MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ phương trình là một trong các vấn đề trọng tâm của chương trình đại số THCS. Các bài toán giải hệ phương trình cũng thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi THCS và thi vào lớp 10 THPT, đặc biệt là các lớp chuyên. Các bài toán về hệ phương trình rất phong phú. Có nhiều cách phân loại hệ phương trình
09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Tailieumontoan.com Tài liệu sưu tầm CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng nămWebsite: 2020 tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ phương trình vấn đề trọng tâm chương trình đại số THCS Các tốn giải hệ phương trình thường gặp kỳ thi about:blank học sinh giỏi THCS thi vào lớp 10 THPT đặc biệt lớp chuyên Các 1/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng nămWebsite: 2020 tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ phương trình vấn đề trọng tâm chương trình đại số THCS Các tốn giải hệ phương trình thường gặp kỳ thi học sinh giỏi THCS thi vào lớp 10 THPT, đặc biệt lớp chuyên Các tốn hệ phương trình phong phú Có nhiều cách phân loại hệ phương trình: 1) Phân loại theo số ẩn hệ, theo số phương trình hay phân loại theo bậc hệ 2) Phân loại theo cấu trúc, đặc tính hệ hệ đối xứng loại 1, hệ đối xứng loại 2, hệ đẳng cấp, 3) Phân loại theo phương pháp giải Dưới liệt kê số dạng hệ phương trình thường gặp ax + by = c a 'x + b ' y = c' Hệ bậc hai ẩn: Ta sử dụng phương pháp cộng đại số phương pháp để giải biện luận hệ phương trình Hệ đối xứng loại hai ẩn: hệ ta thay đổi vai trò x y phương trình khơng thay đổi: Thơng thường ta đặt S = x + y, P = xy với S2 ≥ 4P Hệ đối xứng loại hai ẩn: hệ ta thay đổi vai trò x y hệ khơng đổi: Thơng thường ta giải hệ cách trừ vế Hệ phương trình đẳng cấp: hệ mà số hạng phương trình có bậc: Thơng thường ta kiểm tra y ≠ đặt x = ky Hệ phương trình khơng mẫu mực: thơng thường ta giải cách nhận xét, đánh giá vế phương trình Trong chuyên đề này, phân loại hệ phương trình theo cách thứ 3, tức theo phương pháp giải Tùy theo bà tập cụ thể ta giải phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp Website: tailieumontoan.com đánh giá B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN QUA CÁC VÍ DỤ Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 I PHƯƠNG PHÁP THẾ Tùy theo hệ phương trình ta thay số, ẩn biểu thức ẩn vào phương trình hệ Thay số biểu thức about:blank 2/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình 3, tức theo phương pháp giải Tùy theo bà tập cụ thể ta giải phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp Website: tailieumontoan.com đánh giá B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN QUA CÁC VÍ DỤ Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 I PHƯƠNG PHÁP THẾ Tùy theo hệ phương trình ta thay số, ẩn biểu thức ẩn vào phương trình hệ Thay số biểu thức Trong nhiều toán giải hệ phương trình, ta thay số biểu thức, từ ta dễ dàng giải hệ cho Dưới ví dụ 2 x + xy + y = (1) x + 3( y − x ) = ( 2) Ví dụ Giải hệ phương trình: (THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải Thay = x + xy + y vào (2) ta được: ( x3 + x2 + xy + y2 ) ( y − x) = ⇔ x + ( y − x ) = ⇔ y 3 3 = 1⇔ y = Thay y = vào (1) ta được: x + x − = ⇒ x = −2 x = Vậy hệ có nghiệm (x;y )∈ { (−2;1 ), (1;1 )} (1) ( x + 2y )( + 4xy ) = 27 ( ) x + 4y2 = Ví dụ Giải hệ phương trình: (THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải Thay = x + 4y2 vào (2) ta được: ( x + 2y ) ( x2 + 4xy + 4y2 ) = 27 ⇔ ( x + 2y ) = 27 ⇔ x + 2y = ⇒ x = − 2y Thay vào (1) ta được: 8y − 12y + = ⇒ y = y = Vậy hệ có nghiệm (x;y )∈ (1;1 ), 2; x ( x − 3y ) = −16 (1) Ví dụ Giải hệ phương trình y + 16 = 3xy (2 ) Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải Liên hệ(1) tài vào liệu word zalo: Thay (2) tatoán : (y − x) = ⇒ x = y 039.373.2038 Khi hệ có nghiệm x = y = 3 x + y − xy = 4 Ví dụ 4.Giải hệ phương trình : about:blank (1) (2) 3/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình x ( x − 3y ) = −16 (1) Ví dụ Giải hệ phương trình y + 16 = 3xy (2 ) Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải Liên hệ(1) tài vào liệu word zalo: Thay (2) tatoán : (y − x) = ⇒ x = y 039.373.2038 Khi hệ có nghiệm x = y = 3 x + y − xy = 4 4x + y = 4x + y (1) Ví dụ 4.Giải hệ phương trình : (2) (Vịng 2,THPT chun – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2005 – 2006) Hướng dẫn giải Thay = x + y − xy vào (2) ta : 4x4 + y4 = (4x + y)(x3 + y3 − xy2 ) ⇔ xy(3y2 − 4xy + x2 ) = NÕu x = thi y = NÕu y = thi x = NÕu y − 4xy + x = ⇔ (3y − x)(y − x) = ⇔ x = 3y hc x = y 2 Khi hệ có nghiệm x = 3 25 ;y = 25 x=y=1 ; 25 25 Vậy hệ có nghiệm (x;y) ∈ (0;1),(1;0),(1;1), x + y7 = Ví dụ Giải hệ phương trình: 9 (1) x + y = x + y (2) Hướng dẫn giải Thay (1) vào (2) ta x9 + y9 = (x7 + y7 )(x2 + y2 ) ⇔ x2 y2 (x5 + y5 ) = Nếu x = y = Nếu y = x = Nếu x5 + y5 = ⇒ x = − y , thay vào (1) ta 0=1 (vơ lí) Vậy hệ cho có nghiệm (x;y) ∈{ (0;1),(1;0)} Chú ý: Từ toán ta dễ dàng giải toán tổng quát hơn: Cho m,n số tự nhiên lẻ thỏa mãn m < n, giải hệ phương trình: m m x + y = n − n n− m + yn m x + y = x Thay ẩn số biểu thức Ta rút ẩn từ phương trình thayWebsite: vào phương trình tailieumontoan.com cịn lại.Khi nghiệm hệ số ẩn phương trình giảm , từ ta tìm Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 (1) x − 2y = Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: 2 x − y − 3xy + x + 4y − = (2) Từ (1) : x = 2y + , thay vào (2) ta 3y2 − 8y − = about:blank 4/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Thay ẩn số biểu thức Ta rút ẩn từ phương trình thayWebsite: vào phương trình tailieumontoan.com cịn lại.Khi nghiệm hệ số ẩn phương trình giảm , từ ta tìm Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 x − 2y = (1) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: 2 x − y − 3xy + x + 4y − = (2) Từ (1) : x = 2y + , thay vào (2) ta 3y2 − 8y − = −1 3 Hệ cho có nghiệm (x; y) ∈ (8;3), ; 2 2x + xy − y − 5x + y + = (1) 2 (2) x + y + x + y − = Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: (Vòng 2,THPT chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2003 – 2004) Hướng dẫn giải (1) ⇔ 2x + (y − 5)x − y + y + = 2 ∆ = 9(y − 1) Do đó: x = − y + 3y − y + = x= – y −4 −13 ; 5 Thay vào (2) ta nghiệm hệ (x;y) ∈ (1;1), Chú ý: - Ta coi (1) phương trình bậc hai ẩn y, từ ta tìm ẩn y theo x - Dùng phương pháp biến đổi tổng thành tích (1) tương đương với (2x − y − 1)(x + y − 2) = , nhiên vế trái cồng kềnh phương pháp gặp nhiều khó khăn 1 x − x = y − y − − (1) Ví dụ Giải hệ phương trình: 2y = x3 + (2) Hướng dẫn giải Điều kiện : x≠0 , y≠1 Website: tailieumontoan.com x − = y − − x word tốnyzalo: − 039.373.2038 Ta Liêncó: hệ tài liệu 2(y − 1) = x3 + 1 x − = t − (3) ⇒ (x − t) 1 + = x t xt 2t (4) Đặt t = y – 1, ta được: about:blank 5/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình ệ ,y Website: tailieumontoan.com x − = y − − x word toányzalo: − 039.373.2038 Ta Liêncó: hệ tài liệu 2(y − 1) = x3 + 1 x − = t − (3) ⇒ (x − t) 1 + x t xt 2t = x + (4) Đặt t = y – 1, ta được: = NÕu x − t = ⇔ x = t, thay vào (4) ta dợc x 2x + = ⇒ x = hc x = −1 ± −1 = ⇒ t = , thay vào (4) ta dợc x4 + x + = (5) xt x ⇔ −x = x + ≥ ⇒ x ≤ −2 NÕu + 3 (5) ⇔ x(x + 1) + = 0, x ≤ − 2,x + ≤ − nª n x(x + 1) + 16 nê n (5) vô nghiệm −1 + + −1 − − VËy hÖ cã nghiÖm (x;y) ∈ ( 1;2) , ; ; , 2 2 x + y + z = 12 Ví dụ Giải hệ phương trình: x(y + z) = 20 y(x+ z) = 32 (1) (2) (3) Hướng dẫn giải x = 12 − (y + z) Từ (1) , (2) ta có: (do y + z ≠ 0) 20 x = y + z ⇒12 −(y + z) = 20 ⇒ y +z = y+z hc y + z =10 y + z = y = 4,z = −2 ⇒ NÕu y + z = ta cã x = 10,do vËy + = y(10 z) 32 y = 8, z = −6 y + z = 10 y = 8,z = NÕu y + z = 10 ta cã x = 2,do vËy ⇒ y(2 z) 32 + = y = 4,z = VËy hÖ cã nghiÖm (x, y,z) ∈{ (10;4; −2),(10;8; −6),(2;8;2),(2;4;6)} Suite du document ci-dessous Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Découvre plus de : Đề thi tuyến sinh Đề thi tuyển sinh 20 documents about:blank 6/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Suite du document ci-dessous Découvre plus de : Đề thi tuyến sinh Đề thi tuyển sinh Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 20 documents Accéder au cours 37 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Đề thi tuyến sinh 100% (3) ước mơ - jhkhkjlkljl; Đề thi tuyến sinh Aucun ĐỀ Chính THỨC - 368 - Name : Phạm Thanh Nga Date : 8/1/2008 Honnies : read novels and watch tv Đề thi tuyến sinh Aucun Ánh trăng Ngữ Văn Đề thi tuyến sinh Aucun Unit Clothing Đề thi tuyến sinh Aucun Website: tailieumontoan.com x+ De cuong bdhsg - sinhxz =132202015 (1) Ví dụ 10: Giải hệ phương trình : 2y = 7xz − 3x − 14 2 35 Đề thi tuyến sinh (2) x + y = 35 − z (3) Aucun (Vòng 1,Khối THPT Chuyên – Đại học Sư phạm Hà Nội , năm học 2006 – 2007) about:blank Hướng dẫn giải 7/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Đề thi tuyến sinh Aucun Website: tailieumontoan.com x+ De cuong bdhsg - sinhxz =132202015 (1) Ví dụ 10: Giải hệ phương trình : 2y = 7xz − 3x − 14 2 35 Đề thi tuyến sinh (3) x + y = 35 − z (2) Aucun (Vòng 1,Khối THPT Chuyên – Đại học Sư phạm Hà Nội , năm học 2006 – 2007) Hướng dẫn giải Từ (1) ta có: x = xz − , thay vào (2) ta được: 2y2 = 7xz − 3(xz − 4) − 14 ⇔ y2 = 2xz − thay vµo (3) ta cã x2 + z2 = 36 − 2xz ⇔ (x + z)2 = 36 ⇔ x + z = ± NÕu x + z = ⇔ z = − x thay vµo (1) ta cã x2 − 5x + = ⇒ x = 1;x = NÕu x + z = −6 ⇒ z = − − x thay vµo (1) ta cã x + 7x + = (1; −3;5),(1;3;5),(4; 15;2),(4; − 15;2), Vậy (x;y;z) ∈ − + 33 − − 33 −7 + 33 − − 33 − ; 33; , ; 33; 2 2 Thay biểu thức số Đối với số hệ phương trình ,ta thay biểu thức chứa ẩn số vào phương trình cho x + y + xy = 61 (1) 2 x + x y + y = 1281 (2) Ví dụ 11 Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải (2) ⇔ (x + xy + y )(x − xy + y ) = 1281 2 2 Thay (1) vµo (2) ta cã : 61(x2 − xy + y2 ) = 1281 ⇒ x2 − xy + y2 = 21 2 x + xy + y = 61 (x + y) = 81 ⇒ 2 x − xy + y = 21 xy = 20 Khi ta có: ⇒ (x;y) ∈{(5;4),(4;5),( −5; −4),(−4; −5)} x + y + z = Ví dụ 12 Giải hệ phương trình : xy + yz − zx = (1) (2) x + y + z = 14 (3) (Vòng 1,Khối THPT Chuyên , Đại học Sư phạm Hà Nội , năm học 2005 – 2006) Website: tailieumontoan.com Hướng 2 dẫn giải Từ (1) (3) ta có: (x2 + y + z ) + 2(xy + yz + zx) = 36 Liên hệ+tài liệu+word toán=zalo: 039.373.2038 ⇔ 14 2(xy yz + zx) 36 ⇔ xy + yz + zx = 11 (4) Từ (2) (4) ta có: xz = , thay vào (1), (2) ta được: y + (x + z) = ⇒ y = 3,x + z = y.(x + z) = about:blank 8/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình x + y + z = 14 (3) (Vòng 1,Khối THPT Chuyên , Đại học Sư phạm Hà Nội , năm học 2005 – 2006) Website: tailieumontoan.com Hướng 2 dẫn giải Từ (1) (3) ta có: (x + y + z ) + 2(xy + yz + zx) = 36 Liên hệ+tài liệu+word toán=zalo: 039.373.2038 ⇔ 14 2(xy yz + zx) 36 ⇔ xy + yz + zx = 11 (4) Từ (2) (4) ta có: xz = , thay vào (1), (2) ta được: y + (x + z) = ⇒ y = 3,x + z = y.(x + z) = Từ suy hệ có nghiệm (x;y;z) ∈ {( 2;3;1) , (1;3;2 )} (x + 1)(y + 1) = 42 Ví dụ 13 Giải hệ phương trình (1) (x − 1) + (y − 1) = 145 (2) 2 Hướng dẫn giải Hệ cho tương đương với : xy + x + y = 41 xy + x + y = 41 x + y = 15 x + y = −15 ⇔ ⇔ hc 2 = xy 26 xy = 56 + − + + = + − = (x y) 2(xy x y) 143 (x y) 82 143 Vậy (x;y) ∈ {(13;2 ) , ( 2;13 ) , ( −7; −8 ) , ( −8; −7 )} II PHƯƠNG PHÁP CỘNG Một phương pháp thường sử dụng để giải hệ phương trình phương pháp cộng.Dưới ta xét số ví dụ: 2 x + y + 2(xy + x + y) = (1) 2 (2) x + y + 4x − 2y + = Ví dụ 14 Giải hệ phương trình : (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2009- 2010) Hướng dẫn giải Trừ vế hai phương trình ta : 2xy + 2x + 2y − 4x + 2y − = ⇔ (y − 1)(x + 2) = +) NÕu y − = ⇒ y = thay vµo (2) :x + 4x + = ⇒ x = −1,x = −3 +) NÕu x + = ⇒ x = −2 thay vµo (2) : y − 2y = ⇒ y = 0;y = VËy hÖ cã nghiÖm :(x;y) ∈ {( − 1;1) ,( − 2;2) ,( − 2;0) ,( − 3;1)} Chú ý: Ta giải sau: (1) ⇔ (x + y)2 + 2(x + y) = ⇒ (x + y)[(x + y) + 2] = Nên x + y = x + y = −2 Website: tailieumontoan.com Từ dễ dàng tìm nghiệm hệ x + 4y =5 4xy x + + 2y = Ví dụ 15 Giải hệ phương trình: Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 (Vịng 2,THPT Chun – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2007-2008) Hướng dẫn giải about:blank Cộ ế th ế h t ì h ủ hệ t đ 9/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình (1) ⇔ (x + y) + 2(x + y) = ⇒ (x + y)[(x + y) + 2] = Nên x + y = x + y = −2 Website: tailieumontoan.com Từ dễ dàng tìm nghiệm hệ x + 4y =5 4xy + x + 2y = Ví dụ 15 Giải hệ phương trình: Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 (Vịng 2,THPT Chun – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2007-2008) Hướng dẫn giải Cộng vế theo vế phương trình hệ ta : (x + 2y)2 + (x + 2y) − 12 = ⇒ x + 2y = 3;x + 2y = −4 Hệ có nghiệm (x;y) ∈ (1;1) , 2; 2 (x + y)(x + y ) = 15 2 (x − y)(x − y ) = Ví dụ 16.Giải hệ phương trình: (Vịng 2,THPT Chun – Đại học Quốc gia Hà Nội , năm học 2004-2005) Hướng dẫn giải (x + y)(x2 + y2 ) = 15 Hệ cho tương đương với: 5(x + y)(x − y) = 15 Trừ vế theo vế phương trình hệ ta có: (x + y)[x2 + y2 − 5(x − y)2 ] = Vì x + y ≠ nên 2x − 5xy + 2y = ⇔ (2x − y)(x − 2y) = +) NÕu 2x − y = ⇒ y = 2x, ta cã ngiÖm x = 1, y = +) NÕu x − 2y = ⇒ x = 2y,ta cã nghiÖm x = 2,y = Vậy (x;y) ∈ {(1;2 ) , ( 2;1)} x + = y + z Ví dụ 17 Cho x, y số thực thỏa mãn: xy + z − 7z + 10 = (I) a) Chứng minh rằng: x2 + y2 = − z2 + 12z − 19 b) Tìm (x;y;z) thỏa mãn hệ (I) cho x + y2 = 17 (Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm , năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải x − y = z − 2 (x − y) = z − 2z + ⇔ 2xy = − 2z + 14z − 20 2xy = − 2z + 14z − 20 a) Hệ cho tương đương với: Website: tailieumontoan.com Cộng vế với vê ta x2 + y2 = − z2 + 12z − 19 b) Ta có: −z + 12z −19 = x2 + y2 = 17 ⇒ z − 12z + 36 = ⇒ z = Thay vào hệ ta dược (x;y;z) ∈ {( 4; −1;6 ) , (1; −4;6 )} Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 2x y − y 2x = 3 8x − y = Ví dụ 18 Giải hệ phương trình about:blank 10/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình kx - 2y = k - (1) 2 (k -1) x - y = k -1 (2) Ví dụ 47 Cho hệ phương trình: Website: tailieumontoan.com a) Tìm k để hệ có nghiệm x > 0, y > b) Tìm giá trị nguyên k để hệ có21nghiệm số nguyên Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Hướng dẫn giải a) Từ hệ phương trình cho ta có: ( 2k ) − 5k + x = 2k − k ⇔ (k − 2)(2k − 1)x = k(2k − 1) (3) Nếu k = (3) vơ nghiệm nên hệ vơ nghiệm Nếu k = hệ tương đương với x – 4y = -3, có nghiệm x > 0, y > Nếu k ≠ 2, k ≠ k 2k − hệ có nghiệm (x, y) = ; k−2 k−2 k >0 ⇔ k < k> Để x > 0,y > k − 2k − > k − 2 Vậy k < 0;k = ;k > hệ có nghiệm x > 0,y > x = + k − (k ∈ Z) , để x, y ∈ Z 2 (k − 2) Vậy k ∈ {0;1;3;4 } y = + k −2 b) Ví dụ 48 Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm x > 0,y > : x + xy + y = k + 2 x y + xy = k + Hướng dẫn giải a + b = k + ab = k + Đặt a = x + y, b = xy , hệ phương trình trở thành: Giải hệ ta a = 1,b = k + x,y nghiệm phương trình t − t + k + = 0, phương trình có hai nghiệm dương −2 < k ≤ −7 Nếu a = k + 2,b = x, y nghiệm phương trình: t − (k + 2)t + = 0, phương trình có hai nghiệm dương k ≥ Website: tailieumontoan.com −7 k ≥ Thì hệ phương 22 trình có nghiệm x > 0,y > toán zalo: 039.373.2038 Liên hệ tài liệu word Vậy −2 < k ≤ Ví dụ 49 Tìm tham số k để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: x + xy = (k + 2)(y − 1) y + xy = (k + 2)(x −1) a) about:blank 24/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình y p g g phương trình có hai nghiệm dương k ≥ Website: tailieumontoan.com −7 k ≥ Thì hệ phương 22 trình có nghiệm x > 0,y > toán zalo: 039.373.2038 Liên hệ tài liệu word Vậy −2 < k ≤ Ví dụ 49 Tìm tham số k để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: x + xy = (k + 2)(y − 1) y + xy = (k + 2)(x −1) a) (x + 1) = y + k − (y + 1) = x + k − b) Hướng dẫn giải a) Ta nhận thấy (x 0;y ) nghiệm hệ (y0 ;x0 ) nghiệm hệ Do để hệ có nghiệm x = y0 Khi phương trình 2x − (k − 2)x + k + = phải có nghiệm ⇔ ∆ = (k + 2)(k − 6) = ⇔ k = −2 k = x + xy = , hệ có vô số nghiệm y = −x y + xy = Nếu k = −2 hệ trở thành x + xy = 8(y − 1) , hệ có nghiệm x = y = 2 y + xy = 8(x −1) Nếu k = hệ trở thành Vậy k = hệ có nghiệm b) Tương tự câu a) Ví dụ 50 Tìm a, b để hệ phương trình sau có nghiệm: (2a + b + 1)x + (a − 2b − 2)y = 5a 2 2 (3a + 4b + 2)x + (2a − 8b − 4)y = 8a Hướng dẫn giải Dễ thấy, với giá trị a b x = 2, y = nghiệm hệ Do hệ ln có nghiệm với giá trị a,b x + y2 + 2x + 2y = 11 Ví dụ 51 Cho hệ phương trình xy(x + 2)(y + 2) = m a) Giải hệ m = 24 b) Tìm m để hệ có nghiệm Website: tailieumontoan.com (THPT Chun – 23 TP Hồ Chí Minh, năm học 2007 – 2008) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Hướng dẫn giải a + b = 13 (a − 1)(b − 1) = m Đặt a = x2 + 2x + = ( x + 1) ≥ 0,b = y2 + 2y + ≥ , hệ trở thành: about:blank ) Khi 24 dễ thấ 4b h ặ 9b 25/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình a) Giải hệ m = 24 b) Tìm m để hệ có nghiệm Website: tailieumontoan.com (THPT Chuyên – 23 TP Hồ Chí Minh, năm học 2007 – 2008) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Hướng dẫn giải a + b = 13 (a − 1)(b − 1) = m Đặt a = x2 + 2x + = ( x + 1) ≥ 0,b = y2 + 2y + ≥ , hệ trở thành: a) Khi m = 24 dễ thấy a = 4,b = a = 9,b = Do hệ có nghiệm (x, y) ∈{(1;2),(1; −4),( −3; −4),(2;1),( −4;1),(−4; −3)} a + b = 13 a + b = 13 ⇔ ab (a b) m − + + = ab = m + 12 b) a,b nghiệm khơng âm phương trình t − 13t + m + 12 = ⇔ −12 ≤ m ≤ 121 x + y = k −1 Ví dụ 52 Giả sử (x, y) nghiệm hệ phương trình: 2 x + y = + 2k − k Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: A = xy + 8(x + y) − 25 Hướng dẫn giải a = k − Đặt a = x + y, b = xy , hệ trở thành 2 a − 2b = + 2k − k Để hệ có nghiệm a2 ≥ 4b ⇔ k − 2k + ≥ 4k − 8k − ⇔ k − 2k − ≤ ⇔ −1 ≤ k ≤ Với a = k − 1,b = k2 − 2k − A = k + 6k − 35 = ( k + 3) − 44 Vậy Max A = −8 k = ; Min A = −40 k = −1 Chú ý: Một số học sinh mắc sai lầm sau: “Từ A = (k + 3)2 − 44 ≥ −44 kết luận Min A = −44 k = −3 ” Tuy nhiên, k = −3 hệ phương trình cho vơ nghiệm ax + by = c Ví dụ 53 Giả hệ phương trình sau có nghiệm: bx + cy = a cx + ay = b Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc Hướng dẫn giải Website: tailieumontoan.com Gọi (x0 ,y0 ,z0 ) nghiệm hệ phương trình 24 Liên hệ tài3liệu 3word3 tốn2 zalo: 039.373.2038 Khi a + b + c = a (bx0 + cy0 ) + b (cx0 + ay0 ) + c2 (ax0 + by0 ) = a 2bx + a 2cy + b 2cx + b 2ay + c 2ax + c 2by = ab(ax + by ) + bc(bx + cy 0) + ac(ay + cx ) = 3abc about:blank 26/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc Hướng dẫn giải Website: tailieumontoan.com Gọi (x0 ,y0 ,z0 ) nghiệm hệ phương trình 24 Liên hệ tài3liệu 3word3 tốn2 zalo: 039.373.2038 Khi a + b + c = a (bx0 + cy0 ) + b (cx0 + ay0 ) + c2 (ax0 + by0 ) = a 2bx + a 2cy + b 2cx + b 2ay + c 2ax + c 2by = ab(ax + by ) + bc(bx + cy 0) + ac(ay + cx ) = 3abc BÀI TẬP x + y = 2x 3 ( x − 1) + y = Bài Giải hệ phương trình: (Vịng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2008 – 2009) Hướng dẫn giải ( x − 1)2 + y2 = Hệ tương đương với: ( x − 1) + y3 = a + y = Đặt a = x − ta 3 2 a + y = Trừ vế a ( − a) + y2 ( − y ) = Mặt khác a2 + y2 = nên −1 ≤ a ≤ 1; −1 ≤ y ≤ , suy a = 0,y = 1, a = 1,y = Hệ có nghiệm: (x;y ) = { (1;1 ); (2;0 )} x + y = 4z − (1) Bài Giải hệ phương trình: y + z = 4x −1 (2) z + x = 4y −1 (3) (Vòng 1, Hệ THPT Chuyên Toán – Tin, Trường Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2002 – 2003) Hướng dẫn giải 4 Điều kiện: x ≥ ,y ≥ ,z ≥ Nếu x > y ⇒ x + z > y + z hay 4y − > 4x − ⇔ y > x vô lý Tương tự: Nếu y > x vơ lý, x = y Tương tự ta có y = z Website: tailieumontoan.com 25 Vậy x = y = z thay vào ( 1) : 2x = 4x − ⇔ 4x2 − 4x + = ⇔ ( 2x − 1) = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y;z ) = ; ; 2 about:blank 3 103 22 27/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Nếu x > y ⇒ x + z > y + z hay 4y − > 4x − ⇔ y > x vô lý Tương tự: Nếu y > x vô lý, x = y Tương tự ta có y = z Website: tailieumontoan.com 25 Vậy x = y = z thay vào ( 1) : 2x = 4x − ⇔ 4x2 − 4x + = ⇔ ( 2x − 1) = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y;z ) = ; ; 2 x +103 + y − 22 = Bài Giải hệ phương trình: y +103 + z − 22 = 3 z +103 + x − 22 = Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≥ 22;y ≥ 22;z ≥ 22 Với x > 22 y > 22 z > 22 : Không thỏa mãn Với x = y = z = 22 thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ có nghiệm x = y = z = 22 x + y + z = 15 (1) Bài Giải hệ phương trình: xy + yz + zx = 75 (2) Hướng dẫn giải ( 1) ⇔ x2 + y2 + z2 + ( xy + yz + zx) = 225⇒ x2 + y2 + z2 = 225− 2.75 = 75 ⇒ x + y + z = xy + yz + zx ⇒ ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x ) = ⇒ x = y = z = 2 x + y + z + t = 36 xy + yz + zt + tx = 36 Bài Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải Từ hệ cho ta có: x + y + z + t2 = xy + yz + zt + tx 2 ⇔ (x − y ) + ( y − z ) + (z − t ) + (t − x ) = ⇒ x = y = z = t 2 2 Hệ có nghiệm (x;y;z;t ) ∈ { (−3; −3; −3; −3 ), (3;3;3;3 )} Bài Giải hệ phương trình: x + 3− =2 y + 3− =2 x y Hướng dẫn giải Website: tailieumontoan.com 2 1 Đặt = b26ta có: a, 3 x y Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Điều kiện: x ≥ ,y ≥ a + − 2b = ⇒ a + − 2b = b + − 2a b + − 2a = about:blank 28/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình + 3− =2 y x Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải 2 1 Đặt = b26ta có: a, 3 x y Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Điều kiện: x ≥ ,y ≥ a + − 2b = ⇒ a + − 2b = b + − 2a b + − 2a = Dễ dàng chứng minh a = b , thay vào ta a = b = a = b = Hệ có nghiệm: ( x;y ) ∈ {(1;1), ( 9;9 )} x + 12x = y + 12y 4 x + y = 16 Bài Giải hệ phương trình: (1) (2) Hướng dẫn giải Từ (1) có: ( x − y )( x + xy + y + 12) = ⇒ x = y 2 Thay vào (2) ta được: x4 = nên hệ có nghiệm (x,y )∈ {( )( 8, ; − 8, − 697 x + y = 81 x + y2 + xy − 3x − 4y + = )} (1) Bài Giải hệ phương trình: (2) Hướng dẫn giải (2) ⇔ x + (y − 3)x + y − 4y + = phương trình bậc hai ẩn x 2 Để phương trình có nghiệm ∆ x = −3y2 + 10y − ≥ ⇔ ≤ y ≤ (2) ⇔ y2 + (x − 4)y + x2 − 3x + = phải có nghiệm y: Suy ∆y = −3x2 + 4x ≥ ⇒ ≤ x ≤ 4 697 Từ suy x4 + y2 ≤ + = ⇒ x = ,y = 81 3 3 3 Các giá trị khơng thỏa mãn (2) Vậy hệ vô nghiệm 2 4x + 4y + z + 8xy − 2xz − 2yz = 12 2 4x + 4y + 2yz − 2xz − 8xy = −4 Bài Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải (1) ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) z + z − 12 = Đặt t = x + y ta có 4t − 2zt + z − 12 = (1) (2) Website: tailieumontoan.com 27 ' Liên hệ tài liệu2word toán zalo: 039.373.2038 ∆1 ≥ ⇔ −3z + 48 ≥ ⇔ −4 ≤ z ≤ (2 ) ⇔ ( x − y) − 2z ( x − y ) + = Đặt x − y = k ta có 4k2 − 2zk + = ' about:blank 29/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình (2) 4x + 4y + 2yz − 2xz − 8xy = −4 Hướng dẫn giải (1) ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) z + z − 12 = Đặt t = x + y ta có 4t − 2zt + z − 12 = Website: tailieumontoan.com 27 ' Liên hệ tài liệu2word toán zalo: 039.373.2038 ∆1 ≥ ⇔ −3z + 48 ≥ ⇔ −4 ≤ z ≤ (2 ) ⇔ ( x − y) − 2z ( x − y ) + = Đặt x − y = k ta có 4k2 − 2zk + = ∆'2 ≥ ⇔ z2 − 16 ≥ ⇔ z ≤ −4 z ≥ Vậy z = −4 z = Hệ có nghiệm ( x;y;z ) ∈{ (1;0;4 ), ( −1;0; −4 )} 2(x + y) = z Bài 10 Tìm số x ≥ 0,y ≥ 0,z ≥ thỏa mãn hệ phương trình: 2(y + z) = x 2(z x) y + = Hướng dẫn giải Trước hết ta chứng minh x = y = z ≥ Thay vào ta x = 4x ⇒ x = x = Vậy hệ có nghiệm: ( x;y;z ) ∈{ ( 0;0;0 ) , ( 4;4;4 )} Bài 11 Chứng minh không tồn số nguyên x,y,z thỏa mãn hệ 2 x − 3xy + 3y − z = 31 2 x + xy + 8z = 100 phương trình: (THPT Chuyên – TP Hồ Chí Minh, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải Nhân hai vế (1) với cộng với (2) ta được: ( ) 9x2 − 23xy + 24y2 = 348 ⇔ 2x2 − 5xy + 5y2 = ( x − y ) + 348 (3) Dễ thấy hai vế trái chia hết cho (x − y)2 chia cho dư dư dư 4, vế phải chia cho dư dư dư Từ suy hệ phương trình khơng có nghiệm ngun x + 2y − 4y + = 2 x + x y − 2y = Bài 12 Giải hệ phương trình: (1) (2) (Thi học sinh giỏi lớp – TP Hồ Chí Minh, năm học 1995-1996) Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải (1) ⇔ x3 = −1 − ( y − 1) ≤ − ⇒ x ≤ − liệu Liên hệ x tài word + xtoán = 0zalo: 039.373.2038 y2 − 2y (2 ) ⇔ 28 Nếu x = y = khơng thỏa mãn (1) Nếu x ≠ 0,∆' = 1− x4 ≥ ⇒ − ≤ x ≤ about:blank Từ h (2) đ 30/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình 2 (2) x + x y − 2y = (Thi học sinh giỏi lớp – TP Hồ Chí Minh, năm học 1995-1996) Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải (1) ⇔ x3 = −1 − ( y − 1) ≤ − ⇒ x ≤ − liệu Liên hệ x tài word + xtoán = 0zalo: 039.373.2038 y2 − 2y (2 ) ⇔ 28 Nếu x = y = khơng thỏa mãn (1) Nếu x ≠ 0,∆' = 1− x4 ≥ ⇒ − ≤ x ≤ Từ suy x = −1 thay vào (2) ta y = Hệ có nghiệm (x;y ) = (−1;1 ) x + y9 = (1) 10 10 x + y = (2) Bài 13 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải Từ (2) ta có: x ≤ 1,y ≤ ⇒ − ≤ x ≤ 1;− ≤ y ≤ 10 10 Do x ≤ nên x ≤ ⇒ y ≥ ⇒ y ≥ tương tự x ≥ Do ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ Ta có: x − x10 + y − y10 = ⇒ x (1 − x ) + y9 (1 − y) = x (1 − x) = ⇒ ⇒ Hệ có nghiệm (x;y )∈ { (0;1 ), (1;0 )} y (1 − y) = x + y = (1) Bài 14 Giải hệ phương trình: x + y = (2) Hướng dẫn giải y ≤ ⇒ −1 ≤ y ≤ ⇒ y ≤ ⇒ x ≥ ⇒ x ≥ Từ (1) Ta có: x ≤ ⇒ −1 ≤ x ≤ Từ ta có ≤ x ≤ Tương tự ta có ≤ y ≤ Trừ vế với vế (1 ), (2 ) ta x6 (1− x ) + y4 (1− y ) = x (1 − x ) = Hệ có nghiệm (x;y )∈ { (1;0 ), (0;1 )} y (1 − y ) = Từ suy ra: Website: tailieumontoan.com 1 1 x + y + z29= Liên hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Bài 15 Giả i hword ệ phương trình: − =4 xy z (1) (2) Hướng dẫn giải about:blank ề 31/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Website: tailieumontoan.com 1 129 x + y + z = (1) Liên 15 hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Bài Giả i hword ệ phương trình: − = (2) xy z Hướng dẫn giải Điều kiện: x,y,z ≠ 1 1 1 1 2 2 + + = 4= − 2⇔ 2+ 2+ 2+ + + − + =0 x y z xy z x y z xy xz yz xy z (1) ⇔ 1 ⇔ + + + + + xz z y yz z x 2 1 1 =0 ⇔ + + + =0 x z y z 1 x + z = −1 ⇒ ⇒ x = y = ,z = 1 2 + =0 y z x + y = 12 4 x + y + xy = 35 Bài 16 Tìm x, y dương thỏa mãn hệ: Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: x4 + y4 ≥ 32 xy ≤ x+ y 12 = ⇒ xy ≤ ⇒ ≥3 xy Do x4 + y4 + 12 ≥ 35 Dấu xảy x = y = xy Vậy hệ phương trình có nghiệm dương x = y = Bài 17 TÌm x, y số nguyên thỏa mãn hệ điều kiện sau: 2 2y − x − xy + 2y − 2x = (1) 3 (2) x + y + x − y = (Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2004 – 2005) Hướng dẫn giải (1 ) ⇔ (y − x )(2y + x + ) = , có nghiệm nguyên x = 1,y = Website: tailieumontoan.com x = −5,y = Kết hợp với (2 ) ta có x = 1,y = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.20382 30 5.64 (2 ) : c = a − b + 3, thay vào (3 ) : a = b2 + ( a − b + 3) + ⇔ ( a − b)( b − 3) = Từ kết hợp với (1) ta được: (a,b,c )∈ {(−3;2; −2 ), (−3; −2;2 )} about:blank a < b 32/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Hướng dẫn giải (1 ) ⇔ (y − x )(2y + x + ) = , có nghiệm nguyên x = 1,y = Website: tailieumontoan.com x = −5,y = Kết hợp với (2 ) ta có x = 1,y = 30 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.20382 5.64 (2 ) : c = a − b + 3, thay vào (3 ) : a = b2 + ( a − b + 3) + ⇔ ( a − b)( b − 3) = Từ kết hợp với (1) ta được: (a,b,c )∈ {(−3;2; −2 ), (−3; −2;2 )} a < b Bài 18 Tìm số nguyên a,b,c thỏa mãn hệ điều kiện sau: a + = b + c a = b + c + Hướng dẫn giải ( x + 1) ( x − ) = y + (1) Hệ cho tương đương với: ( y − 1) ( y + ) = z − (2 ) ( z + ) ( z − ) = − x ( ) Nếu x > 2, từ (3 ) ta có z < Từ (2 ) ta có y < −2 Từ (1) ta có x < (vơ lý) Tương tự x < vô lý Vậy (x;y;z ) = (2; −2;4 ) x = 3x + y + Bài 19 Giải hệ phương trình: y = 3y + z − z 12z x 18 − + = Hướng dẫn giải Từ (1) ta có: y = −mx − , thay vào (2) ta (1 − m ) x = − m (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm ⇔ m ≠ Khi x = 1,y = − m − 1,y = x ⇔ ( − m − 1) = ⇔ m = m = −2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN x + y = 3 2 x + y = 3(x + y ) Bài Giải hệ phương trình: 2 x + y + xy = 3 2 x + y = 3(x + y ) Bài Giải hệ phương trình: (1) (2) (1) (2) Website: tailieumontoan.com 3 (1) x + y = 131 2y x y 3xy (2) + + = Bài Giải hệ phương trình: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 2x + xy − 6x − 2y + = 2y − xy − 3x + 3y + = Bài Giải hệ phương trình: about:blank (1) (2) 33/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Bài Giải hệ phương trình: 3 2 x + y = 3(x + y ) (2) Website: tailieumontoan.com x + y3 = 131 (1) Bài Giải hệ phương trình: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 2y + x y + 3xy = (2) 2x + xy − 6x − 2y + = 2y − xy − 3x + 3y + = (1) Bài Giải hệ phương trình: (2) x + 2y − 2xy + 6x − 10y + 18 = Bài Giải hệ phương trình: 2x + xy − = x − 4y2 − 4x + 4y + = (1) 2 x + 2y − 2xy + 4x − 4y − = (2) Bài Giải hệ phương trình: x = (5y + 4)(4 − y) (1) Bài Giải hệ phương trình: 2 x − 5y − 4xy + 16y − 8x + 16 = x − 3xy + 2y2 = 2x − 3xy + = (2) (1) Bài Giải hệ phương trình: (2) (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007) 3 x − y = 3(x − y) x + y = −1 (1) Bài Giải hệ phương trình: (2) x + xy + = 3x + y 2 x + y = Bài 10 Giải hệ phương trình: (1) (2) (Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2001 – 2002) 6x − 3xy + x = − y 2 x + y = (1) Bài 11 Giải hệ phương trình: (2) (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2004-2006) x − xy − 6y2 − 2x + 11y − = 2 x + y = (1) Bài 12 Giải hệ phương trình: 2 x − y = 4x − 2y − 2 x + y = (2) (1) Bài 13 Giải hệ phương trình: (2) (Vịng 2, THPT Chun – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007) Website: tailieumontoan.com 2 x + x − xy 32 − 2y − 2y = x + y = Bài 14 Giải hệ phương trình: 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 (1) (2) (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2003 – 2004) xy + x + y = x − 2y Bài 15 Giải hệ phương trình: about:blank 2 (1) (2) 34/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình y (Vòng 2, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007) Website: tailieumontoan.com x + x − xy 32 − 2y − 2y = (1) Bài 14 Giải hệ phương trình: 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 x + y = (2) (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2003 – 2004) xy + x + y = x − 2y Bài 15 Giải hệ phương trình: (1) x 2y − y x − = 2x − 2y (2) x + 2y + x − 2y = 2y (1) Bài 16 Giải hệ phương trình: x + 10y = (2) x + y + z = Bài 17 Giải hệ phương trình: 2x + 3y + z = 2 ( x + 1) + ( y + ) + (z + 3) = 26 (1) (2) (3) Bài 18 Giải hệ phương trình: x + y + z = 21 2(y + z) = yz a) x + y + z = 189 b) xy + yz + zx = 108 y xz = xyz = 180 x + 2xy = 24 y + 2x y = 24 Bài 19 Giải hệ phương trình: (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2007 – 2008) 3x = 5y + 66 3y = 5x + 66 Bài 20 Giải hệ phương trình: 4y x − 3y = x Bài 21 Giải hệ phương trình: y − 3x = 4x y (1) (2) x + xy + x + y = Bài 22 Giải hệ phương trình: (1) (x + y)(1 + xy) = (2) (Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007) x − y + xy = 3x + y = y + Bài 23 Giải hệ phương trình: (1) (2) Website: tailieumontoan.com (Vịng 2, THPT Chuyên – Đại họ2c Quốc gia Hà Nội, năm học 20096 – 2010) x + y −33 2(x + y) = 2 Liên 24 hệ tài liệuhệ word tốn zalo: 039.373.2038 Bài Giải phương trình: y + z − 2(y + z) = 2 z + x − 2(z + x) = (1) (2) (3) (THPT Chuyên – tỉnh Hà Tây (cũ) Năm học 2003 – 2004) about:blank ( + + ) 12 (1) 35/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình x − y + xy = (1) Bài 23 Giải hệ phương trình: (2) 3x + y = y + Website: tailieumontoan.com (Vòng 2, THPT Chuyên – Đại họ2c Quốc gia Hà Nội, năm học 20096 – 2010) x + y −33 2(x + y) = 2 Liên 24 hệ tài liệuhệ word tốn zalo: 039.373.2038 Bài Giải phương trình: y + z − 2(y + z) = 2 z + x − 2(z + x) = (1) (2) (3) (THPT Chuyên – tỉnh Hà Tây (cũ) Năm học 2003 – 2004) x(x + y + z) = 12 − yz (1) Bài 25 Giải hệ phương trình: y(x + y + z) = 15 − xz (2) z(x + y + z) = 20 − xy (3) x y z + − = Bài 26 Cho x,y,z nghiệm hệ phương trình: 12 x + y − z =1 10 Tính giá trị A = x + y + z (Vòng 2, THPT Chuyên Đại học Sư phạm, năm học 2009 – 2010) (x − 1)y + x + y = (y − 2)x + y = x + (1) Bài 27 Giải hệ phương trình: (2) (Vịng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2011 – 2012) x + 2xy = 2x = 2y + = 3x + xy + 4x − y − = Bài 28 Giải hệ phương trình: 2 x + y + 3x + 3y + 2xy − = 2 x y + xy = 48 Bài 29 Giải hệ phương trình: x(x + 2)(3x + y) = 64 Bài 30 Giải hệ phương trình: x + 5x + y = 16 2x − 2y − xy = + 12 Bài 31 Giải hệ phương trình: (x − y) + 2xy = 24 x + y4 = 16 Bài 32 Giải hệ phương trình: 6 x + y = 64 x + y2 − 3xy = −11 Bài 33 Giải hệ phương trình: 2 x + x y + y = 931 Website: tailieumontoan.com y 2 34 x + y + x = 22 x 32 +2 =1 x + y − y Liên hệ tài liệuhệ word toán zalo: 039.373.2038 Bài 34 Giải phương trình: x − y − xy = 15 Bài 35 Giải hệ phương trình: about:blank (1) 36/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Bài 33 Giải hệ phương trình: 2 x + x y + y = 931 Website: tailieumontoan.com y 2 34 x + y + x = 22 Liên 34 hệ tài liệuhệ word tốn zalo: 039.373.2038 Bài Giải phương trình: x 32 +2 =1 y x + y − x − y − xy = 15 (1) x +1 + y +1 = (2) Bài 35 Giải hệ phương trình: 2 y − xy + x y = 16 y − xy − xy = Bài 36 Giải hệ phương trình: ( )( ) x + y2 + + 8xy = y + =− x +1 y +1 Bài 37 Giải hệ phương trình: x (1) (2) (THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương, năm học 2007 – 2008) x − + y − = Bài 38 Giải hệ phương trình: a) x + + y + = x −1 + y +1 = b) x + + y + = xy + 2x + y = 4xy Bài 39 Giải hệ phương trình: 1 y xy + y2 + x = xy(x + y) = Bài 40 Giải hệ phương trình: 3 x + y + x + y = (Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2007 – 2008) x − 2xy + 3y3 = 2 2x − 13xy + 15y = Bài 41 Giải hệ phương trình: a) x + y3 = b) 3 6x − 3xy + y = 2 3x + 8y + 12xy = 23 2 x + y = Bài 42 Giải hệ phương trình: (Vịng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, Website: năm họtailieumontoan.com c 2010 – 2011) 2 2x + 2xy 35+ 3y = 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 4xy − x − 2y = Bài 43 Giải hệ phương trình: 2x − xy + 3y = 13 Bài 44 Giải hệ phương trình: 2 x + 4xy − 2y = −6 about:blank 37/38 09:41 29/09/2023 Chuyên ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chuyên - HỆ PHƯƠNG Trình Bài 42 Giải hệ phương trình: 2 x + y = (Vịng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, Website: năm họtailieumontoan.com c 2010 – 2011) 2x + 2xy 35+ 3y = Bài 43 Giải hệ phương trình: 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 4xy − x − 2y = 2x − xy + 3y = 13 2 x + 4xy − 2y = −6 Bài 44 Giải hệ phương trình: x + + y − = Bài 45 Giải hệ phương trình: x − + y + = x + y + 2xy = Bài 46 Giải hệ phương trình: x + y = (1) (2) (Vòng 2, THPT Chun Tốn – Tin, Lam Sơn – Thanh Hóa, năm học 2005 – 2006) 36 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 about:blank 38/38