§¹i häc HuÕ Tr-êng §¹i Häc S- Ph¹m Phan Hång Tín Một số lớp mở rộng môđun nội xạ, xạ ảnh ứng dụng Chuyên Ngành: Đại số Lý thuyÕt sè M· sè: 62 46 01 04 LuËn ¸n TiÕn sÜ To¸n häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: GS TS Lê Văn Thuyết Tai Lieu Chat Luong Huế - Năm 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, kết số liệu nghiên cứu nêu luận án trung thực, đ-ợc đồng tác giả cho phép sử dụng ch-a đ-ợc công bố công trình khác Phan Hồng Tín Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS TS Lê Văn Thuyết, ng-ời đà h-ớng dẫn hoàn thành luận án này, ng-ời đà truyền cho niềm đam mê khoa học, đà tận tình dạy bảo, h-ớng dẫn động viên trình học tập, nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán; Phòng Đào tạo Sau đại học Tr-ờng Đại học S- phạm - Đại học Huế Ban Đào tạo - Đại học Huế đà tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành ch-ơng trình nghiên cứu sinh Tôi xin trân trọng cảm ơn Tr-ờng Cao đẳng Công nghiệp Huế đà hỗ trợ vật chất nh- tinh thần, tạo điều kiện cho suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tôi xin chân thành cảm ơn nhóm nghiên cứu Đại số kết hợp, GS TS Lê Văn Thuyết; GS TSKH Phạm Ngọc ánh - Viện Hàn lâm khoa học Hungary; GS TS Bùi Xuân Hải -Tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia TP HCM; TS Phan Dân -Tr-ờng Đại học Quốc tế Hồng Bàng TP HCM; TS Tr-ơng Công Quỳnh -Tr-ờng Đại học S- phạm - Đại học Đà Nẵng; TS Trần Giang Nam - Viện Toán học; TS Trịnh Thanh Đèo - Tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia TP HCM, đà có ý kiến thảo luận, góp ý có giá trị trình nghiên cứu Viện nghiên cứu Cao cấp Toán Cuối cùng, xin cảm ơn thành viên gia đình, ng-ời đà đồng cảm, chia sẻ, động viên, cổ vũ động lực thúc đẩy hoàn thành việc học tập nghiên cứu Tôi xin cảm ơn ng-ời bạn đồng nghiệp đà có quan tâm, động viên v-ợt qua khó khăn để hoàn thành luận án Mục lục 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Mở đầu Ch-¬ng Kiến thức chuẩn bị Các ký hiệu khái niệm Môđun nội xạ số lớp môđun mở rộng Môđun xạ ảnh số lớp môđun mở rộng Môđun vành Artin, Nơte Vµnh tùa Frobenius 15 18 21 25 28 Ch-ơng Môđun vành giả c+ -nội xạ 2.1 Môđun giả c-nội xạ 32 2.2 Môđun giả c+ -néi x¹ 38 Ch-ơng Một số tr-ờng hợp mở rộng môđun xạ ảnh 3.1 Môđun nâng cốt yếu môđun cã phÇn phơ cèt u 58 3.2 Môđun địa ph-ơng cốt yếu 69 3.3 Môđun thỏa mÃn điều kiện dây chuyền môđun bé cốt yếu 79 KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ 86 Danh mục công trình tác giả 87 Tài liệu tham khảo 88 Bảng ký hiệu viết tắt Z N A ≤ B (A < B) A ≤max B A ≤⊕ B A ≤e B A B A δ B A e B A∼ =B A⊕B ACC (DCC) E(M), Soc(M) End(M) u dim(M) HomR (M, N ) Im(f ), Ker(f ) M (I) MI MR (R M) Rad(M), J (R) δ(M) Rade (M) Z(M) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Vành số nguyên Tập số tự nhiên A môđun (t.-., thực sự) B A môđun cực đại B A hạng tử trực tiếp B A môđun cốt yếu B A môđun bé (đối cốt yếu) B A môđun -bé B A môđun bé cốt yếu B A đẳng cấu với B Tổng trực tiếp môđun A môđun B Điều kiện dây chuyền tăng (t.-., giảm) Bao nội xạ, đế môđun M (t-ơng ứng) Vành tự đồng cấu môđun M Chiều Goldie (chiều đều) môđun M Nhóm R-đồng cấu từ M vào N ảnh, hạt nhân đồng cấu f (t-ơng ứng) iI M (tổng trùc tiÕp cđa I b¶n cđa M) Πi∈I M (tÝch trùc tiÕp cđa I b¶n cđa M) M R-môđun phải (t.-., trái) Căn môđun M, vành R (t-ơng ứng) Tổng môđun -bé M Tổng môđun bé cốt yếu M Môđun suy biến môđun M Mở đầu Trong luận án này, R đ-ợc dùng để ký hiệu cho vành kết hợp có đơn vị 6= R-môđun môđun unita Với vành R ®· cho, ta viÕt MR (t.-., R M) ®Ĩ M R-môđun phải (t.-., trái), không sợ nhầm lẫn phía môđun, ta viết gọn môđun M thay cho MR Nh- đà biết, vành tựa Frobenius (th-ờng đ-ợc viết tắt vành QF) vành tự nội xạ hai phía Artin hai phía Việc nghiên cứu loại vành xuất phát từ lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Những năm đầu kỷ XX, G Frobenius số tác giả khác nh- R Brauer, C Nesbitt, T Nakayama bắt đầu nghiên cứu đại số Frobenius, kết liên quan đà đ-ợc công bố năm cuối thập niên 30 đầu thập niên 40 Khái niệm vành tựa Frobenius đ-ợc T Nakayama giới thiệu vào năm 1939 Các tác giả C Faith E A Walker đà đặc tr-ng quan trọng môđun vành QF: vành R QF R-môđun phải (hoặc trái) nội xạ xạ ảnh, R-môđun phải (hoặc trái) xạ ảnh nội xạ Tuy nhiên, đặc tr-ng tự nội xạ hai phía Artin hai phía đ-ợc nêu mạnh, nhiều tác giả đà tìm cách giảm nhẹ điều kiện để đặc tr-ng cho vành QF Năm 1951, điều kiện tự nội xạ hai phía Artin hai phía đ-ợc M Ikeda giảm nhẹ trở thành điều kiện tự nội xạ phía Artin phía Sau đó, năm 1965, Y Utumi đà đặc tr-ng vành QF điều kiện liên tục hai phía Artin hai phía Năm 1966, C Faith đà đ-a ®iỊu kiƯn gi¶m nhĐ so víi kÕt qu¶ cđa M Ikeda, điều kiện tự nội xạ phía thỏa mÃn điều kiện ACC linh hóa tử trái (hoặc phải) Đồng thời, B Osofsky, W K Nicholson M F Yousif đà đặc tr-ng vành thông qua vành hoàn chỉnh, điều kiện tự nội xạ hai phía (hoặc nội xạ đơn hai phía) hoàn chỉnh trái Năm 1994, W K Nicholson M F Yousif đà mở rộng kết Y Utumi C Faith với điều kiện đủ vành liên tục phải, min-CS trái thỏa mÃn điều kiện ACC linh hóa tử phải Ngoài ra, nhiều tác giả khác đà nghiên cứu tìm cách đặc tr-ng vành tựa Frobenius theo h-ớng mở rộng khác, chẳng hạn nh-, J Clark D V Huynh ([9]); C Faith vµ D V Huynh ([16], Tuy nhiên, giả thuyết C Faith, vành tự nội xạ phải hoàn chỉnh trái phải vành QF, ch-a có câu trả lời Giả thuyết mở vành nửa nguyên sơ Việc nghiên cứu mở rộng đặc tr-ng vành QF chủ yếu tập trung theo hai h-ớng, giảm nhẹ điều kiện tự nội xạ hai giảm nhẹ điều kiện Artin Trong đề tài này, lấy đặc tr-ng vành QF làm Định lý Faith-Walker đặc tr-ng quan trọng vành QF là, vành R QF R-môđun phải (hoặc trái) nội xạ xạ ảnh, R-môđun phải (hoặc trái) xạ ảnh nội xạ Chính vậy, tr-ờng hợp mở rộng môđun nội xạ xạ ảnh đ-ợc xem xét đến Cụ thể, Ch-ơng 2, nghiên cứu lớp mở rộng môđun nội xạ Ch-ơng lớp mở rộng môđun xạ ảnh Đồng thời, việc nghiên cứu đặc tr-ng vành QF thông qua lớp vành mở rộng vành tự nội xạ vành Artin nh- đà nêu h-ớng nghiên cứu đ-ợc nhiều tác giả quan tâm nhằm tìm câu trả lời cho giả thuyết C Faith Từ việc nghiên cứu lớp mở rộng môđun nội xạ, tìm đặc tr-ng vành QF thông qua lớp vành đó, đồng thời, từ việc nghiên cứu lớp mở rộng môđun xạ ảnh, tìm đặc tr-ng vành QF thông qua đặc tr-ng vành Artin, vành hoàn chỉnh, vành nửa hoàn chỉnh, Cấu trúc Luận án gồm có ch-ơng Ch-ơng trình bày kiến thức chuẩn bị, Ch-ơng trình bày kết liên quan đến môđun giả c-nội xạ giả c+ -nội xạ, Ch-ơng trình bày kết môđun nâng cốt yếu, môđun có phần phụ cốt yếu môđun địa ph-ơng cốt yếu Từ việc khảo sát lớp môđun trên, Ch-ơng 2, đ-a đặc tr-ng vành QF thông qua vành giả c+ -nội xạ Ch-ơng đặc tr-ng môđun vành Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu điều kiện dây chuyền môđun bé cốt yếu Khái niệm môđun nội xạ bắt đầu xuất danh mục công trình nghiên cứu nhóm aben Năm 1935, Zippin rằng, nhóm aben chia đ-ợc hạng tử trùc tiÕp cđa mäi nhãm lín h¬n, chøa nã nh- nhóm Khái niệm môđun nội xạ đ-ợc R Baer nghiên cứu vào năm 1940 Những năm sau đó, khái niệm khái niệm mở rộng đà nhận đ-ợc quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học giới Năm 1961, R E Jonhson E T Wong ([27]) đà giới thiệu khái niệm môđun tựa nội xạ Đây lớp môđun mở rộng lớp môđun nội xạ Nhiều đặc tr-ng môđun tựa nội xạ vành tự nội xạ đà đ-ợc Một lớp môđun mở rộng lớp tựa nội xạ đ-ợc S Singh S K Jain ([39]) đ-a vào năm 1967, lớp môđun giả nội xạ Môđun M đ-ợc gọi giả nội xạ với môđun A M, với đơn cấu từ A vào M, mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M Các tác giả R R Hallett ([21]), S K Jain, S Singh ([26]) vµ M L Teply ([40]) đà đ-a ví dụ chứng tỏ lớp môđun mở rộng thực lớp môđun tựa nội xạ Sau đó, nhiều tác giả khác đà tiếp tục nghiên cứu lớp môđun lớp vành t-ơng ứng, chẳng hạn, A K Tiwary vµ B M Padeya ([45]), T Wakamatsu ([48]), P C Bharadwaj vµ A K Tiwary ([6]), H.Q Dinh ([12]), Năm 1982, M Harada ([22]) đ-a khái niệm môđun GQ-nội xạ Môđun M đ-ợc gọi GQ-nội xạ với môđun A đẳng cấu với môđun đóng M, với đồng cấu từ A vào M mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M Sau đó, C S Clara P F Smith ([11]) đ-a khái niệm môđun tựa c-nội xạ Môđun N đ-ợc gọi tựa c-nội xạ với môđun đóng A M đồng cấu từ A vào M mở rộng đến đồng cấu từ M vào M Ngoài ra, lớp mở rộng khác nh- môđun liên tục, tựa liên tục, CS, đ-ợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, Y Utumi ([47]); S K Jain, S H Mohamed ([24]), S K Jain, B J Muller ([25]); K Oshiro ([35], [36]); M Harada ([22]), L V Thuyet, T C Quynh ([42]); L V Thuyet N Chien ([10]); Theo h-ớng mở rộng trên, đ-a khái niệm mở rộng môđun nội xạ, môđun giả c-nội xạ giả c+ -nội xạ Môđun M đ-ợc gọi giả c-nội xạ (t.-., giả c+ -nội xạ) với môđun A M, A đóng M (t.-., A đẳng cấu với môđun đóng M), với đơn cấu từ A vào M mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M Các kết liên quan đà đ-ợc công bố báo [2], [37], [44] đ-ợc trình bày Ch-ơng luận án Chúng chứng minh đ-ợc rằng, lớp môđun giả c+ -nội xạ lớp môđun mở rộng thực lớp môđun giả nội xạ lớp môđun liên tục Đồng thời, lớp môđun giả c+ -nội xạ lớp thực lớp môđun giả c-nội xạ lớp môđun thỏa mÃn điều kiện C2 Hơn nữa, số điều kiện đủ để môđun giả c+ -nội xạ môđun liên tục tựa nội xạ đà đ-ợc Một tính chất quan trọng lớp môđun giả c+ -nội xạ tính nội xạ t-ơng hỗ hạng tư trùc tiÕp cđa chóng Trong [32], S H Mohamed B J Muller đà M N môđun liên tục M N -nội xạ Tác giả H Q Dinh ([12]) đà chứng minh đ-ợc kết t-ơng tự tr-ờng hợp M N giả nội xạ Kết môđun giả c+ -nội xạ, nhiên ph-ơng pháp chứng minh tác giả không áp dụng đ-ợc tr-ờng hợp này: Định lý 2.2.11 Nếu M N giả c+ -nội xạ M N -nội xạ Tính chất quan trọng lớp môđun giả c+ -nội xạ quy vành th-ơng vành tự đồng cấu chúng Đây kết mở rộng kết môđun liên tục Y Utumi: Định lý 2.2.21 Cho M môđun giả c+ -nội xạ S = End(M) Khi ®ã S/J (S) lµ vµnh chÝnh quy Von Neumann vµ J (S) = ∆(S) = {s ∈ S| Ker s e M} Từ đó, đ-a đặc tr-ng vành tựa Frobenius Định lý Faith-Walker rằng, R-môđun phải xạ ảnh nội xạ R vành tựa Frobenius Ngoài ra, C Faith ([16]) cịng ®· chøng minh r»ng nÕu P (N) RR nội xạ (nghĩa R -nội xạ đếm đ-ợc phải) R vành tựa Frobenius Trong [23], tác giả D V Huynh đà chứng minh rằng, P R vành tựa liên tục phải, -CS đếm đ-ợc phải nửa hoàn chỉnh R vành tựa Frobenius Chúng đặc tr-ng vành tựa Frobenius thông qua vành giả c+ -nội xạ giảm nhẹ điều kiện định lý Faith-Walker kết C Faith ([16]): Định lý 2.2.20 Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng vành R: (1) R tựa Frobenius; (2) Mỗi R-môđun phải xạ ảnh giả c+ -nội xạ; (N) (3) RR giả c+ -nội xạ; P (4) R -CS đếm đ-ợc phải với chiều Goldie hữu hạn giả c+ -nội xạ ph¶i 10 Nh- vËy U + E ∈ / Ω nªn M = U + E + F víi F Vì E nên E + F , điều mâu thuẫn Vậy, tồn A ∈ Γ cho M = N + A (2) ⇒ (1) Theo Bỉ ®Ị 3.2.13 Bỉ ®Ị 3.2.16 Cho N, L môđun M cho M = N + L Nếu L môđun có phần phụ cốt yếu L chứa phần phụ cèt u cđa N M Chøng minh Theo gi¶ thiết, N L L L môđun có phần phụ cốt yếu nên tồn môđun K cđa L cho (N ∩L)+K = L vµ (N ∩L)∩K e K Khi ®ã N + K = M N K e K Vì K phần phụ cốt yếu N M Mệnh đề 3.2.17 Cho N môđun cực đại M Nếu môđun cyclic môđun M môđun có phần phụ cốt yếu tồn x M P phần phụ cốt yếu N M tháa m·n P ≤ xR Chøng minh Giả sử N môđun cực đại M Gọi L môđun M cho M = N + L Khi đó, tồn x L tháa m·n x 6∈ N vµ xR + N = M Theo giả thiết xR môđun có phần phụ cốt yếu Theo Bổ đề 3.2.16, tồn P phần phụ cốt yếu N M P xR Từ Mệnh đề 3.2.15 Mệnh đề 3.2.17 ta cã hƯ qu¶: HƯ qu¶ 3.2.18 NÕu M môđun hữu hạn sinh môđun cyclic M môđun có phần phụ cốt yếu M môđun có phần phụ cốt yếu nhiều 78 3.3 Môđun thỏa mÃn điều kiện dây chuyền môđun bé cốt yếu Nội dung mục nghiên cứu điều kiện dây chuyền môđun bé cốt yếu Chúng chứng minh đ-ợc môđun Rade (M) Nơte (t.-., Artin) M thỏa mÃn điều kiện ACC (t.-., DCC) môđun bé cốt yếu (Mệnh đề 3.3.1 Định lý 3.3.4) Các kết thu đ-ợc mục đặc tr-ng môđun Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu, môđun có phần phụ cốt yếu nhiều điều kiện dây chuyền môđun bé cốt yếu (Mệnh đề 3.3.5; Định lý 3.3.7; Hệ 3.3.8; Hệ 3.3.9) Mệnh đề 3.3.1 Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng môđun M: (1) Rade (M) Nơte; (2) M thỏa mÃn ACC môđun bé cốt yếu Chứng minh (1)(2) rõ ràng (2)(1) Giả sử Rade (M) không Nơte Khi đó, ta có dây chuyền tăng gồm vô hạn môđun Rade (M) A < A2 < · · · < A n < · · · XÐt a1 ∈ A1 aj Aj \ Aj1 với j > Với k 1, đặt k P aj R Khi Nk hữu hạn sinh Nk Ak Rade (M) Hơn Nk = j=1 Nk e M víi mäi k = 1, 2, vµ N1 < N < · · · < N n < · · · Nh- vËy M không thỏa mÃn điều kiện ACC môđun bé cốt yếu Điều mâu thuẫn Vậy Rade (M) môđun Nơte 79 Mệnh đề 3.3.2 Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng môđun M: (1) Rade (M) có chiều hữu hạn; (2) Mỗi môđun bé cốt yếu M có chiều hữu hạn tồn số nguyên k cho u dim N ≤ k víi mäi N e M; (3) M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun bé cốt yếu khác không Chứng minh (1) (2) Với môđun bé cốt yếu N M, ta cã N ≤ Rade (M), ®ã u dim N ≤ u dim Rade (M) (2) ⇒ (3) Giả sử N1 N2 à à à tổng trực tiếp vô hạn môđun bé cốt yếu khác không M Khi N1 à à à Nk+1 môđun bé cốt yếu cđa M vµ u dim(N1 ⊕ · · · ⊕ Nk+1 ) k + Điều mâu thuẫn (3) ⇒ (1) Gi¶ sư N1 ⊕ N2 ⊕ · à à tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không Rade (M) Với i 1, gọi ni phần tử khác không Ni Khi ®ã ni R e M Nh- vËy n1 R ⊕ n2 R ⊕ · · · lµ tỉng trực tiếp vô hạn môđun bé cốt yếu khác không M Điều mâu thuẫn Vậy Rade (M) có chiều hữu hạn Mệnh đề 3.3.3 ([4, Proposition 10.7]) Môđun M hữu hạn đối sinh Soc(M) hữu hạn sinh cốt yếu M Định lý 3.3.4 Các khẳng định sau t-ơng đ-ơng môđun M: (1) Rade (M) Artin; (2) Mỗi môđun bé cốt yếu M Artin; (3) M thỏa mÃn điều kiện DCC môđun bé cốt yếu 80 Chứng minh (1) ⇒ (2) ⇔ (3) lµ râ rµng (3) ⇒ (1) Ta chứng minh môđun th-ơng Rade (M) hữu hạn đối sinh Giả sử tồn môđun th-ơng Rade (M) không hữu hạn đối sinh Khi ®ã Ω = {L ≤ Rade (M)| Rade (M)/L không hữu hạn đối sinh} tập khác rỗng Gọi {L : } dây chuyền môđun T L = L Nếu Rade (M)/L hữu hạn đối sinh L = L với Điều mâu thuẫn Nh- Rade (M)/L không hữu hạn đối sinh, hay L Theo Bổ đề Zorn, có phần tử cực tiểu A Giả sử N môđun hữu hạn sinh Rade (M) Khi N môđun bé cốt yếu M N Artin theo giả thiết Nghĩa Rade (M) / A Khi xR Artin môđun Artin địa ph-ơng Xét x Rade (M), x ∈ vµ (xR + A)/A ' xR/(xR ∩ A) Vì (xR + A)/A môđun Artin khác không Do ®ã Rade (M)/A cã ®Õ cèt yÕu Gäi S môđun Rade (M) chứa A cho S/A đế Rade (M)/A Khi S/A không hữu hạn sinh theo Mệnh đề 3.3.3 Tiếp theo ta chØ r»ng A e M Gi¶ sư M = A + B víi B ≤e M Khi ®ã S = A + (S ∩ B) Gi¶ sư r»ng A ∩ B 6= A Khi ®ã Rade (M)/(A ∩ B) hữu hạn đối sinh theo cách chọn A Nh-ng S/A = (A + (S ∩ B))/A ' (S ∩ B)/(A ∩ B) ≤ Soc(Rade (M)/(A ∩ B)) V× Soc(Rade (M)/(A B)) hữu hạn sinh nửa đơn nên S/A hữu hạn sinh Điều mâu thuÉn Nh- vËy A = A ∩ B ≤ B vµ ta cã M = A + B ≤ B Nh- vËy B = M, nghÜa lµ A e M B©y giê, ta chøng minh S e M ThËt vËy, giả sử M = S + V với V môđun M V e M Khi M/(A + V ) = (S + V )/(A + V ) ' S/(S ∩ (A + V )) = S/(A + (S ∩ V )) Nh- vËy M/(A + V ) nửa đơn Nếu M 6= A + V tồn môđun cực đại W M cho A + V ≤ W Ngoµi ra, với x Rade (M) xR M W e M nên x W Do 81 ®ã Rade (M) ≤ W Tõ ®ã suy S + V ≤ W hay W = M, điều mâu thuẫn Nh- M = A + V Hơn nữa, A e M nên M = V Vì S e M S Artin theo giả thiết Từ suy S/A Artin Vì S/A nửa đơn nên S/A hữu hạn sinh, điều mâu thuẫn Tóm lại Rade (M) Artin Môđun N M đ-ợc gọi nửa cực đại cốt yếu N = ni=1 Li với Li cực đại cốt yÕu M víi mäi i = 1, , n Mệnh đề 3.3.5 Các khẳng định sau t-ơng đ-ơng môđun M: (1) M Artin; (2) M thỏa mÃn điều kiện DCC môđun bé cốt yếu môđun nửa cực đại cốt yếu; (3) M thỏa mÃn điều kiện DCC môđun bé cốt yếu Rade (M) môđun nửa cực đại cốt yếu Chứng minh (1) (2) rõ ràng (2) (3) Giả sử M thỏa mÃn điều kiện DCC môđun nửa cực đại cốt yếu Gọi N môđun nửa cực đại cốt yếu cực tiểu M Theo định nghÜa, Rade (M) ≤ N NÕu M = Rade (M) Rade (M) = N Giả sử M 6= Rade (M) P môđun cốt yếu cực đại M Khi N P môđun nửa cực đại cốt yếu M N N P , hay N ≤ P Tõ ®ã suy N ≤ Rade (M) V× vËy N = Rade (M) Tóm lại Rade (M) môđun nửa cực đại cốt yếu M (3) (1) Theo Định lý 3.3.4, Rade (M) lµ Artin NÕu M = Rade (M) M Artin Giả sử M 6= Rade (M) Khi ®ã Rade (M) = P1 ∩ 82 P2 à à à Pn, Pi môđun cốt yếu cực đại M với i = 1, , n Tõ ®ã suy M/ Rade (M) nhúng môđun nửa đơn hữu hạn sinh M/P1 à à à M/Pn Theo Định lý 1.4.2, M/ Rade (M) lµ Artin Nh- vËy M Artin Mệnh đề 3.3.6 Nếu M môđun có phần phụ cốt yếu thỏa mÃn điều kiện DCC môđun bé cốt yếu với môđun A M, M/A môđun có phần phụ cốt yếu thỏa mÃn điều kiện DCC môđun bé cốt yếu Chứng minh Cho A môđun M B1 /A B2 /A ≤ · · · , ®ã Bi /A e M/A víi mäi i = 1, 2, Gi¶ sư C phần phụ cốt yếu A M Khi ®ã M/A = (A + C)/A ' C/A ∩ C Vì Bi /A bé cốt yếu M/A nên theo Bỉ ®Ị 3.1.1(4), Bi /A ' Di /A ∩ C e C/A C với Di Ta chøng minh Di e M ThËt vËy, gi¶ sư Di + E = M víi E ≤e M Khi ®ã (Di + (E + (A ∩ C)))/A ∩ C = M/A ∩ C Do ®ã E + (A ∩ C) = M Vì A C e M nên E = M Nh- vËy D1 ≤ D2 ≤ · · à Vì M thỏa mÃn điều kiện DCC môđun bé cốt yếu nên tồn n cho Dk = Dk+1 víi mäi k ≥ n Nh- vËy Bk /A = Bk+1 /A víi mäi k n Vì M/A thỏa mÃn điều kiện DCC môđun bé cốt yếu Ngoài ra, M/A môđun có phần phụ cốt yếu theo Mệnh đề 3.1.15 Định lý 3.3.7 Cho M môđun Khi ®ã M lµ Artin vµ chØ M lµ môđun có phần phụ cốt yếu nhiều thỏa mÃn điều kiện DCC môđun phần phụ cốt yếu môđun bé cốt yếu Chứng minh Điều kiện cần rõ ràng Ng-ợc lại, giả sử M môđun có phần phụ cốt yếu nhiều thỏa mÃn điều kiện DCC môđun phần phụ cốt yếu bé cốt yếu Khi Rade (M) Artin theo Định lý 83 3.3.4 Ta cần M/ Rade (M) lµ Artin ThËt vËy, theo Bỉ đề 3.1.9, M/ Rade (M) nửa đơn Giả sử r»ng Rade (M) ≤ N1 ≤ N2 ≤ N3 ≤ à à à dây chuyền tăng môđun M Vì M môđun có phần phụ cốt yếu nhiều nên tồn dây chuyền giảm môđun K1 K2 à à à cho Ki phần phụ cốt yếu Ni M víi mäi i ≥ Theo gi¶ thiÕt, tån số nguyên d-ơng t cho Kt = Kt+1 = Kt+2 = · · · V× M/ Rade (M) = Ni / Rade (M) ⊕ (Ki + Rade (M))/ Rade (M) víi mäi i ≥ t nªn Nt = Nt+1 = · · · Nh- vËy M/ Rade (M) Nơte M/ Rade (M) Artin theo Định lý 1.4.2 Vậy M Artin Hệ 3.3.8 Cho M môđun hữu hạn sinh Khi M Artin M môđun có phần phụ cốt yếu thỏa mÃn điều kiện DCC môđun bé cốt yếu Chứng minh Vì M có phần phụ cốt yếu nên M/ Rade (M) nửa đơn theo Bổ đề 3.1.9 Mặt khác, M hữu hạn sinh nên M/ Rade (M) Artin theo Định lý 1.4.2 Vì M thỏa mÃn điều kiện DCC môđun bé cốt yếu nên Rade (M) Artin theo Định lý 3.3.4 VËy M lµ Artin VÝ dơ 3.3.1 (1) XÐt M = Z Z-môđun, ta có môđun phần phụ cốt yếu M M; môđun bé cốt yếu M Nh- M thỏa điều kiện DCC môđun bé cốt yếu (và môđun phần phụ cốt yếu) Tuy nhiên M môđun có phần phụ cốt yếu Vì M không Artin (2) Xét M = Q Z-môđun Ta có M môđun có phần phụ cốt yếu Vì M không Artin ! ! F F F F (3) XÐt R = ,A = ®ã F lµ mét tr-êng Râ F 0 84 rµng AR có môđun bé cốt yếu vµ J = F 0 ! Nh- vậy, A R-môđun có phần phụ cốt yếu Artin Từ Hệ 3.3.8 Hệ 3.2.18, ta có: Hệ 3.3.9 Cho M môđun hữu hạn sinh Nếu môđun cyclic M môđun có phần phụ cốt yếu M thỏa mÃn điều kiện DCC môđun bé cốt yếu M Artin Kết luận ch-ơng Xuất phát từ khái niệm môđun có phần phụ môđun bé cốt yếu, đ-a khái niệm môđun nâng cốt yếu, có phần phụ cốt yếu địa ph-ơng cốt yếu Môđun nâng cốt yếu môđun có phần phụ cốt yếu khái niệm mở rộng khái niệm môđun -nâng môđun có -phần phụ (t-ơng ứng) Ngoài việc khảo sát tính chất đồng điều lớp môđun trên, rằng, môđun có phần phụ cốt yếu M M/ Rade (M) môđun nửa đơn Kết hợp với việc chứng minh đặc tr-ng Artin môđun Rade (M) thông qua điều kiện dây chuyền giảm môđun bé cốt yếu, đặc tr-ng môđun Artin đà đ-ợc Kết ch-ơng đặc tr-ng môđun địa ph-ơng cốt yếu (Định lý 3.2.7; Mệnh đề 3.2.9 Định lý 3.2.10) đặc tr-ng Artin thông qua điều kiện dây chuyền môđun bé cốt yếu (Mệnh đề 3.3.5, Định lý 3.3.7; Hệ 3.3.8) 85 Kết luận kiến nghị Các kết luận án: Các tính chất môđun giả c+ -nội xạ (Định lý 2.2.11; Định lý 2.2.21); mối liện hệ môđun giả c+ -nội xạ với tr-ờng hợp mở rộng khác môđun nội xạ (Định lý 2.2.5; Hệ 2.2.7); Các đặc tr-ng mở rộng môđun vành tự nội xạ thông qua tính chất giả c+ -nội xạ (Hệ 2.2.12); Đặc tr-ng môđun vành liên tục thông qua môđun giả c+ -nội xạ (Định lý 2.2.6; Định lý 2.2.16); Đặc tr-ng vành Artin nửa đơn thông qua môđun giả c-nội xạ giả c+ -nội xạ (Định lý 2.1.6; Hệ 2.2.13); Đặc tr-ng vành tựa Frobenius thông qua vành giả c+ -nội xạ (Định lý 2.2.20; Định lý 2.2.33); Các đặc tr-ng môđun địa ph-ơng cốt yếu (Định lý 3.2.7; Mệnh đề 3.2.9 Định lý 3.2.10) Đặc tr-ng Artin môđun Rade (M) (Định lý 3.3.4); đặc tr-ng môđun Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu điều kiện dây chuyền môđun bé cốt yếu (Định lý 3.3.7; Hệ 3.3.8) Ngoài kết đà chứng minh đ-ợc trên, tiếp tục nghiên cứu giải số vấn đề liên quan nh-ng ch-a đ-ợc chứng minh luận án: Tính nửa quy vành tự đồng cấu môđun giả c+ -nội xạ; điều kiện đủ để môđun giả c+ -nội xạ môđun giả nội xạ, liên tục, tựa nội xạ, nội xạ; Các đặc tr-ng cđa vµnh hoµn chØnh, nưa hoµn chØnh, δ-hoµn chØnh, nửa hoàn chỉnh thông qua môđun nâng cốt yếu, môđun có phần phụ cốt yếu môđun địa ph-ơng cốt yếu 86 Danh mục công trình tác giả [1] Phan Hồng Tín Tr-ơng Công Quỳnh, Về môđun giả c-nội xạ, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, ĐH Đà Nẵng, (2011), 118-126 [2] T C Quynh and P H Tin, Modules satisfying extension conditions under monomorphism of their closed submodules, Asian-European Journal of Mathematics, Vol 5, No (2012), 12 pages [3] T C Quynh and P H Tin, Some properties of e-lifting and esupplemented modules, Vietnam Journal of Mathemmatics, Vol 41, No (2013), 303 - 312 [4] P H Tin, Pseudo c∗ -injective and co-Hopfian modules, Journal of Science Hue University, to appear [5] L V Thuyet and P H Tin, Some Characterizations of Modules via Essentially small, Kyungpook Mathematical Journal, to appear C¸c kết luận án đ-ợc thảo luận báo cáo tại: Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô toàn quốc, Thái Nguyên, 2011 Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, 2013 Hội thảo Nhóm, vành vấn đề liên quan, VIASM, 2014 Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô toàn quốc, Hạ Long, 2014 Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ nhất, Quy nhơn, 2015 87 Tài liệu Tham khảo Tiếng Việt: [1] Tr-ơng Công Quỳnh Lê Văn Thuyết, Giáo trình Lý thuyết Vành Môđun, NXB Đại học Huế, Huế, 2013 [2] Phan Hồng Tín Tr-ơng Công Quỳnh, Về môđun giả c -nội xạ, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, ĐH Đà Nẵng, 6(2011), 118-126 Tiếng Anh: [3] I Al-Khazzi and P F Smith, Modules with chain conditions on superfluous submodules, Comm Algebra, 19(8)(1991), 2331-2351 [4] F W Anderson and K R Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, New York, 1974 [5] H Bass, Finitistic dimension and a homological generalization of semiprimary rings, Trans Am Math Soc., 95(1960), 466-488 [6] P C Bharadwaj and A K Tiwary, Pseudo injective modules, Bull Math Soc Sci Math Roumanie, R S (N.S.), 26(74)(1982), 21-25 [7] E Buyukasik and C Lomp, When δ-semiperfect rings are semiperfect, Turkish J Math., 34(2010) 317-324 [8] C Celik, Modules satisfying a lifting condition, Turkish J Math., 18(3)(1994), 293-301 [9] J Clark and D V Huynh, When is a self-injective semiperfect ring quasi Frobenius?, J Algebra, 165(1994), 531-542 [10] N Chien and L V Thuyet, On EF-extending modules, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 26(2003), 909-916 88 [11] C S Clara and P F Smith, Modules which are self-injective relative to closed submodules, Contemporary of Mathematics 259, American Math Soc Providence, pp 487-499, 2000 [12] Q H Dinh, A note on pseudo-injective modules, Communication in Algebra, 33(2005), 361-369 [13] N V Dung, D V Huynh, P F Smith, R Wisbauer, Extending modules, Pitman Research Notes in Math 313, Longman, Harlow, New York, 1994 [14] N Ding, M F Yousif and Y Zhou, Modules with annihilator conditions, Comm Algebra, 30(5)(2002) 2309-2320 [15] N Er, S Singh, A Srivastava, Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, J Algebra, 379(2013), 223229 [16] C Faith, D V Huynh, when self-injective rings are QF: A report on a problem, Journal of Algebra and its Applications, Vol 1, No 1(2002) 75-105 [17] K R Goodearl, Von Neumann regular rings, Pitman, London, 1979 [18] K R Goodearl and R B Warfield, An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, London Mathematical Society Student Texts 16, Cambridge University Press, 1989 [19] P A Guil Asensio and A Srivastava, Automorphism-invariant modules satisfy the exchange property, Journal of Algebra, 388(2013),101-106 [20] P A Guil Asensio, D K Tutuncu and A Srivastava, Modules invariant under automorphisms of their covers and envelopes, Israel Journal of Mathematics, 1(2008), 1-26 89 [21] R R Hallett, Injective modules and their generalizations, Ph D Thesis, Univ of Bristish Columbia, Vancouver, B C., 1971 [22] M Harada, On Modules with Extending Properties, Osaka J Math., 19(1982), 203-215 [23] D V Huynh, A right countably sigma-CS ring with ACC or DCC on projective principal right ideals is left artinian and QF-3, Trans Am Math Soc., 347(1995), 3131-3139 [24] S K Jain and S Mohamed, Rings whose cyclic modules are continuous, J Indian Math Soc., 42(1978), 197-202 [25] S K Jain, and B J Muller, Semiperfect modules whose proper cyclic modules are continuous, Arch Math., 37(1981), 140-143 [26] S K Jain and S Singh, Quasi-injective and pseudo-injective modules, Canadian Math Bull., 18(1975), 359-366 [27] R E Johnson and E T Wong, Quasi-injective modules and irreducible rings, J London Math Soc., 36(1961), 260-268 [28] F Kasch and E A Mares, Eine Kennzeichnung semi-perfekter Moduln, Nagoya Math J., 27(1966), 525-529 [29] M T Kosan, δ-lifting and δ-supplemented modules, Algebra Colloq., 14(1)(2007), 53-60 [30] T Y Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer Graduate Text, 1991 [31] T Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999 [32] S H Mohammed and B J Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math Soc LN 147: Cambridge Univ.Press., 1990 90 [33] W K Nicholson, Lifting idempotents and exchange rings, Transactions of the American Mathematical Society, 229(1977), 269-278 [34] W K Nicholson and M F Yousif, Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ Press 2003 [35] K Oshiro, Continuous modules and quasi-continuous modules, Osaka J Math., 20(1983), 681-694 [36] K Oshiro, Lifting modules, extending modules and their application to QF-rings, Hokkaido Math J., 13(1984), 310-338 [37] T C Quynh and P H Tin, Modules satisfying extension conditions under monomorphism of their closed submodules, Asian-European Journal of Mathematics, Vol 5, No 3(2012), 12 pages [38] T C Quynh and P H Tin, Some properties of e-lifting and esupplemented modules, Vietnam Journal of Mathemmatics, Vol 41, No 3(2013), 303 - 312 [39] S Singh and S K Jain, On pseudo injective modules and self pseudo injective rings, The Journal of Mathematical Sciences, 2(1)(1967), 125133 [40] M L Teply, Pseudo-injective modules which are not quasi-injective, Proc Amer Math Soc., 49(2)(1975), 305-310 [41] L V Thuyet, P Dan and T C Quynh, Modules which are invariant under idempotents of their envelopes, Colloquium Mathematicum, to appear [42] L V Thuyet and T C Quynh, On general injective ring with chain conditions, Algebra Colloquium, 16(2)(2009), 243-252 91 [43] L V Thuyet and P H Tin, Some charaterizations of modules via esentially small, Kyungpook Mathematical Journal, to appear [44] P H Tin, Pseudo c∗ -injective and co-Hopfian modules, Journal of Science Hue University, to appear [45] A K Tiwary and B M Pandeya, Pseudo projective and pseudo injective modules, Indian J Pure Appl Math., 9(1978), 941-949 [46] R Tribak, On δ-local modules and amply δ-supplemented modules, J Algebra Appl., 12(2)(2013), 1250144, 14 pp [47] Y Utumi, On continuous rings and self-injective rings, Trans Amer Math Soc., 118(1995), 158-173 [48] T Wakamatsu, Pseudo-projectives and pseudo-injectives in abelian categories, Math Rep Toyama Univ., 2(1979), 133-142 [49] Y Wang, δ-small submodules and δ-supplemented Modules, Int J Math Math Sci., (2007), 58132 [50] R Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Reading 1991 [51] Y Zhou, Decomposing modules into direct sums of submodules with types, J Pure Appl Algebra, 138(1999), 83 - 97 [52] Y Zhou, Generalizations of perfect, semiperfect, and semiregular rings, Algebra Colloquium, 7(3)(2000) 305-318 [53] D X Zhou and X R Zhang, Small-essential submodules and Morita duality, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 35(2011), 1051-1062 [54] Z Zhu, Pseudo PQ-injective modules, Turk J Math., 34(2010), 1-8 92