Đường tròn lester và một số vấn đề liên quan

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o PH„M V‹N M„NH ×ÍNG TRÁN LESTER V€ MËT SÈ V‡N  LIN QUAN Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M¢ sè: 46 01 13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HC GIO VIN HìẻNG DN PGS.TS NGUYN VIT HI TS O€N QUANG M„NH THI NGUY–N 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! i Líi c£m ìn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Phỏng o tÔo trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc v cĂc quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp cao hồc K12B (2018 - 2020) trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc - Ôi Hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cừa cĂc mổn hồc cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh khõa hồc  hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi  luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn nhiằt tẳnh cừa PSG.TS Nguyạn Viằt HÊi v TS on Quang MÔnh l cĂc giÊng viản Trữớng Ôi Hồc H£i Pháng Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn s¥u s­c án cĂc thƯy vợi nhỳng iÃu m cĂc thƯy  d nh cho tỉi Tỉi xin gûi líi c£m ìn ch¥n thnh tợi cĂc ỗng chẵ ban giĂm hiằu trữớng THCS Lả Lủi - Quên HÊi An v gia ẳnh, bÔn b cừa tổi õ l nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! HÊi Phỏng, thĂng 01 nôm 2021 Ngữới viát Luên vôn PhÔm Vôn MÔnh ii Danh mưc c¡c h¼nh 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 M v  M èi xùng qua (O, R) Tẵnh chĐt cừa php ối xựng qua (O, R) Cæng thùc Conway V½ dư 1.2.6 Hai iºm Torricelli-Fermat 10 11 12 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 Hai iºm Torricelli-Fermat F A + F B + F C cüc tiºu Ba ữớng thng ka , kb , kc ỗng quy F v  J+ l  iºm ¯ng gi¡c iºm Fermat thù nhĐt v im Fermat thự hai ữớng thng Fermat i qua trung iºm cõa HG C¡c m»nh · (A), (B), (C), (D) t÷ìng ÷ìng ÷íng th¯ng Euler (F+ F− G) v (F+ F H ) tiáp xúc ữớng thng OH (F+ F ) ối xựng qua ữớng trỏn kẵnh HG ÷íng trán Lester i qua O9 B£y ÷íng trỏn trỹc giao vợi ữớng trỏn Lester ữớng trỏn( Le , Le P ) l  ÷íng trán Lester V trẵ cĂc im trản ữớng trỏn Euler ữớng trỏn Lester v tƠm Lester 20 21 23 24 25 27 28 29 30 31 32 33 34 35 37 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Düng c¡c iºm A± , B ± , C ± , A∗ , B ∗ , C ∗ Düng c¡c iºm F+ , O, A− , H, G, O9 , J+ , N1 , N2 Hyperbol Kiepert cõa tam gi¡c ABC nh lỵ Gibert iºm Clawson Tam gi¡c ti¸p xóc ÷íng trán Lester thù hai 40 41 43 44 46 48 49 MËT SÈ KÞ HI›U TRONG LUŠN VN Stt Kỵ hiằu (x : y : z) X(n) σ XY Z O9 σA, σB , σC K( θ) N1, N2 L 10 (f : g : h) 11 P QR 12 J+, J− 13 F+P , F− 14  15 Je 16 CW Nởi dung kỵ hiằu Tồa ở barycentric T¥m tam gi¡c thù n [6] = 2SABC Tam giĂc pedal TƠm ữớng trỏn chẵn im kỵ hiằu TƠm phối cÊnh Kiepert tham số im Napoleon dữỡng, Ơm ữớng thng vổ tên im vổ tên Diằn tẵch Ôi số Hai im Isodynamic Hai im Torricelli-Fermat LĐy tờng theo ho¡n a,b,c T¥m Jerabek iºm Clawson Trang 8 10 11 16 16 18 20 21 28 29 40 42 53 Giợi thiằu luên vôn Mửc ẵch cừa à ti luên vôn Liản quan ¸n hai iºm Torricelli-Fermat nêi ti¸ng l  mët hå c¡c ÷íng trán â câ nhúng ÷íng trán x¡c ành bði iºm thù ba tam gi¡c, iºm thù ba õ cõ th l tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp, tƠm ữớng trỏn nởi tiáp, trỹc tƠm, trồng tƠm, Chẵnh Lester  nh nghắa ữớng trỏn mang tản bơng cĂch nhữ vêy ữớng trỏn Lester cõ nhỳng tẵnh chĐt gẳ? KhÊo sĂt ữớng trỏn ny bơng phữỡng phĂp tồa ở (barycentric) cho ta nhỳng kát quÊ gẳ? Cõ nhỳng vĐn à gẳ liản quan án cĂc im Torricelli-Fermat v ữớng trỏn Lester? õ l lỵ m chúng tỉi chån · t i " " Mưc ½ch cõa · ti l: - Trẳnh by nhỳng c trững cừa im Torricelli-Fermat F+ , F− tam gi¡c Tø â giỵi thi»u ÷íng trán Lester l  ÷íng trán i qua im F+ , F , O vợi (O l tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp) Ti liằu tham khÊo chẵnh Ơy l [1], [8] - Tẳm thảm cĂc tẵnh chĐt hẳnh hồc cừa cĂc im Torricelli-Fermat bơng cĂc tẵnh toĂn Ôi số trản tồa ở barycentric Ngoi ữớng trỏn Lester, chúng tổi cụng muốn khÊo sĂt thảm cĂc ữớng trỏn kh¡c chịm ÷íng trán i qua iºm Torricelli-Fermat - à cêp án cĂc chuyản à mợi, hay v khõ chữa ữủc giợi thiằu chữỡng trẳnh Hẳnh hồc phờ thổng, cĂc giĂo trẳnh Hẳnh hồc sỡ cĐp mởt số vĐn à liản quan ữớng trỏn Lester v Nởi dung cừa à ti, nhỳng vĐn à cƯn giÊi quyát Dỹa vo cĂc ti liằu chẵnh [1], [2] v [8], luên vôn nhưc lÔi v bờ sung cĂc nh nghắa, tẵnh chĐt cừa tồa ở barycentric, cĂc im Torricelli-Fermat Tứ õ xƠy dỹng khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt c trững cừa ữớng trỏn Lester tam giĂc Ba vĐn à liản quan cụng l nhỳng ựng dửng v  ph¡t triºn th¶m tø c¡c nëi dung tr¶n Nëi dung cừa luên vôn gỗm chữỡng: Chữỡng 1.Kián thực chuân b Trẳnh by tõm tưt hai nởi dung "Php ối xựng qua ữớng trỏn", thỹc chĐt l Php nghch Êo dữỡng, v "Tồa ở barycentric thuƯn nhĐt" Mởt số chựng minh phƯn ny rĐt cõ ẵch và m°t ph÷ìng ph¡p cho c¡c ch÷ìng sau 1.1 Ph²p èi xựng qua ữớng trỏn 1.2 Tồa ở barycentric thuƯn nhĐt Ch÷ìng iºm Torricelli-Fermat v  ÷íng trán Lester Ch÷ìng n y l nởi dung trồng tƠm cừa luên vôn: im Torricelli-Fermat v ữớng trỏn Lester Trong õ trẳnh by chi tiát cĂc tẵnh chĐt cừa im Torricelli-Fermat v ữớng trỏn Lester, cĂc biu diạn tồa ở v phữỡng trẳnh cừa chúng tåa ë barycenteric Mèi quan h» °c bi»t giúa ÷íng trán Lester v  c¡c iºm v  ÷íng trán kh¡c cho ta mët sè c¡ch düng ÷íng trán Lester kh¡c ngo i c¡ch düng thỉng th÷íng Ch÷ìng n y câ tham kh£o, chån låc c¡c t i li»u [3], [8] v  bê sung cĂc chựng minh chi tiát Nởi dung bao gỗm 2.1 iºm Torricelli-Fermat 2.2 ÷íng trán Lester 2.3 C¡c ÷íng trỏn trỹc giao vợi ữớng trỏn Lester 2.4 Tồa ở tƠm Lester Chữỡng Mởt số vĐn à liản quan Dỹa vo cĂc tẵnh chĐt c trững cừa im Torricelli-Fermat v  ÷íng trán Lester chóng tỉi ÷a ùng dưng v giợi thiằu cĂc m rởng và hai ữớng trỏn (F+ F− G) v  (F+ F− H) Nëi dung ÷đc tham khÊo chẵnh [2], [8] Chữỡng bao gỗm 3.1 Düng nhanh mët sè t¥m tam gi¡c 3.2 C¡c ữớng trỏn khĂc liản quan án im Fermat 3.3 iºm Clawson v  ÷íng trán Lester thù hai Ch÷ìng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny chúng tổi nhưc lÔi hai nởi dung chẵnh dũng cho cĂc chữỡng sau â l  mët ph¦n quan trång cõa ph²p nghàch Êo dữợi tản gồi l "php ối xựng qua ữớng trán" v  tåa ë barycentric Nhúng nëi dung n y ½t nhiÃu  cõ cĂc giĂo trẳnh hẳnh hồc sỡ cĐp 1.1 Php ối xựng qua ữớng trỏn 1.1.1 nh nghắa v tẵnh chĐt nh nghắa 1.1 Cho ữớng trỏn tƠm O, bĂn kẵnh R Php bián hẳnh bián mồi iºm M 6= O th nh iºm M thäa m¢n: M, O, M th¯ng h ng v  OM.OM = R2 ÷đc gåi l  ph²p èi xùng qua ÷íng trán hay ph²p nghich £o Khi â ÷íng trán (O, R) ÷đc gåi l  ÷íng trán nghàch £o Ta câ cĂc nhên xt sau: - Php ối xựng qua ữớng trỏn (O, R) l trữớng hủp c biảt cừa php nghch Êo cỹc l O, phữỡng tẵch R2 Ơy l  ph²p nghàch £o d÷ìng ƒnh èi xùng cõa iºm ữủc dỹng trản hẳnh 1.1 a), b) - Php ối xùng qua ÷íng th¯ng câ thº coi l  tr÷íng hđp riảng cừa php ối xựng qua ữớng trỏn (khi bĂn kẵnh R lợn tũy ỵ), vêy s cõ nhiÃu tẵnh chĐt tữỡng tỹ giỳa hai php ối xựng ny Tứ tẵnh chĐt cừa php nghch Êo cỹc O, phữỡng tẵch p tũy ỵ ta suy cĂc tẵnh chĐt cõa ph²p èi xùng qua ÷íng trán: (a) Ph²p èi xựng qua ữớng trỏn cõ tẵnh chĐt ối hủp Nghắa l náu A ối xựng vợi Hẳnh 1.1: M v  M èi xùng qua (O, R) A0 thẳ A0 ối xựng vợi A qua ữớng trỏn (O, R) (b) Ph²p èi xùng qua ÷íng trán (O, R) bi¸n nhúng iºm ð (O, R) th nh nhúng iºm ngoi v ngữủc lÔi, Hẳnh 1.1 a), b) (c) P v  Q èi xùng vỵi qua (O, R) v  ch¿ måi ÷íng trán C i qua P , trüc giao vỵi (O, R) ph£i i qua Q (d) Trong ph²p èi xùng qua ÷íng trán, (O, R) l hẳnh kp tuyằt ối Mồi ữớng thng i qua O v mồi ữớng trỹc giao vợi (O, R) Ãu l cĂc hẳnh kp tữỡng ối (e) Php ối xựng qua ữớng trỏn bián mồi ữớng trỏn i qua O thnh ữớng thng khổng i qua O, bián mồi ÷íng th¯ng khỉng i qua O th nh ÷íng trán i qua O v bián mồi ữớng trỏn khổng i qua O th nh ÷íng trán khỉng i qua O ÷íng th¯ng qua O bián thnh chẵnh nõ Hằ quÊ 1.1.1 Ba ữớng trỏn i qua O bián thnh ba ữớng thng v ba ữớng thng ny s ỗng quy tÔi mởt im Hằ quÊ 1.1.2 Ba ữớng thng ỗng quy (khổng qua O) s bián thnh ba ữớng trỏn cõ hai iºm chung, â mët iºm l  iºm O H» qu£ 1.1.3 Ph²p èi xùng qua ÷íng trán b£o to n sü ti¸p xóc, song song v  trüc giao giúa c¡c ữớng thng hoc ữớng trỏn Hẳnh 1.2: Tẵnh ch§t cõa ph²p èi xùng qua (O, R) 1.1.2 Mët số nh lỵ quan trồng nh lỵ 1.1 Náu A0 , B l  èi xùng cõa A, B qua (O, R) th¼ 2 A0 B = R R hay AB = OA.OB OA0 OB nh lỵ 1.2 Ba iºm A, B, C khæng th¯ng h ng câ A0, B0, C t÷ìng ùng l  £nh èi xùng qua (O, R) Khi õ ữớng trỏn ngoÔi tiáp A0 B C l  £nh èi xùng cõa ÷íng trỏn ngoÔi tiáp ABC nh lỵ 1.3 Php ối xựng qua ÷íng trán b£o to n t sè k²p cõa im 1.2 Tồa ở barycentric thuƯn nhĐt Tồa ở barycentric thuƯn nhĐt  ữủc trẳnh by chi tiát [6] é Ơy chúng tổi hằ thống lÔi mởt số kát quÊ cƯn thiát  sỷ dửng vo chữỡng v chữỡng Mởt số tẵnh toĂn s ữủc lm chi tiát hỡn  lm quen vợi phữỡng phĂp tồa ở 1.2.1 nh nghắa v tẵnh chĐt Trản mt phng cố nh coi ABC l tam giĂc cỡ s Kỵ hiằu XY Z l diằn tẵch Ôi số cừa XY Z theo nghắa giĂ tr tuyằt ối cừa XY Z bơng diằn tẵch XY Z v mang dĐu dữỡng náu hữợng i X, Y, Z l chiÃu quay ngữủc kim ỗng hỗ, mang dĐu Ơm náu X, Y, Z i theo hữợng ngữủc lÔi Ta cõ nh nghắa nh nghắa 1.2 Chồn ABC l tam giĂc cỡ s, hữợng A, B, C ngữủc chiÃu kim ỗng hỗ Tồa ở barycentric cõa iºm M èi vỵi ∆ABC l  bë ba sè (x : y : z) cho x : y : z = M BC : M CA : M AB Tứ nh nghắa ta nhên thĐy náu M = (x : y : z) th¼ cơng câ M = (kx : ky : kz), k 6= B¡ch khoa ton thữ và cĂc tƠm cừa tam giĂc (Encyclopedia of Triangle Centers, vi¸t t­t: ETC) l  mët tø iºn trüc tuy¸n v· c¡c iºm °c bi»t tam gi¡c Tø iºn n y Clark Kimbering, mët gi¡o s÷ to¡n håc trữớng Ôi hồc Evansville chừ biản, [5] CĂc im cõ tẵnh chĐt c biằt tam giĂc cỏn ữủc gồi l tƠm tam giĂc Tẵnh án ngy 12 thĂng nôm 2017,  cõ hỡn 1600 tƠm tam giĂc ữủc liằt kả [5] Mội tƠm tam giĂc ữủc gĂn nhÂn X(n), chng hÔn, X(1) l tƠm I ữớng trỏn nởi tiáp, X(4) l trỹc tƠm CĂc thổng tin và mội im bao gỗm tồa ở tam tuyán tẵnh (trilinear), tồa ở barycentric v nhỳng thổng tin liản quan nhữ: nơm trản ữớng thng no, liản hằ nhữ thá no vợi cĂc im khĂc Mội tƠm tam giĂc tứ in ữủc gĂn mởt tản nhĐt, mởt số trữớng hủp c biằt tản cừa nhỳng im ny ữủc gĂn theo tản cừa ngữới phĂt hiằn hoc t theo tản cừa mởt ngổi trản bƯu trới mợi tẳm thĐy vẵ dử X(770) ữủc gồi l im Acamar Acamar cán ÷đc gåi l  Theta Eridani, l  mët h» nh phƠn nơm chỏm Eridanus Ngữới ta cho rơng Acamar tữủng trững cho sỹ kát thúc cừa dỏng sổng thiản th cho án mởt ngổi s¡ng hìn câ Achernar ÷đc ph¡t hi»n Cho tam gi¡c ABC, nhữ thổng thữớng, kỵ hiằu G, I, O, H, OA , OB , OC lƯn lữủt l trồng tƠm, tƠm ữớng trỏn nởi tiáp, tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp, trỹc tƠm, tƠm ữớng trỏn bng tiáp cĂc gõc A, B, C Khi â: V½ dư 1.2.1 Ta câ tåa ë barycentric cõa mët sè iºm °c bi»t tam gi¡c ABC : • I = (a : b : c) ≡ X (1) , • G = (1 : : 1) ≡ X (2) , • O = (sin 2A : sin 2B : sin 2C) = (a2 (b2 + c2 − a2 ) : : ) ≡ X(3), • OA = (−a : b : c) ; Ob = (a : −b : c) ; OC = (a : b : −c) ,   • H = (tan A : tan B : tan C) = : : ≡ X (4) b + c − a2 σBC σCA σAB = 0, khai triºn ành thùc ta ÷đc (σAB − σCA ) x + (σBC − σAB ) y + (σCA − σBC ) z = P Cõ th viát tưt phữỡng trẳnh ÷íng th¯ng Euler th nh: σA (σB − σC ) x = - T÷ìng 
tü ÷íng th¯ng OI nèi iºm O a2 σA : b2 σB : c2 C vợi im I(a : b : c) cõ phữỡng tr¼nh
P P bc (bσB − cσC ) x = b cσB − c2 bσC x = V¼ (bσB − cσC ) = = −2 (b c) s (s a),   Phữỡng trẳnh trð th nh P  bc (b − c) s (s − a) x = hay iºm vỉ tªn v  ÷íng th¯ng song song P (b − c) (s − a)  a x =0 iºm (x0 : y0 : z0 ) l im vổ tên, náu nõ khổng cõ tåa ë barycentric tuy»t èi, tùc l  x0 + y0 + z0 = Ta th§y t§t c£ c¡c iºm vổ tên nơm trản mởt ữớng thng L , cõ phữỡng trẳnh x + y + z = 15 Vẵ dử 1.2.10 CĂc im vổ tên trản ữớng cao i qua A l : (0 : σC : σB ) − a2 (1 : : 0) = a2 : σC : σB
Têng qu¡t, iºm væ tên trản ữớng thng px + qy + rz = l  (q − r : r − p : p q) Vẵ dử 1.2.11 im vổ tên trản ÷íng th¯ng Euler l  (σBC : σCA : σAB ) − σ (1 : : 1) (1.7) Chựng minh Vẳ ữớng thng ny cõ phữỡng trẳnh (σAB − σCA )x + (σBC − σAB )y + (σCA − σBC )z = n¶n nâ câ iºm vỉ tªn l : (σBC − σAB − (σCA − σBC )) : (σCA − σBC − (σAB − σCA )) : (σAB − σCA − (σBC − σAB )) hay −(2σBC − σAB − σCA : 2σCA − σBC − σAB : 2σAB − σCA − σBC ) = = (3σBC − σ : 3σCA − σ : 3σAB − σ ) = = 3(σBC : σCA : σAB ) − σ (1 : : 1) C¡c ÷íng th¯ng song song câ cịng iºm vỉ tên ữớng thng qua im P (u : v : w) song song vợi ữớng thng L : px + qy + rz = 0, cõ phữỡng trẳnh q−r r−p p−q