Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng hartley và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI −−−−−−−−− HOÀNG THỊ VÂN ANH PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Các kết luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Cán hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Tác giả Hoàng Thị Vân Anh LỜI CẢM ƠN Luận án nghiên cứu hoàn thành hướng dẫn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo, người quan tâm, động viên dẫn tác giả nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quý mến thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giáo sư, thầy-cô đồng nghiệp seminar Giải tích - Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN, seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Những ý kiến giáo sư đồng nghiệp tham dự semina giúp tác giả trưởng thành nghiên cứu khoa học Đặc biệt, động viên, nhận xét quý báu ý kiến đóng góp sâu sắc GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, PGS TS Trần Huy Hổ, PGS TS Nguyễn Thủy Thanh, PGS TS Hà Tiến Ngoạn, TS Nguyễn Văn Ngọc, PGS TS Trịnh Tuân, TS Nguyễn Thanh Hồng, TS Nguyễn Minh Khoa, TS Nguyễn Hữu Thọ, kinh nghiệm quý báu để tác giả hoàn thành luận án cách thuận lợi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban lãnh đạo, thầy cô, đồng nghiệp Viện Toán Ứng dụng Tin học, thầy Bộ mơn Tốn bản, Ban lãnh đạo anh chị công tác viện Sau đại học Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Ban giám hiệu, đồng nghiệp Trường Cao đẳng Công nghiệp Thực phẩm tạo môi trường học tập, nghiên cứu sôi nổi, quan tâm dẫn tận tình thủ tục, hồ sơ điều kiện thuận lợi công tác trình tác giả học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Vũ Kim Tuấn, trường Đại học West Georgia, Mỹ, người ln có dẫn, góp ý chân thành sâu sắc trình nghiên cứu khoa học hồn thành luận án tác giả Gia đình ln động lực to lớn tác giả Công sức động viên đại gia đình đóng góp thiêng liêng gián tiếp giúp tác giả vượt qua nhiều thử thách để hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến bố mẹ, chồng, hai trai anh em hai bên nội - ngoại Tác giả MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích chập tích chập suy rộng 1.1.1 Một số tích chập biết 1.1.2 Tích chập suy rộng 1.1.3 Một số định lý quan trọng 1.2 Một số tính chất biến đổi Hartley 1.3 Bất đẳng thức tích chập 1.3.1 Các bất đẳng thức tích phân 1.3.2 Bất đẳng thức tích chập 1.4 Một số hàm đặc biệt 10 23 23 23 26 28 28 30 30 31 33 Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY 2.1 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine 2.1.1 Định nghĩa tính chất 2.1.2 Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley 2.1.3 Ứng dụng 2.2 Tích chập suy rộng Hartley - Fourier cosine 2.2.1 Định nghĩa tính chất 2.2.2 Phương trình hệ phương trình Toeplitz-Hankel 37 37 37 45 47 57 57 62 Chương BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG 3.1 Bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young 3.2 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine 3.3 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine 72 72 75 85 không gian 3.4 Ứng dụng 3.4.1 Phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel 3.4.2 Phương trình vi phân 3.4.3 Bài toán Dirichlet nửa mặt phẳng 3.4.4 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 88 88 89 90 92 Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY 4.1 Các tính chất tốn tử 4.1.1 Định lý kiểu Watson 4.1.2 Định lý kiểu Plancherel 4.1.3 Tính bị chặn tốn tử vi-tích phân 4.1.4 Ví dụ 4.2 Ứng dụng 4.2.1 Phương trình vi-tích phân 4.2.2 Phương trình parabolic tuyến tính 4.2.3 Hệ phương trình vi-tích phân KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO −5− 95 96 96 100 103 105 108 109 112 113 118 119 120 121 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Các tích chập, tích chập suy rộng • (· ∗ ·) tích chập phép biến đổi Fourier • (· ∗ ·) tích chập phép biến đổi Laplace • (· ∗ ·) tích chập phép biến đổi Fourier cosine • (· ∗ ·) tích chập phép biến đổi Fourier sine • (· ∗ ·), (· ∗ ·), (· ∗ ·) tích chập, tích chập suy rộng phép F L Fc Fs H H11 H12 biến đổi tích Hartley • (· ∗ ·) tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier sine Fs Fc Fourier cosine γ • (· ∗ ·) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y phép Fc Fc biến đổi Fourier sine Fourier cosine • (· ∗ ·) tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier cosine Fs Fs sine • (· ∗ ·) tích chập suy rộng phép biến đổi Hartley, Fourier HF • (· ∗ ·) tích chập suy rộng phép biến đổi Hartley, Fourier sine • (·∗ ·) tích chập suy rộng phép biến đổi Hartley, Fourier cosine Các phép biến đổi tích phân • Phép biến đổi cosine, phép biến đổi sine ∞ (Tc f )(y) := √ 2π (Ts f )(y) := √ 2π f (x) cos(xy) dx, y ∈ R, −∞ ∞ f (x) sin(xy) dx, y ∈ R −∞ • Phép biến đổi Hartley ∞ (H1 f )(y) = √ 2π f (x) cas(xy)dx, −∞ ∞ (H2 f )(y) = √ 2π f (x) cas(−xy)dx, −∞ cas u := cos u + sin u nhân phép biến đổi tích phân Hartley • Phép biến đổi Fourier ∞ (F f )(x) = √ 2π • e−ixy f (y)dy, y ∈ R −∞ Phép biến đổi Fourier ngược ∞ (F −1 g)(x) = √ 2π • eixy g(y)dy, y ∈ R −∞ Phép biến đổi Fourier cosine ∞ (Fc f )(y) = π f (x) cos(xy) dx, y ∈ R+ • Phép biến đổi Fourier cosine ngược ∞ (Fc−1 g)(x) = π g(y) cos(xy) dy, y ∈ R+ • Phép biến đổi Fourier sine ∞ (Fs f )(y) = π f (x) sin(xy) dx, −7− y ∈ R+ • Phép biến đổi Fourier sine ngược ∞ π (Fs−1 g)(x) = g(y) sin(xy) dy, y ∈ R+ • Th , Th−1 phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine phép biến đổi ngược d2 (h ∗ f )(x), dx2 (Th f )(x) := − d2 (h ∗ g)(x) dx2 • Tk , Tk−1 phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine phép biến đổi ngược f (x) = Th−1 g (x) := − d2 (k ∗ f )(x), dx2 (Tk f )(x) := − f (x) = Tk−1 g (x) := − d2 (k ∗ g)(x) dx2 b Các không gian hàm • • R+ = {x ∈ R, x > 0} Lp (R+ ), p < ∞ tập hợp hàm số f (x) xác định R+ cho ∞ |f (x)|p dx < ∞ • f Lp (R+ ) chuẩn hàm f không gian Lp (R+ ), xác định ∞ f Lp (R+ ) p |f (x)| dx := p • f Lp (R) chuẩn hàm f không gian Lp (R), xác định ∞ f Lp (R) p |f (x)| dx := −∞ −8− p • L∞ (R+ ) tập hợp hàm số f (x) xác định R+ cho f (x) := sup |f (x)| < ∞ x∈R+ • f L∞ (R) chuẩn hàm f không gian L∞ (R), xác định f L∞ (R) := sup |f (x)| R • Lp (R+ , ρ), cho p < ∞ tập hợp hàm số f (x) xác định R+ ∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, ρ hàm trọng dương • f Lp (R+ ,ρ) chuẩn hàm f không gian Lp (R+ , ρ), xác định ∞ f Lp (R+ ,ρ) p |f (x)| ρ(x)dx := p • (R) không gian ba tham số, xác định Lα,β,γ p Lα,β,γ (R) := Lp R, |x|α e−β|x| p • f Lα,β,γ (R) p γ , α ∈ R, < β < 1, γ > (R), xác định chuẩn hàm f không gian Lα,β,γ p  f Lα,β,γ (R) p 1/p ∞ :=  γ |f (x)|p |x|α e−β|x| dx −∞ c Các hàm đặc biệt • Erf(z), Erfi(z) tương ứng hàm sai số (error function) hàm sai số ảo (imaginary error function) • Γ(z) hàm Gamma • Gm,n p,q (·) hàm Meijer G • Jα (x), Yα (x) tương ứng hàm Bessel loại một, hàm Bessel loại hai • Iα (z), Kα (z) hàm Bessel suy biến • pF q(a; b; z) hàm siêu bội suy rộng −9− MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lí chọn đề tài Phép biến đổi tích phân Phép biến đổi tích phân đời sớm có vai trị quan trọng lý thuyết ứng dụng nhiều ngành khoa học, đặc biệt ngành Vật lý như: quang học, điện, học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lý ảnh, Phép biến đổi tích phân nghiên cứu xuất phát từ toán thực tế, Fourier J nghiên cứu trình truyền nhiệt, phép biến đổi có dạng (xem [48]) ∞ (F f )(x) = √ 2π e−ixy f (y)dy, y ∈ R, f ∈ L1 (R) (0.1) −∞ Nếu phép biến đổi tích phân Fourier đời nhằm mục đích giải vấn đề tốn truyền nhiệt, phép biến đổi tích phân Laplace, Mellin, Hankel, đời với mục đích nghiên cứu giải lớp phương trình vi tích phân hay phương trình đạo hàm riêng, phương trình xuất phát từ toán thực tiễn vật lý, học, địa lý hay hải dương học Năm 1942, phép biến đổi tích phân Hartley đề xuất thay cho phép biến đổi Fourier tác giả Hartley R.V.L., nhằm giải toán thực tế với ưu điểm số lĩnh vực như: xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm thanh, Phép biến đổi Hartley hàm f ∈ L1 (R) trình bày tài liệu Bracewell R.N [13], Nguyễn Thanh Hải cộng [21], Olejniczak K.J [31], Vũ Kim Tuấn Yakubovich S.B [50], xác định công thức ∞ (H1 f )(y) = √ 2π f (x) cas(xy)dx, (0.2) f (x) cas(−xy)dx, (0.3) −∞ ∞ (H2 f )(y) = √ 2π −∞ với điều kiện sau lim f (x) = lim f (x) = 0, |x|→∞ |x|→∞ f ẩn hàm, g ∈ L1 (R), h ∈ L1 (R+ ) hàm biết Ta dễ dàng chứng minh nghiệm toán định lý sau Định lý 4.2.2 Giả sử hàm h1 ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn điều kiện 1+ πy π sech y + (Fc h1 )(y) = 0, ∀y ∈ R+ , 2 (4.45) l ∈ L1 (R+ ) hàm xác định sau (Fc l)(x) = π 1+ sech πy y + (Fc h1 )(y) πy π + (F h )(y) sech y c 2 (4.46) Khi đó, phương trình vi-tích phân (4.44) có nghiệm L1 (R) xác định công thức f (x) = g(x) − (l ∗ g)(x), ∀x ∈ R 4.2.2 (4.47) Phương trình parabolic tuyến tính Xét phương trình parabolic sau ∂u(x, t) ∂ u(x, t) =− − Th (u)(x, t) ∂t ∂x2 (4.48) u(x, t) hàm chưa biết, ta chọn hàm nhân h(y) cho (Fc h)(y) = , + y2 hàm h(y) thỏa mãn điều kiện (4.3) Áp dụng phép biến đổi Hartley x cho hai vế phương trình (4.48), đặt (H1 u)(y, t) = U (y, t) ta nhận phương trình vi phân sau d U (y, t) = −y U (y, t) − (1 + y )(Fc h)(y)U (y, t), dt −112− tương đương với d U (y, t) = −(1 + y )U (y, t) dt Khi đó, nghiệm phương trình có dạng U (y, t) = e−(1+y )C(y)t (4.49) Chọn C(y) ≡ áp dụng phép biến đổi Hartley ngược, ta nhận nghiệm phương trình (4.48) sau √ x + Erfi √ t √ t x2 2e−t− 4t u(x, t) = , (4.50) Erfi(t) hàm sai số ảo 4.2.3 Hệ phương trình vi-tích phân Xét hệ hai phương trình vi-tích phân phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine có dạng f (x) + (Th g)(x) = p(x), g(x) + (Th f )(x) = q(x), (4.51) với điều kiện sau lim f (x) = lim f (x) = = lim g(x) = lim g (x) |x|→∞ |x|→∞ |x|→∞ |x|→∞ (4.52) Trong đó, tốn tử Th , Th xác định d2 (Th g)(x) := √ 1− dx 2π d2 √ Th f (x) := 1− dx 2π ∞ [g(x + u) + g(x − u)]h(u)du , ∞ [f (x + u) + f (x − u)]h(u)du , hàm h, h ∈ L1 (R+ ) xác định sau h(x) = h1 (τ ) ∗ sech τ (x), h(x) = h1 (τ ) ∗ sech τ (x), Fc Fc −113− (4.53) với f, g ∈ L1 (R) ẩn hàm; h, h1 , h, h1 , p, q hàm biết, hàm h1 , h1 ∈ L1 (R+ ); p, q ∈ L1 (R) Định lý sau cho phép ta xác định điều kiện có nghiệm cơng thức nghiệm hệ phương trình vi-tích phân (4.51) Định lý 4.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn π πy − (1 + y )2 sech2 |(Fc h1 )(y)|2 = 0, ∀y ∈ R, 2 (4.54) giả sử hàm l ∈ L1 (R+ ) xác định sau π πy (1 + y )2 sech2 |(Fc h1 )(y)|2 (Fc l)(y) = π πy 2 2 − (1 + y ) sech |(Fc h1 )(y)| 2 (4.55) Khi đó, hệ phương trình vi-tích phân (4.51) với điều kiện ban đầu (4.52) có nghiệm khơng gian L1 (R) × L1 (R) xác định f (x) = p(x) + (l ∗ p)(x) − (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ q (x) − l ∗ (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ q 2 Fc Fc (x) g(x) = q(x) + (l ∗ q)(x) − (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ p (x) − l ∗ (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ p 2 Fc Fc (x) (4.56) Chứng minh Áp dụng phép biến đổi Hartley H1 cho hai vế phương trình thứ hệ (4.44) đẳng thức nhân tử hóa (2.45), ta có (H1 p)(y) = (H1 f )(y) + (1 + y )H1 (h ∗ g)(y) 2 = (H1 f )(y) + (1 + y )(Fc h)(y) · (H1 g)(y) Theo công thức (4.53), (1.11) (1.9.4) [11], ta nhận (H1 p)(y) = (H1 f )(y) + (1 + y )[(Fc h1 )(y) · Fc (sech τ )(y)](H1 g)(y) = (H1 f )(y) + (1 + y )(Fc h1 )(y) · Fc (sech τ )(y) · (H1 g)(y) π πy = (H1 f )(y) + (1 + y ) sech (Fc h1 )(y) · (H1 g)(y) 2 −114− = (H1 f )(y) + 2Fc (sech3 τ )(y)(Fc h1 )(y) · (H1 g)(y), tương đương với (H1 p)(y) = (H1 f )(y) + 2Fc (h1 ∗ sech3 τ )(y) · (H1 g)(y) Fc (4.57) Bằng kỹ thuật tương tự ta có (H1 q)(y) = (H1 g)(y) + (1 + y )H1 (h ∗ f )(y), suy (H1 q)(y) = (H1 g)(y) + 2Fc (h1 ∗ sech3 τ )(y) · (H1 f )(y) Fc (4.58) Từ công thức (4.57) (4.58) suy hệ (4.51) viết dạng (H1 f )(y) + 2Fc (h1 ∗ sech3 τ )(y) · (H1 g)(y) = (H1 p)(y), Fc 2Fc (h1 ∗ sech3 τ )(y) · (H1 f )(y) + (H1 g)(y) = (H1 q)(y) (4.59) Fc Xét hệ (4.59) ta nhận ∆ = − 4Fc (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ (h1 ∗ sech3 τ ) (y) Fc Fc Fc π πy = − (1 + y )2 sech2 |(Fc h1 )(y)|2 2 (4.60) Từ điều kiện (4.54), theo Định lí Wiener-Lévy 1.1.1 tồn hàm l ∈ L1 (R+ ) cho công thức (4.55) thỏa mãn Do đó, ta nhận 4Fc (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ (h1 ∗ sech3 τ ) (y) Fc Fc Fc =1+ ∆ − 4Fc (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ (h1 ∗ sech3 τ ) (y) Fc Fc Fc π πy (1 + y )2 sech2 |(Fc h1 )(y)|2 = + (Fc l)(y) =1+ π πy 2 2 − (1 + y ) sech |(Fc h1 )(y)| 2 Khi đó, giải hệ (4.59) (H1 f )(y) (H1 g)(y), ta có ∆1 = (H1 p)(y) − 2H1 (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ q) (y), Fc ∆2 = (H1 q)(y) − 2H1 (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ p) (y) Fc −115− Từ đó, nhận hệ sau (H1 f )(x) = (H1 p)(x) + H1 (l ∗ p)(x) − 2H1 (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ q (x) Fc − 2H1 l ∗ (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ q 2 Fc (x) (H1 g)(x) = (H1 q)(x) + H1 (l ∗ q)(x) − 2H1 (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ p (x) Fc − 2H1 l ∗ (h1 ∗ sech3 τ ) ∗ p 2 Fc (x) Nhận thấy rằng, biểu thức với x ∈ R, điều tương đương với nghiệm cần tìm hệ phương trình vi-tích (4.51) biểu thức xác định công thức (4.56) Do hàm p, q thuộc không gian L1 (R), hàm h, h1 , h, h1 , l ∈ L1 (R+ ), nên theo Định lý 2.2.1, suy f ∈ L1 (R), g ∈ L1 (R), chúng thỏa mãn điều kiện (4.54) Định lý chứng minh ✷ −116− Kết luận chương Chương đạt số kết sau: • Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng HartleyFourier cosine, Hartley-Fourier sine nhận toán tử ngược tương ứng • Nhận định lý kiểu Watson, kiểu Plancherel L2 (R) Chứng minh tính bị chặn tốn tử tích phân khơng gian Lp (R), p • Xây dựng ví dụ cụ thể minh họa cho tồn tốn tử tích phân kiểu tích chập suy rộng nghiên cứu, làm rõ tồn phép biến đổi tích phân • Ứng dụng giải phương trình hệ phương trình vi-tích phân, nhận cơng thức biểu diễn nghiệm lớp phương trình đạo hàm riêng parabolic −117− KẾT LUẬN Các kết luận án đạt được: • Xây dựng tích chập suy rộng Hartley như: Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier, Hartley H1 H2 Nhận đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval định lý kiểu Titchmarch, định lý kiểu Wiener-Levy • Nhận bất đẳng thức tích chập suy rộng kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược, kiểu Young kiểu Hausdorff-Young tích chập suy rộng xây dựng Áp dụng bất đẳng thức thu để đưa đánh giá nghiệm phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel số tốn Tốn-Lý • Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine Th , Hartley-Fourier sine Tk nhận toán tử ngược tương ứng Th−1 , Tk−1 Nhận định lý kiểu Watson, định lý kiểu Plancherel L2 (R), tính bị chặn khơng gian Lp (R) với p • Ứng dụng kết nhận giải lớp phương trình hệ phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel, phương trình vi phân, phương trình hệ phương trình vi-tích phân, phương trình đạo hàm riêng parabolic chiều 118 KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Một số vấn đề cần nghiên cứu sau: • Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Hartley thang thời gian ứng dụng vào tốn tốn lý • Mở rộng kết nghiên cứu luận án khơng gian n chiều (n 2) • Nghiên cứu ứng dụng luận án vào việc giải số toán thực tiễn 119 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Thao N.X., Tuan V.K, and Anh H.T.V (2014), On the Toeplitz plus Hankel integral equation II, Integral Transforms and Special Functions, Vol 25, No 1, pp 75-84, (ISI) Thao N.X., and Anh H.T.V (2014), On the Hartley - Fourier sine generalized convolution, Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol 37, Issue 15, pp 2308-2319, (ISI) Anh H.T.V., and Thao N.X (2015), Hartley-Fourier cosine generalized convolution inequalities, Mathematical Inequalities and Applications, Vol 18, No 4, pp 1393-1408, (ISI) Thao N.X., and Anh H.T.V (2015), Hartley-Fourier sine generalized convolution inequalities, Kỷ yếu hội nghị quốc tế ứng dụng toán học, nhà xuất Thông tin Truyền thông, pp 120-131 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Đình Áng (2009), Biến đổi tích phân, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Thủy Thanh (2007), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2010), Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội [4] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết tốn tử phương trình tích phân kỳ dị, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Phan Quốc Khánh (2000), Toán chuyên đề, Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh [6] Achieser N.I (1956), Theory of Approximation, Frederick Ungar Publishing Co., New York, pp 230-233 [7] Adams R.A., and Fournier J.J.F (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed., Academic Press, New York, Amsterdam, Elsevier Science [8] Al-Musallam F., and Tuan V.K (2000), Integral transforms related to a generalized convolution, Results in Mathematics, Vol 38, No 3, pp 197208 [9] Al-Musallam F., and Tuan V.K (2000), A class of convolution transforms, Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol 3, Issue 3, pp 303-314 [10] Anh P.K., Tuan N.M., and Tuan P.D (2013), The finite Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 397, Issue 2, pp 537–549 121 [11] Bateman H., and Erdelyi A (1954), Table of Integral Transforms, New York-Toronto-London, Vol I McGraw-Hill Book Company, Inc [12] Băottcher A., and Silbermann B (2009), Analysis of Toeplitz Operators: Second Edition, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [13] Bracewell R.N (1986), The Hartley transform, Oxford University Press, Clarendon Press, New York [14] Britvina L.E (2005), A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution, Integral Transforms and Special Functions, Vol 16, Issue 5-6, pp 379-389 [15] Duoadikoetxea J (2001), Fourier Analysis, AMS Providence, Rhode Island [16] Bouzeffour F (2014), The generalized Hartley transform, Integral Transforms and Special Functions, Vol 25, Issue 3, pp 230-239 [17] Folland G.B (1992), Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth and Books, Ex 2, pp 240 [18] Giang B.T., Mau N.V., and Tuan N.M (2009), Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions, Integral Equations and Operator Theory, Vol 65 Issue 3, pp 363-386 [19] Giang B.T., and Tuan N.M (2010), Generalized convolutions and the integral equations of the convolution type, Complex Variables and Elliptic Equations, Vol 55, No 4, pp 331–345 [20] Gradshteyn, Ryzhik (2007), Tables of Integrals, Series, and Products, 7ed., Academic Press [21] Hai N.T., Yakubovich S.B., and Wimp J (1992), Multidimensional Watson transform International Journal of Mathematics and Statistics, Vol 1, No 1, pp 105-119 [22] Hong N.T (2010), Fourier cosine convolution inequalities and applications, Integral Transforms Special Functions, Vol 21, Issue 10, pp 755-763 −122− [23] Hong N.T., Tuan T., and Thao N.X (2013), On the Fourier cosineKontorovich-Lebedev generalized convolution transforms, Applications of Mathematics, Vol 58, Issue 4, pp 473-486 [24] Kakichev V.A (1967), On the convolution for integral transforms, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Matematika, Vol 2, pp 53-62 (In Russian) [25] Kakichev V.A., and Thao N.X (1998), On the design method for the generalized integral convolutions, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Matematika, Vol 1, pp 31-40 (In Russian) [26] Kakichev V.A., Thao N.X., and Tuan V.K (1998), On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms, East- West Journal of Mathematics, Vol 1, No 1, pp 85-90 [27] Luchko Y (2008), Integral transforms of the Mellin convolution type and their generating operators, Integral Transforms and Special Functions, Vol 19, Issue 11, pp 809-851 [28] Nhan N.D.V., and Duc D.T (2008), Reverse weighted Lp − norm inequalities and their applications, Journal of Mathematical Inequalities, Vol 2, No 1, pp 57-73 [29] Nhan N.D.V., Duc D.T., and Tuan V.K (2009), On some reverse weighted Lp (R+ ) − norm inequalities in convolution and their applications, Mathematical Inequalities and Applications, Vol 12, No 1, pp 67-80 [30] Nikiforov F., and Uvarov B (1988), Special Functions of Mathematical Physics: A Unified Introduction with Applications Birkhauser Verlag Basel [31] Olejniczak K.J (2000), The Hartley transform, The Transform and Applications Handbook, edited by A D Poularikas, 2nd Edition, The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, pp 341-401 [32] Paley R.E.A.C., and Wiener N (1934), Fourier Transforms in the Complex Domain AMS, New York −123− [33] Papoulis A (1962), The Fourier Integrals and Its Applications, McGrawHill [34] Paraskevas I., Barbarosou M., and Chilton E (2015), Hartley transform and the use of the Whitened Hartley spectrum as a tool for phase spectral processing, The Journal of Engineering, Accepted on 9th February [35] Poularikas A.D (2010), Transforms and Applications Handbook, CRC Press, Taylor and Francis Group [36] Sneddon I.N (1951), Fourier Transforms, McGraw-Hill, New York [37] Sneddon I.N (1972), The Use of Integral Transforms, Mc Gray-Hill NewYork [38] Stein E.M., and Weiss G (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Space, Princeton Univ Press [39] Saitoh S (2000), Weighted Lp -norm inequalities in convolution, Survey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Publishers, Amsterdam, pp 225234 [40] Saitoh S., Tuan V.K., and Yamamoto M (2003), Convolution inequalities and applications, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol 4, Issue 3, pp 1-8 [41] Saitoh S., Tuan V.K., and Yamamoto M (2000), Reverse weighted Lp norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol.1, Issue 1, Article [42] Saitoh S., Tuan V.K., and Yamamoto M (2002), Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol 3, Issue 5, pp 1-11 [43] Thao N.X., and Khoa N.M (2006), On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier sine and cosine transforms, Integral Transforms and Special Function, Vol 17, No 9, pp 673-685 [44] Thao N.X., Tuan V.K., and Hong N.T (2007), Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, pp 1-11 −124− [45] Thao N.X., Tuan V.K., and Hong N.T (2008), Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equations, Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol 11, No 2, pp 153-174 [46] Thao N.X., and Hong N.T (2008), Integral transforms related to the Fourier sine convolution with a weight function, Vietnam Journal of Mathematics, Vol 6, No 1, pp 83-101 [47] Thao N.X., Tuan V.K., and Hong N.T (2011), Toeplitz plus Hankel integral equations, Integral Transforms and Special Functions, Vol 22, Issue 10, pp 723-737 [48] Titchmarch E.C (1986), Introduction to the Theory of Fourier integrals, 3rd Ed, Chelsea publishing Co., NewYork [49] Tsitsiklis J.N., and Levy B.C (1981), Integral equations and resolvents of Toeplitz plus Hankel kernels, Laboratory for Information and Decision Systems, Massachusetts Institute of Technology Series/Report No.: LIDSP 1170 [50] Tuan V.K., and Yakubovich S.B (1992), A criterion for a two-sided integral transform to be unitary Ukrainian Mathematical Journal, Vol 44, Issue 5, pp 630-632 [51] Tuan V.K (1999), Integral transforms of Fourier cosine convolution type, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 229, Issue 2, pp 519-529 [52] Vilenkin Y.Ya (1958), Matrix elements of midecomsale unitary representations for motions group of the Lobachevskii’s space and generalized MehlerFox transforms, Doklady Akademii Nauk SSSR, Vol 118, No 2, pp 219222 (In Russian) [53] Xiao-Hua L (1990), On the inverse of Hă older inequality, Math Practice and Theory, Vol 1, pp 84-88 [54] Yakubovich S.B (1990), On the construction method for construction of integral convolution, Doklady Akademii Nauk SSSR, Vol 34, No 7, pp 588-591 −125− [55] Yakubovich S.B., and Luchko Yu.F (1991), The Hypergeometric Approach to Integral Transforms and Convolutions, Kluwer Academic Publishers [56] Yakubovich S.B., and Mosinski A.I (1993), Integral-equation and convolutions for transform of Kontorovich-Lebedev type, Differential Equations (Differentsial’nye Uravneniya), Vol 29, No 7, pp 1107-1118 (In Russian) [57] Yakubovich S.B (2003), Integral transforms of the Kontorovich-Lebedev convolution type, Collectanea Mathematica, Vol 54, No 2, pp 99-110 [58] Yakubovich S.B (2014), On the half-Hartley transform, its iteration and compositions with Fourier transforms, J Integral Equations Applications, Vol 26, No 4, pp 581-608 [59] Yakubovich S.B (2014), The Plancherel, Titchmarsh and Convolution theorems for the half-Hartley transform, Integral Transforms and Special Functions, Vol 25, Issue 10, pp 836-848 [60] Yakubovich S.B (2004), New inversion, Convolution and Titchmarsh’s theorems for the half-Hartley transform, arXiv preprint arXiv:1401.3143 −126− ... vi nghiên cứu: Là phép biến đổi tích phân, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, kiểu tích chập suy rộng; tích chập tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier... hiệu tích chập, tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Các tích chập, tích chập suy rộng • (· ∗ ·) tích chập phép biến đổi Fourier • (· ∗ ·) tích chập phép biến đổi Laplace • (· ∗ ·) tích chập. .. cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley cấu trúc tốn tử mục đích luận án Tích chập tích chập suy rộng Một vấn đề quan trọng phép biến đổi tích phân nghiên cứu tích chập, tích