Sản phẩm học phần đại số sơ cấp chủ đề 9 phương pháp sử dụng hàm sinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN – TIN ************ Sản phẩm học phần: Đại số sơ cấp Chủ đề 9: Phương pháp sử dụng hàm sinh Giảng viên hướng dẫn : TS Nguyễn Đạt Đăng Sinh viên thực Phạm Thế Bảo – MSV: 705101046 : Nguyễn Tuấn Đạt – MSV:705101097 Lê Vũ Việt Anh – MSV:705101 Tạ Lê Tùng Anh – MSV:705101032 Hà nội, 2022-2023 Table of Contents Type chapter title (level 1) Type chapter title (level 2) Type chapter title (level 3) Type chapter title (level 1) Type chapter title (level 2) Type chapter title (level 3) Mở đầu Hàm sinh (Generating Function) toán học công cụ mạnh để giải số dạng tốn khó Lí thuyết hàm sinh biết đến từ lâu nghiên cứu kĩ lưỡng Hàm sinh sáng tạo thần kì, bất ngờ, nhiều ứng dụng tốn rời rạc Hàm sinh chuyển toán từ dãy số thành toán hàm số Với điều dễ dàng giải số tốn Trong q trình nghiên cứu, nhóm sinh viên chúng tơi nhận thấy có nhiều dạng tốn biết vận dụng khéo léo cơng cụ hàm sinh lời giải đơn giản không dùng công cụ lời giải phức tạp, chí khơng thể giải phương pháp thơng thường như: Các tốn tìm cơng thức tổng quát dãy số; toán tổ hợp Để nắm vững lí thuyết hàm sinh vận dụng công cụ hàm sinh để ứng dụng vào giải toán, chuyên đề nhóm sinh viên chúng tơi trình bày phương pháp sử dụng hàm sinh, bao gồm vấn đề:  Giới thiệu hàm sinh phép toán  Dùng hàm sinh đa thức  Dùng hàm sinh chuỗi luỹ thừa vô hạn Giới thiệu hàm sinh phép toán hàm sinh 1.1 Giới thiệu hàm sinh Phương pháp sử dụng hàm sinh phương pháp độc đáo có lịch sử lâu dài Định nghĩa: Hàm sinh thường vô hạn (a n ¿ ¿ n≥ chuỗi luỹ thừa hình thức: G(x) = a 0+ a1 x + a2 x +…+a n x n +… Ta gọi hàm sinh chuỗi luỹ thừa hình thức thơng thường ta coi x kí hiệu thay số Chỉ số trường hợp, ta cho x nhận giá trị thực, ta gần khơng để ý đến hội tụ chuỗi Có số loại hàm sinh khác nhau, xét đến hàm sinh thường Cơ sở lí thuyết phương pháp vành A = R [[x]] chuỗi luỹ thừa an x với phép cộng phép nhân chuỗi hình thức trường thực R có dạng ∑ n ≥0 n thông thường Đặc biệt ∑ an x n =∑ bn x n an=b n với n Với ý A phần tử ∑ an x n n ≥0 n ≥0 n≥ khả nghịch a ≠ Hơn tìm giống ta làm u Giải tích, ví dụ: ∞ =∑ x n 1−x n=0 Do ∞ ∑x =1−x n n=0 Thật vậy, ví dụ sau ta kí hiệu tương ứng dãy số hàm sinh dấu “↔” sau: ¿ a , a , a2 , … , an , …>↔ a 0+ a1 x + ax x2 +a n x n +… n ¿ 0,0,0,0 , … >↔ 0+0 x+0 x + …+0 x + …=0 ¿ 1,0,0,0 , … >↔1+0 x+ x +…+ x n +…=1 n ¿ 4,3,1,0 , … >↔ +3 x +1 x +…+ x +…=x + x + Chú ý: Quy tắc đơn giản: Số hạng thứ i dãy số (từ 0) hệ số x i hàm sinh Ta nhắc lại cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: + z + z + …= 1−z Đẳng thức với |z| ≤1 (tuỳ theo chuẩn mà ta xét) Từ công thức trên, ta có cơng thức tường minh cho hàm sinh số dãy số thường gặp: ¿ 1,1,1,1 , ….>↔ 1+1 x +1 x + …= 1−x ¿ ,−1,1 ,−1 , … >↔ 0+0 x+ x 2+ …+0 x n+ …= ¿ , c , c , c3 , … >↔1+ c x+ c2 x2 +…= n 1+ x 1−ax ¿ 1,0,1,0 , … >↔1+0 x + x + …+0 x + …= 1−x Ta gặp tốn cơng thức ứng dụng hàm sinh toán phần sau 1.2 Các phép toán hàm sinh Phần đặc biệt hàm sinh nằm phần ta chuyển tiếp phép toán thực dãy số thành phép toán thực hàm sinh tương ứng với Từ đó, ta dễ dàng thực phép toán 1.2.1 Nhân với số Quy tắc: Nếu < f , f , f , f ,…> ¿ ↔ F(x) ↔ cF(x) Chứng minh: ↔ c f + ( c f ) x+(c f ) x +… = c( f +f x+ f x x 2+ … ¿ = c.F(x) Ví dụ: n ↔ 1−x 1−x ↔ + ax + a x 2+ … = 1−ax = f(x)  ↔  PP: Nhân hàm sinh với a ta được: a f ( x )= a 1−ax 2 ⟺ af ( x )=a (1+ ax +a x + …) ¿ a+ a2 x +a x +… ↔¿ 1.2.2 Cộng hai hàm sinh Quy tắc: Công hai hàm sinh tương ứng với việc cộng số hạng dãy số theo số Nếu < f , f , f , f ,… > ↔ F(x) < g0 , g , g2 , g , …> ↔ G(x) < f +g , f 1+ g , f 2+ g2 , f + g3 > ↔ F(x) + G(x) Chứng minh: Ta có: < f +g , f + g1 , f +g , f +g ,… > ↔( f +g ¿+ ( f 1+ g 1) x +(f + g2 ) x 2+ … = ( f +f x+ f x x 2+ … ¿+¿+…) = F(x) + G(x) Ví dụ: Ta có: ↔ 1 ↔ 1−x 1+ x Áp dụng quy tắc cộng ta có: 1 ↔ 1−x + 1+ x = 1−x Hoặc ta sử dụng quy tắc cộng cho ↔ ta có: 1−x ↔ 1−x ↔ 1 + = 2 1−x 1−x 1−x 1.2.3 Dịch chuyển sang phải Ta dãy số đơn giản hàm sinh nó: ↔ 1−x Do đó, ta dịch chuyển sang phải cách thêm k số vào đầu: ↔ x k+1 + x k+ 2+ x k +3+ …=¿ x k (1+ x+ x2 +…) ↔ xk 1−x Như ta thêm k số vào đầu dãy số tương ứng với việc hàm sinh nhân với x k Điều tương đương với trường hợp tổng quát Quy tắc: Nếu < f , f , f , f 3>↔ F(x) ↔ xk F ( x) C/M: ↔ f x k + f x k +1+ f x k +2+ … = x k ( f +f x+ f x2+…) = x k F ( x ) 1.2.4 Đạo hàm Quy tắc: Nếu < f , f , f , f ,… > ↔ F(x) < f , f , f , …> ↔ ∂ F (x) ∂x Chứng minh: < f , f , f , …> ↔ f 1+ f x +3 f x + …= ∂ ∂ F (x ) f + f x +f x + … )= ( ∂x ∂x  Ví dụ: Tìm hàm sinh cho dãy số Ta có: ↔ + 2x + x + x + … = + …) = ∂ ( )= ∂ x 1−x (1−x ) ∂ ( ∂ x 1+x+ x + x +x  Tìm hàm sinh cho dãy số = (Ans: ↔ x (1+ x) 1−x3 1.2.5 Quy tắc xoắn ∞ n Xét hàm G(x) = A(x).B(x) = ∑ ∑ bn−i n=0 i =0 n Ta đặt d n=∑ bn−i Ta có hàm sinh cho dãy {d n} ∀ n ≥0 hàm G(x) i=0 Quy tắc gọi phép xoắn hay quy tắc xoắn Rõ hơn: Coi A(x) hàm sinh cho số cách chọn phần tử tập A B(x) hàm sinh cho số cách chọn phần tử từ tập B Nếu A B rời hàm sinh số cách chọn phần từ từ tập A(x).B(x) (A∪ B) VD2(Dãy Catalan) 1.3 Dùng hàm sinh chuỗi luỹ thừa vô hạn Cơ sở lý thuyết: an x A = R[[ x ]] chuỗi luỹ thừa trường thực R có dạng ∑ n ≥0 n vành với phép cộng nhân chuỗi thông thường:  ∑ an x n +¿ ∑ bn x n=∑ (an +bn ) x n ¿ n ≥0 n≥ n ≥0 an x =∑ k an x , k ∈ R  k∑ n≥ n ≥0 n  n ∑ an x n =∑ an x n ⟺ a n=b n n ≥0 n ≥0 an x khả nghịch (a ≠ ¿  Chú ý : A, phần tử u = ∑ n ≥0 n 1 = u ∑ an x n u ≥0 Hàm sinh ứng dụng 2.1 Kỹ thuật sử dụng hàm sinh đa thức 2.2 Hàm sinh chuỗi luỹ thừa vô hạn (CTTQoDS) 2.2.1 Dãy truy hồi tuyến tính bậc bậc cao { a =1, a =2 Câu 1: Tìm số hạng tổng quát dãy (a n) a =50a −41 a , n ≥0 n +2 n +1 n Sgg: Nhận thấy a n+2−5 a n+1 +4 an=0 nên ta cần cho xuất a n+2−5 a n+1 +4 an Lời giải: Thật vậy, ta đặt G(x) hàm sinh cho dãy (a n) ta có: G(x) = a 0+ a1 x + a2 x +…+a n x n +a n+1 x n +1+ an+ x n+2 +… -5xG(x) = -5a x−5 a x 2−…−5 an−1 xn −5 an xn +1−5 a n+1 x n +2−… x 2G(x) = 4a x +…+ an−2 x n+ a n−1 x n+1 + an x n+2 +… Từ đẳng thức ta có: n+2 (1-5x+4 x 2)G(x) = a 0+ ( a1−5 a0 ) x+ …+ ( an +2−5 a n+1 +4 an ) x +… = a 0+ ( a1−5 a0 )=1−3 x ⟺ G ( x )= 1−3 x 1−5 x +4 x Phân tích: G(x) = 1−3 x A B + 2= 1−x 1−4 x 1−5 x+4 x Ta quy đồng quy hệ số được: A = ; B = ⇒G ( x )= ( ) ∞ ∞ ∞ n 1 + ( ) = ∑ x n + ∑ (4 x )n=∑ 2+4 x n 1− x 1−4 x n=0 n=0 n=0 Hệ số x n khai triển 2+ n 2+ n ∀ n ≥0 nên a n= 3 Câu 2: Tìm cơng thức tổng qt dãy số (a n) với: { a0 =1, a 1= , n≥ a n+2=an+1 −an Sgg: Trong q trình tính ta cần cho xuất a n+2−an+1 +a n Hơn nữa, tính tốn G(x) ta cần sử dụng thêm công thức Moivre Lời giải: 2.2.2 Dãy truy hồi có chứa F(n) k +1 x Câu 3: Dùng chuỗi f ( x )=∑ để xác định hàm sinh cho số k ≥0 nghiệm nguyên dương lẻ phương trình x 1+ x2 +…+ x d =n (1) Lời giải: Trong phương trình (1) ta có x , x , x ,… , x d có vai trị nên ta cần tìm hàm sinh cho cách chọn số x i (1≤ i ≤ d ) Do x i số nguyên dương lẻ nên x i nhận giá trị như: 1,3,5,… Do hàm sinh cho cách chọn x i là: f ( x )=x + x + x 5+ …=∑ x k+ k ≥0 x k +1 Ta có f ( x )=∑ x = k ≥0 1−x Áp dụng quy tắc xoắn ta xác định hàm sinh cho cách chọn số ( xd x , x , … , x d ) d (1−x ) Câu 4: Xác định dãy số (un )n ≥0 biết u0 =u1=¿1 un =a un−1 +b un−2 ¿) trường hợp sau: (a,b) = (1,2); (a,b) = (3,-4) un x Lời giải: Ta có hàm sinh dãy ((un )n ≥0 F(x) = ∑ n ≥0 n Theo đề ta xét: un x F(x) = u0 +u1 x+ ∑ n ≥2 n (a un−1 +b u n−2 ) x =1+x+∑ n ≥2 n u n−2 x n+ b ∑ un−2 xn = + x + a∑ n≥ n ≥2 = + x + ax ( ∑ u x −u )+ b x ∑ u x n n≥ n n≥ = + x + axF ( x )−ax +b x F ( x) ⟹ F(x) = 1−ax+ x 1−ax−b x  TH1: (a,b) = (1,2) Ta có: F(x) = 1−x−2 x = ( 1+ x ) ( 1−2 x ) = − 3(1+ x) 3(1−2 x ) = (−1)n x n− ∑ 2n x n ∑ n≥ n≥ = (−1) −2 ∑ xn n ≥0 n n n n (−1) −2 Đồng hệ số ⟹ un= , ∀n≥ 10 n n  TH2: (a,b) = (3,-4) Ta có: 1−2 x 1−3 x+ x F(x) = = Câu Xác định dãy số (un )n ≥0 biết u0 =u1=u2 = un =a un−1 +b un−2 +c un−3, ∀ n ≥3 trường hợp sau: (a,b,c) = (6,11,6) ; (a,b,c) = (5,1,-5) Lời giải: u n x (1) hàm sinh dãy (un )n ≥0 Xét G(x) = ∑ n ≥0 n un x n G(x) = u0 +u1 x +u x + ∑ n ≥0 Ta có: (a un−1 +b u n−2 + c un−3 )x = u0 +u1 x+ u2 x + ∑ n ≥3 = u0 +u1 x+ u2 x +ax ¿ + c x n ∑ un xn n ≥0 = + x + x + ax ( G ( x )−x−1 ) + b x ( G ( x ) −1 ) + c x 3G(x) ( 1−a−b ) x 2+ ( 1−a ) x +1 ⟹ G(x) = 1−ax−b x −c x  TH với (a,b,c) = (6,-11,6) G(x) = 1−x (2 x−1)(3 x−1) x −5 x+ = = (1−x )(1−3 x )(1−2 x) 1−6 x +11 x −6 x ⟹ G(x) = ∑ x (2) n ≥0 n Ta đồng hệ số từ (1) (2) ta có: un = 1, ∀ n ≥0  TH với (a,b,c) = (5,-1,5)1 Ta có: G(x) = 1−x (1−5 x)(1+ x ) −5 x −4 x +1 = =¿ 1−5 x−x +5 x ( x −1 ) (5 x−1)(x +1) ⇒ G(x) = ∑ x (3) n ≥0 n Ta đồng hệ số (1) (3) ta được: un =1, ∀ n ≥ 11 2.3 Ứng dụng hàm sinh tốn đếm Câu Có 20 học sinh ôn thi để tuyển chọn vào đội tuyển APMO học sinh số chọn để đại diện Việt Nam thi APMO Hỏi có cách chọn học sinh đó? Lời giải: Tài liệu tham khảo Giáo trình Đại số sơ cấp (Dương Quốc Việt – Đàm Văn Nhỉ) Bài tập Đại số sơ cấp (Dương Quốc Việt – Lê Văn Đính) https://cuuduongthancong.com/toan/chuyen-de-toan-logic -roi-rac/ phuong-phap ham-sinh.pdf?src=detail https://math.libretexts.org/Bookshelves/ Combinatorics_and_Discrete_Mathemati cs/Combinatorics_(Morris)/02%3A_Enumeration/07%3A_Generating_F unctions/ 7.03%3A_Using_Generating_Functions_To_Count_Things https://math.berkeley.edu/~shiyu/s15math53/generating_functions.pdf https://www.youtube.com/watch?v=n9FFBXBccow https://www.youtube.com/watch?v=vhnWx4kbNPU https://thuvientoan.net/ham-sinh-va-ung-dung-vao-giai-toan-to-hop-roirac https://123docz.net/document/2842853-su-dung-ham-sinh-giai-bai-toanto hop.htm https://www2.math.binghamton.edu/lib/exe/fetch.php/people/grads/ abawonse/lect ure_4.pdf https://www.d.umn.edu/~jgreene/Combinatorics/Fall_2017/ Exam_2_Review_sol pdf https://cse.iitkgp.ac.in/~animeshm/generating_funct.pdf https://www.math.cmu.edu/~lohp/docs/math/2011-228/mit-ocwgenerating func.pdf https://math.stackexchange.com/questions/2925451/generating-functionproblem and-distributing-candy-to-kids 12