Khoá luận tốt nghiệp lý thuyết phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng trong việc khảo sát hiện tượng bùng nổ nhiệt trong chất bán dẫn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA VẬT LÝ NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN H C C M U ity rs ve ni LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT TRONG CHẤT BÁN DẪN TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2018 n tio ca du fE O KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA VẬT LÝ NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN H LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT TRONG CHẤT BÁN DẪN C C M ity rs ve ni U [TOÁN - LÝ] n tio ca du MÃ SỐ SINH VIÊN: K40.102.077 fE O CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LƯƠNG LÊ HẢI TP HCM – NĂM 2018 Lời cảm ơn H Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tồn thể thầy cô giáo khoa Vật Lý, đặc biệt thầy tổ Tốn - Lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, người người thầy, người cô thời gian qua khơng dạy bảo tơi tận tình kiến thức chun mơn mà cịn truyền cho tơi niềm đam mê, nhiệt thành, tâm huyết với môn tốn học C M C Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Lương Lê Hải, người tận tình hướng dẫn, bảo để tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp ve ni U ity rs Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn O fE Tp Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 04 năm 2018 n tio ca du Nguyễn Phước Vĩnh Sơn Mục lục H Lời cảm ơn Lời mở đầu Danh mục kí hiệu Danh mục hình vẽ, đ` ô thị Chương 1: Tổng quan Chương 2: Sóng sóng xung kích phi tuyến 2.1 Sự lan truyền tuyến tính đường đặc trưng 2.1.1 Phương trình lan truyền 2.1.2 Mệnh đề 2.2 Phương trình lan truyền phi tuyến 2.3 Định luật bảo tồn sóng xung kích 2.3.1 Định nghĩa định luật bảo toàn 2.3.2 Mệnh đề 2.3.3 Sóng xung kích Chương 3: Sự khuếch tán phi tuyến - Phương trình Burger Chương 4: Sự tán sắc Soliton 4.1 Sự tán sắc tuyến tính 4.2 Phương trình Korteweg–deVries 4.3 Soliton Chương 5: Phương trình truyền nhiệt phi tuyến 5.1 Giới thiệu 5.2 Bài toán vật lý dẫn đến phương trình truyền nhiệt phi tuyến 5.3 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến 5.4 Nguyên lý cực đại 5.5 Nghiệm mẫu 5.6 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến chiều 5.6.1 Nghiệm mẫu cho trước 5.6.2 Nghiệm mẫu hai thành phần 5.6.3 Đánh giá tham số nghiệm mẫu 5.7 Trường hợp hai chiều 5.7.1 Nghiệm đối xứng tâm 5.7.2 Đánh giá nghiệm mẫu hai chiều 5.8 Xây dựng nghiệm dựa chuỗi lũy thừa 5.9 Thảo luận phương pháp giải C C M ity rs ve ni U n tio ca du fE O 10 10 10 11 13 20 20 21 22 25 28 28 30 32 35 35 36 38 40 41 45 45 51 58 62 62 64 65 68 Kết luận Kiến nghị nghiên cứu Tài liệu tham khảo 70 71 72 H C C M ity rs ve ni U n tio ca du fE O Lời mở đầu H Tốn học ngơn ngữ ngành khoa học nói chung với vật lý nói riêng Những cơng thức, phương trình tốn học xây dựng nhằm mơ tả tượng thực tế Có thể nói phương trình xây dựng nghiên cứu sâu rộng phương trình vi phân đạo hàm riêng từ dạng tuyến tính đơn giản đến phương trình vi phân phi tuyến vơ phức tạp Tuy nhiên tượng xảy tự nhiên lại đa dạng, phức tạp nên phương trình xây dựng để mơ tả tượng đa số phương trình vi phân phi tuyến C C M U ity rs ve ni Như ta biết, phương trình vi phân tuyến tính giải nghiệm xác Cịn phương trình vi phân phi tuyến nhà tốn học cố gắng làm đơn giản hóa chúng phương pháp tuyến tính hóa thành cơng việc giải nghiệm xác (nghiệm giải tích) Tuy nhiên đa số phương trình vi phân phi tuyến lại phức tạp giải nghiệm xác mà địi hỏi phải sử dụng đến phương pháp xấp xỉ để giải nghiệm gần fE O n tio ca du Vì mà có nhiều nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến Những tài liệu nước điển hình phương trình vi phân phi tuyến giáo trình luận văn [1], [2], [3], Bên cạnh tài liệu nước ngồi với tác giả cơng trình tiếng [5], [6], [9], [10], [13], Đây tài liệu phù hợp cho người học nghiên cứu sâu phương trình vi phân phi tuyến Tùy vào mục đích khác mà tài liệu phương trình vi phân phi tuyến xây dựng khác Những luận văn, giáo trình nước thường dành cho nghiên cứu sinh, học viên cao học, có tảng phương trình vi phân phi tuyến nên tài liệu thường xây dựng cách hàn lâm tập trung vào việc giải tốn mà lại đề cập đến chí bỏ qua tính chất vật lý nghiệm thu Còn tài liệu tiếng nước tác giả nước hay tác giả ngoại quốc có nhiều ứng dụng hơn, nhiên có nhiều tài liệu tập trung nhiều phần lý thuyết tính tốn Nhận thấy điều đó, chúng tơi thực luận văn Luận văn xây dựng cách tiếp cận đơn giản dễ hiểu nhằm hướng tới đối tượng học sinh, sinh viên có hiểu biết tảng việc giải phương trình vi phân tuyến tính có bước tiếp cận phương trình vi phân phi tuyến Luận văn giới thiệu phương pháp giải cho phương trình vi phân phi tuyến đơn giản từ cấp đến cấp ba phần cuối tập trung vào khai thác phương trình truyền nhiệt phi tuyến, cụ thể tượng truyền nhiệt chất bán dẫn Trong trình xây dựng nội dung lý thuyết ví dụ minh họa, luận văn ln hướng đến việc phân tích triệt để tính chất, ý nghĩa vật lý thể thông qua tham số nghiệm thu Luận văn lấy tảng chủ yếu từ năm tài liệu tham khảo [4], [7], [8], [11] [12] chỉnh lí, bổ sung, xếp lại cách logic, khoa học nhằm đem lại cho người đọc cách nhìn đơn giản dễ hiểu phương trình vi phân phi tuyến H Vì kiến thức thân hạn chế nên q trình thực luận văn khó tránh khỏi sai sót nên mong nhận đóng góp quý báu quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện C C M Xin chân thành cảm ơn! ity rs ve ni U n tio ca du fE O Danh mục kí hiệu Tập số tự nhiên N H Tập số tự nhiên dương N+ C Tập số thực C M R Rn Khơng gian n−chiều ∇ Tốn tử Nabla ∆ Toán tử Laplace u− Giới hạn bên trái hàm u u+ Giới hạn bên phải hàm u u¯ Giá trị trung bình hàm u ity rs ve ni U Tập số thực dương R+ n tio ca du fE O O (xn ) ∂u ∂t ∂u u0 = ux = ∂x ∂ 2u u00 = uxx = ∂x2 ∂ 3u u000 = uxxx = ∂x3 u˙ = ut = Phần dư dạng Peano khai triển Taylor-Maclaurin Đạo hàm riêng hàm u theo biến t Đạo hàm riêng bậc hàm u theo biến x Đạo hàm riêng bậc hai hàm u theo biến x Đạo hàm riêng bậc ba hàm u theo biến x Danh mục hình vẽ, đ` ô thị 11 13 15 16 17 18 18 19 23 Hình 3.1 Những nghiệm sóng lan truyền phương trình Burger 27 Hình 4.1 Hình 4.2 Hình dạng sóng đơn độc Tương tác hai soliton Các đường đặc trưng sóng lỗng khí Hình dạng sóng lỗng khí lan truyền theo thời gian Những đường đặc trưng sóng xung kích Đồ thị biểu diễn nghiệm bội Sự bảo tồn khối lượng quanh sóng xung kích C ity rs ve ni U 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 M Hình Hình Hình Hình Hình Hình dạng sóng lan truyền theo thời gian Sử dụng đường cong đặc trưng để tìm nghiệm Hai nghiệm phương trình ut + uux = Các đường đặc trưng f (x) = sin (1.8x − 0.8) C 2.1 2.2 2.3 2.4 H Hình Hình Hình Hình O n tio ca du fE Hình 5.1 Mạch điện có dịng điện chạy qua bán dẫn Hình 5.2 Dạng đồ thị hàm a (t) Hình 5.3 Dạng đồ thị hàm v (x) Hình 5.4 Dạng đồ thị hàm u (x, t) Hình 5.5 Đồ thị họ quỹ đạo mặt phẳng pha {ha, bi : |a| < b, b > 0} Hình 5.6 Dạng đồ thị hàm b (t) 32 34 37 47 50 51 54 56 Chương Tổng quan H Nếu ta không xét đến học lượng tử, vốn giữ nguyên lý thuyết tuyến tính đến tận ngày hơm nay, đa số hệ vật lý đời sống thực bao gồm khí động lực học, học chất lưu, thuyết tương đối, sinh thái học, thần kinh học, nhiệt động lực học, mơ hình hóa phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến Luận văn chủ yếu khảo sát mơ hình chiều đơn giản Ngồi luận văn cịn giới thiệu hướng giải cho phương trình truyền nhiệt hai chiều chất bán dẫn C C M ve ni U ity rs Luận văn xếp theo thứ tự bậc tăng dần từ bậc đến bậc ba phương trình vi phân phi tuyến dạng đơn giản sau tập trung vào khai thác phương trình truyền nhiệt phi tuyến Về bố cục, nội dung luận văn trình bày theo năm chương: fE O du Chương giới thiệu tổng quan nội dung nghiên cứu đề mục tiêu cụ thể cho chương n tio ca Chương tập trung nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến bậc Phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến bậc mơ hình sóng phi tuyến xuất khí động lực học, phản ứng hóa học, lan truyền khí thải, sóng nước sơng nhiều hệ sinh học sinh thái học khác Một tượng phi tuyến quan trọng gián đoạn nghiệm khoảng thời gian hữu hạn, điều nguyên nhân dẫn đến hình thành sóng xung kích gián đoạn Đối với phương trình sóng tuyến tính tín hiệu truyền theo dọc theo đường đặc trưng, phương trình phi tuyến đường đặc trưng giao nhau, kết dẫn đến hình thành sóng xung kích Việc biểu thị đặc tính sóng xung kích dựa việc giải phương trình vi phân phi tuyến địi hỏi thêm điều kiện vật lý theo hình thức định luật bảo toàn Chương xoay quanh việc nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến bậc hai Các phương trình vi phân phi tuyến bậc hai dạng parabolic dùng để khảo sát trình khuếch tán phi tuyến, bao gồm nhiệt động lực học, phản H C C M ni U ity rs ve Hình 5.2: Dạng đồ thị hàm a (t) (5.81) O vy + v yy + v = λv
0 ⇒ v y = λv − v

⇒ d v y = λv − v dv = λv − v
dv (5.84) ∀x ∈ (−∞; +∞) (5.86) n 2λ v − v + C2 2λ ⇒ v (x) v (x) = v (x) − v (x) + C2 , ⇒ v2y2 = (5.83) tio ca d v2y Z du ⇒
fE Z (5.82) (5.85) Ta qua tâm đến nghiệm mẫu u (x, t) có điểm tiếp xúc x∗ với mức u = Những nghiệm (với cấu trúc đặc biệt phương trình (5.67)) cho ta thành lập nghiệm khoảng dương hàm u (x, t), nghĩa v (x∗ ) = 0, v (x∗ ) = 0, từ ta có: 2λ v (x∗ ) − v (x∗ ) + C2 ⇒ C2 = 2λ ⇒ v (x) v (x) = v (x) − v (x) , ∀x ∈ (−∞; +∞) 2 v (x∗ ) v (x∗ ) = 47 (5.87) (5.88) (5.89) ⇒ v (x) = 2λ v (x) − v (x) , ∀x ∈ (−∞; +∞) (5.90) Nếu nghiệm u (x, t) nghiệm phương trình (5.67) với biến số phân ly x t điều kiện tồn v (x) đạo hàm điều kiện tồn u (x, t): v (x) = 2λ v (x) − v (x) > 0, ⇒ < v (x) < λ, ∀x ∈ (−∞; +∞) ∀x ∈ (−∞; +∞) (5.91) (5.92) Nghiệm tồn λ > H C Từ phương trình (5.90) lấy đạo hàm hai vế theo x ta có: M C 2v 00 (x) v (x) = λv (x) − v (x) v (x) , ∀x ∈ (−∞; +∞) 1 ⇒ v 00 (x) = λ − v (x) 1 ⇒ v 00 (x∗ ) = λ − v (x∗ ) = λ > 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) 3 (5.93) (5.95) rs ve ni U (5.94) ity Vì λ > nên v 00 (x) > 0, nghĩa hàm v (x) đạt cực tiểu x = x∗ fE O Giải phương trình vi phân (5.90), với < v (x) < λ: r 2λ v − v2 dv tio ca ⇒r (5.96) du v0 = ± (5.97) n = ±dx 2λ v− v  √  v Z Z d √ − √ s √  ⇒  √ 2 = ± dx λ v λ − √ − 3 π v − = ± √ x + C2 + 2λ 2      √  x ⇒ v = λ cos √ x + C2 + = λcos + C2 3 ⇒ arcsin 3  (5.98) (5.99) (5.100) Với hàm số tắc ta chọn nghiệm chẵn v (x), nghĩa v (−x) = v (x) Suy v (x) có dạng: 48 v (x) = λcos2  √  x ∀x ∈ (−∞; +∞) , , (5.101) với λ số dương xác định biên độ nghiệm mẫu t = Ta tìm giá trị điểm x∗ :  √  x∗ v (x∗ ) = λcos2 =0 √ ⇒ x∗ = (π ± 2kπ) k = 0, 1, 2, 3, (5.102) (5.103) H Vậy điểm x∗ số không phụ thuộc vào biên độ nghiệm mẫu C C M Để phù hợp với ý nghĩa vật lý phương trình truyền nhiệt, nhiệt độ lan truyền không gian giới hạn xa nguồn nhiệt ảnh hưởng nguồn nhiệt giảm xuống, nghĩa u (x, t) → x → ∞ Điều cho phép ta xác định miền không gian xảy tượng truyền nhiệt có kịch phát nghiệm miền giới hạn hai√biên√là  vị trí đạt giá trị khơng lần (5.102), tức miền − 2π; 2π Với vị trí nằm ngồi miền khơng gian u (x, t) = với t >   √    λcos2 x , x ∈ −√2π; √2π  , (5.104) v (x) =  √ √   0, x∈ / − 2π; 2π ity rs ve ni U fE O tio ca du Dạng đồ thị hàm v (x) biểu diễn hình 5.3 với λ = Vậy dạng tổng quát nghiệm mẫu phương trình: u0 cos2 3u0 t u (x, t) = −    0,  √  x ,  √ √  x ∈ − 2π; 2π ,  √ √  x∈ / − 2π; 2π , n     ∀t > 0, t 6= (5.105) 3u0 4λa0 - biên độ nghiệm t = Tại thời điểm t∗ = nghiệm tiến tới vô cùng, thời điểm gọi thời 3u0 Với u0 = điểm xảy trạng thái kịch phát Vậy nghiệm mẫu mô tả tượng kịch phát, thời điểm nhiệt độ tăng lên nhanh thời gian ngắn dẫn đến bùng nổ chất bán dẫn Vì ta quan tâm nghiệm khoảng thời gian t ∈ [0; t∗ ): 49 H C Hình 5.3: Dạng đồ thị hàm v (x) C M U      √  x ,  √ √  x ∈ − 2π; 2π , t ∈ [0; t∗ ) (5.106)  √ √  x∈ / − 2π; 2π , ity rs ve ni u0 cos2 3u0 t u (x, t) = −    0, n tio ca du fE O Dạng đồ thị hàm u (x, t) biểu diễn hình 5.4 từ thời điểm ban đầu t = đến thời điểm xảy tượng kịch phát t∗ , với u0 = 50 H C C M U Hình 5.4: Dạng đồ thị hàm u (x, t) ve ni 5.6.2 Nghiệm mẫu hai thành phần h u2
00 i + u2 (x, t) , ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0, (5.107) fE O u˙ (x, t) = ity rs Xét phương trình: Hàm u (x, t) có dạng mẫu: u (x, t) = a (t) + b (t) cos (xL) , tio ca du suy từ phương trình (5.25) khơng gian hai chiều hệ tọa độ Descartes trường hợp đối xứng cho y = x ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0, (5.108) n với L tham số Ta xác định hàm a (t), b (t) dạng ban đầu hàm mẫu u (x, t) với điều kiện ban đầu a (0) = a0 , b (0) = b0 a (t) b (t) Ta có: u2
00 = 2uu0 h
0 = 2u02 + 2uu00 , phương trình (5.107) trở thành: i u˙ (x, t) = 2u0 + 2uu0 + u2 (x, t) , ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0, (5.109) với đạo hàm: u˙ (x, t) = a˙ (t) + b˙ (t) cos (xL) , u0 (x, t) = Lb (t) sin (xL) , u00 (x, t) = −L2 b (t) cos (xL) 51 (5.110) (5.111) (5.112) Thay biểu thức vào phương trình (5.108): a˙ (t) + b˙ (t) cos (xL) = 2L2 b2 (t) sin2 (xL) − 2L2 a (t) b (t) cos (xL) − L2 b2 (t) cos2 (xL) +a2 (t) + 2a (t) b (t) cos (xL) + b2 (t) cos2 (xL) (5.113) ⇒ a˙ (t) − a2 (t) − 2L2 b2 (t) + 4L2 − b2 (t) cos2 (xL) 
 + b˙ (t) − − L2 a (t) b (t) cos (xL) = 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t >  
(5.114) H Ta nhận thấy phương trình có dạng C ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0, (5.115) C M f (t) + g (t) cos2 (xL) + h (t) cos (xL) = 0, với U ve ni f (t) = a˙ (t) − a2 (t) − 2L2 b2 (t) , (5.116) (5.117) g (t) = 4L2 − b2 (t) ,
h (t) = b˙ (t) − − L2 a (t) b (t)
rs (5.118) ity du fE O hàm phụ thuộc vào biến t Vì hàm cos2 (xL) cos (xL) độc lập với nên để vế trái khơng với giá trị x ∈ (−∞; +∞) hàm f (t), g (t), h (t) phải triệt tiêu, nghĩa là: (5.119) n              a˙ (t) − a2 (t) − 2L2 b2 (t) =    
∀t ≥ g (t) = ∀t ≥ ⇒  4L2 − b2 (t) =    
   b˙ (t) − − L2 a (t) b (t) = h (t) = tio ca      f (t) =     Khi b (t) = , ∀t ≥ u (x, t) = a (t) , ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0, nghĩa nhiệt độ vị trí, nghiệm không mô tả tượng truyền nhiệt khơng gian Vì ta tiến hành giải hệ phương trình với b (t) 6=      a˙ (t) = a2 (t) + 2L2 b2 (t) =     ∀t > (5.120) L2 =     
   b˙ (t) = − L2 a (t) b (t) 52 Ta nhận thấy tham số L chọn cách tùy ý mà bị ràng buộc điều kiện L2 = để phương trình vi phân (5.108) có nghiệm, từ ta có     a˙ (t) = a2 (t) + b2 (t) ∀t ≥ (5.121)    b˙ (t) = a (t) b (t) Giải hệ (5.121) ta tìm hàm a (t) b (t) xác định điều kiện ban đầu a (0) b (0), từ ta nhận nghiệm mẫu u (x, t) Từ hệ (5.121) ta có H da 2a2 + b2 2a 1b = = + db 3ab 3b 3a (5.122) C C M Phương trình (5.122) xác định phụ thuộc "quỹ đạo" a = a (b) mặt phẳng pha {ha; bi : a, b ∈ R} Đặt: a da ⇒ a = bz ⇒ = z + bz b db (5.123) ni U z (b) = thay vào phương trình (5.122), ta có rs ve z + bz = z + 3z 1−z ⇒ bz = 3z ity (5.124) db 3z dz = 1−z b Z
Z 3 ⇒ − ln − z = ln |b| − ln C1 , 2 db b n d − z2 = − z2 tio ca Lấy tích phân hai vế ta có − (5.126) du ⇒ fE O (5.125) với C1 > (5.127) (5.128) Phương trình (5.128) xác định dạng tổng quát họ quỹ đạo mặt phẳng pha {hz, bi : z, b ∈ R} Để xây dựng nghiệm mẫu dương u (x, t) (ít đoạn x chứa điểm 0), b (t) > Ngoài nghiệm mẫu cần tìm phải có điểm giao với lớp khơng (mức "0") Ta phải có: a (t) − b (t) < a (t) + b (t) > 0, |a| < Ta khảo sát quỹ đạo mặt phẳng b ha, bi thỏa mãn điều kiện |z| < hay |a (t)| < b (t) ⇒ |z| = 53 H C C M U ve ni Hình 5.5: Đồ thị họ quỹ đạo mặt phẳng pha {ha, bi : |a| < b, b > 0} ity rs Nhận thấy phần mặt phẳng {ha, bi : |a| < b, b > 0} không thay đổi dịch chuyển hệ (5.121) Vì đường thẳng a (t) = b (t) a (t) = −b (t) quỹ đạo hệ, từ ta có: O
3 − z b2 = C13 1− a b2 b2 = C13 (5.130) b − a2 b4/3 ⇒ C1 = (5.131) n tio ca du ⇒ (5.129) fE   Từ (5.131) ta thu họ quỹ đạo mặt phẳng pha {ha, bi : |a| < b, b > 0} a2 = b2 − C1 b4/3 ⇒a=± p b2 − C1 b4/3 (5.132) (5.133) Đồ thị họ quỹ đạo mặt phẳng pha {ha, bi : |a| < b, b > 0} biểu diễn hình 5.5 với C1 = 0, 1, 2, 3, Ta xác định phụ thuộc vào thời gian biên độ a (t) b (t) Từ phương trình thứ hai hệ (5.121) suy a= p 2b˙ = ± b2 − C1 b4/3 3b 54 (5.134) ⇒± Z ⇒± Z Z db b p = b2 − C1 b4/3 b−2 db (5.135) dt (5.136) = t + C2 p − C1 b−2/3 −1 1/2 −4/3 C b db Ta có: Z m2 dm √ ⇒ t + C2 = ∓ 3/2 − m2 C1 Đặt m = C11/2 b−1/3 ⇒ dm = Z H Tính nguyên hàm C m2 dm √ : − m2 m2 dm √ = − m2 m2 − √ dm + − m Z Z C M Z √ 1 − m2 dm − m2 dm + arcsin (m) ni U mp − m2 − arcsin (m) + arcsin (m) 2 ve p m2 dm √ = arcsin (m) − m − m2 , − m2 rs i h (5.138) ity ⇒ Z p =− =− Z (5.137) 3/2 C1 arcsin b1/3 − du t + C2 = ∓ fE O từ ta thu phụ thuộc vào thời gian biên độ b (t): " ! # 1/2 1/2 p C C b2/3 b2/3 − C1 , (5.139) tio ca C2 số bất định n Dạng đồ thị hàm b (t) biểu diễn hình 5.6 với C1 = C2 = Tại vị trí ban đầu ta cần nhận nghiệm mẫu u(x, 0) có giá trị nhỏ tùy ý Để điều xảy a(0) = a0 < Trong trường hợp quỹ đạo hệ học (5.102) bao gồm hai phần Phần nằm góc phần tư a < 0, b > Điểm nửa quỹ đạo biểu diễn điểm M0 (a0 , b0 ) với a0 = a(0) < 0, b0 = b(0) Trên nửa quỹ đạo biểu thức (5.133) thõa mãn với dấu (−) Trong công thức (5.139) trường hợp biểu thức mang dấu (+) Bắt đầu từ điểm hệ chuyển động góc phần tư cho điểm (0, ρ), ρ > vào thời điểm T0 Nửa quỹ đạo nằm góc phần tư {ha, bi : a > 0, b > 0} Trong trường hợp biểu thức (5.133) nhận dấu (+), công thức (5.139) mang dấu (−) 55 H C C M ni U rs ve Hình 5.6: Dạng đồ thị hàm b (t) ity Vì vậy, nửa quỹ đạo công thức (5.139) cần phải chọn dấu (+) việc xác định C1 theo công thức (5.131) cần phải đặt a(0) = a0 , (−) b(0) = b0 Hằng số ta kí hiệu C1 , để nhấn mạnh số tương ứng với nửa quỹ đạo Ta có = b20 − a20 4/3 (5.140) tio ca b0 du fE O (−) C1 n Để xác định số C2 , mà nửa quỹ đạo thứ ta kí hiệu C2(−) , công thức (5.139) cần phải đặt t = 0, từ ta có: ! p q (−) C2 = b20 (b20 3/2 − a20 ) arcsin b20 − a20 | a0 | − b0 b0 b20 − a20 (5.141) Ta xác định phần quỹ đạo phụ thuộc vào thời gian ha(t), b(t)i, bắt đầu vào thời điểm t = với a0 < kết thúc vào thời điểm T0 , mà quỹ đạo dịch chuyển mặt phẳng pha đến gần gốc tọa độ tới khoảng cách ngắn ρ Khi thời gian T0 xác định từ điều kiện a(T0 ) = Từ công thức (5.131) ta có (−) 3/2 b(T0 ) = C1 (5.142) Mặt khác, theo định nghĩa, b(T0 ) = ρ, ta thu biểu thức khoảng cách ρ có chứa a0 , b0 56 (−) 3/2 ρ = C1 (b20 − a20 )3/2 b02 = (5.143) Khi đó, thời gian T0 xác định (−) T0 + C2 π = 3/2 (5.144) , 2C1 T0 =   π − arcsin p b20 − a20 b0 + | a0 | b0 s a0 b0 2  2/3   1−  , (5.145) H b20 3/2 (b20 − a20 ) C π − arcsin ρ  1/3 ρ b0  1/3 + ρ b0 s 1− ρ b0  (5.146) ve ni U T0 = C M hoặc, ta cho a0 <  ρ b0 ity rs Dựa vào (5.141), C2 biễu diễn qua số ρ:   s  2/3  1/3  1/3 ρ ρ ρ (−)  1− − C2 = arcsin b0 b0 (5.147) O ρ b b tio ca du fE Từ biểu thức (5.139) (5.143), ta có biểu thức nửa quỹ đạo (nửa quỹ đạo âm) phụ thuộc vào tham số ρ " # r       1/3 1/3 2/3 ρ ρ ρ (−) 1− t + C2 = arcsin − (5.148) b n Từ công thức (5.143) suy C1(−) = ρ2/3 , từ (5.131) b(T0 ) = ρ, a(T0 ) = suy C1(+) = ρ2/3 Nhận thấy tham số C1(−) C2(−) giống nhau, đại lượng ρ đặc trưng cho tồn quỹ đạo mà khơng phụ thuộc vào phần quỹ đạo (âm dương) mà hệ chuyển động Vì vậy, ta sử dụng dấu kí hiệu (±) để kí hiệu C1 hai nửa quỹ đạo Xét công thức (5.139) nửa quỹ đạo dương thời điểm T0 : ! 1/2 1/2 q C1 C1 (+) t + C2 = 3/2 b2/3 − C1 − arcsin 1/3 (5.149) 2/3 C1 b b Ta biểu diễn biểu thức theo tham số ρ: 57