1 MỞ ĐẦU 1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân Phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò quan trọng trong lý thuyết cũng như trong ứng dụng đối với nh[.]
1 MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lí chọn đề tài Phép biến đổi tích phân Phép biến đổi tích phân đời sớm có vai trị quan trọng lý thuyết ứng dụng nhiều ngành khoa học, đặc biệt ngành Vật lý như: quang học, điện, học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lý ảnh, Phép biến đổi tích phân nghiên cứu xuất phát từ toán thực tế, Fourier J nghiên cứu trình truyền nhiệt, phép biến đổi có dạng Z∞ e−ixy f (y)dy, y ∈ R, f ∈ L1 (R) (1) (F f )(x) = √ 2π −∞ Năm 1942, phép biến đổi tích phân Hartley đề xuất thay cho phép biến đổi Fourier tác giả Hartley R.V.L., nhằm giải toán thực tế với ưu điểm số lĩnh vực như: xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm thanh, Phép biến đổi Hartley hàm f ∈ L1 (R) cho công thức sau (H1 f )(y) = √ 2π (H2 f )(y) = √ 2π Z∞ f (x) cas(xy)dx, (2) f (x) cas(−xy)dx, (3) −∞ ∞ Z −∞ cas u = cos u + sin u nhân phép biến đổi tích phân Hartley Trong thời gian gần đây, có nhiều nghiên cứu phép biến đổi tích phân Hartley ứng dụng Năm 2014 tác giả Bouzeffour F nghiên cứu phép biến đổi Hartley suy rộng L1α (R) ứng dụng liên quan Cũng năm 2014, nhà toán học Yakubovich S.B nghiên cứu phép biến đổi tích phân Hartley biến đổi ngược nửa trục khơng gian L2 (R+ ) Để nghiên cứu khơng gian tuyến tính, người ta thường đưa vào phép nhân chập hay gọi tích chập, cố định hàm ta có lớp biến đổi tích phân gọi phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Việc nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, giải tốn ứng dụng thực tế có nhiều ý nghĩa khoa học hơn, chẳng hạn tốn có nguồn thơng tin liệu đa dạng (vì đẳng thức nhân tử hóa tích chập suy rộng kết hợp nhiều phép biến đổi tích phân hơn) Tuy vậy, chưa có nhiều nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, kể tên cơng trình nghiên cứu gần đây, chẳng hạn Tai Lieu Chat Luong • Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng khơng có hàm trọng: Năm 2000, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine không gian hàm Lp (R+ ), (1 < p < 2) nghiên cứu tác giả Tuan V.K cộng Năm 2013, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine KontorovichLebedev nghiên cứu Hong N.T., Tuan T Thao N.X • Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng có hàm trọng: Năm 2007, kết điển hình nghiên cứu phép biến đổi tích chập suy rộng Fourier cosine sine, cơng bố nhóm tác giả Thao N.X., Tuan V.K Hong N.T Như thấy rằng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley chưa có nhiều nghiên cứu đề cập đến, ứng dụng phong phú xuất phát từ vấn đề khác tốn thực tế Vì vậy, nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley cấu trúc toán tử mục đích luận án Tích chập tích chập suy rộng Theo lịch sử phát triển khái niệm tích chập xuất với tên gọi khác như: tích chập (khơng có hàm trọng có hàm trọng), tích chập suy rộng (khơng có hàm trọng có hàm trọng) tiếp đến đa chập Đối với tích chập mà đẳng thức nhân tử hóa có nhiều phép biến đổi tích phân gọi tích chập suy rộng Khi đó, tích chập suy rộng gọi tên theo thứ tự phép biến đổi tích phân xuất Cho đến có cơng trình nghiên cứu tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Hartley (có trọng khơng có trọng), hướng nghiên cứu mang lại nhiều ứng dụng hữu ích Do đó, vấn đề xây dựng tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley ứng dụng nội dung có ý nghĩa khoa học mục đích nghiên cứu luận án Bất đẳng thức kiểu tích chập tích chập suy rộng Chúng ta biết rằng, ưu điểm tích chập tích chập suy rộng ứng dụng việc giải số toán phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, toán Toán-Lý, Việc giải tốn thường nhận nghiệm biểu diễn dạng tích chập, xây dựng bất đẳng thức tích chập bất đẳng thức tích chập suy rộng để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm Những nghiên cứu lĩnh vực ngồi nước thấy sau: • Đối với tích chập Fourier: Một kết tiếng bất đẳng thức Young tích chập Fourier Mặc dù kết đẹp, p = q = khơng cịn Cũng năm 2000, tác giả Saitoh S., Tuan V.K., Yamamoto M khắc phục hạn chế bất đẳng thức việc xây dựng bất đẳng thức tích chập Fourier không gian Lp (R, ρ), p > với hàm trọng ρ(x) đưa số ứng dụng Hơn nữa, nhóm nghiên cứu Tuan V.K., Duc D.T Nhan N.D.V mở rộng bất đẳng thức kiểu tích chập tích chập Fourier sang nhiều chiều Nhận bất đẳng thức Saitoh ngược không gian R2 , Rn số ứng dụng Ngoài ra, bất đẳng thức tích chập Laplace tác giả Tuan V.K cộng nghiên cứu, nhận bất đẳng thức ngược tích chập cho ứng dụng giải toán truyền nhiệt ngược • Gần đây, nghiên cứu bất đẳng thức tích chập Fourier cosine tác giả Hong N.T công bố năm 2010, nhận bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh ứng dụng Đây kết mở rộng sang tích chập khác, bất đẳng thức ngược dạng chưa nghiên cứu Đối với bất đẳng thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley như: bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược, chưa có cơng trình cơng bố, ứng dụng có vai trò quan trọng nghiên cứu vấn đề nảy sinh từ số toán thực tiễn Do đó, mục tiêu quan tâm nghiên cứu bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley số ứng dụng, phần quan trọng mục đích nghiên cứu luận án Một ứng dụng có ý nghĩa khoa học hướng nghiên cứu việc giải phương trình Toeplitz-Hankel tổng quát có dạng Z∞ f (x) + [k1 (x + y) + k2 (x − y)]f (y)dy = g(x), x > 0, (4) g, k1 , k2 hàm biết, f ẩn hàm Gần đây, sử dụng cơng cụ tích chập, số lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (4) trường hợp đặc biệt giải cho nghiệm dạng đóng Cho đến nay, ngoại trừ số trường hợp đặc biệt, tốn tìm nghiệm đóng cho phương trình (4) trường hợp tổng quát tốn mở Do đó, ứng dụng theo hướng vấn đề cần tiếp tục quan tâm nghiên cứu mục tiêu đặt nghiên cứu ứng dụng Luận án Vì lí để tiếp nối, phát triển hướng nghiên cứu này, định hướng vấn đề, mục tiêu cần nghiên cứu lựa chọn đề tài cho Luận án với tên gọi "Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley ứng dụng" Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích: - Xây dựng số tích chập suy rộng Hartley Nghiên cứu tính chất tích chập suy rộng ứng dụng giải phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel - Nghiên cứu số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley, chẳng hạn bất thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh ứng dụng liên quan - Xây dựng số phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley, nghiên cứu tính chất tốn tử phép biến đổi tích phân khơng gian hàm L2 (R), Lp (R), với p số ứng dụng • Đối tượng: Xây dựng tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine, HartleyFourier sine Nghiên cứu vấn đề liên quan đến phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, bất đẳng thức kiểu tích chập suy rộng số ứng dụng • Phạm vi nghiên cứu: Là phép biến đổi tích phân, tích chập tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine, Fourier sine, bất đẳng thức tích chập tích chập suy rộng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, kiểu tích chập suy rộng Phương pháp nghiên cứu Trong Luận án này, sử dụng phương pháp liên quan đến lý thuyết giải tích hàm, phương pháp tích chập tích chập suy rộng để xây dựng, nghiên cứu tích chập suy rộng mới, chứng minh tồn tích chập suy rộng tính bị chặn chúng Ngồi ra, cịn sử dụng phương pháp biến đổi tích phân để đánh giá đưa tính chất toán tử kết nghiên cứu mới, nhằm mục đích giải số phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel, phương trình hệ phương trình tích phân, phương trình hệ phương trình vi-tích phân Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thức tích phân khơng gian để chứng minh bất đẳng thức tích phân tích chập suy rộng xây dựng đánh giá nghiệm Cấu trúc kết Luận án Luận án trình bày 125 trang Ngoài phần mở đầu tài liệu tham khảo, luận gồm bốn chương: Chương : Nhắc lại kiến thức liên quan đến hướng nghiên cứu Chương : Xây dựng tích chập suy rộng Hartley tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier, Hartley H1 H2 Chứng minh đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, định lý kiểu Titchmarch Áp dụng giải lớp phương trình hệ phương trình tích phân, phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel 5 Chương : Nghiên cứu số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley bất đẳng thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh kiểu Saitoh ngược Áp dụng kết đạt đánh giá nghiệm phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel, phương trình vi phân số toán Toán-Lý Chương : Xây dựng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley Chứng minh định lý kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần đủ cho tính unita phép biến đổi tích phân xây dựng khơng gian L2 (R) Nhận định lý Plancherel, định lý tính bị chặn tốn tử vi-tích phân, cho minh hoạ tồn phép biến đổi tích phân số ví dụ cụ thể Vận dụng kết nhận cho việc tìm nghiệm đóng lớp phương trình hệ phương trình vi-tích phân, phương trình parabolic chiều Ý nghĩa kết đạt Luận án Các kết nghiên cứu nhận mới, có ý nghĩa khoa học lĩnh vực phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, góp phần làm phong phú thêm lý thuyết tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân, bất đẳng thức tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine, Fourier sine Các kết cho ứng dụng việc tìm nghiệm đóng lớp phương trình hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel, phương trình hệ phương trình vi-tích phân, nhận biểu diễn đánh giá nghiệm số toán Toán-Lý Các kết ý tưởng luận án sử dụng nghiên cứu tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân khác, nghiên cứu toán quang phổ, xử lý ảnh Nội dung Luận án dựa bốn cơng trình nghiên cứu liệt kê "Danh mục cơng trình cơng bố Luận án" Trong có 03 cơng trình danh mục tạp chí quốc tế uy tín ISI, 01 cơng trình kỷ yếu Hội nghị Toán học Quốc tế Các kết báo cáo toàn hay phần Hội nghị khoa học Seminar sau: • Các hội nghị khoa học: - Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn vơ hạn chiều ứng dụng (ICFIDCAA), tháng năm 2012 Hà Nội - Hội nghị toán học Việt Pháp lần thứ 8, tháng năm 2012 Huế - Đại hội Tốn học Tồn quốc lần thứ 8, tháng năm 2013 Nha trang - Hội nghị Toán học Quốc tế lần thứ III, tháng 12 năm 2013 Thành phố Hồ Chí Minh • Các seminar: - Seminar Giải tích Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà Nội - Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội 6 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại kiến thức biết sử dụng cho nghiên cứu luận án như: • Trình bày khái niệm tính chất tích chập tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân, q trình phát triển hướng nghiên cứu • Nhắc lại số định lý liên quan đến kết nghiên cứu luận án, chẳng hạn Định lý Wiener-Lévy, Định lý nội suy Riesz • Nhắc lại số bất đẳng thức tích phân biết, định lý bất đẳng thức tích chập liên quan đến hướng nghiên cứu luận án Các bất đẳng thức quan trọng sử dụng chứng minh số kết nghiên cứu ứng dụng luận án bất ng thc Hăolder v bt ng thc Hăolder ngc sau õy nh lý 1.0.1 (Bt ng thc Hă older) Giả sử p, q > cho + p = Khi với f ∈ Lp (X), g ∈ Lq (X), ta có q ! p1 ! 1q Z Z Z |f (x)g(x)|dµ |f |p dµ · |g|q dµ (1.1) X X X Hay ta có: kf gkL1 (X) kf kLp (X) · kgkLq (X) nh lý 1.0.2 (Bt ng thc Hă older ngược) Cho hai hàm dương f g thỏa mãn f < m 6 M < ∞, (1.2) g 1 tập X, cho số thực p, q > cho + = Khi đó, ta có bất p q đẳng thức sau vế phải hội tụ: ! p1 Z ! 1q Z mZ 1 f dµ gdµ Ap,q f p g q dµ, (1.3) M X X X đó, Ap,q (t) = p − p1 q − 1q t− pq (1 − t) p1 1q 1 − − tq • Nhắc lại hàm đặc biệt sử dụng nghiên cứu 7 Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY Mục đích chương xây dựng nghiên cứu tích chập suy rộng Hartley như: Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine Nghiên cứu tính chất tương ứng nó, chẳng hạn đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, định lý Titchmarch, Trong phần ứng dụng xây dựng giải số phương trình hệ phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel Nội dung chương kết báo [1, 2] "Danh mục cơng trình cơng bố Luận án", hai kết công bố tạp chí quốc tế uy tín ISI 2.1 2.1.1 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine Định nghĩa tính chất Định nghĩa 2.1.1 Tích chập suy rộng hai hàm f g phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine ký hiệu (f ∗ g) định nghĩa công thức (f ∗ g)(x) := √ 2π Z∞ f (u)[g(x − u) − g(x + u)]du, x ∈ R (2.1) Định lý 2.1.1 Giả sử f ∈ L1 (R+ ) g ∈ L1 (R) Khi đó, tích chập suy rộng Hartley–Fourier sine (2.1) thuộc không gian L1 (R) ∩ C0 (R) có đẳng thức nhân tử hóa sau H1 (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y) · (H2 g)(y), ∀y ∈ R; H2 (f ∗ g)(y) = −(Fs f )(y) · (H1 g)(y), ∀y ∈ R, (2.2) (Fs f )(−y) = −(Fs f )(y), với y < Hơn thế, ta nhận bất đẳng thức k(f ∗ g)kL1 (R) kf kL1 (R+ ) · kgkL1 (R) (2.3) Đặc biệt, g ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), ta có đẳng thức Parseval sau (f ∗ g)(x) = √ 2π Z∞ (Fs f )(y) · (H2 g)(y) cas(xy)dy, (2.4) −∞ (f ∗ g)(x) = − √ 2π Z∞ (Fs f )(y) · (H1 g)(y) cas(−xy)dy, (2.5) −∞ tích phân đẳng thức Parseval hiểu giá trị Cauchy 8 Định lý 2.1.2 Giả sử f hàm thuộc không gian Lp (R+ ), g hàm thuộc 1 không gian Lq (R), + = 1, p, q > Khi tích chập suy rộng (2.1.1) p q tồn với x ∈ R không gian Lα,β,γ (R), α > −1, β > 0, γ > 0, r > r thỏa mãn bất đẳng thức sau k(f ∗ g)(x)kLα,β,γ (R) C kf kLp (R+ ) · kgkLq (R) , r (2.6) 1 1r q −1 −α+1 α+1 γ đây, C = √ Γ γ 2γ β 2π Bổ đề 2.1.1 Nếu f (x) ∈ L1 (R) (H2 f )(y) = 0, ∀y ∈ R, ta có f (x) = hầu khắp nơi Định lý 2.1.3 (Định lý kiểu Titchmarch) Giả sử f g hàm liên tục thỏa mãn f ∈ L1 (R+ , ex ), g ∈ L1 (R, e|x| ) Nếu (f ∗ g)(x) ≡ hầu khắp nơi R, ta có f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R+ , g(x) ≡ 0, ∀x ∈ R 2.1.2 Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley Định nghĩa 2.1.2 Tích chập suy rộng hai hàm f g phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier ký hiệu (f ∗ g), xác định công HF thức (f ∗ g)(x) = √ HF 2π Z∞ g(y)[f (x + y) + f (x − y) + if (−x − y) − if (−x + y)]dy (2.7) −∞ Định lý 2.1.4 Giả sử hàm f, g ∈ L1 (R) Khi đó, tích chập suy rộng Hartley-Fourier (2.7) thuộc không gian L1 (R) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau H1 (f ∗ g)(y) = (H1 f )(y) · (F g)(y), ∀y ∈ R, HF (2.8) H2 (f ∗ g)(y) = (H2 f )(y) · (F g(−t))(y), ∀y ∈ R HF Định nghĩa 2.1.3 Các tích chập suy rộng hai hàm f g phép biến đổi tích phân Hartley H1 , H2 tương ứng ký hiệu f ∗ g f ∗ g H11 H12 xác định (f ∗ g)(x) = √ H11 2π (f ∗ g)(x) = √ H12 2π Z∞ f (t)[g(x + t) + g(−x + t) + g(−x − t) − g(x − t)]dt, (2.9) f (t)[g(x + t) + g(x − t) + g(−x − t) − g(−x + t)]dt (2.10) −∞ Z∞ −∞ Định lý sau cho phép ta xác định đẳng thức nhân tử hóa hai tích chập suy rộng Định lý 2.1.5 Giả sử hàm f, g ∈ L1 (R) Khi đó, tích chập suy rộng (2.9) (2.10), thuộc không gian L1 (R), thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau H1 (f ∗ g)(y) = (H2 f )(y) · (H2 g)(y), ∀y ∈ R, H11 H2 (f ∗ g)(y) = (H1 f )(y) · (H1 g)(y), ∀y ∈ R; H11 (2.11) H1 (f ∗ g)(y) = (H2 f )(y) · (H1 g)(y), ∀y ∈ R, H12 H2 (f ∗ g)(y) = (H1 f )(y) · (H2 g)(y), ∀y ∈ R H12 2.1.3 (2.12) Ứng dụng 2.1.3.1 Phương trình tích phân a) Phương trình tích phân loại Xét phương trình tích phân √ 2π Z∞ f (u)[k(x − u) − k(x + u)]du = h(x), x ∈ R, (2.13) k, h hàm cho trước thuộc khơng gian L1 (R), f ẩn hàm Bổ đề 2.1.2 Giả sử k h hàm thuộc không gian L1 (R) cho (H1 h)(y) (H2 k)(y) 6= 0, ∀y Khi hàm lẻ (h ∗ k)(y) ∈ H (H2 k)(y) Ker Tc Định lý 2.1.6 Giả sử k, h ∈ L1 (R), cho (H2 k)(y) 6= 0, ∀y, (h ∗ k)(y) hàm lẻ Khi đó, điều kiện cần đủ để phương trình tích phân H (2.13) có nghiệm khơng gian L1 (R+ ) (H1 h)(y) (H h)(y) ∈ L1 (R) F −1 ∈ L1 (R+ ), (H2 k)(y) (H2 k)(y) nghiệm phương trình xác định công thức (H h)(y) f (x) = F −1 (x) (H2 k)(y) (2.14) 10 b) Phương trình tích phân loại hai Xét phương trình tích phân có dạng f (|x|) sign x + √ 2π Z∞ [k(x − y) − k(x + y)]f (y)dy = h(x), x ∈ R, (2.15) k h hàm cho trước, f ẩn hàm Bổ đề 2.1.3 Giả sử hàm k, h ∈ L1 (R) cho + (Hj k)(y) 6= 0, ∀y ∈ R (j = 1, 2), q hàm lẻ thuộc không gian L1 (R) xác định (H1 q)(y) = (H1 h)(y)[1 + (H2 k)(y)] Khi đó, (2.16) (H1 h)(y) hàm lẻ + (H2 k)(y) Định lý 2.1.7 Giả sử k, h ∈ L1 (R) cho + (H2 k)(y) 6= 0, ∀ y ∈ R h + (h ∗ k) hàm lẻ thuộc không gian L1 (R), p ∈ L1 (R) thỏa mãn H (F p)(y) = (H2 k)(y) + (H2 k)(y) (2.17) Khi đó, phương trình tích phân (2.15) có nghiệm không gian L1 (R), xác định công thức f (|x|) = [h(x) − (h ∗ p)(x)] sign x, x ∈ R HF Từ Định lý 2.1.7, ta nhận hệ sau Hệ 2.1.1 Với giả thiết tương tự định lý 2.1.7 p hàm thỏa mãn cơng thức (2.17) Khi đó, ta có f (x) = h(x) − (h ∗ p)(x), x > 0, HF nghiệm L1 (R+ ) phương trình tích phân sau f (x) + √ 2π Z∞ f (y)[k(x − y) − k(x + u)]dy = h(x), x ∈ R+ , (2.18) k h hàm biết, f ẩn hàm Bổ đề 2.1.4 Giả sử k ∈ L1 (R) thỏa mãn + (H2 k)(y) 6= 0, ∀y ∈ R q hàm lẻ cho q, h ∈ L1 (R) xác định (H1 q)(y) = (H1 h) (y) · [1 + (H2 k)(y)] Khi đó, (H2 h)(y) hàm lẻ + (H2 k)(y) (2.19) 11 2.1.3.2 Hệ phương trình tích phân Trong phần này, ta xét hệ phương trình sau f (x) + (g ∗ h)(x) = p(x) (2.20) g(x) + (f ∗ k)(x) = q(x), x ∈ R+ Định lý 2.1.8 Giả sử h, k ∈ L1 (R+ ), p, q ∈ L1 (R) cho điều kiện sau thỏa mãn + (H1 k)(y) · (H2 h)(y) 6= 0, ∀y ∈ R, (2.21) l ∈ L1 (R) xác định công thức (F l)(y) = (H1 k)(y) · (H2 h)(y) + (H1 k)(y) · (H2 h)(y) (2.22) Khi đó, hệ phương trình (2.20) có nghiệm (f, g) ∈ L1 (R+ ) × L1 (R+ ) xác định f (x) =p(x) − (q ∗ h)(x) − (p ∗ l(−t))(x) + [(q ∗ h) ∗ l(−t)](x), ∀x ∈ R+ H11 HF H11 HF g(x) = − q(x) + (k ∗ p)(x) + (q ∗ l(−t))(x) − [(k ∗ p) ∗ l(−t)](x), ∀x ∈ R+ H11 2.2 2.2.1 HF H11 HF Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine Định nghĩa tính chất tốn tử Định nghĩa 2.2.1 Tích chập suy rộng hai hàm f ∈ L1 (R+ ) g ∈ L1 (R) phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine ký hiệu (f ∗ g) định nghĩa (f ∗ g)(x) := √ 2π Z∞ [g(x + u) + g(x − u)] f (u) du, x ∈ R, (2.23) Định lý 2.2.1 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine (2.23) hàm f ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) thuộc không gian L1 (R) có đẳng thức nhân tử hóa sau Hj (f ∗ g)(y) = (Fc f )(y) · (Hj g)(y), ∀y ∈ R, j = 1, 2, (Fc f )(−y) = (Fc f )(y), với y < Hơn thế, ta có bất đẳng thức r k(f ∗ g)kL1 (R) kf kL1 (R+ ) · kgkL1 (R) π (2.24) (2.25) 12 Đặc biệt, f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) ta nhận đẳng thức Parseval có dạng (f ∗ g)(x) = √ 2π Z∞ (Fc f )(y) · (Hj g)(y) cas(±xy)dy, j = 1, (2.26) −∞ tích phân cơng thức (2.26) hiểu giá trị Cauchy sau Z∞ Z N f (x) dx = lim N →∞ −∞ f (x) dx −N Từ bất đẳng thức (2.25), ta nhận bất đẳng thức không gian Lα,β,γ (R) với α > −1, β > 0, γ > 0, r > r Định lý 2.2.2 (Định lý kiểu Titchmarch) Cho f g hàm liên tục cho f ∈ L1 (R+ , ex ), g ∈ L1 (R, e|x| ) Nếu (f ∗ g)(x) ≡ hầu khắp nơi R, ta có f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R+ , g(x) ≡ 0, ∀x ∈ R Mệnh đề 2.2.1 Cho f ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) h ∈ L1 (R+ ) Khi phép tốn tích chập suy rộng (2.1) (2.23) khơng có tính giao hốn khơng kết hợp, nhiên chúng thỏa mãn đẳng thức sau a) f ∗ (g ∗ h) = −(f ∗ g) ∗ h, 1 Fs Fs b) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h, 2 Fc c) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h 2.2.2 Fs Fc Ứng dụng Trong phần ta xét phương trình Toeplitz-Hankel (4), trường hợp nhân k1 = k2 , điều kiện nhân k2 hàm chẵn, phương trình Toeplitz- Hankel lần xét tồn trực thực Xét phương trình f (|x|) + √ 2π Z∞ [k(x + y) + k(x − y)]f (y)dy = g(x), x ∈ R, (2.27) f (x) + √ 2π Z∞ [f (x + y) + f (x − y)]k(y)dy = g(x), x ∈ R (2.28) Định lý 2.2.3 (Định lý kiểu Wiener-Lévy) Giả sử f ∈ L1 (R) Khi đó, + (Hj f )(y) 6= 0, ∀y ∈ R, (j = 1, 2) điều kiện đủ để tồn hàm l ∈ L1 (R) cho (Hj f )(y) (Hj l)(y) = (2.29) + (Hj f )(y) 13 Nhận xét rằng, tính tuyến tính nên từ Định lý 2.2.3, với f ∈ L1 (R) cho − (Hj f )(y) 6= 0, ∀y ∈ R, (j = 1, 2), l ∈ L1 (R), ta nhận công thức sau (Hj l)(y) = (Hj f )(y) − (Hj f )(y) (2.30) 2.2.2.1 Phương trình Toeplitz-Hankel R Định lý 2.2.4 Cho k, g ∈ L1 (R) hàm biết thỏa mãn điều kiện a) + (H1 k)(x) 6= với x ∈ R b) g(x) − (g ∗ l)(x) hàm chẵn, l hàm xác định H l(x) = H1 (H1 k)(y) (x) + (H1 k)(y) (2.31) Khi đó, phương trình (2.27) có nghiệm f ∈ L1 (R+ ), cho công thức sau f (x) = g(x) − (g ∗ l)(x), x ∈ R+ H Định lý 2.2.5 Cho k ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) hàm biết, ta giả sử + (Fc k)(x) 6= 0, x ∈ R, l(x) hàm thuộc không gian L1 (R) cho (Fc k)(y) (x) ∈ L1 (R+ ) l(x) = Fc + (Fc k)(y) (2.32) Khi phương trình (2.28) có nghiệm f ∈ L1 (R+ ) xác định f (x) = g(x) − (l ∗ g)(x), x ∈ R (2.33) 2.2.2.1 Hệ phương trình Toeplitz - Hankel R Ta xét hệ gồm hai phương trình tích phân Toeplitz - Hankel Z∞ f (|x|) + √ g(u)[k1 (x + u) + k1 (x − u)]du = p(x), x ∈ R, 2π Z∞ √ g(|x|) + f (u)[k2 (x + u) + k2 (x − u)]du = q(x), x ∈ R, 2π (2.34) p, q, k1 , k2 ∈ L1 (R) hàm biết, f, g ∈ L1 (R+ ) ẩn hàm 14 Định lý 2.2.6 Giả sử điều kiện sau − (H1 k1 )(y) · (H1 k2 )(y) 6= 0, ∀y ∈ L1 (R), (2.35) hàm sau hàm chẵn p(x) − (q ∗ k1 )(x) + (p ∗ l)(x) − (q ∗ k1 ∗ l)(x); H H H H q(x) − (p ∗ k2 )(x) + (q ∗ l)(x) − (p ∗ k2 ∗ l)(x), H H H H đó, l(x) hàm thuộc khơng gian L1 (R) cho (H1 k1 )(y) · (H1 k2 )(y) (x) l(x) = H1 (1 − H1 k1 )(y) · (H1 k2 )(y) (2.36) Khi hệ phương trình (2.34) có nghiệm f, g ∈ L1 (R) xác định công thức sau f (x) = p(x) − (q ∗ k1 )(x) + (p ∗ l)(x) − (q ∗ k1 ∗ l)(x), x > 0, g(x) = q(x) − (p ∗ k2 )(x) + (q ∗ l)(x) − (p ∗ k2 ∗ l)(x), x > H H H H H H H H (2.37) Kết luận chương Chương đạt số kết sau: • Xây dựng tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine (f ∗ g), Hartley1 Fourier cosine (f ∗ g), Hartley-Fourier (f ∗ g) tích chập suy rộng HF Hartley (f ∗ g), (f ∗ g) H11 H12 • Chứng minh đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, tính khơng có ước không định lý kiểu Titchmarch, tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine • Nhận định lý kiểu Wiener-Lévy phép biến đổi tích phân Hartley • Trong phần ứng dụng, xây dựng giải số lớp phương trình hệ phương trình tích phân, phương trình hệ phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel 15 Chương BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Mục đích chương xây dựng số bất đẳng thức tích chập suy rộng f ∗ g f ∗ g, chứng minh bất đẳng thức ngược tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine Áp dụng kết nhận để đánh giá nghiệm số toán Toán-Lý Nội dung chương dựa vào kết nghiên cứu [3, 4], "Danh mục cơng trình cơng bố Luận án", có kết cơng bố tạp chí quốc tế uy tín ISI 3.1 Bất đẳng thức Hausdorff - Young Ta chứng minh bất đẳng thức Hausdorff - Young phép biến đổi tích phân Hartley Định lý 3.1.1 (Bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young) Giả sử f ∈ Lp (R), với < p ≤ q số liên hợp p Khi đó, ta có bất đẳng thức sau kHj f kLq (R) ≤ kf kLp (R) , j = 1, (3.1) Hj , j = 1, phép biến đổi tích phân Hartley Từ Định lý 3.1.1, ta chứng minh định lý kiểu Hausdorff - Young tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine Hartley-Fourier cosine sau Định lý 3.1.2 Giả sử f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R) p1 , q1 , r1 số liên hợp tương ứng p, q, r cho 1 = + , với p, q 2, r r p1 q1 Khi đó, bất đẳng thức kf ∗ gkLr1 (R) 2kf kLp (R+ ) · kgkLq (R) , kf ∗ gkLr1 (R) 2kf kLp (R+ ) · kgkLq (R) 3.2 (3.2) Bất đẳng thức tích chập suy rộng HartleyFourier cosine Định lý 3.2.1 (Định lý kiểu Young) Giả sử p, q, r > 1, thoả mãn điều 1 kiện + + = 2, cho f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R) h ∈ Lr (R) Khi ta p q r 16 có bất đẳng thức sau ∞ Z (f ∗ g)(x) · h(x)dx ≤ p1 (2π)− 12 kf kL (R ) · kgkL (R) · khkL (R) p + q r (3.3) −∞ Từ định lý trên, ta nhận hệ bất đẳng thức kiểu Young tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine sau Hệ 3.2.1 (Bất đẳng thức kiểu Young) Giả sử p > 1, q > 1, r > 1 1 cho + = + Khi đó, với hàm f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R), ta có tích p q r chập suy rộng (f ∗ g) ∈ Lr (R) thỏa mãn bất đẳng thức 1 kf ∗ gkLr (R) p (2π)− kf kLp (R+ ) · kgkLq (R) (3.4) Tuy nhiên, f ∈ L2 (R+ ), g ∈ L2 (R) bất đẳng thức (3.3) (3.4) khơng cịn Trong phần tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức khơng gian Lp (R, ρ) có hàm trọng dương ρ, tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine Hơn nữa, bất đẳng thức trường hợp p = q = Định lý 3.2.2 (Định lý kiểu Saitoh) Giả sử ρj , (j = 1, 2) hai hàm dương cho tích chập suy rộng (ρ1 ∗ ρ2 ) xác định Khi đó, với F1 ∈ Lp (R+ , ρ1 ), F2 ∈ Lp (R, ρ2 ), p > bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine sau r kF1 kLp (R+ ,ρ1 ) · kF2 kLp (R,ρ2 ) (3.5) k((F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 )) · (ρ1 ∗ ρ2 ) p −1 kLp (R) 2 π Nhận xét 3.2.1 Khi ρ1 ≡ ρ ∈ L1 (R+ ) ρ2 ≡ 1, bất đẳng thức (3.5) có dạng k(F1 ρ) ∗ F2 kLp (R) 1− p1 2kρkL1 (R+ ) · kF2 kLp (R) · kF1 kLp (R+ ,ρ) (3.6) Định lý 3.2.3 (Định lý kiểu Saitoh ngược) Giả sử ρ1 (u), ρ2 (x) hàm trọng dương, F1 (u) F2 (x) hàm dương thỏa mãn 1 1 < m1p F1 (u) M1p < ∞; < m2p F2 (x) M2p < ∞, p > 1, u ∈ R+ , x ∈ R, (3.7) cho (F1 ρ1 ∗ F2 ρ2 ) · (ρ1 ∗ ρ2 ) ∈ Lp (R) Khi đó, ta có bất đẳng thức kiểu Saitoh 2 ngược tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine không gian Lp (R) xác định sau k(F1 ρ1 ∗ F2 ρ2 ) · (ρ1 ∗ ρ2 ) p −1 kLp (R) > 2CkF1 kLp (R+ ,ρ1 ) · kF2 kLp (R,ρ2 ) , 2 n m1 m2 o−1 C = Ap,q M1 M2 (3.8) 17 3.3 Bất đẳng thức tích chập suy rộng HartleyFourier sine Với kỹ thuật tương tự chứng minh bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine, ta nhận định lý kiểu Young, kiểu Saitoh hệ tương ứng tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine 3.4 Ứng dụng 3.4.1 Phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel Xét phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel trường hợp k1 = k2 = f có dạng f (x) + √ 2π Z∞ k(y)[f (x + y) + f (x − y)]dy = h(x)ρ(x), x ∈ R, (3.9) đó, k ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ), h ∈ L1 (R, ρ) ∩ Lp (R, ρ) hàm biết, f ∈ L1 (R+ ) ẩn hàm 3.4.2 Phương trình vi phân Xét phương trình vi phân bậc 2n với hệ số sau n X d2k k (−1) ak 2k f (x) = g(x) · ρ(x), x ∈ R, dx (3.10) k=0 f ∈ L1 (R+ ) ẩn hàm g, ρ hàm cho trước thoả mãn g ∈ L1 (R, ρ) ∩ Lp (R, ρ), ρ ∈ L1 (R+ ), với điều kiện biên dk f (x) → x → ±∞, k = 0, 2n dxk 3.4.3 (3.11) Bài tốn Dirichlet nửa mặt phẳng Xét phương trình Laplace có dạng uxx + utt = 0, −∞ < x < ∞, t > (3.12) u(x, 0) = f (x)ρ(x), −∞ < x < ∞, ux (x, t) → |x| → ∞, t → ∞, (3.13) (3.14) với điều kiện biên f, ρ hàm biết cho ρ ∈ L1 (R), f ∈ L1 (R, ρ) ∩ Lp (R, ρ), p > 18 3.4.4 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Xét phương trình truyền nhiệt có dạng kuxx = ut , −∞ < x < ∞, t > 0, (3.15) ux (x, t) → |x| → ∞, u(x, t) → |x| → ∞, (3.16) (3.17) u(x, 0) = f (x)ρ(x), (3.18) với điều kiện biên điều kiện ban đầu ρ ∈ L1 (R), f ∈ L1 (R, ρ) ∩ Lp (R, ρ), p > hàm biết, k > hệ số khuếch tán Nhận xét 3.4.1 Đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine, kỹ thuật tương tự tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine ta nhận công thức nghiệm đánh giá nghiệm toán Dirichlet nửa mặt phẳng tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Kết luận chương Chương đạt số kết sau: • Thiết lập bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young phép biến đổi tích phân Hartley, bất đẳng thức tích chập suy rộng HartleyFourier cosine Hartley-Fourier sine • Nhận bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier cosine như: Bất đẳng thức kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Saitoh bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine • Nhận đánh giá nghiệm phương trình tích phân kiểu ToeplitzHankel, phương trình vi phân số tốn Tốn-Lý 19 Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY-FOURIER Trong chương nghiên cứu lớp phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine Hartley-Fourier sine, phép biến đổi tích phân có dạng d2 f (x) 7→ g(x) = (Th f )(x) := − (h ∗ f )(x), x ∈ R, dx (4.1) d2 f (x) 7→ g(x) = (Tk f )(x) := − (k ∗ f )(x), x ∈ R dx (4.2) Nội dung chương tập trung nghiên cứu toán tử Th , Tk không gian Lp (R), p Nhận điều kiện cần đủ toán tử Th , Tk , để phép biến đổi tích phân (4.1) (4.2) unita L2 (R) Các định lý kiểu Watson Plancherel cho lớp phép biến đổi L2 (R) chứng minh Hơn nữa, chứng minh tính bị chặn tốn tử vi-tích phân nói không gian Lp (R), p Các ứng dụng chương nghiên cứu giải lớp phương trình hệ phương trình vi-tích phân, nhận công thức biểu diễn nghiệm lớp phương trình parabolic 4.1 4.1.1 Các tích chất tốn tử Định lý kiểu Watson Định lý 4.1.1 Giả sử hàm f ∈ L2 (R), h ∈ L2 (R+ ) Khi điều kiện |(Fc h)(y)| = , y > 0, + y2 (4.3) điều kiện cần đủ để phép biến đổi tích phân (4.1) unita L2 (R) Hơn nữa, công thức ngược phép biến đổi Th f L2 (R) có dạng f (x) = Th−1 g d2 (x) := − (h ∗ g)(x) dx Z∞ o d2 n =√ 1− [g(x + u) + g(x − u)]h(u)du , (4.4) dx 2π h liên hợp phức hàm h, ta có: f (x) = x ∈ R Th−1 g (x) = Th g (x), 20 4.1.2 Định lý kiểu Plancherel Định lý 4.1.2 Giả sử h ∈ L2 (R) ∩ C (R) hàm số có đạo hàm liên tục d2 đến cấp 2, thoả mãn điều kiện (4.3) cho H(x) = − h(x) hàm bị dx chặn Nếu f ∈ L2 (R), với số tự nhiên N , ta đặt gN (x) = √ 2π ZN f (u)[H(x + u) + H(x − u)]du, x ∈ R (4.5) −N Khi đó; 1) gN ∈ L2 (R) 2) Khi N → ∞ dãy hàm {gN (x)} hội tụ theo chuẩn L2 (R) tới hàm g(x) ∈ L2 (R) thỏa mãn: kgkL2 (R) = kf kL2 (R) 3) Đặt g N = g.χ(−N,N ) , χI hàm đặc trưng khoảng hữu hạn I, d2 N (4.6) fN (x) = − (g ∗ h)(x) dx thuộc không gian L2 (R) dãy hàm {fN (x)} hội tụ theo chuẩn L2 (R) tới hàm f (x) ∈ L2 (R) N → ∞ 4.1.3 Tính bị chặn tốn tử vi-tích phân Định lý 4.1.3 Giả sử h ∈ L2 (R) ∩ C (R), cho h(x) có đạo hàm liên d2 tục đến cấp R thỏa mãn điều kiện (4.3), H(x) = − h(x) dx hàm bị chặn R Khi đó, Th tốn tử bị chặn từ Lp (R) vào Lq (R), với p p số mũ liên hợp q Hơn nữa, phép toán sau toán tử bị chặn từ không gian Lp (R) vào Lq (R) Th f = lim N →∞ d2 N − (f ∗ h), dx (4.7) đây, giới hạn công thức hiểu theo nghĩa chuẩn khơng gian Lq (R), f N = f · χ(−N,N ) (4.8) Nhận xét 4.1.1 Đối với tốn tử Tk phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine, ta nhận kết tương tự toán tử Th 21 4.2 4.2.1 Ứng dụng Phương trình vi-tích phân Xét tốn vi-tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine sau f (x) + n Y k=1 d2 (2k − 1) − (h ∗ f )(x) = g(x), x ∈ R, dx 2k−1 (4.9) d f (0) = 0, k = 1, n, dx2k−1 lim f (k) (x) = 0, k = 0, 2n − 1, x→∞ f ẩn hàm h ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) hàm cho trước, cho h(x) = h1 (t) ∗ sech t (x), h1 ∈ L1 (R+ ), (4.10) Fc sech t = cosh(t) Định lý 4.2.1 Giả sử r n πy Y π y + (2k − 1)2 (Fc h1 )(y) 6= 0, ∀y > sech 1+ 2 (4.11) k=1 Khi đó, tốn (4.9) có nghiệm L1 (R) xác định sau f (x) = g(x) − l ∗ g (x), (4.12) đó, l hàm thuộc không gian L1 (R+ ), xác định πy sech pπ (Fc l)(y) = 1+ pπ sech n Q y + (2k − 1)2 (Fc h1 )(y) k=1 πy n Q (4.13) y + (2k − 1)2 (Fc h1 )(y) k=1 Ta dễ dàng chứng minh nghiệm toán định lý sau Định lý 4.2.2 Giả sử hàm h1 ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn điều kiện r π πy 1+ sech y + (Fc h1 )(y) 6= 0, ∀y ∈ R+ , 2 l ∈ L1 (R+ ) hàm xác định sau pπ πy sech y (Fc h1 )(y) + 2 p (Fc l)(x) = + (F h )(y) + π2 sech πy y c (4.14) (4.15) 22 Khi đó, phương trình vi-tích phân f (x) + (Th f )(x) = g(x), x ∈ R, (4.16) có nghiệm L1 (R) xác định công thức f (x) = g(x) − (l ∗ g)(x), ∀x ∈ R 4.2.2 (4.17) Phương trình parabolic tuyến tính Xét phương trình parabolic sau ∂ u(x, t) ∂u(x, t) =− − Th (u)(x, t) ∂t ∂x2 (4.18) đó, u(x, t) hàm chưa biết, ta chọn hàm nhân h(y) cho (Fc h)(y) = , + y2 thỏa mãn điều kiện (4.3) Bằng cách sử dụng phép biến đổi tích phân, ta nhận biểu diễn nghiệm phương trình xét 4.2.3 Hệ phương trình vi-tích phân Xét hệ hai phương trình vi-tích phân phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine f (x) + (Th g)(x) = p(x), g(x) + (Th f )(x) = q(x), (4.19) với điều kiện ban đầu f (0) = 0, g (0) = 0, lim f (x) = lim f (x) = = lim g(x) = lim g (x) x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ Trong đó, toán tử Th , Th xác định d2 n √ (Th g)(x) := 1− dx 2π Z∞ o [g(x + u) + g(x − u)]h(u)du , d2 n Th f (x) := √ 1− dx 2π Z∞ o [f (x + u) + f (x − u)]h(u)du , (4.20) 23 hàm h, h ∈ L1 (R+ ) xác định sau h(x) = h1 (τ ) ∗ sech τ (x); h(x) = h1 (τ ) ∗ sech τ (x), Fc Fc (4.21) với f, g ∈ L1 (R) ẩn hàm; h, h1 , h, h1 , p, q hàm biết, hàm h1 , h1 ∈ L1 (R+ ); p, q ∈ L1 (R) Định lý 4.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn π πy − (1 + y )2 sech2 |(Fc h1 )(y)|2 6= 0, ∀y ∈ R, 2 (4.22) giả sử hàm l ∈ L1 (R+ ) xác định sau π πy (1 + y )2 sech2 |(Fc h1 )(y)|2 (Fc l)(y) = π πy − (1 + y )2 sech2 |(Fc h1 )(y)|2 2 (4.23) Khi đó, hệ phương trình vi-tích phân (4.19) với điều kiện ban đầu (4.20) có nghiệm khơng gian L1 (R) × L1 (R) xác định h i 3 f (x) =p(x) + (l ∗ p)(x) − (h1 ∗ sech τ ) ∗ q (x) − l ∗ (h1 ∗ sech τ ) ∗ q (x) 2 2 Fc Fc h i g(x) =q(x) + (l ∗ q)(x) − (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ p (x) − l ∗ (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ p (x) Fc 2 Fc (4.24) Kết luận chương Trong chương nhận số kết sau: • Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng HartleyFourier cosine, Hartley-Fourier sine nhận tốn tử ngược tương ứng • Nhận định lý kiểu Watson, kiểu Plancherel L2 (R) Chứng minh tính bị chặn tốn tử tích phân khơng gian Lp (R), p • Xây dựng ví dụ cụ thể minh họa cho tồn tốn tử tích phân kiểu tích chập suy rộng nghiên cứu, làm rõ tồn phép biến đổi tích phân • Ứng dụng giải phương trình hệ phương trình vi-tích phân, nhận công thức biểu diễn nghiệm lớp phương trình đạo hàm riêng parabolic 24 KẾT LUẬN CHUNG Các kết luận án đạt được: • Xây dựng tích chập suy rộng Hartley như: Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier, Hartley H1 H2 Nhận đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval định lý kiểu Titchmarch, định lý kiểu Wiener-Levy • Nhận bất đẳng thức tích chập suy rộng kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược, kiểu Young kiểu Hausdorff-Young tích chập suy rộng xây dựng Áp dụng bất đẳng thức thu để đưa đánh giá nghiệm phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel số lớp toán Toán-Lý • Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine Th , Hartley-Fourier sine Tk nhận toán tử ngược tương ứng Th−1 , Tk−1 Nhận định lý kiểu Watson, định lý kiểu Plancherel L2 (R), tính bị chặn khơng gian Lp (R) • Ứng dụng kết nhận giải lớp phương trình hệ phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel, phương trình vi phân, phương trình hệ phương trình vi-tích phân, phương trình đạo hàm riêng parabolic chiều