=

A A

A A

R p

Các hệ thức giữa epsilon, A, Rp, As, delta1 and delta2

a a

j s a

a a

a a

a a

j s a

a

j H s

H s H or

s H

s H j

H j

H j

H j

H j

H

s H j

H

/ 2

* 2

|

| ) (

| ) ( )

( ,

| ) ( )

( )

( )

( )

( )

(

| ) (

|

| ) ( )

(

= Ω

− Ω

= Ω Ω

= Ω

= Ω

Vì vậy các điểm cực và điểm không của hàm bình phương biên độ được phân

bố theo đối xứng ảnh-gương xét theo trục jOmega.

Đối với các bộ lọc thực, các điểm cực và điểm không xuất hiện theo cặp liên hợp phức (hoặc đối xứng ảnh-gương theo trục thực).

Từ các mẫu này chúng ta có thể xây dựng Ha(s), là hàm truyền hệ thống của

bộ lọc analog.

Các tính chất của |H a (jOmega)| 2

„ Ta muốn Ha(s) để biểu diễn một bộ lọc nhân quả và

ổn định Khi đó tất cả các điểm cực của Ha(s) trong nửa mặt phẳng bên trái Như vậy ta gán tất cả các điểm cực nửa-trái của Ha(s)Ha(-s) lên Ha(s) Hoặc Chúng ta sẽ chọn các điêm không của Ha(s)Ha(-s) nằm bên cạnh hoặc trên trục jOmega như các điểm không của Ha(s)

„ Bộ lọc kết quả được gọi là một bộ lọc pha-tối thiểu

Các đặc trưng của các bộ lọc

analog điển hình

„ Các kỹ thuật thiết kế lọc IIR dựa trên bộ lọc analog

đã có để thu được các bộ lọc số Chúng ta thiết kế các bộ lọc analog nay theo các bộ lọc điển hình

„ Ba kiểu được sử dụng rộng rãi trong thực tế

„ Thông thấp Butterworth

„ Thông thấp Chebyshev (Kiểu I và II)

„ Thông thấp Elliptic

Lọc thông thấp Butterworth

„ Bộ lọc này được đặc trưng bởi tính chất đáp ứng biên độ là bằng phẳng trong cả dải thông và dải chắn.

Ω+

=Ω

„ |Ha(jΩ)|2 đơn điệu giảm theo Ω

„ Tiến đến bộ lọc lý tưởng khi N→∞

1 2

, , 1 , 0 ,

) (

) 1 (

) (

)

( )

(

) (

1

1 )

( )

(

) 1 2

=

−

+ +

=

∏

N k

e j

p

p s

j j

s

j j

s

s H

s H

N k j

c c

k

N

N c N

c N

N c N

c

a a

N

Để xác định hàm truyền hệ thống Ha(s)

Các điểm cực của |Ha(jΩ)|2

Ω=s/j =Ha(s)

Ha(-s)

„ Được phân bố đều đặn trên đường tròn bán kính Ωc với

khoảng cách góc pi/N radians

„ Với N odd, p k = Ωce j2pik/N

„ Với N even, p k = Ωce j(pi/2N+kpi/N)

„ Đối xứng theo trục ảo

„ Một điểm cực không bao giờ rơi vào trục ảo, và rơi vào trụcthực chỉ nếu N là lẻ

„ Một bộ lọc ổn định và nhân quả Ha(s) có thể được xác địnhbằng cách chọn các điểm cực trong nửa mặt phẳng trái

p s

s

H

) (

) (

Thí dụ 8.1

Thi hành Matlab

„ Function [z,p,k] = buttap(N)

„ Để thiết kế một bộ lọc analog Butterworth chuẩn hoá

(Ωc=1) bậc N

„ Z: zeros; p: poles; k: gain value

„ Function [b,a] = u_buttap(N,Omegac)

„ Cung cấp một cấu trúc dạng trực tiếp (hoặc tử thức-mẫuthức)

„ Function [C,B,A] = sdir2cas(b,a)

„ Chuyển đổi dạng trực tiếp thành dạng ghép tầng

Ví dụ 8.2

Các phương trình thiết kế

s a

s

p a

p

A j

H at

R j

H

at

=Ω

−Ω

=Ω

=Ω

−Ω

=

Ω

2 10

2 10

|)(

|log10

,

|)(

|log10

,

Bộ lọc thông thấp analog được đặc trưng bởi các thông số, Omega_p R_p,Omega_s, and A_s Vì vậy ưu điểm của thiết kế trong trường hơp bộ lọc Butterworth là thu được bậc N và tần số cắt Omega_c

s c

p c

s p

A R

s p

s p

/ 10

) 1 10

(

, ) 1 10

(

) /

( log 2

)]

1 10

/(

) 1 10

Ω +

= Ω

Thi hành Matlab

„ Để thiết kế bộ lọc thông thấp analog Butterworth, cho bởi các chỉ tiêu của nó

„ Đáp ứng biên độ tuyệt đối cũng như tương đối

theo thang dB và đáp ứng pha.

Vi dụ 8.3

„ Có đáp ứng đơn điệu trong cả hai dải

„ Lưu ý rằng chọn một bộ lọc cân bằng gợn sóng thay vì bộ lọcđơn điệu, ta thu được một bộ lọc có bậc-thấp

„ Vì vậy các bộ lọc Chebyshev cho bậc thấp hơn so với các bộlọc Buttworth có cùng chỉ tiêu

Ω +

= Ω

−

−

x x

x x

N x

a

1 )), ( cosh(cosh

1 0

)), ( cos

|

1 1

2 2

2

ε

N là bậc của bộ lọc,

Epsilon là hệ số gợn sóng dải thông

Nth-bậc của đa thức Chebyshev

(a) Với 0<x<1, TN(x) dao động giữa –1 và 1, và

(b) Với 1<x<vô cùng, TN(x) tăng đơn điệu đến vô cùng

Hình ở P.314 (hai dạng có thể)

Observations: P.315

Các nhận xét

At x=0 (or Ω=0); |Ha(j0)|2 = 1; for N odd;

= 1/(1+epson^2); for N even

At x=1 (or Ω= Ωc); |Ha(j1)|2= 1/(1+epson^2) for all N

For 0<=x<=1 (or 0<= Ω<= Ωc)

|Ha(jx)|2 oscillates between 1 and 1/(1+epson^2)

For x>1 (or Ω > Ωc), |Ha(jx)|2 decreases monotonically to 0

At x= Ωr, |Ha(jx)|2 = 1/(A^2)

Ha(s) nhân quả và ổn định

Để xác định một hàm Ha(s) nhân quả và ổn định, ta phải tìm cácđiểm cực của Ha(s)Ha(-s) và chọn các điểm cực nửa mặt

phẳng-trái đối với Ha(s)

Các điểm cực Ha(s)Ha(-s) thu được bằng cách tìm nghiệm của

) (

)

(

k k

a

p s

K s

H

− Π

=

Nửa mặt phẳng-trái

K là một hệ số chuẩn hoá

( ) ( )

2

1 1

1

, /

1 2

1 ,

/

1 2

1

2

) 1 2

( 2

sin ) (

2

) 1 2

( 2

cos )

(

1 ,

, 1 , 0 ,

ε ε

α

α α

α α

π π

π

π σ

σ

+ +

+

=

N N

N N

c k

c k

k k

k

b a

N

k b

N

k a

N k

j

Thi hành Matlab

„ Để thiết kế một bộ lọc analog chuẩn hoá

Chebyshev-I analog có bậc N và gợn sóng dải thông Rp.

„ Z mảng: các điểm không; các điểm cực trong mảng p , giá trị độ lợi k

„ Trả lại Ha(s) theo dạng trực tiếp

/)1(

,

10,

110

2 10

2 10

2 2

20 / 1

0

r r

c

s r

p c

A Rp

g

g N

A g

Vì vậy các đặc trưng trễ nhóm là tốt hơn (và đáp ứng pha

tuyến tính hơn) trong dải thông so với bộ lọc Chebyshev-I prototype

2

/ 1

1

| ) (

Ω Ω

+

=

Ω

c N

a

T

j H

ε

Các bộ lọc thông thấp Elliptic

Các bộ lọc này thường cân bằng gợn sóng ở dải thông cũng như

dải chắn Chúng có các đặc trưng đáp ứng biên độ tương tự nhưcác bộ lọc FIR cân bằng gợn sóng

Vì vậy các bộ lọc elliptic là các bộ lọc tối ưu trong đó đạt được

bậc tối thiểu N đối với các chỉ tiêu đã cho

Các bộ lọc này, vì nhiều lý do đã xét trước đây, là rất khó để

phân tích và thiết kế

Không thể thiết kế chúng bằng các công cụ đơn giản, và thườngphải dùng các chương trình hoặc bảng để thiết kế

Ω +

= Ω

c N

2

1

1

| ) (

2 1

2 1

sin 1

) (

, 1

,

, 1

) (

1 )

K A

k

k k

K k K

k K

k

K

N

s p

Các đáp ứng điển hình đối với N chẵn và lẻ như hình ở P.323Tính toán cho bộ lọc bậc N:

Các đáp ứng pha của các bộ lọc

Prototype

„ Bộ lọc Elliptic cho tính năng tối ưu về đáp ứng bình biên độ nhưng có đáp ứng pha phi tuyến hơn trong dải thông(không thích hợp cho nhiều ứng dụng)

phương-„ Ngay cả khi chúng ta quyết định không lo lắng gì đến đáp ứngpha trong thiết kế, pha vẫn giữ vai trò quan trọng trên toàn hệthống

„ Đối với các bộ lọc Buttworth , có đáp ứng biên độ bằng phẳng tối đa và đòi hỏi bậc N cao hơn (nhiều điểm cực hơn) để đạtđược cùng một chỉ tiêu dải chắn Tuy nhiên chúng có một đápứng pha không tuyến tính trong dải thông

Các đáp ứng pha của các bộ lọc

Prototype

„ Các bộ lọc Chebyshev có các đặc tính pha nằm ở

giữa

„ Vì vậy trong các ứng dụng thực tế chúng ta xem xét

các bộ lọc Butterworth cũng như Chebyshev, cộng thêm các bộ lọc elliptic.

„ Việc lưa chọn phụ thuộc vào cả bậc của bộ lọc

(thường ảnh hưởng đến tốc độ xử lý và độ phức tạp thi hành) và các đặc tính pha (để điều khiển méo).

Các phép biến đổi bộ lọc tương

tự thành bộ lọc số

„ Sau khi khảo sát các tiếp cận khác nhau để thiết kế các bộlọc tương tự , chúng ta sẵn sàng biến đổi chúng thành bộ lọc

số

„ Các phép biến đổi này đạt được bằng cách bảo toàn các

aspects khác nhau của các bộ lọc tương tự và lọc số

„ Biến đổi bất biến xung

„ Bảo toàn hình dang của đáp ứng xung từ lọc tương tự thành lọc số

„ Kỹ thuật xấp xỉ sai phân hữu hạn

„ Chuyển đổi biểu diễn một phương trình vi phân thành một phương trình sai phân tương ứng.

„ Bất biến bước nhảy

„ Bảo toàn hình dạng của đáp ứng bước nhảy

„ Biến đổi song tuyến tính

„ Bảo toàn biểu diễn hàm hệ thống từ miền tương tự sang miền số

Biên đổi bất biến xung

„ Đáp ứng xung của bộ lọc số trông tương tự như đáp ứngxung của bộ lọc chọn tần analog

„ Lấy mẫu h a (t) ở các chu kỳ lấy mẫu T ta thu được h(n):

h(n)=h a (nT)

„ Do z=e jw trên đường tròn đơn vị và s=j Ω trên trục ảo, ta có

phép biến đổi sau đây từ mặt phẳng-s sang mặt phẳng-z:

z=e sT

T j

e or T

j s

H T

Ánh xạ Mặt phẳng-phức trong biến đổi bất biếnxung

Các tính chất:

„ Sigma = Re(s):

„ Sigma < 0, ánh xạ vào |z|<1 (bên trong đường tròn đơn vị)

„ Sigma = 0, ánh xạ vào |z|=1 (trên đường tròn đơn vị )

„ Sigma >0, ánh xạ vào |Z|>1 (bên ngoài đường tròn đơn vị)

„ Ánh xạ nhiều s lên một z : Ánh xạ many-to-one

„ Mỗi dải bán-vô hạn bên trái (nằm bên mặt phẳng trái) ánh

xạ vào bên trong đường tròn đơn vị

„ Tính nhân quả và ổn định là không thay đổi;

„ Aliasing xuât hiện nếu bộ lọc không có băng

tần-hữu hạn

Với các chỉ tiêu đã cho wp,ws,Rp và As, chúng ta muốn xácđịnh H(z) bằng cách thiết kế trước tiên một bộ lọc analog tương đương và sau đó ánh xạ chúng thành bộ lọc số mongmuốn Thủ tục thiết kế:

1 Chọn T và xác định các tần số analog:

Ωp=wp/T, Ωs=ws/T

2 Thiết kế một bộ lọc analog Ha(s) sử dụng các đặc tính của

một trong ba bộ lọc prototypes trong phần trước

3 Sử dụng phép khai triển riêng phần, khai triển Ha(s) thành

4 Biến đổi các điểm cực analog {pk} thành các điểm cực số

p s

R s

H ( ) 1

= k N p k T

z e

R z

Các thuận lợi của ánh xạ bất biến xung

„ Đây là một thiết kế ổn định và các tần số Ω và w có

quan hệ tuyến tính

„ Bất tiện

„ Gặp phải aliasing ở đáp ứng tần số analog, và đôi khi

aliasing này là intolerable

dụng khi bộ lọc analog có băng tần-hữu hạn biến đổi thành bộ lọc thông thấp hoặc thông dải không có dao động trong dải chắn

Biến đổi song tuyến tính

„ Ánh xạ này là phương pháp biến đổi tốt nhất

2 / 1

2 /

1 1

z

z T

−

0

1 2

2 sz + T s − z + =

T

Linear fractional transformationÁnh xạ mặt phẳng phức được minh hoạ trong hình 8.15

Ánh xạ mặt phẳng-phức trong biến đổi song tuyến tính

Các nhận xét

„ Sigma < 0 Î|z| < 1, Sigma = 0 Î|z| = 1, Sigma > 0 Î|z| > 1

„ Toàn bộ mặt phẳng- nửa trái ánh xạ vào bên trong

vòng tròn đơn vị Đây là phép biến đổi ổn định

„ Trục ảo ánh xạ lên đường tròn đơn vị là ánh xạ 1-1

Do đó không có aliasing trong miền tần số.

• Quan hệ của ω theo Ω là phi tuyến

ω= 2tan-1(ΩT/2)↔ Ω=2tan(ω/2)/T;

Function [b,a] = bilinear(c,d,Fs)

Với các chỉ tiêu đã cho của bộ lọc số wp,ws,Rp và As, ta cầnxác định H(z) Các bước thiết kế theo thủ tục này như sau:

1 Chọn một giá trị T, điều này là tuỳ ý, và có thể đặt T = 1

2 Chuyển đổi các tần số cắt wp và ws; nghĩa là tính toán Ωp

(

z

z T

H z

Ví dụ 8.17

Các thuận lợi của biến đổi song tuyến tính

đổi được.

Thiết kế lọc thông thấp

„ Chỉ tiêu lọc số

„ Các chỉ tiêu bộ lọc Analog prototype

„ Tính toán bậc của Analog prototype, Omega_c , wn

„ Thiết kế lọc số (bốn kiểu)

Các ví dụ thiết kế lọc số

Với các chỉ tiêu như nhau, thực hiện các ví dụ sau:

„ Ex8.21: Butterworth LP filter design;

„ Ex8.22: Chebyshev-I LP filter design;

„ Ex8.23: Chebyshev-II LP filter design;

„ Ex8.24: Elliptic LP filter design;

dB A

w

dB R

w

s s

p p

15 ,

3 0

1 ,

2

273

Elliptic

254

Chebyshev-I

156

Butterworth

Stopband Att

Order NPrototype

Biến đổi băng tần

„ Các bộ lọc thông cao

„ Các bộ lọc thông dải

„ Các bộ lọc chắn dải

phép biến đổi băng tần

Phép biến đổi băng-tần số

Gọi HLP(Z) là bộ lọc số prototype lowpass đã cho, và gọi H(z) là bộlọc số chọn tần được mong muốn Xác định một ánh xạ theo côngthức

) (

1 1

1 1

| ) ( )

( that such

1 G( ) phải là một hàm hữu tỉ theo 1/z sao cho H(z) là thi hành được

2 Đường tròn đơn vị của mặt phẳng-Z phải ánh xạ lên đường tròn đơn vị của mặt phẳng-z.

3 Để cho các bộ lọc ổn định, bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng-Z cũng phải ánh xạ lên bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng-z.

Phép biến đổi tần số đối với các

)

1 1

1

−

−Π

k

n k

z

z z

Vi dụ 8.25-8.26

Sử dụng các hàm zmapping để thực

hiện biến đổi LP-thành-HP

Thủ tục thiết kế

„ Trong thực tế trước tiên chúng ta phải thiết kế một

bộ lọc số thông thấp điển hình mà chỉ tiêu được tính

từ các chỉ tiêu của các bộ lọc chọn tần được cho

trong hình.8.20

Thi hành Matlab

„ Function [b, a] = BUTTER(N, wn,’high’)

theo đơn vị pi

„ Function [b,a] = BUTTER(N,wn,’pass’)

với dải thông 3dB nằm trong w1<w<w2 tính theo đơn vị pi.

„ Function [b,a] = BUTTER(N,wn,’stop’)

w1<w<w2 tiínhtheo đơn vị pi.

„ Function [N,wn] = Buttord(wp, ws, Rp, As)

„ Khảo sát ứng dụng tương tự đối với các hàm cheby1, cheby2, và ellip với thay đổi về xấp xỉ.

-được sử dụng rông rãi.

„ So sánh: Các phép nhân trên mẫu ra

„ Đối với hầu hết các ứng dụng, bộ lọc IIR elliptic filter đượcmong muốn theo quan điểm vể tính toán Nếu dùng cho bộcân bằng pha (the phase equalizers), thì các thiết kế lọc FIR

có vẻ tốt do các đặc trưng pha-tuyến tính