MỞ ĐẦU 1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từ rất sớm Đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tích t[.]
MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Lý thuyết phép biến đổi tích phân đề cập nghiên cứu từ sớm Đến nay, trở thành phận quan trọng Giải tích tốn học Một nội dung quan tâm phép biến đổi tích phân nghiên cứu tích chập Đó phép nhân đặc biệt định nghĩa qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường đưa vào nghiên cứu không gian hàm mà phép nhân thơng thường khơng tồn Các tích chập nghiên cứu tích chập Laplace, tích chập Fourier Năm 1951, tích chập suy rộng Sneddon I.N đề cập nghiên tích chập suy rộng Fourier sine Fourier cosine Cho đến năm 90 kỷ trước, vài tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân khác tiếp tục nghiên cứu Yakubovich S.B Đó tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G phép biến đổi H theo số Đến năm 1998, Kakichev V.A N.X Thảo đưa định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng γ hai hàm f k ba phép biến đổi tích phân T1 , T2 T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử γ hóa T1 f ∗ k (y) = γ(y) T2 f (y) T3 k (y) cho điều kiện cần để xác định tích chập biết số ràng buộc cụ thể nhân phép biến đổi tích phân tương ứng Nhờ kỹ thuật mà năm sau có số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân khác xây dựng Tuy nhiên, đến chưa có kết nghiên cứu thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace công bố Như quy luật tự nhiên, xây dựng tích chập f ∗ k (x), cách cho hai hàm cố định nhân biểu thức tích chập, chẳng hạn cố định hàm k, hàm f cho biến thiên khơng gian hàm xác định ta nhận phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng, gọi phép biến đổi tích phân kiểu Tai Lieu Chat Luong tích chập f 7→ g = f ∗ k Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Watson xây dựng nghiên cứu phép biến đổi liên quan đến tích chập Mellin Tổng quát hơn, người ta nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng f 7→ g = D f ∗ k mà D tốn tử Trong trường hợp D = (1 − d2 dx2 ) toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosine V.K Tuấn Musallam thiết lập nghiên cứu Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Fourier sine, Mellin, biến đổi Kontorovich-Lebedev sau nghiên cứu Cho đến phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng khơng có hàm trọng chưa nghiên cứu Khi giải toán toán-lý, nghiệm toán biểu diễn qua tích chập tương ứng Để đánh giá nghiệm ta dùng đến bất đẳng thức tích chập Đầu tiên phải kể đến bất đẳng thức Young bất đẳng thức Saitoh tích chập Fourier Các bất đẳng thức dạng tích chập Mellin, tích chập Fourier cosine sau thiết lập nghiên cứu cho nhiều ứng dụng thú vị Tuy nhiên, bất đẳng thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đến chưa đề cập nghiên cứu Từ lý trên, lựa chọn đề tài để nghiên cứu "Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier ứng dụng" Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích luận án xây dựng nghiên cứu số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Nghiên cứu tính chất tốn tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức tích chập suy rộng số không gian hàm cụ thể Xây dựng nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng Nghiên cứu tính chất tốn tử phép biến đổi tính unita, tồn tốn tử ngược khơng gian L2 (R+ ) Từ đó, ứng dụng vào việc giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân phương trình vi-tích phân Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, chúng tơi sử dụng phương pháp giải tích hàm, lý thuyết tốn tử, phép biến đổi tích phân lý thuyết tích chập Chúng tơi ứng dụng bất đẳng thc Hăolder ỏnh giỏ chun ca cỏc toỏn t tích chập khơng gian hàm cụ thể Đặc biệt Định lý Wiener-Levy sử dụng nhiều việc xây dựng cơng thức nghiệm đóng cho lớp phương trình, hệ phương trình tích phân phương trình vi-tích phân Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận án chia làm ba chương: Chương 1, xây xựng nghiên cứu tích chập suy rộng FourierLaplace Nhận đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch số đánh giá chuẩn không gian hàm Lp (R+ ) Lα,β p (R+ ) Tìm mối liên hệ tích chập suy rộng với số tích chập quan trọng biết Hơn nữa, không gian Lp (R+ ) Lp (R+ , ρ), bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh tích chập suy rộng Fourier-Laplace thiết lập chứng minh Chương 2, thiết lập nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace Nghiên cứu tính chất tốn tử phép biến biến đổi này, ta nhận Định lý kiểu Watson cho điều kiện cần đủ để phép biến đổi tương ứng unita không gian L2 (R+ ), ta xác định điều kiện đủ cho tồn phép biến đổi ngược Ngoài Định lý kiểu Plancherel phép biến đổi tích phân tương ứng chứng minh Chương 3, số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân phương trình vi-tích phân giải nhờ vào tích chập suy rộng Fourier-Laplace phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng FourierLaplace Hơn nữa, phương pháp giải nghiệm nhận từ các phương trình cho dạng dóng Ý nghĩa kết luận án Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, số bất đẳng thức tích chập suy rộng tương ứng lần đề cập nghiên cứu luận án Các kết có ý nghĩa khoa học góp phần làm phong phú lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập bất đẳng thức tích chập Từ đó, đưa cách tiếp cận phương pháp giải phương trình tích phân phương trình vi-tích phân Một số ý tưởng phương pháp sử dụng luận án dùng nghiên cứu tích chập suy rộng khác Nội dung luận án dựa vào bốn cơng trình cơng bố, liệt kê "Danh mục cơng trình cơng bố luận án", gồm ba cơng trình tạp chí tốn học Quốc tế (trong [4] thuộc tạp chí danh mục ISI) cơng trình tạp chí tốn học Quốc gia Các kết báo cáo phần tồn tại: + Hội nghị Tốn học Việt-Pháp, tháng năm 2012, Huế + Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng năm 2013, Nha Trang + Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn vô hạn chiều ứng dụng (ICFIDCAA), tháng năm 2011 Hà Nội + Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Trường Đại học Heidelberg Đức, tháng năm 2015 + Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội + Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE Mục đích Chương nghiên cứu số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace Nghiên cứu tính chất tốn tử tích chập suy rộng số không gian hàm khác Thiết lập bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh tích chập tương ứng 1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Định nghĩa 1.1.1 Tích chập suy rộng hai hàm f k hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine Laplace định nghĩa sau Z Z ∞ ∞ θ1 (x, u, v)f (u)k(v)dudv, (1.1) f ∗ k (x) = π 0 θ1 (x, u, v) = v v + , x > v + (x − u)2 v + (x + u)2 (1.2) Ta gọi Ac không gian ảnh L1 (R+ ) thông qua phép biến đổi Fourier cosine Fc Với chuẩn kf kAc := kFc f kL1 (R+ ) Ac đại số Banach, nghĩa f (x), k(x) ∈ Ac , f (x)k(x) ∈ Ac thỏa mãn kf kkAc ≤ kf kAc kkkAc Định lý 1.1.1 Giả sử hàm f (x) k(x) thuộc khơng gian L2 (R+ ) Khi ta có f ∗ k (x) ∈ Ac , thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval f ∗ k (x) = Fc Fc f (y) Lk (y) (x), ∀x > (1.3) Hơn nữa, ta nhận đẳng thức nhân tử hóa sau Fc f ∗ k (y) = Fc f (y) Lk (y), ∀y > Bổ đề 1.1.1 Nếu k(x) ∈ L1 (R+ ), Lk (y) ∈ Ac (1.4) Định lý 1.1.2 Giả sử f (x), k(x) ∈ L1 (R+ ) Khi tích chập f ∗ k (x), đẳng thức kiểu Parseval (1.3) đẳng thức nhân tử hóa (1.4) cịn đúng, f ∗ k (x) ∈ L1 (R+ ) Nhận xét 1.1.1 Trong biểu thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace ∗ , thay nhân θ1 (x, u, v) nhân θ2 (x, u, v) = v v − , x > 0, v + (x − u)2 v + (x + u)2 (1.5) ta nhận tích chập suy rộng Đó tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace định nghĩa Z Z ∞ ∞ f ∗ k (x) = θ2 (x, u, v)f (u)k(v)dudv, π 0 (1.6) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs f ∗ k (y) = Fs f (y) Lk (y), ∀y > 0, f, k ∈ L2 (R+ ) (1.7) Định lý 1.1.3 Giả sử f (x), f (x) ∈ L2 (R+ ) k(x) ∈ L2 (R+ ) Khi đó, ta có đẳng thức sau d f ∗ k (x) = f ∗ k (x), dx r Z ∞ d yk(y) f ∗ k (x) = f ∗ k (x) + dy f (0) dx π x2 + y (1.8) (1.9) Định nghĩa 1.1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) hai hàm f k hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine Laplace định nghĩa sau Z Z γ ∞ ∞ f ∗ k (x) = θ1 (x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, π 0 θ1 (x, u, v) xác định (1.2) (1.10) Định lý 1.1.4 Giả sử f (x), k(x) ∈ L1 (R+ ) Khi đó, tích chập suy rộng γ f ∗ k (x) thuộc L1 (R+ ), thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn γ k f ∗k k L1 (R+ ) ≤ kf kL1 (R+ ) kkkL1 (R+ ) , (1.11) có đẳng thức nhân tử hóa γ Fc f ∗ k (y) = e−µy Fc f (y) Lk (y), ∀y > (1.12) γ Ngồi ra, tích chập suy rộng f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ) Định lý 1.1.5 (Định lý kiểu Titchmarch) Cho hai hàm số liên tục γ k(x) ∈ L1 (R+ ) f (x) ∈ L1 (R+ , eαx ) (α > 0) Nếu f ∗ k (x) = 0, ∀x > f (x) = 0, ∀x > k(x) = 0, ∀x > Định lý 1.1.6 Giả sử p > 1, r ≥ 1, < β ≤ 1, hàm f (x) ∈ Lp (R+ ) γ k(x) ∈ L1 (R+ ) Khi tích chập suy rộng f ∗ k (x) tồn tại, liên tục thuộc Lα,β r (R+ ) Hơn nữa, ta có đánh giá sau γ k f ∗k k Lα,β r (R+ ) 1/p − C = ( πµ ) β ≤ Ckf kLp (R+ ) kkkL1 (R+ ) , (1.13) α+1 r Γ1/r (α + 1) với Γ hàm Gamma Ngoài ra, γ f (x) ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ) tích chập suy rộng f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ), thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.12) Định lý 1.1.7 Giả sử α > −1, < β ≤ 1, p > 1, q > 1, r ≥ thỏa mãn p q = Khi đó, f (x) ∈ Lp (R+ ) k(x) ∈ Lq (R+ , (1 + x2 )q−1 ), γ tích chập f ∗ k (x) tồn tại, liên tục, bị chặn Lα,β r (R+ ) có + γ k f ∗k k 1 Lα,β r (R+ ) C = µ− p π − q β − α+1 r ≤ Ckf kLp (R+ ) kkkLq (R+ ,(1+x2 )q−1 ) , (1.14) Γ1/r (α + 1) Hơn nữa, giả thiết thêm f (x) ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ) k(x) ∈ L1 (R+ ) ∩ Lq (R+ , (1 + x2 )q−1 ) tích chập γ f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.12) γ Nhận xét 1.1.2 Trong tích chập suy rộng ∗ , thay nhân θ1 (x, u, v + µ) θ2 (x, u, v + µ) xác định (1.5), ta nhận γ tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace ∗ với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) định nghĩa Z Z γ ∞ ∞ f ∗ k (x) = θ2 (x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, π 0 (1.15) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ Fs f ∗ k (y) = e−µy Fs f (y) Lk (y), ∀y > 0, f, k ∈ L1 (R+ ) 1.2 (1.16) Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng Định nghĩa 1.2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = − sin y hai hàm f (x) k(x) ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine Laplace định nghĩa sau Z ∞Z ∞ γ f ∗ k (x) = θ2 (x − 1, u, v) − θ2 (x + 1, u, v) f (u)k(v)dudv, 2π 0 (1.17) với θ2 (x, u, v) xác định (1.5) n o Ta đặt H(R+ ) = f (x) : Lf (y) ∈ L2 (R+ ) Định lý 1.2.1 Giả sử f (x) ∈ L2 (R+ ) k(x) ∈ H(R+ ) Khi đó, tích chập γ suy rộng f ∗ k (x) thuộc L2 (R+ ) thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval γ f ∗ k (x) = Fc − sin y Fs f Lk (x), ∀x > 0, (1.18) đẳng thức nhân tử hóa sau γ Fc f ∗ k (y) = − sin y Fs f (y) Lk (y), ∀y > (1.19) Định nghĩa 1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0) hai hàm f k ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine Laplace định nghĩa sau Z ∞Z ∞ γ f ∗ k (x) = θ2 (x − 1, u, v + µ) 2π 0 − θ2 (x + 1, u, v + µ) f (u)k(v)dudv, (1.20) với θ2 (x, u, v) xác định (1.5) Định lý 1.2.2 Giả sử f (x) k(x) hai hàm thuộc không gian L1 (R+ ) γ Khi đó, tích chập suy rộng f ∗ k (x) thuộc không gian L1 (R+ ), ta có bất đẳng thức chuẩn γ k f ∗k k L1 (R+ ) ≤ kf kL1 (R+ ) kkkL1 (R+ ) γ Hơn nữa, tích chập suy rộng f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ), thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ Fc f ∗ k (y) = −e−µy sin y Fs f (y) Lk (y), ∀y > 0, , (1.21) đẳng thức kiểu Parseval γ f ∗ k (x) = Fc − e−µy sin y Fs f (y) Lk (y) (x), ∀x > (1.22) 5 Định lý 1.2.3 Giả sử p > 1, r ≥ 1, < β ≤ 1, hàm f (x) ∈ γ Lp (R+ ) k(x) ∈ L1 (R+ ) Khi tích chập suy rộng f ∗ k (x) tồn tại, liên tục bị chặn Lα,β r (R+ ) Hơn nữa, tích chập thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn sau γ k f ∗k k 1/p − C = ( πµ ) β α+1 r Lα,β r (R+ ) ≤ Ckf kLp (R+ ) kkkL1 (R+ ) , (1.23) Γ1/r (α + 1) với Γ hàm Gamma Euler γ Ngoài ra, f (x) ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ) tích chập suy rộng f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ), thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.21) đẳng thức kiểu Parseval (1.22) Định lý 1.2.4 Cho α > −1, < β ≤ 1, p > 1, q > 1, r ≥ thỏa mãn p q = Khi đó, hàm f (x) ∈ Lp (R+ ) k(x) ∈ Lq (R+ , e(q−1)x ) γ tích chập f ∗ k (x) tồn tại, liên tục bị chặn Lα,β r (R+ ) Hơn + nữa, ta có bất đẳng thức chuẩn γ k f ∗k k Lα,β r (R+ ) 1/q − C = ( πµ ) β α+1 r ≤ Ckf kLp (R+ ) kkkLq (R+ ,e(q−1)x ) , (1.24) Γ6 1/r (α + 1) Ngoài ra, f (x) ∈ L1 (R+ )∩Lp (R+ ) k(x) ∈ L1 (R+ )∩Lq (R+ , e(q−1)x ) γ tích chập f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.21) đẳng thức kiểu Parseval (1.22) 1.3 Mối liên hệ tích chập suy rộng FourierLaplace tích chập khác Mệnh đề 1.3.1 Cho f (x), k(x) h(x) hàm L1 (R+ ) Khi đó, ta có đẳng thức sau γ γ γ γ γ γ a) f ∗ k ∗ h = f ∗ k ∗ h b) f ∗ k ∗ h = f ∗ k ∗ h 2 1 Fs Fs Fc Fc γ γ γ γ c) f ∗ k ∗ h = f ∗ k ∗ h d) f ∗ k ∗ h = f ∗ k ∗ h Fs Fc Fs Fc Fc Fs Fc Fs Mệnh đề 1.3.2 Cho f (x) k(x) hai hàm không gian L1 (R+ ) Khi đó, ta có đẳng thức sau r Z ∞ γ v+µ (x)dv k(v) f (u) ∗ a) f ∗ k (x) = Fc (v + µ)2 + u2 π r Z ∞ γ v+µ b) f ∗ k (x) = k(v) f (u) ∗ (x)dv Fs Fc (v + µ)2 + u2 π 10 1.4 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng 1.4.1 Định lý kiểu Young Định lý 1.4.1 (Định lý kiểu Young) Cho p, q, r > 1, p1 + 1q + 1r = f (x) ∈ Lp (R+ ), k(x) ∈ Lq (R+ , (x + µ)q−1 ) (µ > 0), h(x) ∈ Lr (R+ ) Khi đó: Z ∞ 1−q γ f ∗ k (x).h(x)dx ≤ µ q kf kLp (R+ ) kkkLq (R+ ,(x+µ)q−1 ) khkLr (R+ ) 1.4.2 Định lý kiểu Saitoh Định lý 1.4.2 (Định lý kiểu Saitoh) Giả sử ρj ∈ L1 (R+ ) (j = 1, 2) hai hàm số dương, ta có bất đẳng thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng sau với Fj ∈ Lp (R+ , ρj ) 1/p−1 γ γ || (F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 ) ρ1 ∗ ρ2 ||Lp (R+ ) ≤ ||F1 ||Lp (R+ ,ρ1 ) ||F2 ||Lp (R+ ,ρ2 ) 1 Kết luận Chương Xây dựng nghiên cứu bốn tích chập suy rộng Fourier-Laplace: ( ∗ ), γ γ γ ( ∗ ), ( ∗ ) ( ∗ ) Nhận kết sau: • Các đánh giá chuẩn tốn tử tích chập số khơng gian hàm • Các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch • Các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh cho tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng Nội dung chương dựa vào phần báo [1], [2], [3] [4] Danh mục cơng trình cơng bố luận án 11 Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE Mục đích chương thiết lập nghiên cứu phép biến đổi tích phân dựa tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng nghiên cứu Chương 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace (1.1): d2 f (x) 7→ g(x) = Tk f (x) = − f ∗ k (x), x > 0, dx (2.1) k nhân phép biến đổi 2.1.1 Định lý kiểu Watson Định lý 2.1.1 Giả sử k(x) ∈ L2 (R+ ), k(x) ∈ H(R+ ) cho tích phân (1.1) hội tụ tích phân lặp Khi điều kiện cần đủ để phép biến đổi tích phân (2.1) unita L2 (R+ ) (1 + y ) Lk (y) = 1, y > (2.2) Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn xác định d2 f (x) = − g ∗ k (x), dx k hàm liên hợp phức k 12 (2.3) Mệnh đề 2.1.1 Giả thiết k(x) hàm thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1.1, điều kiện (2.2) thay điều kiện sau < C1 ≤ (1 + y ) Lk (y) ≤ C2 < ∞ (2.4) Khi đó, L2 (R+ ) ta có đánh giá bất đẳng thức chuẩn sau C1 kf kL2 (R+ ) ≤ kgkL2 (R+ ) ≤ C2 kf kL2 (R+ ) (2.5) Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn xác định d2 f (x) = − g ∗ k1 (x), Fc dx k1 ∈ L2 (R+ ) cho Fc k1 (y) = 2 (1+y ) 2.1.2 (2.6) Lk (y) Liên hệ phép biến đổi tích phân với đạo hàm 00 Định lý 2.1.2 Giả sử k(x) có đạo hàm đến cấp hai, k(x), k (x) ∈ 00 L2 (R+ ) k(x), k (x) ∈ H(R+ ) cho tích phân (1.1) hội tụ k 00 k , k(0) = Khi đó, ta có đánh giá sau 00 Tk f (x) = f ∗ (k + k ) (x) − k (0)f (x) 2.2 (2.7) Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy rộng (1.17): f (x) 7→ g(x) = Tk1 ,k2 f (x) o d2 n γ = 1− f ∗ k1 (x) + f ∗ k2 (x) , x > 0, (2.8) Fc Fs dx k1 , k2 nhân phép biến đổi 13 2.2.1 Định lý kiểu Watson Định lý 2.2.1 Giả sử k1 (x) ∈ H(R+ ) k2 (x) ∈ L2 (R+ ), điều kiện cần đủ để phép biến đổi tích phân (2.8) unita L2 (R+ ) − sin y Lk1 (y) + Fs k2 (y) = + y2 (2.9) Hơn nữa, phép biến đổi ngược có dạng o γ d2 n f (x) = − − g ∗ k1 (x) + k2 ∗ g (x) , Fs Fc dx (2.10) k1 k2 hàm liên hợp phức k1 k2 2.2.2 Định lý kiểu Plancherel Xét phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng o d2 n γ f (x) 7→ g(x) = − f ∗ k1 (x) + f ∗ k2 (x) , x > 0, Fs Fc dx (2.11) Định lý 2.2.2 Giả sử k1 ∈ H(R+ ), k2 ∈ L2 (R+ ) cho (2.11) unita d2 θ (x − 1, u, v) − θ (x + 1, u, v) , 2 dx2 d2 Θ2 (x, u, v) = − θ1 (x − 1, u, v) − θ1 (x + 1, u, v) , dx d2 K(x) = − k2 (x) dx Θ1 (x, u, v) = − hàm bị chặn Cho f ∈ L2 (R+ ) với số tự nhiên N, đặt gN (x) = 2π Z∞ ZN Θ2 (x, u, v)f (u)k1 (v)dudv 0 +√ 2π ZN f (u) K(|x − u|) − K(x + u) du 14 Khi đó: 1) Ta có gN ∈ L2 (R+ ), N → ∞ gN hội tụ theo chuẩn L2 (R+ ) đến hàm g ∈ L2 (R+ ) với kgkL2 (R+ ) = kf kL2 (R+ ) 2) Đặt g N = g.χ(0, N ), fN (x) = − 2π Z∞ Z∞ +√ 2π ∞ Z Θ1 (x, u, v)g N (u)k1 (v)dudv g N (u) K(x + u) + sign(u − x)K(|x − u|) du, thuộc L2 (R+ ), N → ∞ fN hội tụ theo chuẩn đến f Kết luận Chương Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk Fourier cosine-Fourier sine-Laplace Tk1 ,k2 với hàm trọng Nhận kết chính: • Định lý kiểu Watson điều kiện cần đủ để phép biến đổi Tk Tk1 ,k2 unita L2 (R+ ) • Xác định điều kiện đủ để toán tử Tk bị chặn có biến đổi ngược • Định lý kiểu Plancherel tồn dãy toán tử hội tụ theo chuẩn tốn tử tích phân Tk1 ,k2 tốn tử ngược Nội dung chương dựa vào phần báo [3] [4], Danh mục cơng trình cơng bố luận án 15 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trong chương này, sử dụng kết nghiên cứu Chương Chương để giải số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân cho cơng thức nghiệm dạng đóng 3.1 Giải phương trình hệ phương trình tích phân Định lý 3.1.1 (Định lý Wiener-Levy) Giả sử f biến đổi Fourier hàm thuộc L1 (R), ϕ hàm giải tích lân cận gốc, chứa miền {f (y), ∀y ∈ R} thỏa mãn ϕ(0) = 0, ϕ(f ) ảnh qua phép biến đổi Fourier hàm thuộc L1 (R) Nhận xét 3.1.1 Định lý Wiener-Levy cho phép biến đổi Fourier cosine 3.1.1 Giải phương trình tích phân a) Xét phương trình tích phân loại có dạng Z ∞ K1 (x, u)f (u)du = g(x), x > 0, (3.1) K1 (x, u) = π Z ∞ θ1 (x, u, v)k(v)dv, (3.2) với θ1 (x, u, v) xác định (1.2) Định lý 3.1.2 Cho g(x), k(x) ∈ L1 (R+ ) Khi đó, điều kiện cần đủ để Fc g (y) phương trình (3.1) có nghiệm L1 (R+ ) ∈ Ac Hơn nữa, Lk (y) 16 nghiệm cho dạng Z ∞ f (x) = Fc g (y) cos xydy Lk (y) b) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng Z ∞ f (x) + K1 (x, u)f (u)du = g(x), x > 0, (3.3) (3.4) nhân K1 (x, u) cho (3.2) k(x), g(x) hàm cho trước L1 (R+ ), f (x) hàm cần tìm Định lý 3.1.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn + Lk (y) 6= 0, ∀y > (3.5) Khi phương trình (3.4)có nghiệm L1 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − q ∗ g (x), Fc (3.6) q(x) ∈ L1 (R+ ) xác định Lk (y) + Lk (y) q(x) = Fc ! (x) c) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng Z ∞ f (x) + K2 (x, t)f (t)dt = g(x), x > 0, (3.7) (3.8) K2 (x, t) = √ π 2π Z R+ θ1 (x, u, v + µ) ψ(|u − t|) + ψ(u + t) ϕ(v)dudv, µ > 0, với θ1 (x, u, v) xác định (1.2) 17 Định lý 3.1.4 Giả sử ϕ(x), ψ(x) ∈ L1 (R+ ) Khi đó, điều kiện cần đủ để phương trình (3.8) có nghiệm L1 (R+ ) với hàm g(x) thuộc L1 (R+ ) + e−µy (Fc ψ)(y)(Lϕ)(y) 6= 0, ∀y > Hơn nữa, nghiệm biểu diễn dạng sau f (x) = g(x) − g ∗ q (x), (3.9) Fc đó, hàm q ∈ L1 (R+ ) xác định e−µy (Fc ψ)(y)(Lϕ)(y) Fc q (y) = + e−µy (Fc ψ)(y)(Lϕ)(y) d) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng Z ∞ f (x) + K4 (x, t)f (t)dt = g(x), x > 0, (3.10) (3.11) K4 (x, t) = √ Z θ2 (x − 1, u, v + µ) − θ2 (x + 1, u, v + à) 2 R+2 ì ϕ(u + t) + sign(u − t)ϕ(|u − t|) ψ(v)dudv, (3.12) với θ2 (x, u, v) xác định (1.5) Định lý 3.1.5 Giả sử g(x), ϕ(x), ψ(x) ∈ L1 (R+ ) Khi điều kiện cần đủ để phương trình tích phân (3.11) có nghiệm L1 (R+ ) với hàm g(x) thuộc L1 (R+ ) + e−µy sin y(Fc ϕ)(y)(Lψ)(y) 6= 0, ∀y > Hơn nữa, nghiệm cho dạnh sau f (x) = g(x) + g ∗ q (x), Fc q hàm thuộc L1 (R+ ) cho −e−µy sin y(Fc ϕ)(y)(Lψ)(y) Fc q (y) = , + e−µy sin y(Fc ϕ)(y)(Lψ)(y) 18 Ví dụ 3.1.1 Ta chọn hàm ϕ(x), ψ(x) sau ϕ(x) = e−ax , ψ(x) = e−bx (a, b > 0) Khi dễ thấy ϕ(x), ψ(x) ∈ L1 (R+ ) ta có r y , Lψ (y) = Fs ϕ (y) = 2 πa +y b+y (3.13) Từ đẳng thức nhân tử hóa (1.19) (3.13), ta có γ6 Fc ϕ ∗ ψ (y) = −e−µy sin y Fs ϕ (y) Lψ (y) r −µy y e sin y =− π (a + y )(b + y) γ6 Khi đó, ta có − Fc ϕ ∗ ψ (y) 6= 0, ∀y > Theo Định lý Wiener-Levy, tồn hàm q(x) ∈ L1 (R+ ) cho q − π2 e−µy sin y (a2 +y2y)(b+y) q Fc q (y) = y −µy + πe sin y (a2 +y2 )(b+y) Suy q sin y (a2 +y2y)(b+y) i q (x) q(x) = Fc y −µy sin y (a2 +y2 )(b+y) + πe Z ∞ y sin y cos xy q =− dy, π (a2 + y )(b + y)eµy + y sin y π h − −µy πe nghiệm cho f (x) = g(x) + g ∗ q (x) Fc 19 (3.14) 3.1.2 Giải hệ phương trình tích phân a) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng Z ∞ f (x) + K6 (x, t)g(t)dt = p(x), Z ∞ g(x) + K7 (x, t)f (t)dt = q(x), x > (3.15) Trong Z K6 (x, t) = √ θ1 (x, u, v + µ) k(|u − t|) + k(u + t) ϕ(v)dudv, π 2π R+2 Z K7 (x, t) = √ θ1 (x, u, v + µ) l(|u − t|) + l(u + t) ψ(v)dudv, π 2π R+2 (3.16) với θ1 (x, u, v) xác định (1.2) Định lý 3.1.6 Giả thiết ϕ(x), ψ(x), p(x), q(x), k(x), l(x) ∈ L1 (R+ ), thỏa mãn − e−2µy (Fc k)(y)(Fc l)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y) 6= 0, ∀y > Khi hệ (3.15) có nghiệm (f, g) L1 (R+ ), L1 (R+ ) cho biểu thức γ γ f (x) = p(x) − q ∗ k ∗ ϕ (x) + p ∗ ξ (x) − q ∗ (k ∗ ϕ) ∗ ξ (x), Fc γ g(x) = q(x) − p ∗ l ∗ ψ Fc Fc (x) + q ∗ ξ (x) − Fc Fc Fc (3.17) γ p ∗ (l ∗ ψ) ∗ ξ (x) Fc Fc (3.18) Trong đó, ξ(x) ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn Fc ξ (y) = e−2µy (Fc k)(y)(Fc l)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y) − e−2µy (Fc k)(y)(Fc l)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y) 20 (3.19) b) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng Z ∞ f (x) + K10 (x, u)g(u)du = p(x), Z 0∞ g(x) + K11 (x, u)f (u)du = q(x), x > (3.20) Trong Z ∞ ϕ(v) θ2 (x − 1, u, v + µ) − θ2 (x + 1, u, v + µ) dv, K10 (x, u) = 2π ψ(u + x) − sign(u − x)ψ(|u − x|) , K11 (x, u) = √ 2π với θ2 (x, u, v) xác định (1.5) Định lý 3.1.7 Giả sử ϕ(x), ψ(x), p(x), q(x) ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn − e−µy sin y(Fc ψ)(y)(Lϕ)(y) 6= 0, ∀y > Khi hệ (3.20) có nghiệm (f, g) L1 (R+ ), L1 (R+ ) cho γ γ f (x) = p(x) − q ∗ ϕ (x) − p ∗ ξ (x) + q ∗ ϕ ∗ ξ (x), 5 Fc Fc g(x) = q(x) − ψ ∗ p (x) − q ∗ ξ (x) + ψ ∗ p ∗ ξ (x) Fs Fc Fs Fc Fs Fc Fs Fc Trong ξ(x) ∈ L1 (R+ ) hàm thỏa mãn −e−µy sin y(Fc ψ)(y)(Lϕ)(y) , Fc ξ (y) = − e−µy sin y(Fc ψ)(y)(Lϕ)(y) 3.2 3.2.1 Giải phương trình vi-tích phân Giải phương trình vi-tích phân cấp hai Xét phương trình vi-tích phân có dạng f (x) − f 00 (x) + Tk f (x) = g(x), f (0) = f (0) = 21 x > 0, (3.21) Trong k(x), g(x) hàm cho trước không gian L1 (R+ ) f (x) hàm cần tìm Định lý 3.2.1 Nếu + Lk (y) 6= 0, ∀y > 0, phương trình (3.21) có nghiệm L1 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm viết dạng r h i π −t −t g(t) ∗ e (x) − g(t) ∗ e ∗ q (x) , (3.22) f (x) = Fc Fc Fc Lk (y) q(x) ∈ L1 (R+ ) hàm xác định q(x) = Fc (x) 1+ Lk (y) 3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân a)Xét phương trình vi-tích phân có dạng f (x) + Tk f (x) = g(x), x > 0, (3.23) f (0) = f (0) = Trong k(x), g(x) hàm cho trước không gian L1 (R+ ) f (x) hàm cần tìm 00 Định lý 3.2.2 Nếu k(x), k (x) ∈ L1 (R+ ), k (0) = k(0) = 0, với điều kiện 00 + L k + k (y) 6= 0, ∀y > thỏa mãn, phương trình (3.23) có nghiệm L1 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − g ∗ q (x), (3.24) Fc q(x) ∈ L1 (R+ ) hàm xác định q(x) = Fc L k+k 00 (y) (x) 00 1+L k+k (y) b) Xét phương trình vi-tích phân có dạng d Tϕ,ψ f (x) = g(x), x > (3.25) dx Trong đó, ϕ(x) = ϕ1 ∗ ϕ2 (x), ϕ1 (x) ∈ H(R+ ), ϕ2 (x) = sin t ∗ sin t (x) L L ψ(x) = sech t ∗ ψ1 (x), ψ1 (x) ∈ L2 (R+ ) Hàm g(x) cho trước f (x) + Fs Fc L2 (R+ ) f (x) hàm cần tìm 22 Định lý 3.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn h i−1 < ∞, ∀y > + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) (3.26) Khi phương trình (3.25) có nghiệm L2 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − q ∗ g (x), Fs Fc q(x) ∈ L2 (R+ ) hàm xác định (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Fc q (y) = + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Kết luận chương Ứng dụng từ kết Chương Chương 2, ta nhận được: • Điều kiện cần đủ giải lớp phương trình tích phân • Điều kiện đủ giải lớp hệ phương trình tích phân • Điều kiện đủ giải lớp phương trình vi-tích phân Các lớp phương trình hệ phương trình cho nghiệm dạng đóng Nội dung chương dựa vào phần báo [1], [2], [3] [4], Danh mục cơng trình cơng bố luận án 23 KẾT LUẬN Các kết luận án là: Xây dựng bốn tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine Laplace Nhận tính chất tốn tử tích chập, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch Thiết lập bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng không gian Lp (R+ ) Lp (R+ , ρ) tương ứng Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sineLaplace Tk1 ,k2 với hàm trọng L2 (R+ ) Nhận Định lý kiểu Watson điều kiện cần đủ để phép biến đổi unita, điều kiện đủ để tồn biến đổi ngược Định lý kiểu Plancherel tồn dãy hàm hội tụ theo chuẩn đến toán tử Tk1 ,k2 chứng minh Nhận ứng dụng giải số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân khơng gian hàm L1 (R+ ), L2 (R+ ) cho công thức nghiệm dạng đóng 24