Skkn 2023(thúy)

I THÔNG TIN CHUNG Tên sáng kiến: “Rèn kỹ giải số dạng tốn ứng dụng Định lí Viét chương trình Đại số 9” Tác giả: Tỉ lệ % Ngày đóng góp Nơi Chức Trình độ Stt Họ tên tháng chuyên vào việc công tác danh môn năm sinh tạo sáng kiến Trường TH& Giáo Đại học Nông Thị Thúy 23/5/1977 THCS 100% Toán viên Lương Thành Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu: 01/10/2022 II MÔ TẢ SÁNG KIẾN 1.Sự cần thiết Tốn học mơn học phong phú đa dạng.Tốn học mơn khoa học tự nhiên quan trọng, việc giải toán niềm say mê người u thích Tốn học Trong q trình giảng dạy mơn Tốn lớp cấp THCS, nhận thấy em vận dụng hệ thức Vi – ét vào giải nhiều loại toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác sử dụng hêh thức Vi – ét vào giải nhiều loại bài, hệ thức Vi – ét có ứng dụng rộng rãi việc giải toán, việc giải toán ứng dụng xuất đề kiểm tra, đề thi tuyển sinh vào 10 cấp THPT, đa số học sinh bị điểm dạng khơng nắm cách giải, có học sinh biết cách giải chưa trang bị cho nhiều kỹ giải dẫn tới không đạt điểm tối đa.Tôi quan tâm vấn đề tơi mạnh dạn nghiên cứu hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm Với thời gian hạn chế mong muốn nghiên cứu sâu nên sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào nội dung nhất, từ dễ đến khó để rèn cho học sinh kĩ giải tốn ứng dụng Định lí Vi –ét Mục đích sáng kiến Sáng kiến nhằm mục đích tập hợp, xếp cách hệ thống phương pháp, kỹ thường sử dụng để giải dạng tốn ứng dụng Định lí Vi-et chương trình Tốn lớp giúp học sinh nắm vững cách giải, kỹ giải phương trình từ giải nhanh dạng tốn giải phương trình, nâng cao kết kiểm tra nâng cao kết thi vào 10 THPT, giúp học sinh tự tin gặp phải tập giải phương trình 2 Được chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm dạy học, trao đổi kỹ giải toán ứng dụng Định lí Vi-et với giáo viên Tốn THCS tiết dạy thực nghiệm sinh hoạt chuyên môn cụm địa bàn huyện Nhiệm vụ cần đạt: - Chỉ kiến thức có liên quan mà học sinh cần nắm vững trước tiếp cận với phương pháp giải dạng tập - Trang bị cho học sinh kỹ giải toán, đặc biệt kỹ giải phương trình ứng dụng Định lí Vi - ét - Phân loại, hệ thống phương pháp giải cho dạng phương trình có sếp hợp logic mặt tư kiến thức môn, rèn luyện cho học sinh khả phân tích, xem xét tốn dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác cần khuyến khích cho học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm tịi lời giải tốn, tạo lịng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, khơng cịn tâm lý lo ngại việc giải dạng phương trình - Xây dựng hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh theo phương pháp cụ thể, nhằm giúp cho hoc sinh có tập luyện tập, khắc sâu kiến thức kỹ giải phương trình Tính mới, tính sáng tạo sáng kiến Trong thực tế có nhiều cách mang lại sư thành công cho tiết dạy, nguyên nhân chủ yếu cách truyền thụ kiến thức giáo viên Mỗi giáo viên lại có phương pháp truyền thụ kiến thức khác Sau nhiều năm giảng dạy mơn tốn nói chung mơn tốn nói riêng, thân tơi đúc rút số kinh nghiệm giảng dạy giảng dạy số chuyên đề, đặc biệt chuyên đề sử dụng Định lí Vi – ét để giải số tập đại số lớp thành công Điểm luyện cho học sinh có kĩ giải số dạng toán ứng dụng Định lí Vi-ét, giúp em giải tốn nhanh học tập tốt Để nghiên cứu vấn đề này, đề nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu tốn phương trình bậc hai có liên qua đến hệ thức Viét, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho - Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào tốn phương trình bậc hai cho hợp lý 3.1 Hiện trạng nguyên nhân 3.1.1 Hiện trạng Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn tường TH&THCS Lương Thành thân nhận thấy: Những ứng dụng hệ thức Vi-ét nhẩm nghiệm phương trình bậc hai trường hợp a + b + c = 0; a – b + c = 0, tổng tích hai nghiệm số nguyên với giá trị tuyệt đối không qua lớn, tìm hai số biết tổng tích chúng….các em thường gặp khó khăn việc tìm lời giải tốn này; có tốn em đâu, vận dụng kiến thức chương trình học; làm để tìm giá trị tham số m thoả mãn điều kiện toán Với trạng tơi tìm hiểu nhận thấy nguyên nhân sau: 3.1.2 Nguyên nhân trạng a Ưu điểm Toán học mơn khoa học có khối lượng lớn kiến thức phương diện lí thuyết lẫn thực nghiệm, song lại gần gũi, “thân thiện” với đời sống Muốn học tốt mơn khoa học địi hỏi người học phải người nắm vững lí thuyết, chất thuộc phạm vi kiến thức, nắm vững kiến thức học để giải hay nhiều vấn đề Để ngày nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn, nhằm giúp học sinh chủ động việc tự học nhà, thường xuyên xây dựng câu hỏi bao gồm tập trắc nghiệm tự luận để học sinh luyện tập, giúp học sinh làm quen nhiều dạng Tốn hình thành nhiều kỹ giải toán * Đối giáo viên Theo kế hoạch giảng dạy đơn vị dạy hệ thức Vi-ét với thời lượng có tiết lý thuyết tiết tập Thông thường giáo viên thực nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung sách giáo khoa mà không đầu tư cho việc hệ thống phân dạng tập ứng dụng hệ thức Vi-ét Bên cạnh tập thể sách giáo khoa sách tập số lượng không nhiều, chưa đề cập hết dạng cần thiết cần thiết để học sinh có đủ kiến thức giải dạng tập cá đề thi vào lớp 10 THPT Do kết học tập học sinh dạng toán sử dụng hệ thức Vi-ét thường không cao Giáo viên chưa linh hoạt sử dụng phương pháp dạy học làm cho học sinh nhàm chán, thụ động máy móc tham gia tiết học Một số giáo viên chưa chủ động kiến thức, khả phân tích, tìm tịi, khai thác tốn cịn hạn chế Giáo viên thiếu điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để phân tích, tìm tịi lời giải, hệ thống tập giáo viên dưa dàn trải khơng mang tính đặc trưng * Đối với học sinh Trình độ nhận thức em cịn chậm không đồng đại đa số thụ động trước kiến thức giáo viên cung cấp khơng tự tìm tòi, tự học thêm kiến thức, tham khảo tài liệu, nguồn sách khác để nâng cao kiến thức Tháng năm học 2022-2023 sau hoàn thành việc giảng dạy ơn tập tốn hệ thức Vi-ét chưa áp dụng sáng kiến tiến hành kiểm tra khảo sát học sinh lớp với đề sau (thời gian làm 30 phút): Bài 1(3 điểm) Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 1015x2 + x – 1016 = b) x2 – 2x -15 = Bài 2(3 điểm) Tính tổng tích hai nghiệm phương trình sau a) 2x2 – 10x + = b) x2 – 3x + m = Bài 4(4 điểm) Cho phương trình x2 – 6x + m = Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x1 – x2 = Với ba toán đưa ra, kiểm tra kiến thức thấy số lượng em giải trọn vẹn ba chiếm tỉ lệ ít, số em giải tốn nhiên em trình bày lời giải mắc nhiều sai lầm, thiếu sở dẫn chứng (bài ý b) khơng tìm hướng giải Nguyên nhân: - Học sinh không nắm hệ thức Vi-et ứng dụng - Học sinh cách làm để xuất mối liên hệ kiện cần tìm với yếu tố, điều kiện biết để giải tập Kết khảo sát: Tổng Điểm -10 Điểm -8 Điểm -6 Điểm số HS Số Số Số Số Lớp Tỉ lệ Tỉ lệ Tỉ lệ Tỉ lệ lượng lượng lượng lượng 12 8,3% 16,7% 25% 50% b Tồn Trường TH&THCS Lương Thành đóng địa bàn xã Sơn Thành, huyện Na Rì, tỉnh Bắc Kạn Sơn Thành xã cịn nhiều khó khăn mặt, điều kiện kinh tế gia đình em khó khăn, số gia đình phải làm ăn xa, làm cơng ty tỉnh khác không dành nhiều thời gian để theo dõi việc học hành em thường xuyên Mặt khác, học sinh phần lớn em dân tộc thiểu số nên nhút nhát, thụ động chưa có ý thức tự học Một số phụ huynh học sinh cịn trơng chờ thầy giảng dạy, giải tập lớp, chưa hỗ trợ giúp đỡ đồng hành với học tập Rất nhiều em không giải tốn phương trình hay mắc sai lầm làm tập, chí chưa xác định bước biến đổi đơn giản, điều khiến cho giáo viên giảng dạy mơn Tốn vất vả, vài em cảm thấy sợ vào tiết học mơn Tốn Học sinh cịn lười học, thiếu tính tích cực chủ động học tập nên chưa nắm kiến thức, chưa chịu khó việc chuẩn bị nhà, chí em cịn biết học thuộc cách máy móc Nội dung sáng kiến 4.1 Cơ sở lý luận Tốn học nhà trường phổ thơng mơn học chiếm vị trí quan trọng Dạy tốn tức dạy phương pháp suy luận khoa học, học toán rèn khả tư logic Giải toán phương pháp tốt để nắm vững tri thức, phát triển tư hình thành kỹ kỹ xảo để giải vấn đề liên quan đến tốn học Kiến thức mơn tốn thật rộng lớn, em lĩnh hội nhiều kiến thức, kiến thức có mối quan hệ chặt chẽ với Do vậy, học em nắm phần lý thuyết mà phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu mình, từ biêt vận dụng để giải dạng toán Trong chương trình Đại số bậc THCS, Định lí Vi – ét có ứng dụng phong phú đa dạng trọng việc giải tốn như: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai,tìm hai số biết tổng tích chúng, lập phương trình bậc hai có nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ nghiệm phương trình bậc hai… Các ứng dụng giúp học sinh củng cố nhiều kiến thức toán học rèn luyện kĩ trình bày, phân tích tổng hợp….Tuy nhiên giải tập hệ thức Vi-ét học sinh cịn gặp nhiều khó khăn, khơng có kĩ phân tích đề, phương pháp giải khơng khoa học Nguyên nhân em chưa hướng dẫn cụ thể theo dạng Vậy làm để giúp học sinh nắm kiến thức phương pháp giải tập hệ thức Vi-ét tơi tiến hành tìm tịi nghiên cứu, tập hợp các toán hệ thức Vi-ét, tiến hành phân dạng tập, rõ ứng dụng dạng sở tơi viết sáng kiến: “Rèn kỹ giải số dạng toán ứng dụng Định lí Vi-ét chương trình Đại số 9” 4.2.Giải pháp thực 4.2.1 Yêu cầu giải pháp a Đối với giáo viên - Giáo viên cần đầu tư nhiều thời gian để tìm kiếm tài liệu,đồng thời khơng ngừng cập nhật thông tin để hỗ trợ giảng - Thường xuyên sử dụng đồ dùng thiết bị dạy học liên quan để gây hứng thú tiết học - Chuẩn bị thật kĩ kế hoạch dạy trước lên lớp - Hướng dẫn học sinh cách học bài, làm bài, nghiên cứu trước nhà 6 - Thường xuyên hướng dẫn học sinh kỹ giải phương trình, sửa chỗ sai cho học sinh,lắng nghe ý kiến em Cho học sinh làm việc cá nhân cịn phải trao đổi nhóm cần thiết, u cầu học sinh phải tự giác, tích cực chủ động, có trách nhiệm với thân tập thể b Đối với học sinh - Chuẩn bị kĩ trước đến lớp - Học thuộc khái niệm, định lí, công thức, bước giải tập - Trong lớp ý nghe giảng, hăng hái phát biểu xây dựng bài, tích cực, tự giác hoạt động nhóm - Chăm chỉ, tự giác rèn luyện kỹ giải Tốn 4.2.2 Cách thức thực giải pháp Tơi vận dụng giải pháp nghiên cứu dạy như: Phân tích lý thuyết, điều tra bản, tổng kết kinh nghiệm sư phạm sử dụng số phương pháp thống kê tốn học việc phân tích kết thực nghiệm sư phạm v.v Tham khảo tài liệu biên soạn phân tích hệ thống dạng tập toán học theo nội dung đề ra.Trên sở tơi trình bày dạng tập toán học, kỹ giải phương trình khơng ngừng nghiên cứu thêm nhiều kỹ để em tiếp cận phát triển lực giải tốn phương trình a.Hệ thống kiến thức Định lý Vi-ét Công thức Vi-ét quan hệ nghiệm đa thức với hệ số Trong trường hợp phương trình bậc hai ẩn, phát biểu sau: – Gọi x1, x2 nghiệm phương trình bậc ẩn −b+ √ ∆ −b+ √ b2−4 ac −b−√ ∆ −b−√ b2−4 ac ; x 1= = x 2= = 2a 2a 2a ax  bx  c 0  a 0  thì: 2a – Ta sử dụng định lý Vi-ét để tính biểu thức x 1, x2 theo a,b,c −b c sau: S = x 1+ x2= a ; P = x x 2= a Định lý Vi-ét đảo: −b S = x + x2 = a 2 S = x 1+ x2 =( x 1+ x ) −2 x1 x 2= −b b 2−2 ac a2 c – Nếu x1 + x2 = S = a x1.x2 = P = a trình x2 – Sx + P = (điều kiện S2 – 4P ≥ 0) x1, x2 nghiệm phương Trường hợp đặc biệt phương trình bậc hai: ax  bx  c 0  a 0  c – Nếu có: a + b + c = nghiệm phương trình là: x1 = 1; x2 = a c – Nếu có: a – b + c =0 nghiệm phương trình là: x1 = – 1; x2 = – a – Nếu ac < (a, c trái dấu nhau) phương trình ln có nghiệm phân biệt * Mức độ yêu cầu dạng toán khác chủ yếu việc giới thiệu phép tốn nhằm hình thành kỹ biến đổi phương trình b Về kỹ năng: Rèn cho học sinh - Kỹ tính tốn - Kỹ biến đổi phương trình - Kỹ trình bày lời giải tốn có tính lập luận logic c Các giải pháp thực dạng tập ứng dụng Định lí Viét Trước giải tập giáo viên cần yêu cầu học sinh học kĩ lí thuyết, nắm định lí Vi-ét hệ Định lí Vi-ét Muốn học sinh giải đượccác tập]ngs dụng Định lí Vi-ét giáo viên cần phải hệ thống, chia nhỏ thành tập ứng dụng riêng, dạng học sinh học theo chuyên đềnhằm khắc sâu kiến thức, phương pháp kĩ làm Các dạng tập ứng dụng Định lí Vi-ét đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ học sinh, lôi học sinh hứng thú học tập qua dạng tập cần cho học sinh tự nêu kiến thức bản, kĩ cần rèn luyện dạng nhằm giúp em hiểu thành thạo kĩ làm Sau số dạng Toán ứng dụng Định lý Vi - ét từ đơn giản đến nâng cao chương trình Tốn THCS mà tơi lựa chọn để cung cấp cho em kỹ giải dạng Tốn Dạng Dạng tốn nhẩm nghiệm phương trình bậc hai biết hệ số a, b, c Dạng: Phương trình bậc hai có hệ số đặc biệt thoả mãn a + b + c= a - b + c = 0) Phương pháp giải: Bước 1: Xác định hệ số a, b, c Bước 2: Tính a + c so sánh với b - Nếu a + c = -b nhẩm a + b + c - Nếu a + c = b nhẩm a – b + c Bước 3: Kết luận nghiệm Ví dụ: Giải phương trình sau: a)-3x2 + x + = b)1004x2 + 1005x + = c)(m-3)x2 – (2m + 5)x + m+ 8 Ở ví dụ học sinh thường có cách trình bày cách hiểu sai như: a)-3x2 + x + = Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = Hoặc học sinh trình bày: a + b + c =  -3 + + = (trong phép biến đổi không sử dụng dấu ) c) (m-3)x2 – (2m + 5)x + m+ Học sinh không xác định hệ số a,b,c nên dẫn đến mắc sai lầm cho a = -3; b = 5; c = nhiều cách hiểu trình bày sai khác Do q trình giảng dạy giáo viên cần làm rõ chất kiến thức chỉnh sửa cách trình bày hợp lí cho học sinh Lời giải a) -3x2 + x + = Phương trình cho có hệ số: a = -3; b = 1; c = Ta có a + b + c = (-3) + + = Do phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = - b) 1004x2 + 1005x + = Phương trình cho có hệ số: a = 1004; b = 1005; c = Ta có a – b + c = 1004 – 1005 + = Do phương trình có hai nghiệm: x1 = -1; x2 = - 1004 c) (m-3)x2 – (2m + 5)x + m+ Phương trình cho có hệ số: a = m – 3; b = -(2m + 5); c = m + Với m ≠ ta có a + b +c = (m-3) + [-(2m + 5)] + (m + 8) = m - - 2m - + m + =0 m+ Do phương trình có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = m−3 Dạng: Phương trình bậc hai có a = 1, b = tổng hai số; c = tích hai số (nhẩm nghiệm ngun đơn giản) Phương pháp giải:Ta nhẩm tích hai nghiệm c mà tổng lại b + Nếu phương trình có dạng: x – (u + v)x + uv = phương trình có hai nghiệm u v + Nếu phương trình có dạng: x + (u + v)x + uv = phương trình có hai nghiệm - u -v Ví dụ: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x2 + 5x + = b) x2 – 10x + 24 = Giải: a)Ta có (- 2) + (-3) = -5 (-2).(-3) = nên phương trình có hai nghiệm là: x1 = -2; x2 = -3 b)Ta có + = 10 4.6 = 24 nên phương trình có hai nghiệm là: x1 = 4; x2 = Sau tính nghiệm phương trình xong tơi u cầu học sinh sử dụng máy tính cầm tay Casio giải phương trình để kiểm tra nghiệm vừa tìm ví dụ Giáo viên lưu ý học sinh: Khi giải phương trình bậc hai ta cần ý vận dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình Nếu khơng tính nhẩm nghiệm phương trình ta dùng cơng thức nghiệm bậc hai Việc vận dụng hệ hệ thức Vi-ét tính tốn cho phép tính nhanh nghiệm phương trình Dạng Tìm hai số biết tổng tích chúng {u+v =S Phương pháp giải: Nếu hai số u, v thoả mãn: u v=P u, v nghiệm phương trình t2 – St + P = (1) Nếu (1) có hai nghiệm t1; t2 (điều kiện S2 – 4P≥ 0) ta được: [ u=t v v=t u=t v v=t Ví dụ Tìm cạnh hình chữ nhật biết chu vi 30m diện tích 54m2 Trước hướng dẫn học sinh giải toán giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại cơng thức tính chu vi diện tích hình chữ nhật có độ dài cạnh a, b( Chu vi = 2(a + b); Diện tích = a.b) Giáo viên hướng dẫn giải cụ thể sau: Bài tốn cho biết gì? Cần tìm gì? Nếu gọi độ dài hai cạnh hình chữ nhật u v(điều kiện u,v > 0) ta có điều gi? Với giả thiết: hình chữ nhật có chu vi 30, ta được? ( 2(u + v) = 30) ⇔ u + v = 15 (1) Hình chữ nhật có diện tích 54m2, ta được? (u.v = 54)(2) {u+v =15 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình nào? ( u v =54 tức u, v nghiệm phương trình bậc hai nào? (x2 – 15x + 54 = 0)) Em tìm nghiệm phương trình bậc hai đó? Với gợi ý tơi cho em thảo luận phút đại diện em trình bày lời giải Giải: Gọi độ dài hai cạnh hình chữ nhật u v(điều kiện u,v > 0) 10 Ta có hệ phương trình: v)=30 ⇔ u+ v=15 {2(u+ { u v=54 u v=54 nên u, v nghiệm phương trình bậc hai: x2 – 15x + 54 = 0⇔ x1 = x2 = Vậy, độ dài hai cạnh hình chữ nhật 6m 9m Kinh nghiệm cho thấy: Với hai nghiệm x1 = x2 = gán u cho x1, v cho x2 ngược lại có điều hai cách gán cho đáp số hình chữ nhật.Tuy nhiên, nhiều trường hợp với phép gán nhận nghiệm(ví dụ (u;v) toạ độ điểm ) hệ phương trình Như điểm cốt yếu ứng dụng chuyển việc “ Giải hệ phương trình” thành việc “Giải phương trình) { x + y=2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: x y=−3 Giáo viên hướng dẫn: Từ hệ phương trình cho em cho cô biết x, y nghiệm phương trình nào? ( t2 – 2t – = 0) Với phương trình t – 2t – = ta nhẩm nghiệm theo trường hợp đặc biệt a + b + c = 0; a – b + c = hay không? Em tìm nghiệm phương trình bậc hai với ẩn t tìm nghiệm x, y hệ phương trình cho Giải: Từ hệ phương trình cho, suy x, y nghiệm phương trình t2 – 2t – = Phương trình có hệ số a = 1; b = -2; c = -3 Ta có a – b + c = – (-2) + (-3) = nên phương trình có nghiệm t1 = - 1; t2 = Với t1 = -1 x = -1 y = Với t2 = x = y = -1 Kinh nghiệm cho thấy: Dạng tập tập mang tính minh hoạ cho phương pháp chuyển đổi từ hệ phương trình thành phương trình dạng tập mức độ đơn giản nên nhẩm nghiệm cho dù ta không chuyển đổi, chẳng hạn: y=2 ⇔ y =2 x=3 v y=−1 ⇔[ {xx.+y=−3 {x x+y=3.(−1) x=−1 v y=3 Dạng 3:Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số Phương pháp giải: ta thực bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm {a ≠ x1; x2: ∆ ≥ 11 { x + x =f (m) Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: x1 x 2=g (m) (I) Bước 3: Khử m từ hệ (I), ta hệ thức cần tìm Ví dụ: Cho phương trình (m - 1)x2 – 2(m - 4)x + m - = a)Xác định m để phương trình có hai nghiệm b)Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phương trình không phụ thuộc vào m Giáo viên hướng dẫn: a) Để phương trình có hai nghiệm x v x ta cần có điều kiện gì? Xác định hệ số a, b, c? Nếu a ≠ m khác bao nhiêu? Nếu ∆ ' ≥ m nhỏ bao nhiêu? b)Nếu phương trình có hai nghiệm x v x hai ngiệm phải thoả mãn hệ phương trình nào? Giải: a)Để phương trình có hai nghiệm x v x 2, điều kiện là: 11 m≠ ⇔{ ⇔ 1≠ m ≤ {∆a'≠≥00 ⇔ {m−1≠ ∆'≥0 2m−11≤0 b)Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: Khử m từ hệ (I) ta được: ⇔ ⇔ { { { { 2(m−4) m−1 m−5 x x 2= m−1 x1 + x 2= (I) 2(m−1−3) m−1 m−1−4 x x 2= m−1 x1 + x 2= ( m−1 ) 6 x 1+ x 2=2− − m−1 m−1 m−1 ⇔ m−1 x x2 =1− x1 x2 = − m−1 m−1 m−1 x 1+ x2 = ⇔ 2( x ¿ ¿ 1+ x 2)=4− { 12 12 ¿ x1 x2 =3− ⇔2(x1+ x2) – 3x1.x2 =1 Đó hệ m−1 m−1 thức cần tìm Kinh nghiệm cho thấy: Đây dạng tập khơng khó khơng phải đơn giản tốn liên quan đến bất phương trình, tách hạng tử liên quan đến đẳng thức luyện tập dạng toán giáo viên cần lưu tâm đến phép biến đổi, kiến thức liên quan để học sinh vận dụng vào giải tập tương tự Dạng Tìm giá trị tham số để nghiệm phương trình thoả 12 mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Ta thực bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm { a≠0 x1; x2: ∆ ' ≥ { x + x =f (m) Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: x1 x 2=g (m) (I) Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho thông qua hệ (I) Bước 4: Kết luận Ví dụ Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – =0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: 4(x1 + x2) = 7x1x2 Giáo viên hướng dẫn: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 ta cần có điều kiện gì? Phương trình có hai nghiệm x1,x2 phải thoả mãn hệ phương trình nào? Tìm m cách nào? Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 ta cần có điều kiện là: ≠0 m≠−1 ⇔{ ⇔ -1≠ m ≤ (*) {∆a'≠≥00 ⇔ {m+1 ∆'≥0 3−m ≥ Khi đó, phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn: { 2(m−1) m+1 m−2 x x 2= m+1 x1 + x 2= m−2 2( m−1) x x 2= m+ vào 4(x1 + x2) = 7x1x2, ta được: m+ m−2 2(m−1) = m+1 ⇔ 8m - = 7m - 14 ⇔ m = - (thoả mãn *) m+1 Thay x 1+ x2= Vậy với m = - phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: 4(x1 + x2) = 7x1x2 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2kx - (k-1)(k-3) = Chứng minh với k, phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn: ¿ + x1x2 – 2(x1 + x2) + = Hướng dẫn giải: Em xác định hệ số a; b; c tính ∆ ' ? Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1,x2 phải thoả mãn hệ phương trình nào? Với toán học sinh lúng túng việc xác định số c nên giáo viên cần trợ giúp để học sinh xác định (c = - (k-1)(k-3)) Giải: 13 Phương trình x2 - 2kx - (k-1)(k-3) = có a = 1; b’ = -k; c = - (k-1)(k-3) ∆ ' = (-k)2 + (k-1)(k-3) = k2 + k2 - 4k + = 2k2 – 4k + = 2(k-1)2 + 2≥ với k Suy ra, phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn: { x 1+ x 2=2 k x1 x2 =−( k−1)(k −3) Khi đó: ¿ + x1x2 – 2(x1 + x2) + = ¿ – (k-1)(k-3) – 2.2k + = (đpcm) Dạng 5: Lập phương trình bậc hai có chứa biểu thức hai nghiệm phương trình Phương pháp giải: Tìm hai số biết tổng tích chúng ( Nếu hai số u v có tổng u + v = S tích u.v = P số u,v hai nghiệm phương trình bậc 2: x2 – Sx + P = 0, điều kiện S2 – 4P ≥ 0) Ví dụ: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: a) b) - √ +√ Hướng dẫn cách giải Muốn tìm hai số biết tổng tích làm nào? Phương trình cần tìm gì? Giải: 1 a)Ta có S = + = P = = Do phương trình cần lập : x2 - x + hay 2x2 – 3x + = Vậy phương trình cần tìm là: 2x2 – 3x + = b)Ta có S = (1 - √ ¿ + (1 +√ ¿ = P = (1 - √ ¿.(1 +√ ¿ ¿ = – = -4 Do phương trình cần lập : x2 – 2x - =0 Vậy phương trình cần tìm là: x2 – 2x – = Kinh nghiệm cho thấy: Để lập phương trình bậc hai có hai nghiệm nhận hai số cho trước nghiệm ta vận dụng hệ thức Vi-et đảo (tìm hai số biết tổng tích chúng) ta làm sau: Bước 1: Tính tổng tích của hai số Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét đảo để tìm phương trình cần lập * Sau thiết kế giảng hoạt động Bài tập HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP a Mục tiêu: Học sinh vận dụng kiến thức học (công thức nghiệm, 14 công thức nghiệm thu gọn, Định lý Vi-ét…)để thực yêu cầu học b Nội dung:Làm tập theo cách giải khác c Sản phẩm: Bài làm học sinh, kĩ giải nhiệm vụ học tập d Tổ chức thực hiện: Hoạt động giáo viên học sinh Dự kiến sản phẩm Giáo viên chia lớp thành nhóm: - Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ (Thảo luận nhóm với thời gian phút) GV: Các em vận dụng lý thuyết học để giải phương trình: x2 + 2x – = tất cách - Bước 2: Thực nhiệm vụ: HS: Thực yêu cầu GV GV: Hỏi nhóm: nhóm em giải pt theo cách nào? (Nếu HS nhóm khơng đưa cách ý đồ GV GV gợi ý để Cách 1: Dùng công thức nghiệm tổng quát em giải x2 + 2x – = HS Đưa cách Cách 1: Dùng công thức nghiệm tổng  = + 4.1.3 = 16 > qt Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  24  2 x1 = = , x2 = = - Cách 2: Dùng cơng thức nghiệm thu gọn Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = x2 = -3 Cách 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn x2 + 2x – = ’ = + = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  1  1 x1 = = , x2 = = - Cách 3: Dùng hệ thức Vi-ét Vậy PT có hai nghiệm x1 = x2 = Cách 3: Dùng hệ thức Vi-ét x2 + 2x – = Ta có:  = + 4.1.3 = 16 > Phương trình có hai nghiệm x1, x2 15  x1  x2    x1.x2  Cách 4: Nhẩm nghiệm theo hệ số a,b,c: Vậy hai nghiệm phương trình là:1 -3 Cách 5: Minh họa đồ thị Cách 4: Nhẩm nghiệm theo hệ số a,b,c: x2 + 2x – = Ta có a + b + c = + + (-3) = Phương trình có hai nghiệm: x1 = x2 = -3 Cách 5: Minh họa đồ thị: Ta có: x2 + 2x – =  x2 = - 2x + Đặt y = x2 (P) y = - 2x + (d) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm pt cho Vậy nghiệm phương trình - Bước 3: Báo cáo, thảo luận: Nhóm 1:Cách 1: Dùng cơng thức nghiệm tổng qt Nhóm 2: Cách 2: Dùng cơng thức nghiệm thu gọn Nhóm 3: Cách 3: Dùng hệ thức Viét Nhóm 4: Cách 4: Nhẩm nghiệm theo hệ số a,b,c: Nhóm 5: Cách 5: Minh họa đồ thị 16 -2 -1 Học sinh trao đổi thảo luận nhóm 17 Giáo viên quan sát, hỗ trợ nhóm Đại diện nhóm lên bảng trình bày gặp khó khăn - Bước 4: Kết luận, nhận định: GV: Để khắc định cách giải mà em đưa ra, cô yêu cầu đại diện nhóm lên bảng viết cơng thức tổng qt cách giải Các em cịn lại nhóm giải phương trình theo cách mà nhóm chọn GV: Em rút điều qua tiết luyện tập này? - Việc vận dụng lý thuyết vào tập quan trọng - Một tốn có nhiều cách giải có đáp số mà thơi, GV: Ngồi ta vận dụng việc tìm nghiệm phương trình để phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử cách dễ dàng, không phức tạp lớp Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm x1 x2 tam thức ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử sau: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Khả áp dụng sáng kiến 18 Sáng kiến áp dụng việc giảng dạy mơn Tốn lớp 9; ứng dụng triển khai tới đồng chí giáo viên giảng dạy mơn Tốn đơn vị trường TH&THCS Lương Thành thông qua buổi sinh hoạt chun mơn Từ Tơi nắm bắt áp dụng tiết lên lớp cho dạng phương trình, sáng kiến cịn nhận rộng cho giáo viên mơn trường THCS toàn huyện vào năm học Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Sau áp dụng sáng kiến học sinh chủ động tích cực tìm tịi tri thức có sở khoa học, có hiểu biết, giải thích, lập luận chặt chẽ chắn giải vấn đề liên quan đến nội dung học Hiệu sáng kiến Sau thời gian thực sáng kiến lớp trường TH&THCS Lương Thành thấy học sinh có kỹ giải dạng tốn phương trình phương pháp khác nhau, tránh sai lầm Sáng kiến giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách giải tốn phương trình chương trình học Được học rèn luyện kỹ tự học, kỹ hợp tác, kỹ thực hành theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua dạng tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh khá, giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác nhằm phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo cho học sinh Từ học sinh có ý thức cẩn thận, trình bày lời giải tốn khoa học chặt chẽ hơn, giải đúng, giải xong Đã biết đối chiếu với kết để hoàn thiện tập thể qua kết kiểm tra vào ngày 10 tháng năm 2023 sau: Tổng số HS Lớp 12 Điểm -10 Số lượn g Điểm - Điểm - Điểm Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Số lượng 33,3% 41,7% 25% Tỉ lệ * Hiệu kinh tế: - Sáng kiến áp dụng thực không địi hỏi chi phí lớn tiền bạc - Q trình chuẩn bị, thực thu kết tiết kiệm phía nhà trường, giáo viên, học sinh phụ huynh *Hiệu mặt xã hội: Đối với học sinh: - Đối với học sinh khá, giỏi em học tập nhiệt tình hơn, với em học sinh yếu có tiến rõ rệt - Học sinh có ý thức hợp tác, có tương trợ lẫn hoạt động 19 nhằm phát huy lực tự học, sáng tạo học tập - Học sinh thấy tự tin trình bày vấn đề, yêu cầu mà giáo viên giao cho *Đối với giáo viên: - Qua thời gian áp dụng thực số phương pháp giải số phương trình, kỹ giải phương trình vào giảng dạy mơn Tốn lớp năm học 2022 – 2023 Tôi thấy đa số học em tự làm chủ kiến thức, giải tốt tốn phương trình, tự tìm kiếm kiến thức thuộc lĩnh vực môn, nghĩa tự học cách làm việc với sách giáo khoa tài liệu tham khảo khác Cũng chuẩn bị cho em phương pháp tự học, tự bồi dưỡng bậc học cao Tạo lớp người động sáng tạo Chất lượng học tập học sinh nâng lên.Từ nâng cao chất lượng mơn Tốn lớp nói riêng mơn Tốn THCS nói chung *Đối với phụ huynh: - Phụ huynh vui thấy em học hành ngày tiến bộ, có ý thức tự học, tự rèn luyện, tích cực hoạt động mặt *Đối với quyền địa phương: - Nâng cao thành tích giáo dục, góp phần đạt thành tích cao thi như: Thi học sinh giỏi… III KẾT LUẬN 1.Kết luận Chúng ta biết dạy học khơng có phương pháp dạy học vạn năng, có trình độ lực người giáo viên làm chủ kiến thức, tường minh kế hoạch dạy học, hiểu rõ nhu cầu khả học sinh để đưa phương pháp thật phù hợp với đối tượng Có việc hiểu kiến thức, vận dụng kiến thức học sinh đạt hiệu cao từ chất lượng dạy ngày nâng cao Trong q trình giảng dạy mơn Tốn trường TH&THCS Lương Thành tơi gặp khơng khó khăn việc giúp em học sinh có phương pháp tối ưu, kỹ giải toán để giải nhanh tập, tận tâm công việc với số kinh nghiệm ỏi thân giúp đỡ bạn đồng nghiệp Đó nguồn động lực lớn giúp đỡ tơi bước làm cho sáng kiến hồn thiện mặt lý thuyết, thực hành việc dạy học mơn Tốn trường Do điều kiện thời gian thân hạn chế nên chắn điều thiếu sót, lời giải chưa phải hay ngắn gọn mong với kinh nghiệm nhiều giúp học sinh hiểu kĩ phương pháp giải kỹ giải tốn phương trình.Với nội dung cịn có nhiều dạng tốn hay, nhiều kỹ giải khác đáng 20 quan tâm mà đồng chí khác đề cập đến Song tơi đóng góp phần nhỏ bé vấn đề mà cần quan tâm Kiến nghị * Đối với BGH nhà trường: - Cần tăng cường bổ sung tài liệu trang thiết bị dạy học - Hệ thống máy chiếu, tivi, loa cho lớp học cần kiểm tra thường xuyên Mạng intơnet nối đến lớp học cần thông suốt ổn định đẻ đáp ứng yêu cầu môn Cần cung cấp đầy đủ tài liệu tham khảo có liên quan đến mơn để giáo viên có thêm tư liệu sử dụng lên lớp * Đối với tổ chuyên môn nhà trường: - Cần có nhiều hội thảo chia sẻ kinh nghiệm dạy học mơn Tốn - Nên thường xun tổ chức buổi ngoại khóa, chuyên đề kinh nghiệm dạy học môn Tạo điều kiện, bố trí chun mơn phù hợp để giáo viên có thời gian nghiên cứu đạt kết công tác giảng dạy học sinh Trên ý kiến chủ quan tơi tích luỹ được, q trình giảng dạy khơng tránh khỏi khuyết điểm, sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến từ phía ban ngành đồng nghiệp để hoàn thiện cho sáng kiến nhằm phổ biến rộng rãi vào giảng dạy học tập qua chương trình mơn Tốn nhà trường Tôi xin cam đoan thông tin nêu sáng kiến trung thực, thật sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm trước pháp luật./ Xác nhận quan, đơn vị Na Rì, ngày 13 tháng năm 2023 Hiệu Trưởng TÁC GIẢ Nông Thị Nhi Nông Thị Thúy