Tính chấp nhận được và ổn định hóa vững của hệ tính suy biến phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ HỒNG NGỌC TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC VÀ ỔN ĐỊNH HÓA VỮNG CỦA HỆ TUYẾN TÍNH SUY BIẾN PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2022 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ HỒNG NGỌC TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC VÀ ỔN ĐỊNH HĨA VỮNG CỦA HỆ TUYẾN TÍNH SUY BIẾN PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức tích phân đạo hàm phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Hệ tuyến tính suy biến bậc 11 1.3 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận lớp hệ tuyến tính suy biến phân thứ 16 Chương Tính chấp nhận ổn định hóa hệ tuyến tính suy biến phân thứ 19 2.1 Phát biểu toán số định nghĩa 19 2.2 Tính chấp nhận hệ tuyến tính suy biến phân thứ 22 2.3 Tính ổn định hóa hệ tuyến tính suy biến phân thứ 30 LỜI NÓI ĐẦU Hệ suy biến phân thứ hay cịn gọi hệ phương trình vi phân đại số phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác [1] Như biết tính ổn định ổn định hóa tính chất định tính quan trọng hệ động lực hệ suy biến phân thứ khơng phải ngoại lệ Bài tốn nghiên cứu tính ổn định, tính chấp nhận tính ổn định hóa hệ suy biến phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học [8, 9, 12, 13, 15, 16, 17, 18] Chẳng hạn, X.F Zhang Y.Q Chen [16] trình bày số điều kiện đủ cho toán nghiên cứu tính chấp nhận ổn định hóa vững hệ tuyến tính suy biến phân thứ Một số tiêu chuẩn dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính giải tốn nghiên cứu tính chấp nhận tính ổn định hóa vững hệ phi tuyến có cấu trúc nhiễu đưa [17] Bài toán ổn định thời gian hữu hạn cho lớp hệ chuyển mạch tuyến tính phân thứ có trễ nghiên cứu [12] cách sử dụng biến đổi Laplace kỹ thuật “ inf − sup00 Luận văn tập trung trình bày số tiêu chuẩn giải tốn nghiên cứu tính chấp nhận ổn định hóa hệ tuyến tính suy biến phân thứ sở đọc hiểu trình bày lại cách chi tiết nội dung báo tài liệu [16] Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo, mối liên hệ đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville đạo hàm phân thứ Caputo Tiếp theo, chúng tơi trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân suy biến bậc Cuối cùng, chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho tính ổn định hệ tuyến tính suy biến phân thứ Nội dung chương viết dựa tài liệu [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho tính chấp nhận ổn định hóa hệ tuyến tính suy biến phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [16] Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt trình thực đề tài luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị ma trận A Im ma trận đơn vị cấp m λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ ma trận A, kAk = A>0 ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )> ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) p λmax (A> A) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α α t0 Dt , D toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe số nguyên nhỏ lớn α sym(P ) thay cho P + P T Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số kiến thức tích phân đạo hàm phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([5]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước t0 Itα := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau Định lý 1.1 ([5]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân t0 Itα x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t0 Itα x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([5]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có α t0 It x(t) =λ −α +∞ X j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([5]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho  dn  n−α dn RL α x(t) = t I t0 Dt x(t) := dtn t Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := dαe số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thông thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) t−α = Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t Z f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: n AC [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (D n−1  f )(t) ∈ AC[a, b]  d } D= dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([5]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có f (k) (t0 ) ϕ(s) = f (s), ck = (k = 0, 1, , n − 1) k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm (n) phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([5]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 Hệ 1.1 ([5]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b]   Z t f (t0 ) f (s)ds RL α + t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([4]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α toán tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z dn t = (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds Γ(n − α) dtn t0 Z Z µ λ dn t dn t n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) Định nghĩa 1.3 ([4]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It n := dαe số nguyên nhỏ lớn α Dn = dn dxn đạo hàm thông thường cấp n Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xd (t))T đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau:
T C α C α C α C α D x(t) := D x (t), D x (t), , D x (t) d t0 t t0 t t0 t t0 t 23 Từ suy ma trận A4 (aX4 − bY4 ) khơng suy biến Do ma trận A4 không suy biến Suy hệ (2.2) quy khơng xung Đặt   T T A (aX1 − bY1 ) + (aX3 − bY3 ) A2 A2 (aX4 − bY4 ) ˆ =  N A3 (aX1 − bY1 ) + A4 (aX3 − bY3 ) A4 (aX4 − bY4 ) Từ (2.10) suy  ˆ +N ˆT =  N U1 U2 U2T U3   < Áp dụng Bổ đề 2.5 sử dụng số tính tốn trực tiếp, ta suy

T T −1 A1 − A2 A−1 A (aX − bY ) + (aX − bY ) A − A A A < 1 1 4 (2.11) Từ điều kiện (2.11) Bổ đề 2.1 ta suy (E, A, α) ổn định Từ suy hệ (2.2) chấp nhận Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.2) chấp nhận Khi theo Bổ đề 2.2 Bổ đề 2.4 tồn hai ma trận không suy biến M1 N1 thỏa mãn (2.5) π | arg(spec(A1 , α))| > α Từ bất đẳng thức áp dụng Bổ đề 2.1, ta suy tồn ma trận X1 Y1 cho (2.4a) thỏa mãn T A1 (aX1 − bY1 ) + (aX1 − bY1 )T A1 < Đặt     X1 Y  M1−T , Y = N1   M1−T X = N1  0 −In−m Bằng tính tốn trực tiếp, ta kiểm tra ma trận X Y thỏa mãn điều kiện (2.8a) (2.8b) Chú ý điều kiện (2.8a) Định lý 2.1 chứa dấu nên điều kiện không thật bất đẳng thức ma trận tuyến tính Do điều kiện (2.8a) khó kiểm tra MATLAB Định lý đưa 24 điều kiện cần đủ để hệ (2.2) chấp nhận được, điều kiện Định lý bất đẳng thức ma trận tuyến tính kiểm tra hộp công cụ LMI Control Tool Box MATLAB Định lý 2.2 [16] Hệ (2.2) chấp nhận tồn ma trận X, Y ∈ Rn×n Q ∈ R(n−m)×n cho điều kiện (2.4a) điều kiện sau thỏa mãn
A aXE T − bY E T + ASQ + (aEX + bEY ) AT + QT S T AT < 0, (2.12)

aπ a = sin aπ , b = cos S ∈ Rn×(n−m) ma trận đầy 2 đủ hạng theo cột thỏa mãn ES = Chứng minh * Điều kiện đủ: Giả sử tồn ma trận X, Y Q cho điều kiện (2.4a) (2.12) thỏa mãn Đặt X = XE T + a−1 SQ, Y = Y E T Bằng số tính tốn trực tiếp, ta kiểm tra ma trận X Y thỏa mãn điều kiện (2.8a) (2.8b) Theo Định lý 2.1, hệ (2.2) chấp nhận * Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.2) chấp nhận Vì rank(E) = m nên theo Bổ đề 2.4 tồn hai ma trận không suy biến M1 N1 cho điều kiện (2.5) điều kiện thỏa mãn
π | arg spec(A1 , α) | > α (2.13) Với ma trận S ∈ Rn×(n−m) ma trận đầy đủ hạng theo cột thỏa mãn ES = 0, ta phân tích S dạng    H, S = N1  In−m H ma trận không suy biến Từ điều kiện (2.13) áp dụng Bổ đề 2.1 ta suy tồn ma trận X1 , Y1 cho điều kiện (2.4a) điều kiện thỏa mãn T A1 (aX1 − bY1 ) + (aX1 − bY1 )T A1 < 25 Đặt     i h X1 Y1 −T T T −1     X = N1 N1 , Y = N1 N1 , Q = H −In−m M1 In−m 0 Ta kiểm tra ma trận X, Y Q thỏa mãn điều kiện (2.4a) (2.12) Tiêu chuẩn Định lý 2.2 đòi hỏi tồn ma trận đầy đủ hạng theo cột S ∈ Rn×(n−m) thỏa mãn ES = Ngồi ra, tiêu chuẩn định lý có nhiều ẩn tiêu chuẩn Định lý 2.1 Định lý sau đưa tiêu chuẩn đơn giản cho tính chấp nhận hệ (2.2) Định lý 2.3 [16] Hệ (2.2) chấp nhận tồn ma trận X1 , X2 ∈ Rm×m , X3 ∈ R(n−m)×m X4 ∈ R(n−m)×(n−m) cho   X X2  > 0,  (2.14a) −X2 X1 aM AN X − bM AN Y + aX T N T AT M T − bY T N T AT M T < 0, (2.14b)     X X1 , Y =  , (2.15) X= X3 X4 0

m = rank(E), a = sin α π2 , b = cos α π2 , M, N ∈ Rn×n hai ma trận khơng suy biến thỏa mãn điều kiện (2.7) Chứng minh * Điều kiện đủ Xét hệ (2.2), ta tìm hai ma trận khơng suy biến M N thỏa mãn (2.7) Giả sử tồn ma trận X1 , X2 ∈ Rm×m , X3 ∈ R(n−m)×m X4 ∈ R(n−m)×(n−m) cho điều kiện (2.14a), (2.14b), (2.15) thỏa mãn Từ điều kiện (2.14b) (2.15), ta thu   U1 U2 U2T U3   < 0, (2.16) 26 U1 = A1 (aX1 − bX2 ) + (aX1 − bX2 )T AT1 + aA2 X3 + aX3T AT2 , U2 = aA2 X4 + (aX1 + bX2 ) AT3 + aX3T AT4 , U3 = aA4 X4 + aX4T AT4
Vì < α ≤ nên a = sin α π2 > Từ (2.16) suy A4 X4 + X4T AT4 < Từ suy ma trận X4 A4 khơng suy biến ma trận A4 khơng suy biến Theo Bổ đề 2.4, (E, A, α) quy không xung Đặt  ˆ :=  N A1 (aX1 − bX2 ) + aX3T AT2 aA2 X4 A3 (aX1 + bX2 ) + aA4 X3 aA4 X4   Quan sát thấy   U U2 ˆ +N ˆT =   < N T U2 U3 Áp dụng Bổ đề 2.5, ta suy

T T −1 A1 − A2 A−1 A (aX − bX ) + (aX − bX ) A − A A A < 2 4 (2.17) Từ (2.17) Bổ đề 2.1 suy (E, A, α) ổn định Điều kết hợp với việc bên ta tính quy khơng xung (E, A, α), ta có hệ (2.2) chấp nhận * Điều kiện cần Giả sử hệ (2.2) chấp nhận Vì rank(E) = m nên theo Bổ đề 2.4 tồn hai ma trận không suy biến M N thỏa mãn (2.7), ma trận A4 khơng suy biến,
π | arg spec(A1 − A2 A−1 A3 , α) | > α Từ bất đẳng thức bên áp dụng Bổ đề 2.1 ta suy tồn ma trận X1 , X2 cho điều kiện (2.14a) (2.17) thỏa mãn Đặt       −1 Im −A2 A4 Im aX − bX2  , N1 =  ,X =   M1 =  −1 −1 A4 −A4 A3 In−m −In−m 27 Khi M1 N1 ma trận khơng suy biến ta có     Im I  N1 =  m  , M1 M EN N1 = M1  0 0     −1 A1 A2 A − A2 A4 A3  N1 =   M1 M AN N1 = M1  A3 A4 In−m Từ suy T M1 M AN N1 X + X N1T N T AT M T M1T < (2.18) Lần lượt nhân bên trái bên phải (2.18) với ma trận M1−1 ma trận chuyển vị M1−T , ta T M AN N1 XM1−T + M1−1 X N1T N T AT M T < (2.19) Ta lại có  N1 XM1−T    Im aX − bX2 I   m  = −1 −T T −A4 A3 In−m −In−m A4 A2 In−m   aX1 − bX2  = −1 −T T −A4 A3 (aX1 − bX2 ) − A4 A2 −In−m     aX1 −bX2  + = −1 −T T −A4 A3 (aX1 − bX2 ) − A4 A2 −In−m 0 Đặt  X1 X= −1 −T T −a−1 A−1 A3 (aX1 − bX2 ) − a A4 A2    X ,Y =   −a−1 In−m 0 Khi ma trận X1 , X2 , X Y thỏa mãn điều kiện (2.14a) (2.14b) Định lý chứng minh hoàn tồn Nhận xét 2.1 Bằng cách phân tích giá trị kỳ dị ma trận E, ta tìm ma trận M N Định lý 2.3 Các hàm reff SVD MATLAB dùng để tìm ma trận 28 Nhận xét 2.2 Trong trường hợp α = 1, hệ tuyến tính suy biến phân thứ (2.2) trở thành hệ tuyến tính suy biến bậc nguyên Lớp hệ nghiên cứu [3] Trong trường hợp E = I, hệ (2.2) trở thành hệ tuyến tính phân thứ Khi Định lý 2.1, 2.2 2.3 trường hợp Nhận xét 2.3 Các điều kiện (2.14a) (2.14b) Định lý 2.3 bất đẳng thức ma trận tuyến tính Vì giải thời gian đa thức hộp công cụ LMI Control Toolbox MATLAB Chúng tơi trình bày ví dụ sau minh họa cho Định lý 2.2 Định lý 2.3 Ví dụ 2.1 Xét hệ (2.2) với tham số α = 13     −1 −1 −1 −1     1 1 0      E= , A =   −2 −2 −2 2 −5 −1 −5     −1 −1 0 −2 −1 −1     E−A 3 = −2 s − s + s + 6= Do hệ cho Ta có det s quy Ta lại có deg (det(sE − A)) = rank(E) = Suy hệ cho khơng   xung Ta tính nghiệm đa thức đặc trưng det s E − A = + i, − i −1 Ta thấy nghiệm đa thức đặc trưng thỏa mãn | arg(spec(E, A, 13 ))| > π6 Suy hệ ổn định Theo Định nghĩa 2.1 hệ cho chấp nhận Bây giờ, ta kiểm tra tính chấp nhận hệ Định lý 2.2 Định lý 2.3 Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.4a) (2.12) Định lý 2.2 ta tìm nghiệm  0.7589  0.1248  X= 0.0045  0.0773 0.1248 0.0045 0.7936  0.0196 −0.0909  , 0.6474 0.1614   0.0196 −0.0909 0.1614 0.0773  0.2295 29    0.1940  Y =  0.1326  −0.0712 h Q = −0.1105  −0.1940 −0.1326 0.0712  −0.1934 0.1929  , 0.1934 0.0609  −0.1929 −0.0609 i 2.5768 −2.4126 −1.4127 Theo Định lý 2.2, hệ cho chấp nhận Bây giờ, ta sử dụng Định lý 2.3 để xét tính chấp nhận hệ Dùng hàm reff MATLAB, ta tìm hai ma trận     −1 −2 0     0 1   1 −1     M = ,N =   0 −2 −2      1 −1 0 Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.14) (2.15) Định lý 2.3 ta tìm nghiệm  1.5087 0.0192 0.0230   0.0192 0.9356 0.0270  X= −0.0230 −0.0270 0.9046  −0.2778 −0.1101 0.1054  −0.0464 −0.2313  0.0464 −0.7590  Y = 0.2313 0.7590  0 Theo Định lý 2.3, hệ cho chấp nhận        −0.6081   0   0  30 2.3 Tính ổn định hóa hệ tuyến tính suy biến phân thứ Xét hệ điều khiển tuyến tính suy biến phân thứ (2.1) Trong mục ta thiết kế điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái u(t) = Kx(t), (2.20) K ∈ Rl×n ma trận xác định để hệ đóng sau EDα x(t) = (A + BK)x(t) (2.21) chấp nhận Định lý đưa tiêu chuẩn cho tính chấp nhận hệ đóng (2.21) Định lý 2.4 Xét hệ điều khiển tuyến tính suy biến phân thứ (2.1) Khi tồn điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái có dạng (2.20) cho hệ đóng (2.21) chấp nhận tồn ma trận X, Y ∈ Rn×n , Q ∈ R(n−m)×n ma trận Z ∈ Rl×n cho điều kiện (2.4a) điều kiện sau thỏa mãn

T A aXE T − bY E T + SQ +BZ+ aXE T − bY E T + SQ AT +Z T B T < 0, (2.22) a = sin
aπ , b = cos
aπ S ∈ Rn×(n−m) ma trận đầy đủ hạng theo cột thỏa mãn ES = Ngoài ra, ma trận điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.1) cho K = Z aXE T − bY E T + SQ
−1 (2.23) Chứng minh Theo Định lý 2.2, hệ đóng (2.21) chấp nhận tồn ma trận X, Y ∈ Rn×n , Q ∈ R(n−m)×n cho điều kiện (2.4a) điều kiện sau thỏa mãn
T
(A+BK) aXE T − bY E T + SQ + aXE T − bY E T + SQ (A+BK)T < 0, 31
aπ
aπ S ∈ Rn×(n−m) ma trận đầy
đủ hạng theo cột thỏa mãn ES = Đặt Z = K aXE T − bY E T + SQ a = sin , b = cos ta suy điều phải chứng minh Định lý 2.4 đưa điều kiện cần đủ cho tính ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính suy biến (2.1) Tuy nhiên, điều kiện định lý chặt xuất ma trận đầy đủ hạng theo cột S ∈ Rn×(n−m) thỏa mãn ES = Trong [16], tác giả đưa ví dụ thực tế tiêu chuẩn Định lý 2.4 không hiệu Bằng cách áp dụng Định lý 2.3, định lý cho ta tiêu chuẩn hiệu để ổn định hóa hệ (2.1) Định lý 2.5 Xét hệ điều khiển tuyến tính suy biến phân thứ (2.1) Khi tồn điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái có dạng (2.20) cho hệ đóng (2.21) chấp nhận tồn ma trận với số chiều thích hợp X1 , X2 , X3 , X4 and Z cho điều kiện (2.14a) điều kiện thỏa mãn M AN (aX − bY ) + M BZ + (aX − bY )T N T AT M T + Z T B T M T < 0, (2.24)  X= X1   , Y =  X2  , X3 X

m = rank(E), a = sin α π2 , b = cos α π2 , M, N ∈ Rn×n hai ma trận khơng suy biến thỏa mãn điều kiện (2.7) Ngoài ra, ma trận điều khiển ngược ổn định hóa hệ cho K = Z (aX − bY )−1 N −1 Chứng minh Theo Định lý 2.3, hệ đóng (2.21) chấp nhận tồn ma trận X1 , X2 , X3 , X4 cho điều kiện (2.14a) điều kiện thỏa mãn aM AN X − bM AN Y + M BKN (aX − bY ) + aX T N T AT M T 32 − bY T N T AT M T + (aX − bY )T N T K T B T M T < Đặt Z = KN (aX − bY ) ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 2.2 Xét hệ điều khiển tuyến tính suy biến ED0.5 x(t) = Ax(t) + Bu(t), (2.25)       0 1 0            E= 0 0 , A = 0  , B = 1 0 1 −1 Ta kiểm tra hệ (2.25) quy khơng xung khơng ổn định Do hệ (2.25) khơng chấp nhận Ta thiết kế điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.25) Định lý 2.4 Định lý 2.5 Trước hết, ta áp dụng Định lý 2.4 để ổn định hóa hệ (2.25) Sử dụng hộp cơng cụ LMI Control Toolbox MATLAB, ta tìm nghiệm bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.4a) (2.22) Định lý 2.4  13.3730 −8.8287   −8.8287       , Y = 8.8287 , X= −8.8287 31.0305 0     0 31.0305 0 h i h i Z = −9.4562 −37.4571 85.5465 , Q = −3.0295 107.4884 15.5152 Theo Định lý 2.4, hệ (2.25) ổn định hóa điều khiển ngược có dạng h i (2.20) K = −17.2948 −12.8952 2.2839 Tiếp theo, ta áp dụng Định lý 2.5 để ổn định hóa hệ (2.25) Sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox MATLAB, ta tìm nghiệm bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.14a) (2.24) Định lý 2.5 33  13.3730 −8.8287       , Y = 8.8287 X= −8.8287 31.0305    −4.2844 −37.1767 21.9419 h i Z = −9.4562 −37.4571 −48.2298 −8.8287 0   0 , Theo Định lý 2.5, hệ (2.25) ổn định hóa điều khiển ngược có dạng h i (2.20) K = −9.1674 −5.4314 −3.1085 34 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày số kiến thức hệ tuyến tính suy biến bậc bao gồm khái niệm hệ quy, hệ khơng xung, cơng thức biểu diễn nghiệm; • Trình bày điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận lớp hệ tuyến tính suy biến phân thứ; • Trình bày số điều kiện cần đủ cho tính chấp nhận hệ tuyến tính suy biến phân thứ; • Thiết kế điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính phân thứ; • Trình bày số ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết Hướng phát triển đề tài luận văn thiết kế điều khiển phụ thuộc véc tơ quan sát quan sát điều khiển giải tốn ổn định hóa hệ điều khiển phân thứ suy biến có nhiễu Theo hiểu biết chúng tơi, tốn chưa nghiên cứu cách đầy đủ 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Sáu, Tính ổn định hệ động lực tuyến tính suy biến có trễ, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, 2017 Tiếng Anh [2] S.L Campbell (1980), Singular Systems of Differential Equations, Pitman, London [3] L Dai (1989), Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences, Springer-Verlag, Berlin [4] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [5] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [6] J Lam and S Xu (2006), Robust Control and Filtering of Singular Systems, Springer, Berlin [7] D.G Luenberger and A Arbel (1977), “Singular dynamic leontief systems”, Econometrica, 45, pp 991–995 [8] Y Ji and J Qiu (2015), “Stabilization of fractional-order singular uncertain systems”, ISA Transactions, 56, pp 53–64 36 [9] S Marir, M Chadli and D Bouagada (2017), “New admissibility conditions for singular linear continuous-time fractional-order systems”, Journal of the Franklin Institute, 354(2), pp 752–766 [10] D Matignon (1996), "Stability results for fractional differential equations with applications to control processing." In Computational engineering in systems applications, 2(1), pp 963–968 [11] I N’Doye, M Zasadzinski, M Darouach and N.E Radhy (2010), “Stabilization of singular fractional-order systems: An LMI approach”, 18th Mediterranean Conference on Control & Automation, Morocco, June 23–25 [12] N.T Thanh and V.N Phat (2019), “Switching law design for finitetime stability of singular fractional-order systems with delay”, IET Control Theory & Applications, 13(9), pp 1367–1373 [13] Y Wei, P.W Tse, Z Yao and Y Wang (2017), “The output feedback control synthesis for a class of singular fractional order systems”, ISA Transactions, 69, pp 1–9 [14] Y.U Yao, J.I.A.O Zhuang and C.Y Sun (2013), “Sufficient and necessary condition of admissibility for fractional-order singular system”, Acta automatica sinica, 39(12), pp 2160–2164 [15] Q.H Zhang and J.G Lu (2020), “Positive real lemmas for singular fractionalorder systems: the < α < case”, IET Control Theory & Applications, 14(18), pp 2805–2813 [16] X.F Zhang and Y.Q Chen (2018), “Admissibility and robust stabilization of continuous linear singular fractional order systems with the fractional order α: The < α < case”, ISA Transactions, 82, pp 42–50 37 [17] X.F Zhang and J Dong (2020), “LMI criteria for admissibility and robust stabilization of singular fractional-order systems possessing poly-topic uncertainties”, Fractal and Fractional 4(4), p 58 [18] X.F Zhang and Z Zhao (2020), “Robust stabilization for rectangular descriptor fractional order interval systems with order < α < 1”, Applied Mathematics and Computation, 366, pp 124766