Tính giải được của một số lớp hệ phương trình cặp tích phân fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ THỦY TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ THỦY TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER Ngành đào tạo: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ NGÂN Thái Nguyên - 2021 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2021 Lê Thị Thủy Xác nhận Xác nhận khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Ngân i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân Nhân dịp xin cảm ơn Cô hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo, Ban Chủ nhiệm khoa Tốn, Bộ mơn Giải tích Tốn Ứng dụng thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2021 Lê Thị Thủy ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.1.1 Không gian S hàm giảm nhanh 1.1.2 Biến đổi Fourier hàm 1.1.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.2.1 Không gian S ′ hàm suy rộng tăng chậm 1.2.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.2.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S ′ Biến đổi Fourier tích chập Các không gian Sobolev 1.2.4 1.3 iii 1.4 1.5 1.3.1 Không gian H s (R) 1.3.2 s Các không gian Hos Ω, Ho,o (Ω), H s (Ω) 1.3.3 Định lý nhúng 10 Các không gian Sobolev vectơ 10 1.4.1 Khái niệm 10 1.4.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 13 Toán tử giả vi phân vectơ 16 1.5.1 Khái niệm 16 1.5.2 Chuẩn tích vơ hướng tương đương 18 1.5.3 Nhúng compact 21 Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.1 2.2 22 Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier 22 2.1.1 Tính nghiệm 23 2.1.2 Sự tồn nghiệm 24 Một số áp dụng 29 2.2.1 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăng- giảm 2.2.2 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăng 2.2.3 29 31 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng giảm iv 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 v Mở đầu Lí chọn đề tài Phương trình cặp tích phân hệ phương trình cặp tích phân thường xuất tốn biên phương trình vật lý tốn, tốn dị tật mơi trường, toán vết nứt, toán dải đàn hồi Trong năm qua xuất nhiều nghiên cứu phương pháp hình thức giải phương trình cặp tích phân, phương pháp chưa xét đến tính giải phương trình cặp Tính giải phương trình cặp tích phân khơng có nhiều nghiên cứu nghiên cứu phương pháp tìm lời giải hình thức phương trình cặp số nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Walton J R., Manam S.R., Popov G Ya., Nguyễn Văn Ngọc Gần kết nghiên cứu hệ phương trình cặp tích phân, tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier số nhà toán học quan tâm nghiên cứu Nguyễn Văn Ngọc, Hà Tiến Ngoạn Nguyễn Thị Ngân Đề tài nghiên cứu tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier với tiêu đề “Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier” Mục đích luận văn Nghiên cứu tính giải số lớp hệ phương trình cặp P⃗ tích phân Fourier với dạng biểu trưng khác A(ξ) ∈ α+ (R), P A(ξ) ∈ αo⃗ (R) Đưa số ứng dụng vào giải tốn biên phương trình điều hịa phương trình song điều hịa Nội dung luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn có chương nội dung Chương trình bày tổng quan số kiến thức biến đổi Fourier, biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, không gian Sobolev vectơ, tốn tử giả vi phân vectơ Chương trình bày tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier số ứng dụng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, khơng gian Sobolev vectơ, tốn tử giả vi phân vectơ Các kết tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [6] 1.1 1.1.1 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh Không gian S hàm giảm nhanh Định nghĩa 1.1.1 Gọi S = S(R) tập hàm khả vi vô hạn φ ∈ C ∞ (R), thỏa mãn điều kiện ∥φ∥p = sup(1 + |x|)p x∈R p X |Dk φ| < ∞, p = 0, 1, 2, , m, k=0 d Dãy {∥φ∥p }k họ nửa chuẩn Dãy dx {φk } S gọi hội tụ đến hàm φ S, ∥φk − φ∥p → 0, kí hiệu D = k → ∞; p = 0, 1, 2, , m Tập hợp S với chuẩn hội tụ gọi không gian hàm giảm nhanh Ví dụ, hàm φ(x) = e−x ∈ C ∞ (R) hàm giảm nhanh Định lí 1.1.1 Tập hợp Co∞ (R) hàm khả vi vơ hạn có giá compact R trù mật S theo tôpô S 2π −∞ (1.17) j=1 ≤ 2π ∥u − um ∥⃗s ∥w∥−⃗s ∀w ∈ (Co∞ (R)n Từ (1.17) suy ra, um → u H⃗os (Ω) um → u (S′ )n Chuyển qua giới hạn (1.16) ta có ⟨u, w⟩ = ∀w ∈ (Co∞ (R \ Ω))n , tức u ∈ H⃗s (Ω) Mệnh đề chứng minh 12 Mệnh đề 1.4.2 Tập hợp (Co∞ (Ω))n trù mật H⃗so (Ω) theo chuẩn H⃗so (Ω) s Chứng minh Từ kết tập hợp Co∞ (Ω) trù mật Ho j (Ω)(j = s 1, 2, , n), nên ta có với ε > hàm uj ∈ Ho j (Ω) tồn hàm wj ∈ Co∞ (Ω) cho ε ∥uj − wj ∥sj < √ n Từ suy ∥u − w∥⃗s = n X !1/2 ∥uj − wj ∥2sj < ε j=1 Mệnh đề chứng minh 1.4.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục Định lí 1.4.1 Giả sử H⃗s,∗ (R) không gian đối ngẫu không gian H⃗s (R) Khi H⃗s,∗ (R) đẳng cấu với khơng gian H−⃗s (R) Ngoài ra, giá trị phiếm hàm f ∈ H−⃗s (R) phần tử u ∈ H⃗s (R) cho công thức (f , u)o = n Z X j=1 ∞ fbj (ξ)b uj (ξ)dξ, (1.18) −∞ u bj (ξ) = F [uj ](ξ), fbj (ξ) = F [fj ](ξ) Chứng minh Giả sử Φ(u) phiếm hàm liên tục khơng gian H⃗s (R) Do H⃗s (R) không gian Hilbert với tích vơ hướng cho cơng thức (1.14), nên theo Định lý Riesz, tồn phần tử v ∈ H⃗s (R) 13 cho Φ(u) = (v, u)⃗s ∥Φ∥ = sup∥u∥s =1 ∥Φ(u)∥ ≤ ∥v∥⃗s Đặt  T
T b b b f (ξ) = f1 (ξ), , fn (ξ) := (1 + |ξ|)2s1 vb1 (ξ), , (1 + |ξ|)2sn vbn (ξ) (1.19) Ta có Z ∞ Z (1 + |ξ|)−2sj |fbj (ξ)|2 dξ = −∞ ∞ (1 + |ξ|)2sj |b vj (ξ)|2 dξ (ȷ = 1, 2, , n) −∞ Do f := F −1 [ˆf ] ∈ H−⃗s (R), ∥f ∥−⃗s = ∥v∥⃗s = ∥Φ∥, (v, u)⃗s = (f , u)o , (f , u)o = n Z X j=1 ∞ fbj (ξ)b uj (ξ)dξ −∞ Ta thấy, (1.19) thiết lập đẳng cấu H⃗s,∗ (R) H−⃗s (R) Ngoài công thức (1.18) xác định giá trị phiếm hàm f ∈ H−⃗s (R) phần tử u ∈ H⃗s (R) Định lý chứng minh Định lí 1.4.2 Giả sử Ω ⊂ R, u = (u1 , u2 , , un )T ∈ H⃗s (Ω), f ∈ H−⃗s (Ω) lf = (l1 f1 , l2 f2 , , ln fn )T ∈ H−⃗s (Ω) thác triển hàm f từ Ω vào R Khi cơng thức [f , u] := (lf , u)o := n Z X j=1 +∞ ld uj (ξ)dξ j fj (ξ)b (1.20) −∞ không phụ thuộc vào cách chọn thác triển lf Do cơng thức xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục H⃗os (Ω) Hơn phiếm hàm tuyến tính liên tục Φ(u) H⃗os (Ω) tồn phần tử f ∈ H−⃗s (Ω) cho Φ(u) = [u, f ] ∥Φ∥ = ∥f ∥H−⃗s (Ω) 14 Chứng minh Giả sử l′ f thác triển khác f Khi ta có lf − l′ f = Ω, nghĩa (lf − l′ f , w)o = 0, ∀w ∈ (Co∞ (Ω))n (1.21) Vì (Co∞ (Ω))n trù mật H⃗os (Ω), từ đẳng thức (1.21) ta suy (lf − l′ f , u)o = 0, ∀u ∈ H⃗so (Ω), tức (l′ f , u)o = (lf , u)o Vì tích phân (1.20) không phụ thuộc vào cách chọn thác triển lf Từ cơng thức (1.20) ta có |(lf , u)o | ≤ ∥u∥⃗s ∥lf ∥−⃗s Vì (lf , u)o khơng phụ thuộc vào cách chọn thác triển lf nên |(lf , u)o | ≤ ∥u∥⃗s inf ∥lf ∥−⃗s = ∥u∥⃗s ∥f ∥H−⃗s (Ω) l (1.22) Vậy, phiếm hàm f ∈ H−⃗s (Ω) cho ta phiếm hàm tuyến tính liên tục H⃗os (Ω) xác định cơng thức (1.20) Giả sử Φ(u) phiếm hàm tuyến tính liên tục H⃗os (Ω) Khơng gian H⃗so (Ω) ⊂ H⃗s (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng xác định công thức (1.14).Bởi vậy, theo Định lí Riesz, tồn v ∈ H⃗os (Ω) thoả mãn Φ(u) = (v, u)s Ta đặt
T b fo (ξ) = (1 + |ξ|)2s1 vb1 (ξ), , (1 + |ξ|)2sn vbn (ξ) , fo = F −1 [ˆfo ] Khi đó, fo ∈ H −⃗s (R), pfo = f ∈ H−⃗s (Ω), p tốn tử hạn chế Ω Ta có Φ(u) = (v, u)⃗s = (fo , u)o ∥Φ∥ = ∥v∥⃗s = |fo |−⃗s ≥ ∥f ∥H−⃗s (Ω) Mặt khác, theo (1.22) ta có ∥Φ∥ = sup∥u∥⃗s ≤1 |Φ(u)| ≤ ∥f ∥H−⃗s (Ω) Từ suy ∥Φ∥ = ∥f |H−⃗s (Ω) Định lý chứng minh 15 1.5 Toán tử giả vi phân vectơ Trong mục này, trình bày số tính chất tốn tử giả vi phân vectơ dạng (Au)(x) := F −1 [A(ξ)b u(ξ)](x), A(ξ) = ∥aij (ξ)∥n×n ma trận vuông cấp n, u = (u1 , , un )T b (ξ) := F [u](ξ) = vectơ chuyển vị vectơ dòng u = (u1 , , un ), u (F [u1 ], , F [un ])T 1.5.1 Khái niệm Định nghĩa 1.5.1 Cho α ∈ R Ta nói hàm a(ξ) thuộc vào lớp σ α (R), | a(ξ)| ≤ C1 (1 + |ξ|)α , ∀ξ ∈ R, α thuộc vào lớp σ+ (R), C2 (1 + |ξ|)α ≤ a(ξ) ≤ C1 (1 + |ξ|)α , ∀ξ ∈ R, (1.23) C1 , C2 số dương Mệnh đề 1.5.1 Giả sử a(ξ) > (1 + |ξ|)−α a(ξ) hàm liên tục, bị chặn R, hàm số (1 + |ξ|)−α a(ξ) có giới hạn dương ξ → ±∞ α Khi a(ξ) ∈ σ+ (R) Chứng minh Ta giả thiết lim (1 + |ξ|)−α a(ξ) = λ± , λ± > ξ→±∞ Khi đó, với số dương đủ bé ϵ < λ+ tồn số Ro > cho λ− ≤ (1 + |ξ|)−α a(ξ) ≤ λ+ , |ξ| ≥ Ro , 16 λ− = min{λ± − ϵ}, λ+ = max{λ± + ϵ} Mặt khác, từ giả thiết suy hàm (1 + |ξ|)−α a(ξ) đạt giá trị lớn M giá trị nhỏ m > [−Ro , Ro ] Do đó, (1.23) ln với C1 = max {λ+ , M } , C2 = {λ− , m} Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5.2 Giả sử a(ξ) ∈ σ α (R), u(x) ∈ H s (R), a(ξ)ˆ u(ξ) ∈ S ′ (R) Khi đó, tốn tử giả vi phân (tốn tử tích chập) F −1 [a(ξ)ˆ u(ξ)](x) tốn tử tuyến tính bị chặn từ H s (R) vào H s−α (R) Chứng minh Thật vậy, đặt v(x) = F −1 [a(ξ)ˆ u(ξ)](x) Ta có vˆ(ξ) = a(ξ)ˆ u(ξ) (1 + |ξ|)s−a |ˆ v (ξ)| = (1 + |ξ|)−α |a(ξ)|.(1 + |ξ|)s |ˆ u(ξ)| ≤ C(1 + |ξ|)s |ˆ u(ξ)| (1.24) Từ (1.24) ta suy ra, tồn số C > 0, cho ∥v∥2s−a ≤ C∥u∥2s < ∞ Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 1.5.2 Giả sử A(ξ) = ∥aij (ξ)∥n×n , ξ ∈ R ma trận vng cấp n, aij (ξ) hàm số liên tục R, αj ∈ R, (i = 1, 2, , n), α ⃗ = (α1 , α2 , , αn )T Ta nói ma trận A(ξ) = ∥aij (ξ)∥n×n , P thuộc lớp α⃗ (R) aij (ξ) ∈ σ αi (R), aij (ξ) ∈ σ βij (R), βij ≤ (αi + αj ), 17 (1.25) thuộc lớp Pα⃗ + (R), ma trận A(ξ) ma trận Hermite, nghĩa (A(ξ))T = A(ξ), thỏa mãn điều kiện T w Aw ≥ C1 n X (1 + |ξ|)αj |wj |2 , ∀w = (w1 , w2 , , wn )T ∈ Cn , (1.26) j=1 C1 số dương w liên hợp phức w Cuối cùng, P ma trận A(ξ) thuộc vào lớp α0⃗ (R), RewT Aw ≥ 0, ∀w = (w1 , w2 , , wn )T ∈ Cn , (1.27) ngồi ra, RewT Aw = số điểm hữu hạn trục thực Định nghĩa 1.5.3 Cho A(ξ) ∈ Pα⃗ ˆ (ξ) = F [u](ξ) Toán (R), u ∈ H⃗s , u tử A xác định công thức: (Au)(x) := F −1 [A(ξ)ˆ u(ξ)](x), x ∈ R, (1.28) A(ξ) = ∥aij (ξ)∥n×n ma trận vng cấp n, u = (u1 , u2 , , un )T ˆ (ξ) := F [u](ξ) = vectơ chuyển vị vectơ dòng (u1 , u2 , , un ) u (F [u1 ], F [u2 ], , F [un ])T gọi toán tử giả vi phân vectơ ma trận A(ξ) gọi biểu trưng toán tử A 1.5.2 Chuẩn tích vơ hướng tương đương Mệnh đề 1.5.3 Giả sử ma trận A(ξ) = A+ (ξ) thuộc vào lớp Pα⃗ + (R) Khi tích vơ hướng chuẩn Hα⃗ /2 (R) xác định công thức: Z (u, v)A+,α/2 = ∞ F [vT ](ξ)A+ (ξ)F [u](ξ)dξ, −∞ 18 (1.29) ∞ Z ∥u∥A+,α/2 =  F [uT ](ξ)A+ (ξ)F [u](ξ)dξ , (1.30) −∞ tương ứng Chứng minh T w Aw = = = n X j=1 n X j=1 n X wj n X akj wk k=1 αj wj (1 + |ξ|) (1 + |ξ|) −αj n X αk akj (1 + |ξ|) (1 + |ξ|) −αk wk k=1 αj wj (1 + |ξ|) n X j=1 (1 + |ξ|) −αj αk akj (1 + |ξ|) (1 + |ξ|) −αk wk k=1 αj αk Vì |akj | ≤ C.(1 + |ξ|) + , nên T |w Aw| ≤ C n X |wj |(1 + |ξ|) αj j=1 n X αk (1 + |ξ|) |wk | k=1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có kết sau T T w(ξ) Aw(ξ) ≤ |w(ξ) Aw(ξ)| ≤ C2 n X (1 + |ξ|)αj |wj (ξ)|2 , (1.31) j=1 C2 số dương Sử dụng công thức (1.26) (1.31) với wj (ξ) thay u bj (ξ) = F [uj ](ξ) w(ξ) thay F [u](ξ), sau lấy tích phân (−∞; ∞), ta có Z ∞ n Z ∞ X αj C1 (1 + |ξ|) |F [uj ](ξ)| dt ≤ F [uT ](ξ)A+ (ξ)F [u](ξ)dξ j=1 −∞ −∞ ≤ C2 n Z X j=1 ∞ (1 + |ξ|)αj |F [uj ](ξ)|2 dξ −∞ (1.32) 19 Từ bất đẳng thức (1.32) từ chuẩn xác định công thức (1.9) (1.14), công thức (1.30) xác định chuẩn Hα⃗ /2 (R) Rõ ràng cơng thức (1.29) xác định tích vơ hướng Hα⃗ /2 (R) Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5.4 Giả sử A(ξ) ∈ Pα⃗ (R), u ∈ Hα⃗ /2 (R), α ⃗ = (α1 , α2 , , αn )T Khi tốn tử giả vi phân vectơ Au xác định công thức (Au)(x) := F −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) (1.33) tốn tử tuyến tính bị chặn từ Hα⃗ /2 (R) vào H−⃗α/2 (R) Chứng minh Đặt v(x) = (Au)(x) = F −1 [A(ξ)ˆ u(ξ)](x) ˆ (ξ) = A(ξ)ˆ ˆ (ξ) = F [u(x)](ξ) = Ta có v u(ξ), A(ξ) = ∥aij (ξ)∥n×n u n P (ˆ u1 (ξ), uˆ2 (ξ), , uˆn (ξ))T Mặt khác vˆk (ξ) = akj uˆj (ξ), k = 1, 2, , n j=1 Suy (1 + |ξ|) −αk vˆk (ξ) = n X αj (1 + |ξ|) uˆj (ξ)(1 + |ξ|) −αj (1 + |ξ|) −αk akj j=1 αj αk Vì |akj | ≤ C(1 + |ξ|) + , C số dương nên −αk (1 + |ξ|) |vˆk (ξ)| ≤ nC n X (1 + |ξ|)αj |uˆj |2 j=1 Suy +∞ Z+∞ n Z X (1 + |ξ|)−αk |vˆk (ξ)|2 dξ ≤ nC (1 + |ξ|)αj |uˆj |2 < ∞ j=1 −∞ −∞ Vậy ∥v(x)∥ = ∥(Au)(x)∥ < ∞ Mệnh đề chứng minh 20 1.5.3 Nhúng compact Mệnh đề 1.5.5 Giả sử Ω khoảng hệ khoảng bị chặn R Khi phép nhúng từ H⃗s (Ω) vào H⃗s−⃗ε(Ω) hoàn toàn liên tục, ⃗ε = (ε1 , ε2 , , εn )T > (⇔ εj > 0, j = 1, 2, , n) Chứng minh Vì phép nhúng từ H sj (Ω) vào H sj −εj (Ω), εj > hoàn toàn liên tục Ω bị chặn R, j = 1, 2, , n, nên phép nhúng từ H⃗s (Ω) vào H⃗s−⃗ε(Ω) tốn tử hồn tồn liên tục Thật vậy, giả sử {ujk }k dãy bị chặn H sj (Ω) Do H sj (Ω) ⊂ H sj −εj (Ω), εj > 0, nên {ujk }k ⊂ H sj −εj (Ω) Vì phép nhúng H sj (Ω) vào H sj −εj (Ω) compact,  nên tồn dãy u′jk k hội tụ H sj −εj (Ω) Từ suy ra, từ dãy bị chặn {uk }k ⊂ H⃗s (Ω) dãy bị chặn H⃗s (Ω), trích dãy {u′k }k ⊂ H⃗s−⃗ε(Ω) = H s1 −ε1 (Ω) × ×H s2 −ε2 (Ω) × · · · × H sn −εn (Ω) Mệnh đề chứng minh 21 Chương Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier Trong chương trình bày tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier với dạng biểu trưng khác nhau, P⃗ P dạng biểu trưng A(ξ) ∈ α+ (R), A(ξ) ∈ αo⃗ (R) đưa số áp dụng Nội dung trình bày chương tham khảo từ tài liệu [4], [5] 2.1 Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier Chúng ta nghiên cứu tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier có dạng sau   pF −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ Ω,  p′ F −1 [b u(ξ)](x) = g(x), (2.1) ′ x ∈ Ω := R \ Ω, b (ξ) = [b Ω khoảng xác định R, u u1 (ξ), u b2 (ξ), , u bn (ξ)]T vectơ hàm cần tìm, f (x) = [f1 (x), f2 (x), , fn (x)]T ∈ (D′ (Ω))n , g(x) = [g1 (x), g2 (x), , fn (x)]T ∈ (D′ (Ω′ ))n vectơ cột xác định Ω Ω′ tương ứng, A(ξ) = ∥aij (ξ)∥n×n ma trận vuông cấp n gọi biểu trưng hệ phương trình cặp tích phân Fourier (2.1); 22 p p′ toán tử hạn chế Ω Ω′ tương ứng Toán tử F −1 hiểu theo nghĩa hàm suy rộng D′ (Ω) không gian hàm suy rộng Ω Ta xét hệ phương trình cặp tích phân Fourier (2.1) với điều kiện sau  P  A(ξ) ∈ α⃗ (R), A(ξ) xác định dương với hầu khắp ξ ∈ R,  f (x) ∈ H−⃗α/2 (Ω), g(x) ∈ Hα⃗ /2 (Ω′ ) (2.2) b (ξ) có dạng u b (ξ) = F [u](ξ), u ∈ Hα⃗ /2 (R) tìm ẩn hàm u 2.1.1 Tính nghiệm Định lí 2.1.1 (Tính nghiệm) Nếu giả thiết (2.2) thỏa mãn hệ phương trình cặp tích phân Fourier (2.1) có nghiệm u(x) = F −1 [b u](x) ∈ Hα⃗ /2 (R) Chứng minh Để chứng minh định lí, ta chứng minh hệ phương trình cặp   pF −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) = 0, x ∈ Ω,  p′ u(x) = p′ F −1 [b u(ξ)](x) = 0, x ∈ Ω′ := R \ Ω, có nghiệm tầm thường α ⃗ /2 Vì u ∈ Ho (Ω) nên hệ viết lại thành (Au)(x) = 0, x ∈ Ω, (2.3) (Au)(x) = pF −1 [A(ξ)b u(ξ)](x), 23 x ∈ Ω (2.4) −⃗ α/2 Vì Au ∈ H (Ω) ≃  ∗ α ⃗ /2 Ho (Ω) Z (xem định lí 1.4.2), từ (1.20), ta có ∞ [Au, u] = −∞  b T (ξ).F lpF −1 [Ab u u] (ξ)dξ Vì tích phân khơng phụ thuộc vào cách chọn lpF −1 [Ab u], ta viết thác triển dạng lpF −1 [Ab u] = F −1 [Ab u] Do đó, ta có Z ∞ [Au, u] = −∞ b T (ξ).A(ξ).b u u(ξ)dξ Từ (2.3),(2.4) (2.5) ta nhận Z ∞ b T (ξ).A(ξ).b [Au, u] = u u(ξ)dξ = (2.5) (2.6) −∞ Vì A(ξ) ∈ Pα⃗ (R), b T (ξ).A(ξ).b u u(ξ) ≥ hầu khắp ξ ∈ R Khi từ b (ξ) ≡ 0, u(x) ≡ Định lí chứng minh (2.6) suy u 2.1.2 Sự tồn nghiệm Bổ đề 2.1.1 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier (2.1) tương đương với hệ phương trình cặp sau pF −1 [A(ξ)b v(ξ)] (x) = f (x) − pF −1 h i ′ c A(ξ)l g(ξ) (x), x ∈ Ω, (2.7) α ⃗ /2 v = F −1 [b v] ∈ Ho (Ω) cho v + l′ g = u ∈ Hα⃗ /2 (R) (l′ g thác triển tuỳ ý g từ Ω′ lên R) 24 (2.8)