Quan hệ giữa hệ số hilbert hiệu chỉnh và môđun cohen macaulay suy rộng dãy

VI N HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CỌNG NGH VI T NAM VI N TOÁN HỌC -oOo - Nguy n Tuấn Long QUAN H GIỮA H SỐ HILBERT HI U CHỈNH VÀ MỌĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG DÃY Tai Lieu Chat Luong LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀNỘI-2016 VI N HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CỌNG NGH VI T NAM VI N TOÁN HỌC -oOo - Nguy n Tuấn Long QUAN H GIỮA H SỐ HILBERT HI U CHỈNH VÀ MỌĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG DÃY Chuyên ngành: Đại s lý thuy t s Mư s : 62 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ H ỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguy n Tự C ờng GS TS Lê Th Thanh Nhàn HÀNỘI-2016 Tóm tắt Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Cho D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) lọc chiều M Một iđêan tham số q M gọi iđêan tham số tách biệt M tồn hệ tham số x1 , , xd cho q = (x1 , , xd ) (xdim Di +1 , , xd )Di = với i = 1, , t Môđun M gọi Cohen-Macaulay suy rộng dãy Di /Di+1 môđun CohenMacaulay suy rộng với i = 0, , t−1 Chú ý với iđêan tham số q M, ! d X n + d − i (−1)i ei (q; M) tồn số nguyên ei (q; M) cho ℓ(M/qn+1 M) = d−i i=0 với n ≫ Các số nguyên ei (q; M) gọi hệ số Hilbert M q ! d X n + i ad adegi (q; M) hàm Chúng xét hiệu Hq,M (n) = ℓ(M/qn+1 M) − i i=0 số biến n, gọi hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel M q, ad adegi (q; M) bậc số học thứ i M q Với n ≫ 0, hàm Hq,M (n) đa thức Pad q,M (n), gọi đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel M q Mục tiêu luận án nghiên cứu hệ số Hilbert M, từ đặc trưng cấu trúc môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Luận án chia làm bốn chương Trong Chương 1, nhắc lại khái niệm tính chất cần thiết Trong Chương 2, đưa chặn cho số quy CastelnouvoMumford mơđun phân bậc liên kết iđêan tham số tách biệt môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Trong Chương 3, chứng minh q iđêan tham số tách ad biệt M tồn số nguyên n0 cho Hq,M (n) ≥ với n ≥ n0 Hơn nữa, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy chọn n0 độc lập với cách chọn q Chương dành riêng để chứng minh kết sau luận án: Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Khi đó, mơđun M Cohen-Macaulay suy rộng dãy tập PD (M) đa thức Pad q,M (n), q chạy tập iđêan tham số tách biệt M, hữu hạn Abstract Let (R, m) be a Noetherian local ring and M a finitely generated R-module of dimension d Let D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) be the dimension filtration of M A parameter ideal q of M is called a distinguished parameter ideal of M if there is a system of parameters x1 , , xd such that q = (x1 , , xd ) and (xdim Di +1 , , xd )Di = for all i = 1, , t The module M is called sequentially generalized Cohen-Macaulay if Di /Di+1 is a generalized Cohen-Macaulay module for all i = 0, , t − It is well known that for each parameter ideal q of M, there ! d X n+d−i i n+1 (−1) ei (q; M) for all exists integers ei (q; M) such that ℓ(M/q M) = d − i i=0 n ≫ These integers ei (q; M) are called Hilbert coefficients of M with respect to q ! d X n+i n+1 ad adegi (q; M) , a function in n, called We consider Hq,M (n) = ℓ(M/q M) − i i=0 an adjusted Hilbert-Samuel function of M with respect to q, where adegi (q; M) is ad the i-th arithmetic degree of M with respect to q For n ≫ 0, the function Hq,M (n) ad becomes a polynomial Pq,M (n), called an adjusted Hilbert-Samuel polynomial of M with respect to q The aim of this thesis is studying the Hilbert coefficients of M, from this we give a characterization of sequentially generalized Cohen-Macaulay modules The thesis is divided into four chapters Chapter presents some preliminary notions and results In Chapter 2, we establish an uniform bound for the Castelnouvo-Mumford regularity of the associated graded modules with respect to distinguished parameter ideals of a sequentially generalized Cohen-Macaulay module In Chapter 3, we prove that if q is a distinguished parameter ideal of M then ad there exists an integer n0 such that Hq,M (n) ≥ for all n ≥ n0 Moreover, if M is sequentially generalized Cohen-Macaulay, then n0 could be choosen to be independent from the choice of q Chapter is devoted to the proof of the following main result of the thesis: Assume that R is a homomorphic image of a Cohen-Macaulay local ring Then, the module M is sequentially generalized Cohen-Macaulay if and only if the set PD (M) of polynomials Pad q,M (n), where q runs over the set of all distinguished parameter ideals of M, is finite Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Những kết viết chung với tác giả khác đồng tác giả cho phép đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Tuấn Long Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy, GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy dạy học Đại số giao hốn, hướng dẫn tơi từ học thạc sĩ nghiên cứu sinh Luận án khơng thể hồn thành khơng có hướng dẫn kiên trì, tận tâm Thầy Đối với tôi, Thầy người cha, ln kiên trì, mong mỏi đứa trưởng thành khoa học sống Một lần nữa, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy gia đình Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Cô, GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô người bảo kiến thức vỡ lòng từ sinh viên đại học học nghiên cứu sinh Cô người đường, dẫn dắt bước cho hệ trẻ đường nghiên cứu khoa học có tơi Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH Nguyễn Tự Cường GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Một lần nữa, xin gửi lời cảm ơn đến Thầy Cô Tôi xin gửi lời cảm ơn đến GS TSKH Lê Tuấn Hoa, đưa nhiều góp ý để luận án rõ ràng, xác Tơi xin gửi lời cảm ơn đến anh, chị, em làm nghiên cứu sinh Viện Toán học, đặc biệt TS Hồng Lê Trường TS Phạm Hùng Q, có nhiều giúp đỡ, chia sẻ với khoa học sống Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Viện Toán học, Trung tâm đào tạo sau đại học Viện Tốn học, phịng ban chức năng, tạo điều kiện cho tơi q trình học tập nghiên cứu từ học viên cao học viện Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Khoa Toán Kinh tế, trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội tạo điều kiện cho công tác để có thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bố, mẹ, vợ gái Họ chia sẻ, động viên suốt thời gian học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận án Tơi xin tặng luận án cho bố, mẹ, vợ gái nhỏ tuổi Mục lục Mở đầu Chuẩn bị 12 1.1 Lọc chiều, hệ tham số tốt hệ tham số tách biệt 12 1.2 Môđun Cohen-Macaulay dãy 14 1.3 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 17 1.4 Hệ số Hilbert 19 Chặn số quy cho mơđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy 21 2.1 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy 2.2 Chặn số quy cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy 29 Về hiệu chỉnh hàm Hilbert-Samuel 22 37 3.1 Bậc số học 37 3.2 Hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel 43 3.3 Tính khơng âm hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy 48 Hệ số Hilbert môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy 4.1 Đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel 54 55 4.2 4.3 Tính hữu hạn tập đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy 58 Đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy qua hệ số Hilbert 64 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 72 Tài liệu tham khảo 73 Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại m M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Khi đó, với x = x1 , , xd hệ tham số M, có ℓ(M/xM) ≥ e(x; M), ℓ(•) hàm độ dài e(x; M) số bội M hệ tham số x Nếu với (hoặc tồn tại) hệ tham số x cho ℓ(M/xM) = e(x; M) M gọi mơđun Cohen-Macaulay Lớp môđun Cohen-Macaulay đối tượng nghiên cứu trung tâm Đại số giao hoán Một mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay lớp môđun Buchsbaum J Stăuckrad-W Vogel [33] a Mụun M c gi Buchsbaum tồn số C cho ℓ(M/xM) = e(x; M) + C với hệ tham số x Do đó, mơđun Cohen-Macaulay trường hợp đặc biệt môđun Buchsbaum với C = Tiếp sau đó, N T Cường-P Schenzel-N V Trung [43] đưa lớp mơđun thỏa mãn tính chất tồn số C cho ℓ(M/xM) ≤ e(x; M)+C với hệ tham số x, gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng Hằng số C nhỏ ! d−1 X d−1 ℓ(Hmi (M)), thường gọi thỏa mãn điều kiện xác định C = i i=0 số Buchsbaum ký hiệu I(M), Hmi (M) môđun đối đồng điều địa phương thứ i M iđêan cực đại m Một hướng mở rộng khác, lớp môđun Cohen-Macaulay dãy môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, N T Cường-L T Nhàn [12] đưa cho trường hợp địa phương Lưu ý, khái niệm môđun CohenMacaulay dãy R P Stanley [32] đưa cho trường hợp phân bậc Trong trường hợp địa phương, lọc môđun F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ M s M gọi lọc Cohen-Macaulay (tương ứng, lọc Cohen-Macaulay suy rộng) dim Mi+1 < dim Mi , ℓ(M s ) < ∞ Mi /Mi+1 môđun Cohen-Macaulay (tương ứng, Cohen-Macaulay suy rộng) với i = 0, , s − Môđun M gọi Cohen-Macaulay dãy (tương ứng, Cohen-Macaulay suy rộng dãy) M có lọc Cohen-Macaulay (tương ứng, lọc Cohen-Macaulay suy rộng) N T Cường-Đ T Cường [6] [7] dùng sai khác độ dài môđun M/xM số bội Dễ thấy, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, F : M ⊃ M ⊃ ⊃ M t−2 ⊃ lọc Cohen-Macaulay suy rộng M q iđêan tham số tách biệt M lọc F Theo Bổ đề 1.4.2 Bổ đề 3.1.6 (−1)d−1 ed−1 (q, M) − adeg1 (q, M) = (−1)d−1 ed−1 (q, M) Áp dụng Định lý 2.2.6 cho môđun M, ta có reg(Gq (M)) ≤ C = (3I(F , M))d! − 2I(F , M) Khi đó, I(F ; M) = I(F , M) + I(Mt−2 /Mt−1 ) + ℓ(Mt ) C ≤ C Chọn y1 , , yd hệ tham số tách biệt M lọc F cho q = (y1 , , yd ) y = y1 phần tử bề mặt M q Vậy, theo quy nạp ta có | (−1)d−1 ed−1 (q; M) − adeg1 (q; M) | =| (−1)d−1 ed−1 (q; M) | =| (−1)d−1 ed−1 (q; M/yM) |  d−1 ≤ 2d−2 (C y + 1)d−1 I(F /yM, M/yM) + d − + C y + I(F /yM, M/yM)  d−1 ≤ 2d−1 (C + 1)d−1 I(F , M) + d + C + I(F , M)  d−1 ≤ 2d−1 (C + 1)d−1 I(F , M) + d + C + I(F , M) Do đó, (2) chứng minh Tiếp theo, n+1 ℓ(M/q d X ! n+d−i (−1) ei (q; M) )= d−i i=0 i với n ≥ r (theo Bổ đề 1.4.1), ta có d−1  X  n + d − i! ad (−1)d ed (q; M) = Hq,M (n) − (−1)i ei (q; M) − adegd−i (q; M) d − i i=1 ! r+1 Với n ≥ r + I(F , M) + d, lần sử dụng Định lý 3.3.5 Bổ đề 62 4.2.1, ta có ! ! t−1 X n + di − n+d−1 | ed (q; M) | ≤ I(Mi /Mi+1 ) + I(M/M1 ) d − d − i i=0 ! d−1 X n+d−i i | (−1) ei (q; M) − adegd−i (q; M) | + d−i i=2 t X (n + 1)d−1 I(Mi /Mi+1 ) + (n + 1)d−1 I(F , M) ≤ + i=0 d−1 X i−1 i=2  d−1 (C + 1) i−1 I(F , M) + d + C + I(F , M)(n + 1)d−i Chọn ! r + d − n = (C + 1)d−1 I(F , M) + d + C + ≥ r + I(F , M) + d d−1 Cuối cùng,  d−1 I(F , M) | ed (q; M) | ≤ (C + 1)d−1 I(F , M) + d + C + +{ d−1 X i=2 i−1  d−1 d−1 (C + 1) I(F , M) + d + C + I(F , M)}  d−1 = 2d−1 (C + 1)d−1 I(F , M) + d + C + I(F , M) Phát biểu (3) chứng minh  Định lý 4.2.4 Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy F lọc Cohen-Macaulay suy rộng M Khi tập đa thức PF (M) hữu hạn Chứng minh Nếu d = M mơđun Cohen-Macaulay dãy Do đó, tập đa thức hiệu chỉnh PF (M) = {0} theo Hệ 4.1.4 Giả sử d ≥ Lưu ý, đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel Pad q,M (n) ∈ PF (M) có dạng ! d X  n + d − i i Pad (n) = (−1) e (q; M) − adeg (q; M) i d−i q,M d − i i=1 Theo Định lý 4.2.3, tồn số Ci với i = 1, , d cho | (−1)i ei (q; M) − adegd−i (q; M) |≤ Ci , | (−1)d ed (q; M) − adeg0 (q; M) |≤| (−1)d ed (q; M)) | +ℓ(Hm0 (M)) ≤ Cd + ℓ(Hm0 (M)) Do đó, theo Chú ý 4.1.3(ii) ta có điều cần chứng minh 63  4.3 Đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy qua hệ số Hilbert Trước hết ta xét tập hệ tham số sau Ký hiệu 4.3.1 Cho x = x1 , , xd hệ tham số tách biệt M Ký hiệu S(x; M) = {{x1n1 , , xdnd } | ni > xini , , xdnd hệ tham số tách biệt ni−1 )M với i = 1, , d}, M/(x1n1 , , xi−1 với quy ước x0 = nd−1 nd +k nd−1 nd , xd } ∈ , xd } ∈ S(x; M) {x1n1 , , xd−1 Giả sử d ≥ Khi đó, {x1n1 , , xd−1 S(x; M) với số nguyên dương k Do đó, S(x; M) , ∅ S(x; M) tập có vơ hạn phần tử Bổ đề 4.3.2 Giả sử d = dim M ≥ x = x1 , , xd hệ tham số tách biệt M cho S(x; M) , ∅ Lấy {y1 , , yd } ∈ S(x; M) Khi đó, phát biểu sau (i) y1 , , yd d-dãy M (ii) Nếu {z2 , , zd } ∈ S(y2 , , yd ; M/y1 M) {y1 , z2 , , zd } ∈ S(x; M) (iii) Nếu M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy S(x; M) ln chứa dd-dãy M Chứng minh (i) Vì {y1 , , yd } ∈ S(x; M) yi , , yd hệ tham số tách biệt M/(y1 , , yi−1 )M Cho nên (yi , , yd )Hm0 (M/(y1 , , yi−1 )M) = Do đó, (y1 , , yi−1 )M : yi = Hm0 (M/(y1 , , yi−1 )M) = ∞ [ ((y1 , , yi−1 )M : (yi , , yd )n ), n=1 với i = 1, , d Hơn nữa, y1 , , yd dãy lọc quy M Vì vậy, y1 , , yd d-dãy theo [35, Theorem 1.1(vii)] (ii) Ta cần chứng minh y1 , z2 , , zd hệ tham số tách biệt M Thật vậy, {y1 , , yd } ∈ S (x; M) nên y1 , , yd hệ tham số tách biệt M Lưu ý, với d − số nguyên dương n2 , , nd ln có y1 , yn22 , yndd hệ tham số tách biệt M Do đó, y1 , z2 , , zd hệ tham số tách biệt M 64 (iii) Theo Bổ đề 1.1.7, S(x; M) chứa hệ tham số tốt Giả sử {y1 , , yd } ∈ S(x; M) y1 , , yd hệ tham số tốt Khi đó, theo [7, Theorem 3.8, Corollary 3.9] ta có yn11 , , yndd dd-dãy M với n1 , , nd đủ lớn Hơn nữa, {y1 , , yd } ∈  S(x; M) yn11 , , yndd dd-dãy M nên ta có {yn11 , , yndd } ∈ S(x; M) Cho F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mt lọc F (M) x1 , , xd hệ tham số tách biệt M lọc F Với d j ≤ k < d j−1 , đặt M i = (Mi + (x1 , , xk )M)/(x1 , , xk )M với i = 0, , t Khi đó, ký hiệu F /(x1 , , xk )M : M = M ⊃ M ⊃ ⊃ M s = lọc M, s = j k = d j s = j + trường hợp lại Hơn nữa, xk+1 , , xd hệ tham số tách biệt M lọc F /(x1 , , xk )M Bổ đề sau tồn hệ tham số x1 , , xd cho F /(x1 , , xk )M ∈ F (M) Bổ đề 4.3.3 Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Khi tồn hệ tham số tách biệt x = x1 , , xd M cho F /(x1 , , xi )M ∈ F (M/(x1 , , xi )M) với i = 0, , d − lọc F ∈ F (M) Hơn nữa, S(x; M) , ∅ Chứng minh Gọi D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) lọc chiều M Khi đó, R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương nên tập iđêan nguyên tố A(M) Chú ý 3.1.10 hữu hạn Theo Định lý tránh nguyên S tố, chọn x1 ∈ AnnR (Dt ) \ p Hơn nữa, D/x1 M ∈ F (M/x1 M) p∈A(M) theo Bổ đề 3.1.11(i) Giả sử chọn x1 , , xi cho D/(x1 , , xi )M ∈ F (M/(x1 , , xi )M) Ký hiệu k số nguyên thỏa mãn dk < i + ≤ dk−1 Giả sử AnnR (Dk ) ⊆ p với vài p ∈ A(M/(x1 , , xi )M) Kéo theo AnnR (Dk ) + x1 + + xdk ⊆ p Dẫn đến < dim R/p < dim R/(AnnR (Dk ) + x1 + + xdk ) = 0, vơ lý S Vì ln chọn xi+1 ∈ AnnR (Dk )\ p Do đó, chọn hệ p∈A(M/(x1 , ,xi )M) tham tham số tách biệt x = x1 , , xd M Mặt khác theo Bổ đề 3.1.4(ii), ta có F /(x1 , , xi )M ∈ F (M/(x1 , , xi )M) với i = 0, , d − lọc F ∈ F (M) Tiếp theo, chứng minh tồn số nguyên dương n1 , , nd cho {x1n1 , , xdnd } ∈ S(x; M) quy nạp theo d Nếu d = {x1n1 } ∈ S(x; M) với số nguyên dương n1 Xét trường hợp d > Cố định số nguyên dương n1 Khi đó, D/x1n1 M ∈ F (M/x1n1 M) theo chứng minh Hơn nữa, x2 , , xd hệ tham số tách biệt M/x1n1 M lọc D/x1n1 M Vì vậy, theo giả thiết quy nạp tồn ni+1 , , xdnd hệ tham số tách biệt d − số nguyên dương n2 , , nd cho xi+1 65 M/(x1n1 , x2n2 , , xini )M với i = 2, , d Thêm vào đó, x1n1 , , xdnd ln hệ tham  số tách biệt M Vì vậy, {x1n1 , , xdnd } ∈ S(x; M) Bổ đề 4.3.4 Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương d = dim M ≥ Cho F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mt lọc F (M) Khi đó, Hm1 (M/Mi+1 ) mơđun có độ dài hữu hạn với i = 0, 1, , t − di ≥ Chứng minh Trước hết, ta có AssR (Mi /Mi+1 ) ⊆ AsshR (Mi /Mi+1 ) ∪ {m} theo Bổ đề 3.1.3 Vì vậy, theo [15, Lemm 3.1], mơđun Hm1 (Mi /Mi+1 ) có độ dài hữu hạn với i = 0, , t − di ≥ Ta chứng minh quy nạp theo i Nếu i = ta có Hm1 (M/M1 ) mơđun có độ dài hữu hạn Giả sử i > 0, từ dãy khớp ngắn −→ Mi /Mi+1 −→ M/Mi+1 −→ M/Mi −→ 0, ta có dãy khớp dài mơđun đối đồng điều địa phương −→ Hm1 (Mi /Mi+1 ) −→ Hm1 (M/Mi+1 ) −→ Hm1 (M/Mi ) −→ Nếu di ≥ di−1 > di ≥ Theo giả thiết quy nạp, mơđun Hm1 (M/Mi ) có độ dài hữu hạn Do đó, Hm1 (M/Mi+1 ) có độ dài hữu hạn  Cũng giống môđun Cohen-Macaulay suy rộng, N T Cường -Đ T Cường [7, Proposition 3.5] đưa đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy qua đối đồng điều địa phương sau Bổ đề 4.3.5 M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy tồn lọc môđun F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ M s cho ℓ(M s ) < ∞ Hmj (M/Mi ) có độ dài hữu hạn với i = 1, , s j = 0, , dim Mi−1 − Với x = x1 , , xd Bổ đề 4.3.3, ta ký hiệu [ ∧ x (M) = ∧(y; M), y∈S(x;M) ∧(y; M) = {| (−1)i ei (y; M) − adegd−i (y; M) | | với i = 1, , d − 1} Định lý sau ∧ x (M) tập hữu hạn Định lý 4.3.6 Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương d = dim M ≥ Cho D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) lọc chiều M x = x1 , , xd Bổ đề 4.3.3 Khi đó, ∧ x (M) tập hữu hạn mℓ Hmj (M/Di+1 ) = với j = 1, , di − 1, di ≥ i = 0, , t − 1, ℓ = max ∧ x (M) 66 Chứng minh Lấy y = {y1 , , yd } ∈ S(x; M) Theo Bổ đề 1.4.2 Hệ 3.1.7, ta có ei (y; M) = ei (y; M/Hm0 (M)), adegd−i (y; M) = adegd−i (y; M/Hm0 (M)), với i = 0, , d − Hay ∧ x (M) = ∧ x (M/Hm0 (M)) Vì vậy, giả thiết thêm Hm0 (M) = Chúng ta chứng minh quy nạp theo chiều d M Nếu d = ∧(y; M) = {| (−1)e1 (y; M) − adeg1 (y; M) |} Mặt khác, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy theo Bổ đề 4.3.4 Khi đó, theo Bổ đề 4.3.2(iii) S (x; M) chứa z1 , z2 dd-dãy M Theo Bổ đề 4.1.5, (−1)e1 (z1 , z2 ; M/D1 ) − adeg1 (z1 , z2 ; M) = ℓ(Hm1 (M/D1 )) Do đó, ℓ(Hm1 (M/D1 )) ∈ ∧ x (M) Vì vậy, mℓ Hm1 (M/D1 ) = Giả sử d > Theo Bổ đề 4.3.2(i), ta có y, z d-dãy Do đó, y phần tử bề mặt M iđêan (y, z) (theo [35, Theorem 1.1(v)]) Theo Bổ đề 1.4.5 Bổ đề 3.1.8, ei (y, z; M) = ei (z; M/yM), adegd−i (y, z; M) = adegd−i−1 (z; M/yM) với i = 0, , d − Suy ∧y2 , ,yd (M/yM) ⊆ ∧ x (M) Đặt M = M/yM Di = (Di + yM)/yM với i = 0, , s − 1, s = t dt−1 > s = t − trường hợp lại Theo Bổ đề 4.3.3, ta có D/yM : M = D0 ⊃ ⊃ D s = ′ ′ ′ lọc F (M/yM) Gọi D : M = D0 ⊃ ⊃ D s lọc chiều M Khi đó, ′ ′ theo giả thiết quy nạp, với j = 1, , dim Di − dim Di = di − ≥ 2, ta có ′ ′ mℓ Hmj (M/Di+1 ) = 0, ′ ℓ′ = max ∧y2 , ,yd (M) ≤ ℓ = max ∧ x (M) Do ℓ(Di+1 /Di+1 ) < ∞, ta có ′ Hmj (M/Di+1 )  Hmj (M/Di+1 )) với j ≥ i = 0, , s − Hơn nữa, M/Di+1  M/(yM + Di+1 ) ta có mℓ Hmj (M/(yM + Di+1 )) = với di ≥ j = 1, , di − Theo Bổ đề 4.3.3 y phần tử lọc quy M nên M/Di+1 -chính quy với i = 0, , t − Từ dãy khớp ngắn M M yn M −−→ −→ 0, −→ −→ Di+1 Di+1 Di+1 + yn M 67 ta có dãy khớp dài −→ Hmj−1 ( M M M yn j j − − → H ( ) ) −→ ) −→ H ( m m Di+1 + yn M Di+1 Di+1 với số nguyên dương n Do đó, mℓ (0 :Hmj (M/Di+1 ) yn ) = với j = 2, di − di ≥ Tuy nhiên, n ℓ độc lập mℓ Hmj (M/Di+1 ) = với j = 2, di − di ≥ Mặt khác, theo Bổ đề 4.3.4 Hm1 (M/Di+1 ) mơđun có độ dài hữu hạn với i cho di ≥ Do M mơđun CohenMacaulay suy rộng dãy theo Bổ đề 4.3.5 Do S(x; M) chứa dd-dãy M (theo Bổ đề 4.3.2(iii)), nên giả sử q iđêan tham số M sinh dd-dãy S(x; M) Khi đó, theo Bổ đề 4.1.5 ta có ! di+1 X di+1 − d−di+1 ℓ(Hmj (M/Di+1 )) ed−di+1 (q; M) − adegdi+1 (q; M) = ad−di+1 = (−1) j−1 j=1 Vì ℓ(Hm1 (M/Di+1 )) ≤ ℓ với i cho di ≥ Định lý chứng minh  Định lý sau đưa đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Định lý 4.3.7 Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (i) M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy (ii) Với F ∈ F (M), tập đa thức PF (M) hữu hạn (iii) Tồn F ∈ F (M), tập đa thức PF (M) hữu hạn (iv) Tập đa thức PD (M) hữu hạn Chứng minh (i) ⇒ (ii) suy từ Định lý 4.2.3 (ii) ⇒ (iii) hiển nhiên (iii) ⇒ (iv) suy từ Chú ý 4.1.3(i) (iv) ⇒ (i) Lấy x = x1 , , xd Bổ đề 4.3.3 Khi đó, tập PD (M) hữu hạn nên tập ∧ x (M) hữu hạn Vì vậy, theo Định lý 4.3.6 Bổ đề 4.3.5 ta có M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy  68 Chứng minh Định lý Với M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, theo (i) ⇒ (iv) Định lý 4.3.7 đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel PD (M) hữu hạn Ngược lại, với PD (M) hữu hạn M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy theo (iv) ⇒ (i) Định lý 4.3.7  69 Kết luận luận án Kết quan trọng luận án chứng minh định lý sau Định lý Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Khi đó, M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy tập đa thức PD (M) hữu hạn Để chứng minh kết cần thực hai bước sau Với M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy F lọc CohenMacaulay suy rộng M, đưa chặn số quy CastelnuovoMumford cho môđun phân bậc liên kết Gq (M) với iđêan tham số tách biệt M lọc F Với q iđêan tham số tách biệt M ln tồn số n0 cho hàm hiệu ad chỉnh Hilbert-Samuel Hq,M (n) ≥ với n ≥ n0 Hơn nữa, M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy số n0 độc lập với cách chọn hệ tham số q 70 Một số hướng phát triển luận án Tìm chặn chặt cho số quy Castelnuovo-Mumford Định lý 2.2.6, trước hết môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy chiều nhỏ Tìm chặn chặt cho hệ số đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel Pad q,M (n) M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Đặc trưng lớp iđêan tham q số cho hệ số đa thức Pad q,M (n) bị chặn Tiếp tục nghiên cứu ứng dụng tập hệ tham số S(x; M) (xem Ký hiệu 4.3.1) vào chủ đề khác 71 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án N T Cuong, N T Long and H L Truong (2015), "Uniform bounds in Sequentially generalized Cohen - Macaulay Modules", Vietnam J Math 43, 343-356 N T Long (2015), "On adjusted Hilbert-Samuel function", Acta Math Vietnamica 40, 463-477 N T Cuong, N T Long and H L Truong, "Hilbert coefficients in sequentially generalized Cohen-Macaulay module", preprint, 19 pp Các kết luận án báo cáo thảo luận - Xêmina Đại số Lý thuyết số-Viện Toán học - Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học, 10/2009; 10/2010; 10/2011; 10/2012 - Hội nghị Hình học - Đại số - Tô pô, Thái nguyên, 11/2011 - Hội thảo liên kết Nhật Bản - Việt Nam lần thứ 7, Quy Nhơn, 12/2011 - Hội thảo liên kết Nhật Bản - Việt Nam lần thứ 8, Tuần Châu, 3/2016 72 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đ.T Cường, dd-dãy, đặc trưng Euler-Poincaré ứng dụng vào nghiên cứu cấu trúc số lớp mở rộng môđun Cohen-Macaulay, Luận án Tiến sĩ, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [2] C H Linh Chặn số quy Castelnuovo-Mumford mơđun phân bậc liên kết, Luận án Tiến sĩ, Đại học Huế, 2006 Tiếng Anh [3] I M Aberbach, L Ghezzi and Huy Tai Ha, Homology multipliers and the relation type of parameter ideals, Pacific Journal of Mathematics 226 (2006), 1-40 [4] D Bayer and D Mumford, What can be computed on algebraic geometry?, Computational Algebraic Geometry and Commutative algebra, Proceedings Cortona (1991)(D Eisenbud and L Robbiano Eds), Cambridge University Press (1993), 1-48 [5] M Brodmann and R Y Sharp, Local cohomology an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press (1998) [6] N T Cuong and D T Cuong, On sequentially Cohen-Macaulay modules, Kodai Math J 30 (2007) 409-428 [7] N T Cuong and D T Cuong, On the structure of sequentially generalized Cohen-Macaulay modules, J Algebra 317 (2007), 714-742 73 [8] N T Cuong and D T Cuong, dd-sequences and partial Euler- Poincaré characteristics of Koszul complex, J Algebra Appl (2007), 207-231 [9] N T Cuong, S Goto and H L Truong, Hilbert coefficients and sequentially Cohen-Macaulay module, J Pure Appl Algebra, 217 (2013), 470-480 [10] N T Cuong, N T Long and H L Truong, Uniform bounds in Sequentially generalized Cohen - Macaulay Modules, Vietnam J Math 43 (2015), 343356 [11] N T Cuong, N T Long and H L Truong, Hilbert coefficients in sequentially generalized Cohen-Macaulay module, preprint, 19 pp [12] N T Cuong and L T Nhan, Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules, J Algebra, 267 (2003), 156-177 [13] N T Cuong and H L Truong, Parametric decomposition of powers of parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules, Proc Amer Math Soc., 137 (2009), 19-26 [14] L Ghezzi, S Goto, J Y Hong K Ozeki, T T Phuong, and W V Vasconcelos Cohen-Macaulayness versus vanishing of the first Hilbert coefficient of parameter ideals, J London Math Soc., 81 (2010), 679-695 [15] S Goto and Y Nakamura, Multiplicity and tight closures of parameters, J Algebra 244 (2001) 302-311 [16] S Goto and K Ozeki, Uniform bounds for Hilbert coefficients of parameters, Commutative algebra and its connections to geometry, Contemp Math., Am Math Soc., Providence, RI, 555 (2011), 97-118 [17] S Goto and Y Shimoda, Parametric decomposition of powers of ideals versus regularity of sequences, Proc Amer Math Soc 132 (2004), 929-933 [18] C Huneke, On the symmetric and Rees algebra of an ideal generated by a d-sequence, J Algebra 62 (1980), 268-275 [19] C Huneke, Tight closure and its applications, CBMS Leture Notes 88, American Mathematical society, Providence (1996) [20] F Hayasaka and E Hyry, A note on the Buchsbaum-Rim function of a parameter module, Proc Amer Math Soc 138 (2010), 545-551 74 [21] C Huneke and I Swanson, Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules, London Mathematical Lecture Note Series, Cambridge University Press, Cambridge 336 (2006) [22] D Mumford, Lectures on Curves on an Algebraic Surfaces, Princeton Univ Press, (1966) [23] C Lech, On the associativity formula for multiplicities, Ark Mat (1957), 301-314 [24] Y H Lai, On the relation type of systems of parameters, J Algebra 175 (1995), 339-358 [25] C H Linh and N V Trung, Uniform bounds in generalized Cohen-Macaulay rings, J Algebra 304 (2006), 1147-1159 [26] N T Long, On adjusted Hilbert-Samuel function, Acta Math Vietnamica 40 (2015), 463-477 [27] A Ooishi, Genera and arithmetic genera of commutative rings, Hiroshima Math J., 17 (1987), 47-66 [28] M Nagata, Local Rings, Interscience, New York, (1962) [29] M E Rossi, N V Trung and G Valla, Castelnuovo-Mumford regularity and extended degree, Trans Amer Math Soc 355 (2003) 1773-1786 [30] M E Rossi and G Valla Hilbert functions of Filtered Module, Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana (2009) [31] P Schenzel, On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, Van Oystaeyen, Freddy (ed.), Commutative algebra and algebraic geometry, New York: Marcel Dekker Lect Notes Pure Appl Math., 206 (1999), 245–264 [32] R P Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Second edition, Birkhăauser Boston (1996) [33] J Stăucrad and W Vogel, Buchsbaum Rings and Applications, Springer-Verlag Berlin (1986) [34] N V Trung, Reduction exponent and degree bound for the defining equations of graded rings, Proc Amer Math Soc 101(1987), 223-236 75 [35] N V Trung, Absolutely superficial sequence, Math Proc Cambrige Phil Soc, 93 (1983), 35-47 [36] N V Trung, The Castelnuovo regularity of the Rees algebra and the associated graded ring, Trans Amer Math Soc 35 (1998), 2813-2832 [37] G Valla, On the symmetric and Rees algebra of an ideal, Manuscripta Math, 30 (1980), 239-255 [38] W V Vasconcelos, The degrees of graded modules, Lecture Notes in Summer School on Commutative Algebra, Centre de Recerca Matematica, Bellaterra (Spain),2 (1996) 141-196 [39] W V Vasconcelos, Computational Methods in Commutative algebra and Algebraic Geometry, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, (1998) [40] H J Wang, Some uniform properties of 2-dimensional local rings, J Algebra 188 (1997), 1-15 [41] H J Wang, The relation type conjecture holds for rings with finite local cohomology, Comm Algebra 25 (1997), 785-801 [42] O Zanriski and P Samuel, Commutative Algebra, Vol II, Van Nostrand, New York (1960) Tiếng Đức [43] N T Cuong, P Schenzel, N.V Trung, Verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln, Math Nachr 85 (1978), 156-177 76