Toán học cao cấp t 2, phép tính giải tích một biến số

.NGUYỄN ĐÌNH T R Í (C h ủ biên) TẠ VĂN ĐỈNH - NGUYỄN HỔ QUỲNH T Ậ P HAI PHÉP TỈNH GIÀI TÍCH MỘT BIEN S Ố Thư viện - ĐH Quy Nhơn I I lllllljp ip ip illllliw V N G 2 0 CD L ~ p NHÀ X U Ã T BÁN G IÁ O D Ụ C V IỆ T NAM Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên) TẠ VĂN ĐĨNH - NGUYỄN H QUỲNH TOÁN HỌC CAO CẤP TẬP HAI P H É P TÍNH GIẢI TÍC H M Ộ T B IẾ N S Ố (Tái lần thứ mươi) TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NH«N _ THƯ VIỆN \iN 6r o & s i NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DUC V IÊT NAM Chương I sỉ THỰC Chương nhắc lại khái niệm tập hợp, ánh xạ giải thích chi tiết tập hợp số thực 1.1 T ập hợp Tập hợp khái niệm toán học Chúng ta biết tập hợp số tự nhiên N, tập hợp số nguyên z , tập hợp số hữu tỉ Q Ta nói tập hợp điểm đoạn thẳng, tập hợp đường thẳng vng góc vói đường thẳng cho trước Khi nói đến tập hợp ta nghĩ đồng thời đến phần tử tập ; để a phần tử tập hợp A ta viết a e A đọc a thuộc A ; để b không phần tử cùa tập hợp A ta viết b í A đọc b không thuộc A Để chứng tỏ tập hợp X (gọi tắt tập X gồm phần tử , ta v i ế t X, y , z , X := {x, y, z, Ị thế, biểu thức trên, ở.vế phải ta liệt kê danh sách phần tử X Việc liệt kê triệt dể (liệt kê hết tất phần tử cùa X) số phần tử X không lớn ; việc liệt kê khơng triệt để (khơng liệt kê hết phần tử X) sô' phán tử X q lớn, X có vơ sơ' phần tử, ta phải dùng dấu " " miễn khơng gây hiểu nhầm Do trường hợp khồng thể liệt kê hết tất phần iửf tập hợp, người ta dùng cách sau : Để tập hợp A gồm tất phần tủ có thuộc tính (tính chất để xác định phần tử thuộc hay không thuộc tập A) người ta viết : A := {a I a có thuộc tính ơ} Tập Cho hai tập hợp A B ; phần tử A phần tử B ta nói A tập B viết A ß" hiếu "từ mệnh đề a suy mệnh đề ß", kí hiệu "a ß" hiểu "từ mệnh đề a suy mệnh đề ß ngược lại, từ mệnh đề ß suy mệnh đề a" hay nói khác "mệnh đề a mệnh đề ß tương đương với nhau" Bây giờ, giả sử A tập t tính chất phần tử A Gọi C(t) tập tất phần tử A có tính chất t, nghĩa C(t) := {X € A I X có tính chất t } Khi đó, • C(t) = A phần tử A có tính chất t, ta nói "Với X € A, X có tính chất t" ta viết Vx e A : t(x) ; kí hiệu V gọi kí hiệu phổ biến (đó chữ A viết ngược, từ chữ All (tiếng Anh)) • C(t) * có phần tử X A có tính chất t ; ta nói "Tồn phần tử X e A, X có tính chất t" viết Bx e A : t(x), kí hiệu gọi kí hiệu tồn (đó chữ E viết ngược, từ chữ EXISTENCE (tiếng Anh)) Giao hai tập Cho A, B hai tập, gọi giao A B, viết A n B đọc "A giao B", tập định nghĩa : A n B : = |x |x € A vàxcB Ị Hợp hai tập Gọi hợp tập A tập B, viết A U B đọc "A hợp B" tập định nghĩa : A u B : = | x | x e A X B} Bổ sung Gọi bổ sung B A (B ỗz A), vit l CAB l tập định nghĩa : CAB := | x | x e A v x í Bị Phép giao, hợp bổ sung thoả tính chất sau : (A nB )nC = A n(B nC ) (A uB )uC = A u (B uC ) (A n B) U c = (A U C) n (B U C) (A u B )n C = (A nC )u (B nC ) Ca (B, C» B2) - Ca B, r> CAB2 C a (B, n B2 ) - C a B j u C a B2Tích Đềcác Cho hai tập A, B không rỗng, với a A b G B, ta lập cặp (a, b) gọi cặp thứ tự (viết phần tù a G A trước phần tử b G B sau) ; tích Đềcác A B, kí hiệu A X B đọc "A tích Đềcác B”, tập định nghĩa A X B := {(a, b) : a G A ; b G B} Tập nghiệm Một mệnh đề thuộc loại " thù đô nước Việt Nam" gọi mệnh đề mỏ Mệnh đề không mà không sai Trong mệnh đề trên, ta điên vào chỗ trống từ "Hà Nội" mệnh đẻ ; điền vào chỗ trống từ "Hải Phịng" mệnh đề sai Nói chung, tốn học, mệnh đề mở có dạng phương trình hay bất phương trình Chẳng hạn, mệnh đề X+ = mệnh đề mở, gọi phương trình, mệnh đề X+ < mệnh đề mở, gọi bất phương trình Trong mệnh đẻ trên, chữ X kí hiệu số chưa định rố thay X số cụ thể làm cho mệnh đề sai Kí hiệu X gọi biến (ẩn) Tập giá trị biến cho thay giá trị vào phương trình bất phương trình phương trình đó, bất phương trình có nghĩa, dược gọi miền biến Tập nghiệm phương trình hay bất phương trình tập phần tử miền biến thay vào mệnh đề mở mệnh đề Chẳng hạn miền biến X tập s ố nguyên dương tập nghiệm phương trình x+3=9 tập {6}, cịn tập nghiệm phương trình X +3=2 tập rỗng Bây giờ, lấy miền biến tập số nguyên tập {6} tập nghiệm phương trình X + = 9, tập {-1} tập nghiệm phương trình X + = Như tập nghiệm mệnh đề mở phụ thuộc vào tập miền biến mệnh đề mở có nhiều miền biến khác Ánh xạ Cho hai tập E F ; ta gọi ánh xạ f từ E sang F viết f : E —> F, quy tắc làm ứng phần tử E với phần tử xúc định F, E gọi tập gốc (hoặc tập nguồn) F gọi tập ảnh (hoặc tập đích) ; phẩn tửy E F ứng với phần tử X e E gọi ảnh X qua ánh xạ f viết y = f(x), đọc y = f(x), để rõ quy tắc làm ứng X với y ta viết X h-» f(x) Ánh xạ f gọi đơn ánh phương trình f(x) = y có nhiều nghiệm x e E , với y e F Ánh xạ f gọi tồn ánh phương trình f(x) = y có nghiệm X G E với y F Ánh xạ f gọi song ánh phương trình f(x) = y có nghiệm cìuy X e E với y e F Một song ánh ánh xạ vừa đơn ánh vừa toàn ánh Hai tập A B gọi tương đương với nhau, viết "A ~ B” tồn song ánh f : A —» B Cho tập I := {1, 2, n}, tập X tương đương với I gọi tập hữu hạn (có số phần tử hữu hạn n), ta viết card (X) = n Gọi N tập số tự nhiên, tập X tương đương với N gọi tập đếm được, ta viết card (N) = card (X) ; (có thể hiểu sơ' phần tử X sô' phần từ N) 1.2 T ập số thự c Chúng ta biết tập sô' tự nhiên N : N := {0, 1,2, , n , } Để mở rộng lớp nghiệm phương trình thêm tập số nguyên z : z : = {0, ± 1, ± 2, X + n = 0, n G N, ta đưa ± n , } Để mở rộng lớp nghiệm phương trình mx + n = ; m, n e Z đưa thêm tập số hữu tỉ Q : Q : = {X : X = n ; n * ; m, n G z ; m, n có ước chung ± 1} dĩ nhiên ta có bao hàm thức kép N cZ cQ Tuy nhiên người ta chứng minh Z ~ N ; Q ~ N ; nghĩa z, lẫn Q tập đếm Bây để chứng tỏ ràng tập số hữu tỉ hẹp, ta xét nghiệm dương phương trình X2 = 2, ta có X = yfĩ ; số y lĩ' khơng phải có số hữu tỉ Ta chứng minh điều phản chứng Thật vậy, giả sử \Ỉ2 số hữu tỉ ; y¡2 có dạng : yỊĨ = — ; m, n n G với m n có ước số chung -1 N; Vì hai vế phương trình dương nên suy phương trình tương đương m2 = 2n2 Do m2 chia hết cho ; m chia hết cho 2, ta viết m = 2p ; 4p2 = 2n2, nghĩa n2 = 2p2 Cũng lập luận n chia hết cho m n có ước số chung điều mâu thuẫn với giả thiết, yjĩ khơng thể số hữu tỉ, ta nói yỊĨ số vơ tỉ Hơn nữa, chứng minh n số nguyên dương, khơng số phương, nghĩa n khơng bình phương số nguyên k Vĩĩ số vồ tỉ Chẳng hạn V3, V5, VỸ, số vô tỉ Tập số hữu tỉ số vô tỉ gọi tập số thực kí hiệu R Để dễ phân biệt số vồ tỉ số hữu tỉ đưa thêm khái niệm số thập phân 1.2.1 Số thập phân Xét số hữu tỉ thập phân ta viết số dạng số - = 0,333 - = 0,25 ta nói số hữu tỉ — biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn số hữu tỉ - biểu diễn dạng số thập phân vơ han tuần hồn Nói — số thâp phân hữu han biểu diễn —= 0,25 ta kết thúc số ; - môt số thập phân vơ hạn tuần hồn biểu diễn —= 0,333 ta viết thêm số chưa biểu diễn hẳn số - , muốn kéo dài số đến viết Cũng thế, viết - = 0,1428571 Ở đây, sau số (số sau dấu phây thứ 7) ta viết dấu muốn viết thêm số sau dấu phẩy đuợc, chẳng hạn v iế t: - = 0,14285714285714 biểu diễn dạng thập phân - , sô' 142857 lập lại theo thứ tự lần tuỳ ý ta muốn dừng lại số miễn biểu diên đầy đủ số 142857 biết đầy đủ số tức biết quy tắc tuần hoàn số thập phân vồ hạn tuần hoàn 0,1428571 = — Người ta chứng minh số hữu tỉ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn Với số vơ tỉ khồng thế, người ta chứng minh số vơ tỉ biểu diên dạng số thập phân vô hạn khơng tuần hồn Chẳng hạn ta viết : V2 = 1,41 ta khơng thể từ biểu diên thập phân mà viết thêm sơ' sau dấu phẩy cách tuỳ tiện khơng có quy tắc tuần hồn ; viết: V2 = 1,41421 10 Các chuỗi số có số hạng tổng qt sau có hội tụ khơng ? Tính tổng chúng chúng hội tụ 1) un 2) un = _2 (2 n -l)(2 n + l) n +n 2n +1 3) u„ 4) un = ( - l) n2(n + l)2 ’ 5) un =arctgn +n + l 7) un = ln - , n>2 n2 , n+1 2n +1 n(n + l) 6) un = n4 +n2 + l sinn(n + l) 8) un = 1 cos—.cos—-— n n+ „ a *ì 9) un = ln cos— - , a e í —* — l 3J 2" 10) un = ln + aln(n + 1) + bln(n+2) Cùng câu hỏi 1) un ( n - l) 2n-l n2 3) un 4) un = 2n +n 5) nn n2 +1 f ) un ) un 2) un = ,a>0 2n —1s'n*nn 2n -1 (n!T (2n)! : n! 2.4.6 (2n) 2nz -1 6) un = \n 3n2 +2 ( 8) un = arctg — n ) 10) un = tg" a + VL2 J < a < —, b > 402 26-TOÁN CAO CẤP T2-B n 11) u„ = 12) un = n+ , Inn \n n(n!)2 (2n)! 13) 14) un = (-1)" nlnn 15) un =sin(7t-y/n2 + l) ; (l i 16) un = sin — + n J In 17) un = ( - l ) n 18) un = (Inn)" (- 1)" 71 l + ( - l ) nVn 1+ n (-1)" 19) un = — n+1 ; n + ( - l ) n+ 20) un = 21) u = -y/n + ( - l ) n - V Ĩ Ĩ ; 22) un = In + •Jn + ( - l ) n+1 n-1 (-1)" ,a >0 1) Khảo sát hội tụ hai dẫy hàm sô' {fn}, {gn} xác định nx fn : R+ —> R, X i-> —— , gn : R + -> R, X H x+n + nx a) đoạn [0, 1] b) khoảng [1, +oo) 2) Cho dẫy hàm số |fn| xác định f„ : [ , ] - > R , x h f„ (x ) = l + xn a) Khảo sát hội tụ dẫy {fn} Sự hội tụ có khơng ? b) Chứng minh lim [ fn(x)dx = n -w 403 3) Chứng minh dẫy hàm sô' {fn} xác định xY1 í _ _ , x 1- — fn : R+ -> R, X i-> fn(x) = ^ n n ế u x e [0 ,n ] X > n hội tụ tới hàm sô' f Sự hội tụ có khơng ? 00 J 1) a) Chứng minh chuỗi hàm sô' y , —— n = l2 " ^2x + l Y x+2 hội tụ đoạn [-1 , 1] oo b) Chứng minh chuỗi hàm sô' ^ •Vnxe-n hội tụ ưên R+ n=l 00 c) Khảo sát hội tụ chuỗi hàm số y ^ ( - l ) n n~x n=l 2) Chứng minh chuỗi hàm số với số hạng tổng quát +n un(x) = ( - l ) n — -— hội tụ đoạn [a, b], không n2 hội tụ tuyệt đối 00 Chứng minh chuỗi hàm sô' ^ n e -nx hội tụ n=l khoảng [a, +oo) với a > 0, khơng hội tụ khoảng [0, +oo) Tính tổng chuỗi hàm sơ' vói X > Cho hàm số X I-» un(x) = íx n+1 lnx < X < X= 00 1) Chứng minh chuỗi hàm số ( - l ) nun(x) hội tụ n=0 đoạn [0, 1] 404 00 2) Chứng minh chuỗi hàm sô' ^ T u n(x) hội tụ không đèu n=0 đoạn [0,1] 00 Chứng minh hàm sô' f(x) = 'Y ' - xác đinh, liên tuc ^ Ị n (n + x) khả vi R+ 00 y 10 Cho chuỗi hàm sô' — —— ; ố l + xn Khảo sát hội tụ Có thể nói liên tục khả vi của-nó 11 Tìm miền hội tụ chuỗi luỹ thừa có số hạng tổng quát sau : 1) un(x) = ( - l ) n+l — ; n 2) un(x) = (X~ ^ )n Vn 3) un(x) = í :^ i - ì \2 n + l ) 4) un(x) = (nx)" 5) ( x - x ) 2n ; un(x) = x"lnn ; 7) un(x) = 6) un(x) = ^5x^ n! OL> ; 8) un(x) = (-1)"-' na n! 9) un(x) = anxn, < aQ < —, an = sinan_ị, Vn > 12 Tìm miền hội tụ tính tổng cùa chuỗi luỹ thừa có sơ' hạng tổng qt sau : 1) un(x) = (3n + l)x3n , n >1 2) un(x) = (2n + n)xn, n > 3) un( x ) = n2 + n - l n+3 n! ’ n>0 405 4) un(x) =chna.xn, a > 0, n > 5) un(x) = ( - l ) n-1— , n > n 13 Khai triển hàm số f(x) = — thành chuỗi Taylor lân cận điểm X Xo = 14 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa lân cận điểm x0 = hàm số sau : 1) f(x ) = chx ; 2) f(x ) = X2ex 3) f(x) = sin2x ; 4) f(x) = ——ị X2 -3 x + 5) f(x) = ln(x2 - 5x + 6) ; 6) f(x) = Jcos(t2 )đt 7) f(x) = < X ln - X x * ° ; X = 15 Chứng minh hàm sô' Ị 8) f(x) = excosx f(x) = * e X2 X * 0 X = khai triển thành chuỗi Taylor lân cận điểm x0 = 16 Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa có sơ' hạng tổng qt n2 un(x) = Ị \ + ( - ! ) " xn 17 Cho hai chuỗi luỹ thừa ^ a nxn, ^ b nxn , có bán kính hội tụ n=l n=l theo thứ tự R, R\ 1) Chứng minh có số nguyên dương n0 cho |an|< |b n|, Vn > nQ R > R’ 406 2) Chứng minh |an| ~ |bn| n -» 00 R = R' 3) Tính bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa có số hạng tổng quát sau : \ chn n b) un(x) = arccos a) un(x) = ~ ~ ^ ; V1 n2 / sh2n c) 18 un(x) = (Vn + l - y f n ) x n ; Tính số sau với độ xác 0,0001 : 1) Vẽ ; 19 d) un(x) =cos(7tyn2 +n + l) x n 2) V Ũ ; 3) ln(l,04) 1) Tìm je dx với độ xác 0,001 2) Tính jsh(x2 )dx với độ xác 0,0001 20 Tính cosl8° với độ xác 0,0001 21 Khai triển thành chuỗi fourier hàm số f(x) lẻ, tuần hoàn với chu kì 271, 71 - X với < X < 7t 22 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) chẵn, tuần hồn với chu 2x kì 2n, l - — với < X < 7t Suy giá trị tổng chuỗi số 7t °° y — I— ^ ( n + l)2 23 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) tuần hồn có chu kì 271, X2 - — với -7 < X < 7t Suy giá trị chuỗi số 407 24 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm sơ' :f(x) tuần hồn có chu kì 271, sin— với -71 < X < 71 25 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) tuần hoàn có chu kì 271, cosax với -71 < X < 7T, < a < Suy đẳng thức 2a Y 1 cotg7ia = — + na " ẻ í^ -n 26 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm sổ f(x) tuần hồn có chu kì 21, e x với -1 < X < 27 Khai riển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) xác định đoạn [0, 71], cho : X < X < — f(x) = K n 12 2 _ -7 n ế u — < X < 71 00 28 Cho hàm sô' f(x) = 'y' sin nx n! n=l 1) Chứng minh hàm sô' f(x) liên tục khả vi liên tục R 2) Khai triển hàm sô' f(x) thành chuỗi Fourier Suy biểu thức f(x) ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý 1) Phân kì ; 2) phân kì ; 3) phân kì ; 4) hội tụ ; 5) hội tụ ; 6) phân kì ; 7) hội tụ ; 8) hội tụ ; 9) phân kì ; 10) hội tụ a > 1, phân kì a < 1) hội tụ ; 2) hội tụ ; 3) hội tụ k < 1, phân kì k > ; 4) hội tụ chi (a < b b > 1) (a < b > 1) ; 5) phân kì ; 408 6) hội tụ ; 7) hội tụ ; 8) hội tụ ; 9) hội tụ chi a = ; 10) hội tụ k h i < a < , p h â n k ì k h i a > ; 1 ) h ộ i tụ k h i v c h i k h i a = — , ,, 3-1) » n = ị n -l 2n +1 2) u n -l— - , s = n n + 3) un = -n2 \ 1 • s4 ; ■ , s= ; ( n + 1)2 ) C h u ỗ i đ a n d ấ u , u n = — + — -— , n n +1 t, 5) _ 1 u n = a r ctg — - a r ctg — — n n + o s= (n + l r ) u n = ln ( n - i l ( n + - (n + l ) + l 1), s = 71 6) S - Ỷ - s , s =— = -ln ; 8) un = t g - - t g ^ — , s = tg l ; n n + rt „ , c o s2 a + l „ , c o s2 a + l 9) Sn = ln - a - ’ s = n - ; co s— + 2n 10) h ộ i tụ k h i v c h ỉ k h i a = - , b = 1, s = -ln 1) h ộ i tụ ; ) h ộ i tụ ; ) h ộ i tụ ; ) h ộ i tụ ; ) h ộ i tụ n ế u a < 1, p h â n k ì n ế u a > ; ) h ộ i tụ ; ) h ộ i tụ ; ) h ộ i tụ ; ) h ộ i tụ ; ) h ộ i 71 71 tu n ê u a < ■— , p h â n k ì n ế u a > — ; 1 ) h ô i tu n ế u a > 1, p h â n k ì n ế u a < ; 4 ) p h â n k ì ; ) h ộ i tụ ; ) b n h ộ i tụ ; ) b n h ộ i tụ ; ) b n h ộ i tụ ; 409 17) hội tụ tuyệt đôi ; 18) phân kì ; 19) hội tụ ; 20) phân kì ; 21) hội tụ ; 22) hội tụ chi a > Ị_ ' 3) hội tụ (0, +oo), hội tụ [a, +oo), Va > — -— (ex - l ) 10 Tổng cùa chuỗi hàm sô' liên tục khả vi vơ hạn lần vói |x| > 11 1)-1 < x < ; 2) < x < ; 3) - V2 < X< + y¡2 ; 4) R 5) -1 < X < ; 6) -00 < a > ; 8) R = 00 ; 9) - 12 < X< X< = ; +00 ; 7) -1 < X < a < 1, -1 < X < 1 ) - < x < 1, x3 - x6 ; 2) Ixl < ( - x 3)2 3) X * 0, xex 1 3' l - x l-3x - 2x + 2) - 2~| ; - xcha 4) - e -a < x < e~a, + X2 -2xcha 5) -1 < X < 1, 13 - -3 :- X2 ln(l + x) í x- ( X - Ý X4 X n3 + + ( - l ) n 2n 14 1) + — + _ + + x + 2! 4! (2n)! R = 00 n+2 9£■ -V y2 +, — x i +, — X4^ )X - ,V + X 1! 2! n! 410 + R = 00 x -3 \n + 3) I n _ x 2n 23 x4 + + ( - l ) n_1 - — " + , R = 00 (2 n )! 4! 2x2 2! Ì X2 + + r 23 J l Í, 11 il 1— V X + [ V ) 4)f + 1 x n + R = n+ J 5) ln6 - ỵ - ị — +— x", Ixl < n v n 3n ,40+1 X5 X9 ) X — — + — - + ( - 1)" + , R = 00 2!5 4!9 (2n)!(4n +1) Í , X X 7) + — + — + 00 (V2)n » Ĩ n! n=l X 2n —■— + 2n + ^ , Ixl < n7i n c o s —-X , R = 00 16 R = e 17 3) a) R = e ; b) R = ; c) R = ; d) R = 18 1) 1,6487 ; 2) 1,0192 ; 3) 0092 19 1) 0,747 ; 2) 0,3579 20 0.9519 ( sinx sin2x 21' T r + -, 22 _8_ V1 cosx ^ I2 sinnx + + — — n cos3x 32 ì _ f f ( x ) nêu x * k 7t J \o X = k7i cos(2n + l)x + + — » + = f(x), V x e R (2n + l)2 _ n2 n = (2 n + l ) ~~ 411 M Ỉ - Ễ ( - l ) " í ĩ ? i = f(x).VxeR ” I n=l n °Q 71 / 1\2 ( —1) ả í ^ " T ; „ í~ “ 26 eJ - e -1 21 sinTia Ttà _4 _ 71 ’ n ỹ =^ 24 ¿ ( - ) n+1 — -?— sinnx = < 4n2 - n+1 25 cosax = 71 2asin7ia sin— nếu X* X (2k+l)ji = (2k + l);r (- l)ncosnx ^ + — —— , — n=l a _ „ Vx G R “ n nrcx 1)1n + l(el n=l cos- / ,2,22 / + n 71 • n7ĨX -Ji(e/ - e -') ^ 27 £ ị £ = { ««> J‘ * « k + /2 + n27t2 ch/ X = (2k + 1)/ Nếu thác triển chẵn thác triển tuần hoàn, ta n7T ~ A 00 sin — 3ĩĩ t -« — — - > cosnx * ố *"2 00 28 f(x) = V* bnsinnx, bn = — - n * 3k, k e N ; n = 3k, k e N, 4n! h = _2 L b 3k - 7T 7T 77 ” TTT4.(3k)! 412 4k! MỤC LỤC Chương SỐ THỰC 1.1 Tập hợp 1.2 Tập số thực 1.3 Dãy số thực 18 Tóm tắt chương Bài tập 33 36 Chương HÀM s ố MỘT BIẾN s ố THỰC 2.1 Định nghía hàm số biến số thực 43 2.2 Đ6 thị hàm số biến số thực 2.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đơn điệu 2.4 Hàm số hợp 2.5 Hàm số ngược đổ thị hàm số ngược 2.6 Các hàm số sơ cấp 44 46 47 47 49 2.7 Các hàm số sơ cấp 58 2.8 Đa thức nội suy 60 Tóm tắt chương Bài tập 62 65 Chương GIỚI HẠN VÀ Sự LIÊN TỤC CỦA HÀM s ố MỘT BIẾN s ố 3.1 Định nghía • 3.2 Các tính chất giới hạn 3.3 Giới hạn phía 3.4 Vơ bé vơ lớn 3.5 Sự liên tục hàm số biến sò 3.6 Điểm gián đoạn hàm số 3.7 Các tính chất hàm số liên tục 71 74 85 86 89 94 96 413 Tóm tắt chương 108 Bài tập 113 Chương ĐẠO HẢMVÀ VI PHÂN CỦA HÀM s ố MỘT BIẾN s ố 4.1 Đạo hàm 119 4.2 Vi phân 4.3 Đạo hàm phía, đạo hàm vồ 124 128 4.4 129 Đạo hàm vi phâncấp cao Tóm tắt chương Bài tập 133 136 Chương CAC ĐỊNH Lí VỀ GIẢ TRỊ TRUNG BlNH 5.1 Các định lí giá trị trung bình 142 5.2 ứng dụng định lí giá trị trung bình Tóm tắt chương Bài tập 156 191 197 Chương NGUYÊN HẢM Vả tích phan bất định 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Tích phân bất định Các thí dụ đơn giản Phép đổi biến Phương pháp tính tíchphân phần Tích phân phân thức hữu tỉ Tích phân biểu thức lượng giác Tích phân biểu thức dạng 203 210 214 221 228 ị R(x,Va2 -X )dx vàI R(x,Vx2 ± a )dx 231 Tóm tắt chương Bài tập 414 234 239 Chương TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 7.1 Định nghĩa tích phân xác định 246 7.2 Điều kiện khả tích 252 7.3 258 Các tính chất tích phân xác định 7.4 Cách tính tích phân xác định 263 7.5 Phép đổi biến tích phânxác định 270 7.6 Phép lấy tích phân phần 274 7.7 Tính gần tích phân xác định 276 7.8 Một số ứng dụng hình học tích phân xác định 283 7.9 Tích phân suy rộng Tóm tắt chương 301 317 Bài tập 329 Chương CHUỖI 8.1 8.2 8.3 8.4 Đại cương chuỗi số Chuỗi số dương (hay chuỗi có số hạng dương) Chuỗi có số hạng với dấu Dãy hàm số 338 342 347 352 8.5 Chuỗi hàm số 357 8.6 Chuỗi luỹ thừa 363 8.7 Chuỗi Fourier 376 Tóm tắt chương 394 Bài tập 401 415 Chịu trách nhiệm xuất bản: Chủ tịch Hội đồng Thành viên NGUYỄN đức Tổng Giám đốc HOÀNG LÊ BÁCH thái Chịu trách nhiệm nội dung: Tổng biên tập PHAN XUÂN THÀNH T ổ chức chịu trách nhiệm thảo: Phổ tổng biên tập NGUYỄN h iề n t r a n g Giám đốc Công ty CP Dịch vụ xuất Giáo dục Hà Nội PHẠM THỊ HỒNG Biên tập lẩn đẩu: NGUYỄN t rọ ng b Biên tập tái bấn sửa bấn in: HOÀNG VIỆT Biên tập lã thuật: KIỀU NGUYỆT VIÊN C h ế : PHÒNG CHẾ BẢN (CTCP Dịch vụ xuất Giáo dục Hà Nội) Công ty C P Dịch vụ xuất Giáo dục Hà Nội - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam giữ quyền công bố tác phẩm TỐN HỌC CAO CẤP TẬP HAI PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH MỘT BIỂN SỐ Mã sớ: 7K076H8-DAI In 3.000 (QĐ in s ố : 70), khổ 14,5 X 20,5 cm Đơn vị in : In Công ty C P in Phúc Yên Đường Trần Phú, Thị xã P h úc Y ê n , Tỉnh Vĩnh Phúc S Ố Đ K X B : 2831-2018/CXBIPH/2-998/GD SỐ Q Đ X B : 5648/QĐ-GD-HN ngày 05 tháng 10 năm 2018 In xong nộp lưu chiểu tháng 10 năm 2018 Mã s ố ISBN : Tập : 978-604-0-03824-1 Tập 2:978 -6 -0 -1 0 -7 Tập : 978-604-0-03826-5