laplace121212152456124651425614256415242165561425642565412651425664125612er2535456214356214356426534625143652756812481723314656135462536213278163876283628713692164913678423213421442654624879126478962389471687162378926478624026017320173892738091264206485601640276557256012637023687676621073892146802164728106347284673467637647787877676413763431861348743186318643734873846871303146646016316037
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG Sau học xong chương này, bạn có thể: Hiểu khái niệm hàm gốc, hàm ảnh, biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược Hiểu ứng dụng tính chất phép biến đổi Laplace Hiểu khái niệm tích chập biết cách tìm ảnh tích chập, tìm gốc nhờ tích chập Biết cách tìm hàm gốc đánh giá cách tốt có nhiều cách tìm Thực phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải: phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân, phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, phương trình vi tích phân ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… §1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.Hàm gốc Hàm gốc hàm phức biến thực f (t ) = u (t ) + iv(t ) , thỏa mãn điều kiện sau: (i) f (t ) liên tục hay liên tục khúc toàn trục t (những điểm gián đoạn có thuộc loại 1) (ii) f (t ) = t < (iii) f (t ) có bậc mũ Tức là, tồn số M 0, k cho t > f (t ) Me kt Số ko cho bất đẳng thức (iii) thỏa k = ko + ( > 0) không thỏa với k = ko − ( ko - cận xác k) gọi số tăng hàm f (t ) Hàm gốc f (t ) t + rõ ràng hữu hạn f (t ) tăng + không nhanh hàm mũ e k t o Hàm ảnh Hàm ảnh hàm f(t) hàm F (s ) biến số phức s = +i xác định tích phân Laplace F (s ) := a + − st e f ( t ) dt lim e − st f (t ) dt = a → + 0 ký hiệu = L f(t) Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang Ví dụ a) Hàm bậc thang đơn vị ( unit step function, Heavisite’s unit function): hàm gốc với số tăng ko = 0 u(t) = 1 t t Đồ thị hàm bậc thang đơn vị vẽ hình u(t) t Hình 3.1 b) Hàm bậc thang đơn vị trễ a đơn vị thời gian: t a 0 u(t-a) = 1 t a hàm gốc với số tăng ko = Đồ thị hàm bậc thang đơn trễ a đơn vị thời gian vị vẽ hình 3.2 u(t-a) a t Hình Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang at b 1 , đồ thị hình 3.3 0 t a t b c)Hàm lọc: uab(t) = u(t-a) – u(t-b) = uab (t) a b t Hình Hàm gọi hàm lọc nhân hàm g(t) với nó, tức g(t)[u(t-a)-u(t-b)], hàm g(t) bị khử băng thông a < t < b giữ nguyên dạng băng thông 0 sin t t 0 e)Haøm f(t) = αt e t d)Hàm f(t) = Qui ước cách viết t = u(t)sint hàm gốc với số tăng ko = t = u(t)et hàm gốc với số tăng ko = viết gọn Hàm u(t) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ Haøm u(t)sint ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ sint Haøm u(t) et ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ et Haøm u(t)g(t) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ g(t) viết gọn viết gọn viết gọn Ví dụ a) Hàm ảnh hàm f(t) = hàm: a a + e − st − st − st F (s ) = e dt = lim e dt = lim a → + a → + − s 0 0 − sa e −1 = lim = ( với Res > 0) a → + −s s b) Hàm ảnh hàm f(t) = et laø haøm: a a + e( − s )t − st t ( − s ) t F (s ) = e e dt = lim e dt = lim a → + a → + − s 0 0 e ( − s ) a − 1 = a → + −s s − = lim ( với Res > ) c) Hàm ảnh haøm f(t) = cost laø haøm: Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang a a + e− st (sin t − s cos t ) − st − st F (s ) = e cos tdt = lim e cos tdt = lim a → + a → + + s2 0 0 e − sa (sin a − s cos a ) + s s = ( với Res > 0) 1+ s + s2 = lim a → + d) Tương tự hàm ảnh hàm f(t) = sint hàm: F (s ) = + − st e sin tdt = + s ( với Res > 0) Định lý Nếu f (t ) hàm gốc với số tăng ko hàm ảnh F (s ) hội tụ nửa mặt phẳng Re(s) > ko , hàm giải tích (có đạo hàm) miền 4- Định lý 3.2 ( điều kiện cần hàm ảnh) Nếu F (s ) hàm ảnh hàm f (t ) với số tăng ko lim F ( s ) = s → Ví dụ Cho hàm số F (s ) = s2 − s2 + Hỏi có tồn hàm gốc f (t ) cho F (s ) = L f (t ) hay không? Giải s2 − = , nên không tồn hàm gốc f (t ) cho F (s ) = L f(t) Vì lim s → s + Phép biến đổi Laplace 5.1- Phép biến đổi Laplace 5.2- Phép biến đổi Laplace ngược Phép tương ứng Phép tương ứng ngược lại f (t ) → F (s ) = + − st e f (t )dt F (s ) → f (t ) cho L f (t ) = F (s ) gọi phép biến đổi Laplace ngược gọi phép biến đổi Laplace hay Ký hiệu toán tử Laplace L -1 F(s) = f(t); L -1F(s) = f(t); Ký hiệu F (s ) → f(t), F(s) f(t) L f(t) = F(s); L f(t) = F(s); f(t) → F(s); f(t) F (s ) Nhaän xét Mỗi biến đổi Laplace có biến đổi Laplace ngược tương ứng ngược lại Ví du (xem lại ví dụ 2) Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang a) L 1 = L -1 = 1 ; s b) L et = ( với Res > 0) s 1 ; L -1 = et s−α s − α ( với Res > ) c) L cost = s s ; L -1 = cost 2 1+ s 1 + s ( với Res > 0) d) L sint = 1 ; L -1 = sint 2 1+ s 1 + s ( với Res > 0) a a + − e − st ( st + 1) − st − st e) L t = e tdt = lim e tdt = lim a → + a → + s2 0 0 − e − sa ( sa + 1) + 2 = 2 s s s = lim a → + ( với Res > 0) Do L -1 = t s b b + + e− st − st − st − st f) L u(t-a) = e u (t − a)dt = e dt = lim e dt = lim b → + b → + − s a a a e − sb − e − sa e − sa = b → + −s s = lim ( với Res > 0) 5.3- Định lý Mellin Giả sử F (s ) hàm ảnh hàm gốc f (t ) với số tăng ko Khi điểm t mà hàm f (t ) liên tục ta có a + i 1 f (t ) = e st F ( s )ds = lim 2i a − i 2i b → a + ib e st F ( s )ds a − ib tích phân lấy theo đường thẳng tùy ý Re s = a ko - Các tính chất phép biến đổi laplace Tính chất tuyến tính Nếu L f (t ) = F (s), L g (t ) = G(s) , số phức L f(t) + g(t) = F (s ) + G (s ) , L -1 F (s ) + G (s ) = f(t) + g(t) Chứng minh + + + − st − st L f(t) + g(t) = e [α f (t ) + β g (t )]dt = α e f (t )dt + e − st g (t )dt 0 ª = L f(t) + L g(t) = F(s) + G(s) Ví dụ a) L 5– 3e2t + 4sint = 5L 1] -3 L e2t] + L sint] = +4 s s−2 + s2 Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang e wt − e − wt 1 1 wt -wt b) L shwt = L = ( L [e ] - L [e ] ) = s − w − s + w 2 w , với Res > w s − w2 s c) Tương tự L chwt = , với Res > w s − w2 = e − sa − e − sb d) nh hàm loïc: L uab(t) = L u(t-a) - L u(t-b) = s Tính chất đồng dạng ( thay đổi thang đo) Nếu L f (t ) = F (s) L f(t) = t s F ( ) , L -1 F(s) = f( ) α α Chứng minh L f(t) = + + − αs u s − st = e f ( t ) dt e f (u )du = F ( ) 0 ª Ví dụ 1 w a) Bieát L sint = Khi ñoù L sinwt = 2= w s + w2 s +1 + s w s 1 s s w b) Bieát L cost = Khi L coswt = 2= w s + w2 s +1 + s w Tính chất dịch chuyển gốc Nếu L f (t ) = F (s) vaø a > L [u(t-a)f(t-a )]= e − sa F (s ) ; L -1[ e − sa F (s ) ]= u(t-a)f(t-a) t a 0 1 Chú ý : u(t -a) = t a Chứng minh + + − st L [u(t-a)f(t-a )] = e f (t − a)u (t − a)dt = e− st f (t − a)dt a + + − s (u + a ) f (u )du = e − sa e − pu f (u )du = e =e − sa ( đặt u = t – a) + − su -sa e f (u )du = e F (s) ª Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang Ví dụ 7.7 a) Biết L sinwt = b) Bieát L t = w Khi L u(t-2)sin(w(t-2)) = s + w2 e− s w s + w2 1 Khi L -1 e − s = u(t-1)(t-1) s s 6.4-Tính chất dịch chuyển aûnh Neáu L f (t ) = F (s) , f(t) có số tăng ko , a số phức L eat f (t ) = F ( s − a) , L -1 F ( s − a) = eat f (t ) , với Re(s-a) > ko Chứng minh + + L eat f (t ) = e − st eat f (t )dt = e − ( s − a )t f (t )dt = F ( s − a) , với Re(s-a) > ko 0 ª Ví dụ a) Biết L t = 1 Khi L ett = (s − )2 s b) Bieát L sinwt = w w Khi L et sinwt = ( s − ) + w2 s +w c) Bieát L coswt = s − s Khi L et coswt = ( s − ) + w2 s +w s+4 2 s−2 + d) L -1 = L -1 = e2tcos3t + 2e2tsin3t 2 2 ( s − ) + ( s − ) + s − s + 13 6.5 Ảnh hàm gốc tuần hoàn Đồ thị hàm tuần hoàn f(t) biểu diễn hình f(t) Hình Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T ảnh laø F (s ) = L f(t) = − e−Ts T e− st f (t )dt Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang Chứng minh + L f(t) = e − st f (t )dt = T e 2T f (t )dt + e − st f (t ) dt +…… − st T Trong tích phân sau ta đổi biến t = u+T, t = u + 2T… , ta T T T L f(t) = e − st f (t )dt +e-sT e − su f (u )du + e-2sT e − su f (u )du +… 0 = T e -sT f (t )dt +e − st -sT = (1+ e +e -2sT T 0 e − st f (t ) dt + e T +…………) e − st Ví dụ -2sT T 0 e − st f (t ) dt +… f (t ) dt = − e−Ts T e− st f (t )dt ª t t π Tìm ảnh hàm gốc f(t) = , f(t) tuần hoàn chu kỳ 2 0 π t 2π f(t) 2 3 4 5 t Giaûi L f(t) = = 1 − e − 2s 2 1− e − 2s e− st f (t )dt = − e − st ( st + 1) = s − e − 2s 1− e − 2s e− st tdt e − s (s + ) − s s 6.6.Tính chất đạo hàm hàm gốc Nếu hàm gốc f(t) có đạo hàm đến cấp n đạo hàm hàm gốc thì: L f’(t) = sF (s ) - f(0) L f’’(t) = s F (s) - s f(0) - f’(0) L f(n)(t) = s n F (s) - s n−1 f (0) - s n− f ' (0) - - f ( n −1) (0) F (s ) = L f(t) Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang Chứng minh p dụng tích phân phần, ta coù + L f’(t) = e − st f ' (t )dt = f (t )e − st + s e − st f (t )dt = sF (s ) – f(0) L f’’(t) = s L f’(t) - f’(0) = s[ sF (s ) – f(0)]-f’(0) = s F (s) – sf(0) – f’(0) ª Ví dụ 10 Giải phương trình vi phân: y − y = t, y(0) = 1, y(0) = Đặt Y = Y (s) = L y Biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được: s 2Y − sy(0) − y(0) − Y = Y ( s − 1) = s + + s2 1 1 Y = + − 2 s s −1 s −1 s Biến đổi Laplace ngược hai vế: 1 y = L −1Y = L −1 + L −1 − L −1 s − 1 s − 1 s t y = e + sinh t − t Vaäy nghiệm phương trình cho là: y = et + sinh t − t 6.7 Tính chất đạo hàm hàm ảnh ( nhân cho t) Nếu F (s ) = L f(t) Re(s) > ko L t f(t) = -F’(s) , L t2f(t)= F’’(s),… , L [tnf(t)= (-1)n F ( n) (s) , Re(s) > ko Ví dụ 11 Tìm: a) L tsinwt a) Ta coù L sinwt = b) L tn ' sw w w L tsinwt = - = 2 2 ( s + w2 ) s +w s +w 1 b) L 1 = L tn = L tn.1 = (-1)n s s ( n) = n! s n +1 6.8 Tính chất tích phân hàm gốc t L f (t ) = F ( s ) = F (s) L f ( u ) du , s Re( p ) s0 0 Neáu 6.9 Tính chất tích phân hàm ảnh (chia cho t) Neáu L f(t) = F (s ) , Re(s) > ko tích phân F (u ) du hội tụ nửa mặt phẳng s Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang Re(s) > k1 > ko f (t ) , Res > k1 > k0 t F (u )du = L s t sin u du b) L 0 u sin t Ví dụ 12 Tìm: a) L t Giải a) Ta coù L sint = sin t = du = − arctan s L s +1 t s u +1 t sin u du = − arctan s b) Theo tính chất tích phân hàm gốc L 0 u s 2 t Ví dụ 13 Tìm ảnh hàm gốc: f (t ) = u (t − ) cos(t − ) + 5t sint + e − 2u cos 5udu Giải p dụng tính chất tuyến tính, dịch chuyển gốc, đạo hàm ảnh, tích phân gốc ' L f(t) = e − s =e − s 2s s + L e −2t cos 5t + 2 ( s + ) s +1 s − 3s s+2 s + 10 + ( s + 1) s ( s + 2) + 25 s +1 Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 10 x'−2y = a) Giải hệ phương trình vi phân : , với điều kiện x(0) = 3, y(0) = y ' + x = t x' = −3 y b) Giaûi hệ phương trình vi phân : , với điều kieän x(0) = 1, y(0) = y '+ x + y = Giải a) Đặt X = L x, Y = L y; biến đổi Laplace hai vế ta : sX − 2Y = + s L x − 2L y = 4L 1 sX − − 2Y = s L y + 2L x = 3L t sY − + X = 32 2 X + sY = + s s 3s 3s 16 X = s + + s + + s (s + ) X = s2 + + s2 − s2 + −6 2s − 13 s Y = Y = + − + − s + s + s (s + ) s + 4 s + 4s x = cos 2t + 6t − sin 2t 13 Biến đổi ngược hai vế ta nghiệm : y = − sin t + cos t − 4 b) Đặt X = L x, Y = L y ; biến đổi Laplace hai vế ta : Xs + 3Y = X + (s + 2)Y = −3 s−4 X = = + ( )( ) s − s + s − s+3 2s − + Y = = s + 2s − s − s + t −3 t x = − e + e Biến đổi ngược hai vế ta nghiệm: y = e t + e −3 t 4 Giaûi phương trình tích phân Volterra Phương trình sau gọi phương trình tích phân Volterra loại t y(t) = f(t) + k (t − u ) y (u )du , y(t) hàm cần tìm = const Giải p dụng tích chập , phương trình viết lại : y(t) = f(t) + k(t) * y(t) Đặt Y = Y(s) = L y , F(s) = L f (t ) , K(s) = L k(t ) Biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng định lý Borel ta : Y = F(s) + K(s)Y Y = F (s) F ( s) y = L −1 − λK ( s) 1 − λK ( s ) ª Ví dụ 7.31 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 28 t a) y (t ) = t + y (u ) sin(t − u )du t b) y(t) = e + y (u ) cos(t − u )du 5t t c) y(t) = sin 2t + y (u ) cos(t − u )du Giải a) p dụng tích chập, phương trình viết lại dạng: y(t ) = t + y(t ) sin t Ñaët Y = Y (s) = L y(t ) Biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng định lý Borel 2 +Y Y = + s s +1 s s t4 2 2 Biến đổi ngược hai vế: y = L −1 + L −1 = t + 12 s s ta được: Y = Vậy nghiệm phương trình là: y(t ) = t + t4 12 b) p dụng tích chập, phương trình viết lại y(t ) = e 5t + y(t ) * cos t Đặt Y = Y(s) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính định lý Borel ta 1 s Y= + 2L y(t) L cost Y = +2Y s −5 s −5 s +1 Giải phương trình với Y ẩn ta s2 + A B( s − 1) + C = Y= + ( s − 5)(s − 1) s −5 ( s − 1)2 Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm A 1 y (t ) = L −1[Y ] = L −1[ +B +C ] s −5 s −1 ( s − 1)2 y (t ) = Ae 5t + Be t + Cte t Tìm A, B, C dựa vào đẳng thức s2 + A B( s − 1) + C = + ( s − 5)(s − 1) s −5 ( s − 1)2 13 −5 −1 ,C= , B= 8 c) p dụng tích chập, phương trình viết laïi: y (t ) = sin 2t + y (t ) * cos t Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính định lý Borel ta 2 s Y= + 2L y(t) L cost Y = +2Y s +4 s +4 s +1 Giải phương trình với Y ẩn ta A= Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 29 Y= 2( s + 1) A( s − 1) + B Cs + D = + 2 ( s − 1) ( s + 4) ( s − 1)2 s +4 Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm y (t ) = L −1[Y ] = L −1[ A 1 s +B +C +D ] s −1 ( s − 1) s +4 s +4 y (t ) = Ae t + Bte t + C cos 2t + D sin 2t Tìm A, B, C dựa vào đẳng thức 2( s + 1) A( s − 1) + B Cs + D = + 2 ( s − 1) ( s + 4) ( p − 1)2 s +4 3 A= , B= , C =− , D= 5 5 Giải phương trình vi tích phân Ví dụ 7.32 Giải phương trình: t y ' '+ y = sint+ y (u ) sin(t − u ) du , với y(0)= 0, y’(0) = Giải p dụng tích chập, phương trình viết lại dạng: y ' '+ y = sint+ y(t)*sint Đặt Y = Y (s) = L y(t ) Biến đổi Laplace hai vế phương trình , áp dụng tính chất đạo hàm hàm gốc định lý Borel ta : s 2Y −1 + Y = Giải phương trình với Y ẩn số ta được: Y = Y + s +1 s +1 s2 Biến đổi ngược hai vế ta nghiệm phương trình : y = t Ứng dụng vào học Một chất điểm P có khối lượng m chuyển động dọc trục 0x với hòanh độ x(t) ; bị hút gốc lực hướng tâm f1(t) = kx(t) → f1 v(t) P ° x x Hình 7.5 Theo định luật Newton ta có phương trình chuyển động chất điểm d2x d2x m = -f1(t) m + f1(t) = mx’’ + k x = dt dt Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 30 Nếu có thêm lực tắt dần tỷ lệ với vận tốc tức thời (lực giảm sốc) chất điểm f2(t) = v(t) tác dụng vào chất điểm theo định luật Newton phương trình chuyển động chất điểm m d2x dt = -f1(t) - f2(t) m d2x dt + f1(t) + f2(t) = mx’’ + k x +v(t) = mx’’ +x’(t) + k x = → f2 → v(t) f1 P ° x x Hình Bây giờ, có thêm ngoại lực f(t) tác dụng vào chất điểm theo định luật Newton phương trình chuyển động chất điểm m d2x dt = -f1(t) - f2(t) + f(t) m mx’’ + k x +v(t) = f(t) d2x dt + f1(t) + f2(t) = f(t) mx’’ +x’(t) + k x = f(t) Ví dụ 7.33 Một chất điểm P có khối lượng m = gram chuyển động dọc trục 0x với hòanh độ x(t) ; bị hút gốc lực hướng tâm f1(t) = -8x(t) Giả sử ban đầu chất điểm đứng yên vị trí xo = x(0) = 10 Hãy tìm vị trí x(t) chất điểm thời điểm t hai trường hợp sau: a) Không có lực khác tác động lên chất điểm b) Chất điểm chịu tác dụng lực tắc dần f2(t) = -8v(t); với v(t) vận tốc tức thời chất điểm → f2 → f1 v(t) P ° x x Hình Giải Trên hình 7.7 ta chọn chiều dương chiều trục 0x Khi x > f < 0; x< f1> ( lực hút hướng tâm) Khi v> (chất điểm P chạy phía bên phải) Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 31 f2 < ; v< (chất điểm P chạy phía bên trái) f2 > tắt dần ngược chiều vectơ vận tốc) ( lực hút a) Theo định luật Newton, ta có : m x’’ = f1 2x’’ = -8x Ta phương trình : x’’ + 4x = , x(0) = 10, x’(0) = vo = Đặt X = L x(t ) ; biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng tính chất đạo hàm hàm gốc ta : s2 X – 10s + 4X = X = 10s s2 + Biến đổi Laplace ngược hai vế ta : x(t) = 10cos2t b) Theo định luật Newton, ta có : m x’’ = f1 + f2 2x’’ = -8x -8x’ Ta phương trình : x’’ + 4x’ + 4x = , x(0) = 10, x’(0) = vo = Đặt X = L x(t ) ; biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng tính chất đạo hàm hàm gốc ta : s2X–10s +4(sX-10) + 4X = X = 10s + 40 10 20 X= + s + ( s + 2) s + 4s + Biến đổi Laplace ngược hai vế ta : x(t) = 10e-2t + 20t e-2t Ứng dụng vào giải tích mạch điện Mạch RLC: Xét mạch điện hình Trong R, L, C số Hình Mạch RLC Theo định luật Kirchoff ta có : vL(t) + vR(t) + vC(t) = E(t) di(t ) q( t ) E(t ) d q(t ) R dq(t ) q(t ) + Ri(t) + = E(t) + + = L LC L dt dt C L dt di(t ) Nếu mạch phần tử C ta coù : L + Ri(t) = E(t) dt q( t ) Nếu mạch phần tử L ta coù : Ri(t) + = E(t) C dq(t ) q(t ) E(t ) hay + = dt RC R Ví dụ 7.34 Xét mạch điện RL (hình 9) Trong i(0) = 0, R, L số dương Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 32 Hình Mạch RL a) Cho E(t) = E0 số dương p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm i (t ) Tính lim i (t ) dựa vào kết xác định giá trị (gần đúng) t → + i (t ) sau khoảng thời gian t đủ lớn b) Tìm i(t) E(t) = E0sint , số Giải di Đặt I = I(s) = L i(t ) L = L i' (t ) = sI-i(0) = sI dt di(t ) a) L + R i (t ) = Eo , i(0) = với Eo , R, L số dương dt Li ' (t ) + R i (t ) = Eo Biến đổi Laplace hai vế phương trình ta Eo 1 Eo Eo Eo − LIs +RI = I (Ls +R) = I= I= R s s+ R s s s( Ls + R) L E Biến đổi Laplace ngược hai vế ta : i (t ) = L I = o R -1 E lim i(t ) = lim o t → + t → + R R − t L 1 − e R − t L = Eo 1 − e R Sau khoảng thời gian t đủ lớn i(t ) Eo R Đồ thị i(t) biểu diễn hình 10 i(t) Eo R i(t) t Hình 10 Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 33 b) Li' (t ) + R i (t ) = = Eosinwt Biến đổi Laplace hai vế phương trình ta LIs +RI = Eo w Eo w I= 2 s +w ( s + w2 )(Ls + R) Eo w As + Bw Eo w C I= I= + L s + w2 s + R L ( s + w2 )(s + R ) L L −Rt Eow A cos wt + B sin wt + Ce L (*) L Bieán đổi ngược hai vế ta : i(t) = Tìm A, B, C cách xét : R ( s + w )(s + ) 2 L Nhân hai vế (**) với s + = As + Bw C + 2 R s +w s+ (**) L R R ta được: vaø cho s→ − L L L2 lim = R + w L2 p →− R s + w L Nhân hai vế (**) với s cho s → ta : − L2 = A + C A = -C = R + w L2 L wRL L B Từ (**) cho s = ta : = +C B = R w R w (R + w L2 ) C= Thay A, B, C vào (*) ta kết quaû: − E wL − E o wL −Rt wRL L i(t) = o 2 coswt + sinwt + e 2 2 2 R +w L R +w L (R + w L ) BÀI TẬP Bài Tìm ảnh hàm số sau: 1) f(t) = e -t sin t 6) f(t) = 4et sin4 t + t3e2t + t sh2t+3 2) f(t) = 3t5e-t + 3tet +7 7) f(t) = tet cost + t2e-3tsin2t 3) f(t) = e-3t sint – 5et cos2t +3 8) f(t) = te-2tchat 4) f(t) = tcos2t – 3tsin3t +4 9) f(t) = t2 +1 +t e t + t cos3 t 5) f(t) = e3t sin2t + 2t3e2t + e-t sh3t+ 10) f(t) = e-3t cos2 3t + t3et + e-2t 4cos2t cht+7 Bài Tìm biến đổi Laplace hàm số sau: (hàm tuần hoàn) Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 34 sin t a) f(t) = t t , f(t+ ) = f(t) sint t , f(t+2 ) = f(t) 0 t 2π b)f(t) = t c) f(t) = t t f(t +2) = f(t) π π t d)f(t)= ,f(t +2 )=f(t) π sint t 2π Baøi Cho hàm gốc f(t) có đồ thị hình vẽ a) Viết phương trình f(t) b) Tìm ảnh f(t) Bài Tìm ảnh hàm gốc ( chia t, tích chập) sin t t - cost b) f(t) = t -at e − e − bt c) f(t) = sint t a) f(t)= t d) f(t) = (t − u) cos2u du e) f(t) = t2 * e3tsin2t f) f(t)= sht t Baøi Tính tích chập f*g: a) f(t) = t , g(t) = d) f(t) = t2 , g(t) = et b) f(t) = cost , g(t) = t e) f(t) = et , g(t) = et sint c) f(t) = et , g(t) = t f) f(t) = t , g(t) = sint g) f(t) = e2t , g(t) = Bài Tìm L f*g a) f(t) = t, g(t) = sint d) f(t) = et, g(t) = te2t b) f(t) = e2t , g(t) = e) f(t) = t2, g(t) = e3t sin2t c) f(t) = sint, g(t) = cos2t Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 35 Bài Tìm gốc hàm ảnh sau đây: 5s + ( s − 1)(s + 2s + 5) 2s + 11) F (s ) = ( s + 1)2 ( s + 2)2 s 12) F (s ) = ( s + 4)(s + 9) 13) F (s ) = ( s − 3s + 2)(s − 2) a ;b0 bs + c as ;b0 F (s ) = bs + c 2s − F (s ) = s + s −3 3− s F (s ) = s + s +1 3s F (s ) = 2s − s2 − F (s ) = s + 9s s+6 F (s ) = + ( s − 3)(s − 1)(s + 2) s + 4s + 20 10s + s +8 F (s ) = + ( s + 3)(s − 1)(s − 4) s − 6s + 25 s +1 F (s ) = + s − 6s + 25 ( s − 3)(s − 1) 1) F (s ) = 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) F (s ) = 2s − 6s + s − s + 11s − s −1 F (s ) = + s − 4s − ( s − 3)(s − 1) s F (s ) = + s − 2s + ( s − 5)(s − 2) F (s ) = + s + 4s + 20 ( s − 3)(s + 2) 2s F (s ) = − + 3s + 5s + 2s + 14) F (s ) = 15) 16) 17) 18) Bài Tìm gốc hàm ảnh sau đây: ( p dụng khai triển chuỗi) 1 s a) F (s ) = 1 sin( ) s s c) F (s ) = ln1 + b) F (s ) = 1 cos( ) s s d) F (s ) = e − 1 s2 Bài p dụng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân sau: 1) y’’ - 2y’ + 10y = cos2t ; y(0) = 0, y’(0) = 2) y’’ + y = t – (t-1) u(t-1), y(0) = , y’(0) = 3) 2y’’ - 3y = 4sint + 5cost , y(0) = -1, y’(0) = -2 4) y’’ + 2y = 3cos2t , y(0) = -1, y’(0) = Bài 10 Tìm nghiệm riêng hệ phương trình vi phân: x '−5 y = cos t a) −t x + y '−6 y = e với điều kiện x(0) = 0, y(0) = x ' − x + y = b) ' với điều kiện ban đầu : x(0) = y(0) = ' x + y − x + y = x'−4 y = c) với điều kiện x(0) = vaø y(0) = − 5t x + y '−5 y = e Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 36 x ' = − y + t d) ' y = x + với điều kiện ban đầu : x(0) = 2, y(0) = x ' + 2y' ' = e −t , x(0)= y(0) =y’(0) = x'+2x − y = e) y '+ z ' = t −t , y(0) = , y’(0) = -2 , z(0) = y ' '− z = e f) y'−z'−2y + 2z = sin t , y(0)= y’(0) =z(0) = y' '+2z'+ y = g) Bài 11 Tìm biến đổi Laplace hàm soá sau: a) f(t) = e 2(t−1) cos3(t − 1) u(t − 1) t t b)f(t) = t (t - 1) t c) f(t) = t cos t sin t d)f(t) = t t Baøi 12 Giải phương trình vi phân 0 t 2 1) y’ - y = f(t) ; y(0) = ; f(t) = − t π sin t t 2) y’ - 3y = f(t) , y(0) = ; f(t) π 1 t 1 neáu t 3) y’ + y = f(t) , f(t) = , y(0) =0 neá u t neáu t 4) y’’ + y =f(t) , f(t) = − neáu t , y(0) = y’(0) = neáu t e -t neáu t 5) y’’ – y’ = f(t) , f(t) = , y(0) = y’(0) = 0 neá u t kh i t - t +1 6) y’ + 2y = f(t) , y(0) = , với f(t) = t 1 t 7) y’ - y = f(t) , y(0) =2 , với f(t) = e -(t-1) t t 1 kh i t π 8) y’ + 2y = f(t) , y(0) =3 , với f(t) = tπ sin2t kh i Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 37 kh i t t 9) y’’ + y = f(t) , y(0) = 0, y’(0) = , với f(t) = kh i t 1 kh i t E 10) y’+3y = f(t) , y(0) = , với f(t) = o t 1 t e 11) y’ - 2y = f(t) , y(0) = , với f(t) = t sint 12) y’ -3y = f(t) , y(0) = , với f(t) = Bài 13 Giải phương trình tích phaân t2 t π tπ t − (t − u ) t d) x(t) = 4et + e 0 t e) y(t) = e2t + [cos 2(t − u )] y(u )du a) y(t) = 1+2 sin(t − u ) y (u ).du t 2(t − u ) b) y(t) = e3t − e y(u )du t c) x(t) = e-t + (t − u ) x(u )du x(u )du t x(t ) = t + y(u )du t Bài 14 Giải hệ phương trình : y(t ) = t + z(u )du t z(t ) = + x(u )du Bài 15 Giải phương trình vi phaân: a) y’’’-3y’’+3y’ –y = t2et , y(0) =1, y’(0)= , y’’(0) = -2 b) y’’’-3y’’+3y’ –y = t2et , y(0) =A, y’(0)= B , y’’(0) = C Bài 16 Một chất điểm chuyển động đường thẳng cho độ dời x từ điểm cố định O vào lúc t cho bởi: x + 4x + 5x = 80 sin 5t a) Tìm x(t) biết lúc t = 0, chất điểm đứng yên x = b) Tìm biên độ, chu kỳ tần số sau thời gian dài Bài 17 Dòng điện i(t) mạch nối tiếp RL thỏa phương trình vi phaân : L di + Ri = E(t) (volts) ; i(0) = 0, R, L cacù số dt a) Tìm i(t) E(t) = E0cost , số 10t , t 10 , t b) Tìm i(t) E(t) = Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 38 Baøi 18 Cho mạch điện RLC hình vẽ biết i(0) = a) Cho E = 300 (volts) Tìm i(t) , t > b) Cho E = 100sin3t (volts) Tìm i(t) , t > Bài 19 Cho mạch điện RC hình vẽ biết i(0) Tìm i(t) hai trườngng hợp sau: a) Cho E = Eo (volts) b) Cho E = Eo e-t (volts) Bài 20 Cho mạch điện hình vẽ biết i1(0) = i2(0) = p dụng định luật Kirchoff , tìm i1(t) , = i2(t) BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT Định luật truyền nhiệt Newton (Newton’s law of cooling) Vận tốc nguội lạnh nóng lên vật môi trường tỷ lệ với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ môi trường xung quanh Tức là, gọi T = T(t) nhiệt độ vật theo thời gian Tm nhiệt độ môi trường dT = −k (T − Tm ) dt ( k = const hệ số tỷ lệ) Bài 21 Một xác chết phát vào lúc 15 ngày thứ hai nhà kho có nhiệt độ 50oF Nhiệt độ xác chết phát 80 oF 20 phút sau giảm xuống 78 oF Biết nhiệt độ người sống trung bình 98.6 oF, áp dụng định luật tỏa nhiệt Newton, xác định ngày mà người chết Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 39 Bài 22 Vận tốc nguội lạnh vật không khí tỷ lệ với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ không khí p dụng biến đổi Laplce tìm quy luật nguội lạnh vật nhiệt độ không khí 20oc sau 20 phút nhiệt độ vật giảm từ 100oc xuống 60oc Hỏi sau nhiệt độ vật giảm tới 30oc Bài 23 Mất 15 phút để nhiệt độ vật tăng từ 10oc lên 20oc phòng có nhiệt độ 30oc Theo định luật tỏa nhiệt Newton, phải để vật tăng nhiệt độ từ 20oc tới 25oc? Bài tốn dân số ( population growth) Bài 24 Các nhà dân số học cho quy luật tăng dân số P(t) theo thời gian t thỏa phương trình vi phân sau: dP = rP dt Trong thời gian tính theo đơn vị năm, r tỷ lệ tăng dân số năm Ở nước ta, giai đoạn 2010-2020, dự kiến tỷ lệ tăng dân số trung bình năm 1% dân số vào năm 2012 vào khoảng 88 triệu người Hỏi đến năm 2020, dân số nước ta khoảng người? Bài tốn di cư dân số (Emigration from a population) Baøi 25 Giả sử dân số cộng đồng tăng theo quy luật hàm mũ với tỷ lệ tự nhiên r E(t) công dân di cư khỏi cộng đồng thời điểm t, đó: dP = rP − E dt Giải phương trình xác định dân số thời điểm t trường hợp sau: a) r = 0.03, E(t) = 10t, P(0) = 100.00 b) r = 0.015, E(t) = 200e-t, P(0)=250.000 Bài toán nhập cư dân số (Immigration to a population) Baøi 26 Giả sử dân số cộng đồng dân cư P(t) tăng theo quy luật hàm mũ với tỷ lệ tự nhiên r I(t) công dân nhập cư vào cộng đồng thời điểm t, dP = rP + I (t ) dt Giải phương trình vi phân ứng với r = 0.02, I(t) = 100e-t, P(0) = 300.000 , t có đơn vị năm Mô hình giá hài hòa, mô hình tự điều chỉnh giá (price adjustment model) Bài 27 Độ biến thiên giá sản phẩm thời điểm t tỷ lệ với hiệu lượng cầu lượng cung Tức là, p = p(t ) giá sản phẩm thời điểm t Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 40 dp = k (D(t ) − S(t )) dt k số dương D(t ) , S (t ) lượng cầu lượng cung ứng với giá p = p(t ) Hãy xác định giá p = p(t ) biết k = 0.02 , D(t) = + 7e −t , S(t ) = + p(t ) , p(0) = (đơn vị tính : USD) Giá sản phẩm sau khoảng thời gian t đủ lớn? Bài 28 (thời gian t tính tháng, giá p tính USD) Biết giá p = p(t ) loại sản phẩm thời điểm t thỏa phương trình vi phân p' '+5 p'+6 p = te −t + 100 , p(0) = 90 p' (0) = a) Giải phương trình vi phân b) Xác định giá sản phẩm sau khoảng thời gian t đủ lớn Bài 29 (Resale value problem) Giá trị bán lại r (t ) máy sau t năm giảm với tốc độ tỷ lệ với hiệu giá trị giá trị phế liệu máy Tức là, S giá trị phế liệu máy r (t ) thỏa phương trình dr = −k (r − S ) , với k = const số tỷ lệ dt Giả sử r (t ) giá trị máy tính bạn sau t năm kể từ ngày mua r (t ) thỏa phương trình (1) Tìm r (t ) biết giá trị mua máy 16 triệu đồng, giá trị năm sau triệu giá trị phế liệu S = 0.5 triệu đồng Bài 30 (Resale value problem) Giá trị bán lại r (t ) máy sau t năm giảm với tốc độ tỷ lệ với hiệu giá trị giá trị phế liệu máy Tức là, S giá trị phế liệu máy r (t ) thỏa phương trình dr = −k (r − S ) , với k = const số tỷ lệ dt Xác định r (t ) biết giá trị mua máy $16.000, giá trị năm sau $8.000 giá trị phế liệu S = $500 Bài 31 (bài toán dân số – population growth) Giả sử dân số P(t ) (đơn vị triệu người) cộng đồng tăng theo quy luật hàm mũ với tỷ lệ tự nhiên r E (t ) (đơn vị triệu người/năm) cơng dân di cư khỏi cộng đồng thời điểm t, I (t ) (đơn vị triệu người/năm) cơng dân nhập cư vào cộng đồng thời điểm t Tức là, P(t ) thoả phương trình vi phân dP = rP − E (t ) + I (t ) dt Giải phương trình xác định dân số thời điểm t (đơn vị năm) trường hợp r = 0.01, E(t ) = 0.05e −t , I (t ) = 0.01 , P(0) = 90 trieäu Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 41 Bài 32 Tìm ảnh hàm goác: a) f(t) =5–3e-3it +8 t ch2t b) f (t ) = u (t − ) sin(t − ) + 4 t c) f (t ) = u (t − 5) sin(3t − 15) + t e −2u cos udu t e 2u cos 3udu d) f (t ) = sin t + t cht + t e − ( t −u ) sin 3udu Bài 33 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: t a) y(t)= e5t- 3cos2t+10 y (u ) cos 3(t − u )du t c) y (t ) = 6e − 2t + y (u ) cos 2(t − u )du t b) y(t)= sin4t+3e5t +2 y (u ) cos(t − u )du t d) y (t ) = e −3t + sin 3t + y (u ) cos 2(t − u )du 0 Bài 34 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân a) y’’ -4y’ +20y = e3t +6sin3t , với y(0) = 0, y’(0) = b) y’’ - 6y’ + 25y = e 4t + 3t , với y(1) = 0, y’(1) = c) y’’ +6y’ + 25y = e-3t +e2t + 3sin4t- cos4t, với y(0) = 0, y’(0) = d) y’- 3y = 2+ u(t-) e (t − ) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 0 , t e)y’’ –2y’ –3y = với y(0) = 0, y’(0) = cos 2t , t Bài 35 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân x'−5 y = cos 3t a) , với điều kiện x(0) = 0, x + y '−6 y = x'+4 y = sin t b) 2t x + y '+3 y = e với điều kieän x(0) = 0, y(0) = y(0) = x'−2 y = e −3t c) , với điều kiện x(0) = 3, y(0) = y '+2 x = 3t Phép biến đổi Laplace………………………….……………………………………………….……Trang 42