Tong hop cong thuc on thi tot nghiep thpt mon toan le quoc bao

TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO ẢO GV Ê Q U ỐC B L  Yo Le  o u Tu be : Qu o c B x ( a log ) ·y a = log a x og a l + x y( > 0, y > 0) S mặt CÔNG THỨC ÔN THI TNTHPT 2023 = 4π r cầu 12 MƠN TỐN y Zb y = f (x) i2 = −1 |f (x)| dx S= O a b Cam Ranh - 9/2023 x a Bảng đạo hàm (k)0 = với k số (x)0 = (k.x)0 = k với k số (k.u)0 = k.u0 với k số (xn )0 = n.xn−1 với n ∈ N n ≥ (un )0 = n.un−1 u0 với n ∈ N n ≥ √ ( x) = √ x √ u0 ( u) = √ u (sin x)0 = cos x (sin u)0 = u0 · cos u (cos x)0 = − sin x (cos u)0 = −u0 · sin u u0 cos2 u −u0 (cot u)0 = u0 · (1 + cot2 u) = sin2 u cos2 x −1 (cot x)0 = + cot2 x = sin2 x (tan x)0 = + tan2 x = (tan u)0 = u0 · (1 + tan2 u) = (ax )0 = ax · ln a với a > a 6= (au )0 = u0 · au · ln a với a > a 6= (loga x)0 = u0 (loga u) = với a > a 6= u · ln a với a > a 6= x · ln a Z dx = C Bảng nguyên hàm Z dx = x + C (kx + b)α+1 +C (k 6= 0, α 6= −1) k(α + 1) Z xα+1 x dx = + C (α 6= −1) α+1 Z Z dx = ln |x| + C x Z 1 dx = · ln |kx + b| + C (k 6= 0) kx + b k Z sin(kx + b) dx = − · cos(kx + b) + C (k 6= 0) k α Z sin x dx = − cos x + C Z Z cos x dx = sin x + C Z Z Z (kx+b)α dx = cos(kx + b) dx = dx = tan x + C cos2 x Z dx = − cot x + C sin2 x Z ax a dx = + C (a > 0, a 6= 1) ln a Z x cos2 (kx + b) · sin(kx + b) + C (k 6= 0) k dx = · tan(kx + b) + C (k 6= 0) k 1 dx = − · cot(kx + b) + C (k 6= 0) k sin (kx + b) akx+b dx = akx+b + C (a > 0, a 6= 1, k 6= 0) k ln a Phần I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Kênh YouTube: Quoc Bao Le I Tổ hợp - Xác suất Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Ta nói cách xếp thứ tự n phần tử tập hợp A hốn vị n phần tử Định lí Số hoán vị n phần tử tính theo cơng thức: Pn = n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · Định nghĩa Cho tập hợp S gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp S xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Định lí Số chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là: Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = n! (n − k)! Định nghĩa Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử Định lí Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (0 ≤ k ≤ n) Ckn = ! Với ≤ k ≤ n, ta có Pn = Ann Ckn = n! k!(n − k)! Akn k! Tính chất Ckn = Cn−k với ≤ k ≤ n n k k Tính chất (Cơng thức Pascal) Ck−1 n−1 + Cn−1 = Cn với ≤ k < n Công thức nhị thức Niu-tơn n−1 (a + b)n = C0n an + C1n an−1 b + + Ckn an−k bk + + Cn−1 + Cnn bn n ab II Cấp số cộng, cấp số nhân Cấp số cộng (un ) un+1 = un + d với n ∈ N∗ với d công sai cấp số cộng un = u1 + (n − 1)d với n ≥ uk = Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un Khi Sn = uk−1 + uk+1 với k ≥ 2 n(u1 + un ) n(n − 1) = nu1 + d 2 III Cấp số nhân (un ) un+1 = un q, n ∈ N∗ với q gọi cơng bội cấp số nhân un = u1 · q n−1 với n ≥ u2 k = uk−1 · uk+1 với k ≥ − qn Đặt Sn = u1 + u2 + + un Khi Sn = u1 · 1−q IV Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Sự đồng biến, nghịch biến hàm số Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) • f (x) > 0, ∀x ∈ (a; b), suy f (x) đồng biến (tăng) khoảng (a; b) • f (x) < 0, ∀x ∈ (a; b), suy f (x) nghịch biến (giảm) khoảng (a; b) y f (x2 ) y f (x1 ) f (x1 ) f (x2 ) O x1 x2 x O x1 x2 x Với x1 ∈ (a, b), x2 ∈ (a, b) x1 < x2 Cực trị tiệm cận y A(x1 , y1 ) điểm cực đại đồ thị y1 giá trị cực đại hàm số y1 x2 điểm cực tiểu hàm số x2 x1 điểm cực đại hàm số x1 O y2 y2 giá trị cực tiểu hàm số x B(x2 , y2 ) điểm cực tiểu đồ thị Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ b2 − 3ac > Hàm số khơng có điểm cực trị ⇔ b2 − 3ac ≤ Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) Hàm số có ba điểm cực trị ⇔ ba < Hàm số có điểm cực trị ⇔ ba ≥ ax + b (c 6= 0, ad − cb 6= 0) khơng có điểm cực trị cx + d a Đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số c d Đường thẳng x = − tiệm cận đứng đồ thị hàm số c Hàm số y = Tương giao Giả sử hàm số y = f (x) có đồ thị (C1 ) hàm số y = g(x) có đồ thị (C2 ) Để tìm hồnh độ giao điểm (C1 ) (C2 ), ta giải phương trình f (x) = g(x) Giả sử phương trình có nghiệm x0 , x1 , Khi đó, giao điểm (C1 ) (C2 ) M0 (x0 ; f (x0 )), M1 (x1 ; f (x1 )), V Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit Lũy thừa Chú ý 00 0−n khơng có nghĩa an √ √ m Với a > 0, m ∈ Z, n ∈ N n ≥ a n = n a a n = n am Với a 6= 0, a0 = a−n = Một số tính chất lũy thừa Cho a, b số thực khác m, n số nguyên, ta có a) am · an = am+n ; d) (a · b)m = am · bm ; am = am−n ; an  a  m am e) = m b b c) (am )n = am·n ; b) Cho m, n số nguyên Khi Với a > am > an ⇔ m > n; Với < a < am > an ⇔ m < n Một số tính chất bậc n Với a ∈ R, m, n ∈ N, n ≥ m ≥ 2, ta có √ 2n • a2n = |a|; √ 2n+1 • a2n+1 = a; √ n √ m am = ( n a) , ∀a > 0; p√ √ • n m a = nm a, ∀a > • Lơgarit Định nghĩa Cho hai số dương a, b với a 6= Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b gọi lôgarit số a b kí hiệu loga b loga b = α ⇔ aα = b Tính chất Cho hai số dương a, b với a 6= Ta có tính chất sau 1) loga = 0; loga a = 1; 2) aloga b = b loga aα = α 6 Lơgarit tích lơgarit thương Cho ba số dương a, b1 , b2 với a 6= 1, ta có loga (b1 · b2 ) = loga b1 + loga b2 loga b1 = loga b1 − loga b2 b2 Lôgarit lũy thừa Cho hai số dương a, b với a 6= Với α, ta có loga bα = α loga b √ Đặc biệt loga n b = loga b n Đổi số Cho ba số dương a, b, c với a 6= c 6= 1, ta có loga b = Đặc biệt loga b = logc b logc a 1 với b 6= logaα b = loga b với α 6= logb a α Hàm số mũ (a > 0, a 6= 0) có tập xác định: R y = ax · ln a y = ax với a > y = ax với < a < lim y = 0, lim y = +∞ lim y = +∞, lim y = y = ax x→−∞ x→+∞ x→−∞ Đường thẳng y = (trục Ox) tiệm cận ngang x→+∞ Đường thẳng y = (trục Ox) tiệm cận ngang y y a 1 a O x x O Hàm số lôgarit x ln a y = loga x với < a < lim+ y = +∞, lim y = −∞ (a > 0, a 6= 0) có tập xác định: (0; +∞) y = y = loga x y = loga x với a > lim+ y = −∞, lim y = +∞ x→+∞ x→0 Đường thẳng x = (trục Oy) tiệm cận đứng x→+∞ x→0 Đường thẳng x = (trục Oy) tiệm cận đứng y y 1 O a x O a x 7 Hàm số lũy thừa Hàm số y = xα , với α ∈ R, gọi hàm số lũy thừa Tập xác định (a) Với α nguyên dương, D = R (b) Với α nguyên âm 0, D = R \ {0} (c) Với α không nguyên, D = (0; +∞) Đạo hàm (uα )0 = αu0 · uα−1 Xét x > 0, ta có y = xα , α > y = xα , α < Sự biến thiên Sự biến thiên y = αxα−1 < 0, ∀x > y = αxα−1 > 0, ∀x > Giới hạn đặc biệt: lim xα = +∞, Giới hạn đặc biệt: lim xα = 0, x→0+ x→0+ lim xα = +∞ Đường thẳng y = (trục Ox) tiệm cận ngang đồ thị, đường thẳng x = (trục Oy) tiệm cận đứng đồ thị x→+∞ Khơng có tiệm cận Bảng biến thiên x y0 Bảng biến thiên +∞ lim xα = x→+∞ x y0 + +∞ +∞ − +∞ y y 0 y α>1 α=1 0 r, ta có ∆ khơng cắt mặt cầu S(I; r) 13 Cơng thức Hình minh họa Tam giác thường p 1 ’ = aha = bc sin BAC p(p − a)(p − b)(p − c) 2 abc = pr = 4R • S4ABC = A ’ • a2 = b2 + c2 − 2bc · cos BAC a b c • = = = 2R sin A sin B sin C 2 c ma b B b +c a − a+b+c , r bán kính đường trịn nội tiếp 4ABC R với p = bán kính đường trịn ngoại tiếp 4ABC • m2a = C a 2 Tam giác vng • S4ABC = bc √ √ a • a = b + c ; b = a2 − c ; m a = α • h2 = xy; c2 = ax • ah = bc; c • sin α = ; a b h ma c x 1 = + 2 h b c b cos α = ; a a y c tan α = b Tam giác vuông cân A √ a • a = b 2; b = √ b h ma b • h = ma (vì tam giác ABC cân A) 45◦ C B a Tam giác √ a2 • S4ABC = √ a • h= a h 60◦ đáy bé A SABCD Hình thang (đáy bé + đáy lớn) · h = D h B C đáy lớn 14 A D Hình thang cân Hai cạnh bên nhau, hai đường chéo nhau, hai cạnh đáy song song với nhau, hai góc kề đáy B C A D Hình bình hành SABCD = ah Các cạnh đối nhau, góc đối nhau, hai đường chéo cắt trung điểm đường, cạnh đối song song với Hình thoi tích hai đường chéo S= Bốn cạnh nhau, hai đường chéo vng góc với nhau, cạnh đối song song với nhau, góc đối h B C a A B D C Hình chữ nhật • SABCD = ab √ • AC = a2 + b2 A D a B 10 Hình vng • SABCD = a2 √ • AC = a C b A D a B C 11 Thể tích khối chóp V = Sh 12 Thể tích khối lăng trụ V = Sh 13 Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c V = abc 14 Thể tích khối lập phương cạnh a V = a3 B 15 Thể tích khối chóp có OA, OB, OC đơi vng góc OA · OB · OC V = O A C 15 XI Không gian Oxyz Hệ toạ độ z zM • Trục hồnh Ox, trục tung Oy, trục cao Oz với → − → − → − vectơ đơn vị i , j , i thoả mãn → − − → − → → − → − → − → − → − → − | i | = | j | = | k | = i · j = j · k = k · i = → − → − → − • Toạ độ: i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) Toạ độ điểm → − −−→ → − → − • M (xM ; yM ; zM ) ⇔ OM = xM · i + yM · j + zM · k M → − k → − O i yM → − j y xM x • M (xM ; 0; 0) ∈ Ox • M (0; yM ; 0) ∈ Oy • M (0; 0; zM ) ∈ Oz • M (xM ; yM ; 0) ∈ (Oxy) • M (0; yM ; zM ) ∈ (Oyz) • M (xM ; 0; zM ) ∈ (Ozx) • Trung điểm I đoạn thẳng AB  xA + xB   x I =     yA + yB yI =     z + zB  zI = A • Trọng tâm G tam giác ABC  xA + xB + xC   x G =     yA + yB + yC yG =     z + zB + zC  zG = A • ABCD  hình bình hành  x A + x C = x B + x D ⇔ yA + yC = yB + yD   zA + zC = zB + zD Toạ độ vectơ → − → − → − − − • → v =a· i +b· j +c· k ⇔→ v = (a; b; c) −→ • AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ) → − − • Cho hai vectơ → a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) số k ∈ R Khi ®→ → − − a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) + − k·→ a = (k · a1 ; k · a2 ; k · a3 )   a1 = b1 → − → − + a = b ⇔ a2 = b   a3 = b → − → − → − → − − − + Cho b 6= Khi → a phương với b ⇔ tồn số thực t cho → a =tb → − a2 a3 a1 − = = + Đặc biệt: Với b1 b2 b3 6= → a phương với b ⇔ b1 b2 b3 −→ −−→ * Lưu ý: Cho ba điểm phân biệt A, B, C Khi ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB BC −→ −−→ phương ⇔ tồn số thực k cho AB = k · BC Tích vơ hướng hai vectơ (kết số ) → Ä → → − → − −ä → − → − − − − − − Với → a 6= b 6= Ta có → a · b = |→ a | · b · cos → a, b 16 → − → − − − • → a ⊥ b ⇔→ a · b = → − → − Ä → −ä a · b → − → • cos a , b = − ; − |→ a|· b → − → − − − Với → a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ) → a · b = a1 b + a2 b + a3 b p p − − − • AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 • → a = |→ a |2 |→ a | = a21 + a22 + a23 ; Tích có hướng hai vectơ (kết vectơ) ầ a a a a ợ → ó a a − 3 → − a, b = = (a2 b3 − b2 a3 ; a3 b1 − b3 a1 ; a1 b2 − b1 a2 ) ; ; b2 b3 b3 b1 b1 b2 Phương trình mặt cầu • Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 I • Với điều kiện a2 + b2 + c2 − d > 0, phương trình M x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R = R √ a2 + b2 + c2 − d Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (P ) qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp − tuyến → n = (A; B; C) (P ) có phương trình → − n A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = M0 hay Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0 − • Nếu (P ) có phương trình Ax+By+Cz +D = (P ) có vectơ pháp tuyến → n P = (A; B; C) → − − • Nếu → a b khơng phương đồng thời có giá song song chứa mặt ỵ → −ó − phẳng (P ) → a , b vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) ỵ → −ó → − a, b → − a → − b • Nếu (P ) k (Q) (Q) : ax + by + cz + d = (P ) : ax + by + cz + d0 = (d0 6= d) • Nếu (P ) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc 6= (P ) : x y z + + = a b c 17 z C (α) O y XII x B A Phương trình đường thẳng • Đường thẳng ∆ qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ − phương → u = (a; b; c) ∆ có phương trình tham số   x = x0 + at y = y0 + bt   z = z0 + ct M → − u = (a, b, c) • Nếu abc 6= phương trình ∆ dạng tắc ∆ y − y0 z − z0 x − x0 = = a b c Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong không gian Oxyz, khoảng (α) : Ax + By + Cz + D = d (M, (α)) = cách từ điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) đến H Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng   x = x0 + at Cho điểm M (xM ; yM ; zM ) đường thẳng ∆ : y = y0 + bt   z = z0 + ct d (M, ∆) = M H với H(x0 + at; y0 + bt; z0 + ct) t = phẳng M |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B + C Chú ý H(x0 + At; y0 + Bt; z0 + Ct) Ax0 + By0 + Cz0 + D với t = − A2 + B + C 2 mặt M H a(xM − x0 ) + b(yM − y0 ) + c(zM − z0 ) a2 + b + c Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ → − u = (a, b, c) 18 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau: − • ∆ có vectơ phương → u = (a; b; c) qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) → −0 u = (a0 , b0 , c0 ) ∆0 K → − • ∆0 có vectơ phương u0 = (a0 ; b0 ; c0 ) qua điểm M00 (x00 ; y00 ; z00 ) Khoảng cách ∆1 ∆2 tính cơng thức h → − i −−−−→ → u , u0 · M0 M00 − h → d(∆; ∆0 ) = −0 i → − u , u M00 (x00 ; y00 ; z00 ) M0 (x0 ; y0 ; z0 ) ∆ H → − u = (a, b, c) Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (β) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = cắt Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (α) (β) Ta có → − n (α) = (A1 , B1 , C1 ) |A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 | p cos ϕ = p A1 + B12 + C12 · A22 + B22 + C22 → − n (β) = (A2 , B2 , C2 ) Góc đường thẳng mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ), có vectơ phương → − u = (a; b; c) mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = Gọi ϕ góc đường thẳng ∆ mặt phẳng d (α) Ta có |Aa + Bb + Cc| √ sin ϕ = √ A + B + C · a2 + b + c → − u = (a, b, c) → − n = (A, B, C) Góc hai đường thẳng 19 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng − • ∆1 có vectơ phương → u = (a1 ; b1 ; c1 ) − • ∆2 có vectơ phương → u = (a2 ; b2 ; c2 ) ∆2 → − u = (a2 , b2 , c2 ) Gọi ϕ góc hai đường thẳng ∆1 ∆2 Ta có |a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 | p cos ϕ = p a1 + b21 + c21 · a22 + b22 + c22 ∆1 → − u = (a1 , b1 , c1 )