lê hồng đức vương ngọc nguyễn tuấn phong lê viết hoà lê bích ngọc giảng trọng tâm theo chương trình chuẩn toán 12 lời nói đầu Bộ giáo dục Đào tạo đà công bố Hường dẫn ôn tập thi môn Toán THPT Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán, đề thi đại học cao đẳng môn Toán, cụ thể: cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT I Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu (3 điểm): Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng) Câu (3 điểm): Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ logarit Giá trị lớn nhỏ hàm số Tìm nguyên hàm, tính tích phân Bài toán tổng hợp Câu (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trơ, khèi chãp, khèi nãn trßn xoay, khèi trơ trßn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu II Phần riêng (3 điểm) Theo chương trình chuẩn: Câu 4a (2 điểm): Xác định toạ độ điểm, vectơ Mặt cầu Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 5a (1 điểm): Số phức: môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thøc ∆ ©m øng dơng cđa tÝch ph©n: tÝnh diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Theo chương trình nâng cao: Câu 4b (2 điểm): Phương pháp toạ độ không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 5b (1 điểm): Số phức: môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số phức Phương trình bậc hai hệ số phức Dạng lượng giác số phức Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc số yếu tố liên quan Sự tiếp xúc hai đường cong Hệ phương trình mũ logarit ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Cấu trúc đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng I Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu (2 điểm): Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng) Câu (2 điểm): Phương trình, bất phương trình hệ đại số Công thức lượng giác, phương trình lượng giác Câu (1 điểm): Tìm giới hạn Tìm nguyên hàm Tính tích ph©n øng dơng cđa tÝch ph©n: tÝnh diƯn tÝch hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Câu (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc đường thẳng, mặt phẳng Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trơ, khèi chãp, khèi nãn trßn xoay, khèi trơ trßn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Câu (1 điểm): Toán tổng hợp II Phần riêng (3 điểm) Theo chương trình chuẩn: Câu 6a (2 điểm): Phương pháp toạ độ mặt phẳng không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Đường tròn, elíp, mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 7a (1 điểm): Số phức Tổ hợp, xác suất, thồng kê Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Theo chương trình nâng cao: Câu 6b (2 điểm): Phương pháp toạ độ mặt phẳng không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Đường tròn, ba đường cônic, mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 7b (1 điểm): Số phức Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc mét sè u tè liªn quan Sù tiÕp xóc hai đường cong Hệ phương trình mũ logarit Tổ hợp, xác suất, thồng kê Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Dựa vào Nhóm Cự Môn xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc sách: Các giảng trọng tâm Môn Toán (gồm tập) miêu tả chi tiết phương pháp giải cho dạng toán thường gặp đề thi tốt nghiệp THPT, đại học cao đẳng môn Toán Với môn Toán 12 phần kiến thức trọng tâm: Giải tích bao gồm chương I, phần kiến thức chương II (phương trình, bất phương trình mũ lôgarit), chương III, chương IV Hình học có phần kiến thức chương I (tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp), phần kiến thức chương II (tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trơ trßn xoay; tÝnh thĨ tÝch cđa khèi nãn trßn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu), chương III Từ đó, Các giảng trọng tâm Môn Toán 12 chia thành phần: Phần I: Giải tích, bao gồm chủ đề: A ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Chủ đề Chđ ®Ị Chđ ®Ị Chđ ®Ị Chủ đề Chủ đề - Tính đơn điệu hàm số Cực trị hàm số Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Phép tịnh tiến hệ toạ độ Đường tiệm cận đồ thị hàm số Đồ thị hàm số toán liên quan B mũ lôgarit Chủ ®Ị Chđ ®Ị Chđ ®Ị Chđ ®Ị 10 - Hàm số mũ lôgarit Phương trình mũ lôgarit Hệ phương trình mũ lôgarit Bất phương trình mũ lôgarit C nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chủ đề 11 - Nguyên hàm Chủ ®Ị 12 - TÝch ph©n Chđ ®Ị 13 - øng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể D số phức Phần II: Hình học, bao gồm chủ đề: Chủ đề - Khối ®a diƯn vµ thĨ tÝch cđa chóng Chđ ®Ị - Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Chủ đề - Tọa độ điểm, vectơ yếu tố liên quan Chủ đề - Mặt phẳng toán liên quan Chủ đề - Đường thẳng toán liên quan Chủ đề - Mặt cầu toán liên quan Mỗi chủ đề chia thành ba phần: A Kiến thức cần nhớ: Nhắc lại nội dung kiến thức mà em học sinh cần nhớ B Phương pháp giải dạng toán liên quan: Được trình bày theo phong cách thuật toán dạng bước thực Và dạng toán có thí dụ minh hoạ nhận xét để giúp em học sinh củng cố kiến thức C Các to¸n chän läc: Bao gåm c¸c vÝ dơ cã tÝnh tổng hợp cao trích từ đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Với phong cách trình bày vậy, tài liệu giúp tăng chất lượng giảng cho thầy, cô giáo víi c¸c em häc sinh nã sÏ cung cÊp mét giáo trình hoàn chỉnh mặt kiến thức, dễ đọc, dễ hiểu Để tài liệu ngày hoàn hảo Nhóm Cự Môn mong nhận ý kiến đóng góp quý báu bạn đọc gần xa Hà nội, ngày 11 tháng năm 2009 Chủ biên Lê Hồng Đức phần I: giải tích chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số A Kiến thức cần nhớ I tính đơn điệu hàm số điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f(x) xác định khoảng I thì: a Hàm số f(x) đồng biến khoảng I vµ chØ víi x t ý thc I, ta cã: f(x + ∆x) − f(x) > , víi mäi ∆x ≠ vµ x + ∆x I x b Hàm số f(x) nghịch biến khoảng I với x tuỳ ý thuéc I, ta cã: f(x + ∆x) − f(x) < , víi mäi ∆x ≠ vµ x + ∆x ∈ I ∆x Tõ ®ã, ta cã kÕt quả: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu hàm số f(x) đồng biến khoảng I f '(x) 0, x I b Nếu hàm số f(x) nghịch biến khoảng I th× f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Định lí (Định lí Lagrange): Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a; b] có đạo hàm (a; b) tồn điểm c (a; b) cho: f(b) − f(a) f(b) − f(a) = f '(c).(b − a) hay f '(c) = b−a ý nghĩa định lí Lagrăng: Xét cung AB đồ thị hàm số y = f(x) với A(a; f(a)) B(b; f(b)) Hệ số góc cát tuyến AB là: f(b) f(a) ba Đẳng thức: f(b) f(a) f '(c) = b−a cã nghÜa lµ hƯ sè góc tiếp tuyến cung AB điểm (c; f(c)) b»ng hƯ sè gãc cđa c¸t tun AB VËy, giả thiết định lí Lagrăng thoả mÃn tồn điểm C cung AB cho tiếp tuyến song song với cát tuyến AB Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu f '(x) > 0, x I f(x) đồng biến khoảng I b Nếu f '(x) < 0, x I f(x) nghịch biến khoảng I c NÕu f '(x) = 0, ∀x ∈ I th× f(x) không đổi khoảng I Ta có mở rộng định lí sau: Định lí 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a NÕu f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I, đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng I, f(x) đồng biến kho¶ng I b NÕu f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I, đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng I, f(x) nghịch biến khoảng I Ta tóm tắt định lí bảng biến thiên sau: x y' a b +∞ b +∞ + y x y' −∞ a − y II Cực trị hàm số khái niệm cực trị hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập hợp D (D ⊂ ) vµ x0 ∈ D a x0 gäi điểm cực đại hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ∈ D vµ: f(x) < f(x0) , víi mäi x ∈ (a; b)\{x0} Khi ®ã f(x0) gọi giá trị cực đại hàm số f(x) b x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ∈ D vµ: f(x) > f(x0) , víi mäi x (a; b)\{x0} Khi f(x0) gọi giá trị cực đại hàm số f(x) Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị điều kiện cần để hàm số có cực trị Xét hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a, b) x0 (a; b) Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f(x) có đạo hàm điểm x0 f'(x0) = điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a ; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0) (x0; b) Khi ®ã: a NÕu f '(x) < víi mäi x ∈ (a; x0) vµ f '(x) > với x (x0; b) hàm số f(x) đạt cực tiểu điểm x0 b Nếu f '(x) > víi mäi x ∈ (a; x0) vµ f '(x) < víi mäi x ∈ (x0; b) hàm số f(x) đạt cực đại điểm x0 Nói cách vắn tắt: Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu điểm x0 điểm cực trị Ta tóm tắt định lí bảng biến thiên sau: a x0 b x + y' + − y x y' CT −∞ a + y x0 CĐ b + Từ định lí ta có quy tắc tìm cực trị sau đây: Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm sè y = f(x) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bước 1: Tính f(x) Bước 2: Tìm điểm xi (i = 1, 2, ) đạo hàm hàm số hàm số liên tục đạo hàm Bước 3: Xét dấu f'(x) Nếu f'(x) đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị xi Định lí 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp khoảng (a; b) chứa điểm x0, f '(x0) = f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a Nếu f''(x0) < hàm số đạt cực đại điểm x0 b Nếu f''(x0) > hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Từ định lí ta có quy tắc tìm cực trị sau đây: Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số y = f(x) ta thực hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: TÝnh f’(x) Bíc 2: Tìm nghiệm xi (i = 1, 2, ) phương trình f'(x) = Bước 3: Với i ta tÝnh f"(xi), dã: NÕu f''(xi) < hàm số đạt cực đại điểm xi Nếu f''(xi) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi III Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D a Nếu tồn điểm x0 D cho: f(x) ≤ f(x0) víi mäi x ∈ D th× số M = f(x0) gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) tập D nÕu, kÝ hiÖu M = max f(x) x∈D b Nếu tồn điểm x0 D cho: f(x) ≥ f(x0) víi mäi x ∈ D th× sè m = f(x0) gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tập D nếu, kÝ hiƯu m = f(x) x∈D IV ®å thị hàm số Phép tịnh tiến hệ toạ độ phép tịnh tiến hệ toạ độ công thức chuyển hệ tọa độ Cho điểm I(x0; y0) ®iĨm M(x; y) hƯ to¹ ®é Oxy, ®ã hệ toạ độ IXY điểm M(X; Y) có toạ độ: X= x x x= X + x ⇔ Y= y − y y= Y + y phương trình đường cong hệ tọa độ Phương trình ®êng cong y = f(x) ®èi víi hƯ to¹ ®é IXY cã d¹ng: Y = f(X + x0) − y0 V đường tiệm cận đồ thị hàm số đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang Định nghĩa 1: Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim f(x) = y0 hc lim f(x) = y0 x →−∞ x + Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f(x) nÕu: lim f(x) = ±∞ hc lim− f(x) = ±∞ x → x +0 x →x0 ®êng tiƯm cận xiên Định nghĩa 3: Đường thẳng y = ax + b gọi đường tiệm cận xiên (gọi tắt tiệm cận xiên) đồ thị hàm số y = f(x) nÕu: lim [f(x) − (ax + b)] = hc lim [f(x) − (ax + b)] = x →+∞ 10 x →−∞ f Ta cã thÓ trình bày theo hai cách sau: Cách 1: (Dựa vào kết câu a): Mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với (P) xác định bởi: Tâm A(1; 1; − 1) ⇔ (S): (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = (S): Bán kính R=AH= Cách 2: (Độc lập với câu a): Gọi R bán kính mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với (P) ta có: R = d(A, (P)) = Phương trình mặt cầu (S) xác định bởi: Tâm A(1; 1; 1) ⇔ (S): (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = (S): B¸n kÝnh R=AH= g Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ ®i qua A vµ tiÕp xóc víi (P) chÝnh lµ mặt cầu đường kính AH, ta có ngay: 5 Tâm I trung điểm AH Tâm I ; ; (S): ⇔ (S): 2 AH ¸n kÝnh R= B B¸n kÝnh R= / 2 5 5 2 ⇔ (S) : x − + y − + ( z − ) = 2 h Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ qua A cắt (P) theo thiết diện đường tròn lớn đường tròn tâm H bán kính AH nên: (S): (x 2)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = i Mặt cầu (T) cần dựng có bán kính là: R2 = d(A, (P)) + r2 = + 18 = 24 R = 24 Phương trình mặt cầu (T) xác định bởi: Tâm A(1; 1; 1) ⇔ (S): (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 24 (S): B ¸n kính R= 24 Dạng toán 8: (Đ iểm mặt cầu): Để tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) thoả mÃn điều kiện K Phương pháp Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Sử dụng phương trình ban đầu mặt cầu Cách 2: Thiết lập ®iỊu kiƯn ®Ĩ M lµ giao ®iĨm cđa mét ®èi tượng khác mặt cầu (thường đường thẳng) Thí dụ Cho điểm A(2; 3; 4) mặt cÇu (S): x2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = a Chøng tá r»ng ®iĨm A n»m mặt cầu (S) b Viết phương trình đường thẳng (d) qua A cắt (S) hai điểm B, C cho BC có độ dài lớn 474 Giải c Tìm điểm M thuộc (S) cho MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ d Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) cách A khoảng lớn e Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (S) f Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, qua A tiếp xúc với (S) g Viết phương trình mặt cầu có bán kính lớn nhất, qua A tiếp xúc với (S) a Mặt cầu (S) có tâm I(0; 1; 2) bán kính R = , ta cã: IA2 = 22 + (3 − 1)2 + (4 − 2)2 = 12 ⇔ = IA > R Vậy, điểm A nằm mặt cầu (S) b Hai điểm B, C thuộc (S) có độ dài lớn BC đường kính (S), đường thẳng (d) cần dựng ®ỵc cho bëi: Qua I(0; 1; 2) (d): ⇔ (d): vtcp IA(2; 2; 2) chän (1; 1; 1) c NhËn xÐt r»ng: MA ≥ IA − IM = IA − R= − 3= x = t y= + t , t ∈ z= + t ⇒ MAMin = 3, đạt M, I, A thẳng hàng MA ≤ IA + IM = IA + R= + 3= 3 ⇒ MAMax = 3 , đạt M, I, A thẳng hàng Tức hai trường hợp {M} = (IA) (S) = (d) (S) Thay phương trình tham số (d) vào (S), ta được: AM1 = M (1; 2; 3) ⇒ t2 + t2 + t2 = ⇔ t2 = ⇔ t = ±1 ⇒ AM = 3 M (−1; 0; 1) VËy, ta cã kết luận: MAMin = , đạt ®iÓm M1(1; 2; 3) MAMax = 3 , đạt điểm M2(1; 0; 1) d Mặt phẳng (P) cần dựng tiếp xúc với (S) cách A khoảng lớn mặt phẳng tiếp xúc với (S) điểm M2, đó: Qua M (−1; 0; 1) (P) : ⇔ (P): x + y + z = vtpt IA(3; 3; 3) chọn (1; 1; 1) e Mặt cầu tâm A cã thĨ tiÕp xóc vµ tiÕp xóc ngoµi víi (S), nên ta có: Mặt cầu (T1) tâm A tiếp xúc với (S) cho bởi: Tâm A(2; 3; 4) (T1 ) : ⇔ (T1): (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = Bán kính R=AM1 = 475 Mặt cầu (T2) tâm A tiếp xúc với (S) cho bëi: T©m A(2; 3; 4) (T2 ) : ⇔ (T2): (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = 27 B¸n kÝnh R=AM = 3 f Mặt cầu (S1) có bán kính nhỏ nhất, ®i qua A vµ tiÕp xóc víi (S) chÝnh lµ mặt cầu đường kính AM1, đó: Tâm I1 trung điểm AM1 Tâm I1 ; ; ⇔ (S1 ) : (S1 ) : AM1 B¸n kÝnh R1 = B¸n kÝnh R1 = 2 2 3 5 7 ⇔ (S1 ) : x − + y − + z − = 2 2 2 g Mặt cầu (S2) có bán kính lớn nhất, qua A tiếp xúc với (S) mặt cầu ®êng kÝnh AM2, ®ã: 1 5 T©m I trung điểm AM Tâm I ; ; ⇔ (S2 ) : (S2 ) : AM 3 B¸n kÝnh R = B¸n kÝnh R = 1 3 5 27 ⇔ (S2 ) : x − + y − + z − = 2 Chó ý: NÕu điểm A nằm nằm mặt cầu (S) đường thẳng mặt phẳng qua A cắt (S) Nhận định gợi ý cách chứng minh đường thẳng mặt phẳng cắt mặt cầu Thí dụ Cho điểm A(2; 1; 2) mặt cầu (S) có phương trình: (S): x2 + (y 1)2 + (z − 1)2 = a Chøng tá đường thẳng qua điểm A cắt mặt cầu (S) b Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cắt (S) theo thiết diện đường tròn có bán kính nhỏ c Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (S) hai điểm B, C cho BC có độ dài lớn d Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng () : Giải x y z = = cắt (S) hai điểm E, F cho EF = −1 a Mặt cầu (S) có tâm I(0; 1; 1) bán kính R = 3, ta có: IA2 = 22 + (1 − 1)2 + (2 − 1)2 = IA = 5 Gọi G trung điểm c¹nh CC1 a TÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn BDA1M theo a b b Xác định tỉ số Giải a để (A1BD) (MBD) b Từ giả thiết suy C(a; a; 0) vµ C1(a; a; b) ⇒ M(a; a; 484 b ) a Ta cã ngay: VBDA1M = [ BD, BA1 ] BM (1) ®ã: b BD (−a; a; 0), BA1 (−a; 0; b), BM (0; a; ), [ BD, BA1 ] = (ab; ab; a2) Tõ ®ã, suy ra: b a 2b VBDA M = (ab; ab; a2) (0; a; )= b Gäi n A BD , n MBD theo thø tù lµ vtpt cđa mặt phẳng (A1BD) (MBD), ta có ngay: ab ab ; −a2) n MBD = [ BD, BM ] = ( ; n A BD = [ BD, BA1 ] = (ab; ab; a2), 2 Để (A1BD) (MBD) điều kiện là: a b2 a b2 − a4 = ⇔ a2 = b2 ⇔ a = b n A BD ⊥ n MBD ⇔ n A BD n MBD = ⇔ + 2 Vậy, với a = b thoả mÃn điều kiện đầu 1 1 Ví dụ 8: (Đề thi đại học khối D 2004): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 BiÕt A(a; 0; 0), B(− a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(−a; 0; b), a > 0, b > Gọi M trung điểm cạnh SC a Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C, AC1 b Cho a, b thay đổi thoả mÃn a + b = Tìm a, b, để khoảng cách hai đường thẳng B1C, AC1 lớn Giải Ta cã A1(a; 0; b), C1(0; 1; b) a Ta cã: | [B1C, AC1 ].CC1 | ab d(B1C, AC1) = = | [B1C, AC1 ] | a + b2 b Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta được: ab a + b ab ab d(B1C, AC1) = ≤ = ≤ = 2 2ab 2 a +b z B1 A1 O A a C1 B −a b C y x a +b= Suy dmax = , đạt ®ỵc a = b ⇔ a = b = Ví dụ 9: (Đề thi đại học khối B 2005): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; 3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4) a Tìm toạ độ đỉnh A1, C1 b Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) 485 Giải c Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) ®i qua hai ®iĨm A, M vµ song song víi BC1 d Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng (A1C1) N Tính độ dài đoạn MN a A1(0; 3; 4), C1(0; 3; 4) b Phương trình mặt phẳng (BCC1B1) cho bëi: qua B(4,0,0) qua B ⇔ (BCC1B1): (BCC1B1): = AM, BC1 ] (3, 4,0) vtpt n [ = cỈp vtcp BC vµ BB1 ⇔ (BCC1B1): 3(x − 4) + 4y = ⇔ (BCC1B1): 3x + 4y − 12 = Mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) khi: 24 | 4.(−3) − 12 | = R = d(A, (BCC1B1)) = 2 +4 Vậy, phương trình mặt cầu S(A, R) có dạng: 576 (S): x2 + (y + 3)2 + z2 = 25 c Ta cã M(2; − ; 4) vµ ®ã: qua A qua A ⇔ (P): (P): n [ AM, BC (1, 4, − 2) = = 1] vtpt cặp vtcp AM BC1 (P): x + 4(y + 3) − 2z = ⇔ (P): x + 4y 2z + 12 = d Phương trình tham số đường thẳng (A1C1) cho bởi: x = qua A1 (0, − 3, 4) ⇔ (A1C1): y =−3 + t , víi t ∈ (A1C1): vtcp A1C1 (0,6,0) z = Bằng cách thay phương trình tham số (A1C1) vào phương trình (P) ta được: + 4(−3 + t) − 2.4 + 12 = ⇔ t = ⇒ N(0; − 1; 4) 17 ⇒ MN = (0 − 2) + (−1 + ) + (4 − 4) = 2 486 Mục lục lời nói đầu phần I: giải tích chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số A Kiến thøc cÇn nhí .7 B Ph¬ng pháp giải dạng toán liên quan 12 Đ 1: Tính đơn ®iƯu cđa hµm sè .12 Đ 2: Cực trị hàm số .28 Đ 3: Giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè 41 Đ 4: Đồ thị hàm số phép tịnh tiến hệ tọa độ 50 § 5: §êng tiƯm cËn đồ thị hàm số 55 Đ 6: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm ®a thøc 63 § 7: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm phân thức hữu tỉ 69 Đ 8: Một số toán thường gặp ®å thÞ 77 C Các toán chọn lọc .95 chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit A Kiến thức cần nhớ 139 B Phương pháp giải dạng toán liên quan 143 § 1: Hµm sè mị vµ hµm sè logarit Hµm sè lòy thõa 143 Đ 2: Phương trình mũ lôgarit .149 § 3: HƯ phương trình mũ lôgarit .163 Đ 4: Bất phương trình mũ lôgarit 169 C Các toán chọn lọc .170 chương nguyên hàm, tích phân ứng dụng A KiÕn thøc cÇn nhí .201 B Phương pháp giải dạng toán liên quan .207 Đ 1: Nguyên hàm 207 Đ 2: Tích phân 229 Đ 3: ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng 245 Đ 4: ứng dụng tích phân để tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ 248 C Các toán chọn lọc .255 487 ch¬ng sè phøc A KiÕn thøc cÇn nhí .273 B Phương pháp giải dạng toán liên quan .278 § 1: Sè phøc .278 Đ 2: Căn bậc hai số phức phương trình bậc hai .285 Đ 3: Dạng lượng giác số phức ứng dụng 291 C Các toán chọn lọc 294 phần II: hình học chương khối đa diện thể tích chóng A KiÕn thøc cÇn nhí 303 B Phương pháp giải dạng toán liên quan .304 C Các to¸n chän läc .311 chương mặt cầu, mặt trụ, mặt nón A Kiến thức cần nhớ .323 B Phương pháp giải dạng toán liên quan 323 C C¸c toán chọn lọc .329 chương phương pháp tọa độ không gian A Kiến thức cần nhớ .339 B Phương pháp giải dạng toán liên quan .345 Đ 1: Hệ tọa độ không gian 345 Đ 2: Phương trình mặt phẳng 363 Đ 3: Phương trình đường thẳng .396 C Các toán chọn lọc .480 Môc lôc .487 488