(Tiểu luận) chương 1 biến cố và xác suất

Biến cố Và xác suất

Biến cố và Xác Suất

Bài 1: Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30%, máy III sản xuất 45% số sản phẩm Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3% Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng.

1 Tìm xác suất nó là phế phẩm.

2 Biết nó là phế phẩm Tính xác suất để sản phẩm đó do máy I sản xuất.

Giải Gọi Ai là "lấy ra sản phẩm từ lô i" thì A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.

1 Gọi A là "lấy ra sản phẩm là phế phẩm" Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có

2 Gọi B là "sản phẩm do máy I sản xuất" Khi đó ta cần tính P(B | A)

Bài 2 Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi.

1 Tính xác suất để viên bi đó màu đỏ.

2 Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ ba.

Gọi A1, A2 lần lượt là “lấy bi đỏ từ hộp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba” thì A1A2, A 1 A 2 , A 1 A 2 , A 1 A 2 tạo thành 1 hệ đầy đủ Ta có P(A1A2) = 0.3, P( A 1 A 2 ¿=0.2

1 Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ" Ta có

P(A | A1A2) = 1, P(A | A1 A2) = 0 P(A | A 1A2) = 0.5, P(A | A1 A 2) = 0.5 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có

2 Gọi B là sự kiện cần tính xác suất Dễ thấy B = (A1A2 + A1 A 2) | A Theo công thức Bayes ta có

Bài 3 Trong một kho rượu, số lượng rượu loại A và loại B bằng nhau Người ta chọn ngẫu nhiên một chai và đưa cho 5 người nếm thử Biết xác suất đoán đúng của mỗi người là 0,8 Có 3 người kết luận rượu loại A, 2 người kết luận rượu loại B Hỏi khi đó xác suất chai rượu đó thuộc loại A là bao nhiêu?

Gọi A là "chai rượu thuộc loại A" thì A, A tạo thành hệ đầy đủ và P(A)

Gọi H là "có 3 người kết luận rượu loại A và 2 người kết luận rượu loại B" Theo công thức đẩy đủ

Xác suất cần tính là P(A | H) P(A)P(H ∨A)

Bài 4 Có ba kiện hàng (mỗi kiện hàng có 20 sản phẩm) với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là 18, 16, 12 Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất.

Gọi Ai là "sản phẩm lấy từ kiện thứ i" thì A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là "các sản phẩm lấy ra đều là tốt", áp dụng công thức xác suất đầy đủ.

Sử dụng công thức Bayes ta có

6 theo đường ngầm hoặc đi qua cầu Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 1

3 các trường hợp, còn lại đi lối cầu Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn) Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối.

Gọi A là "đi đường ngầm" thì A là "đi đường cầu" và P(A) = 1

Gọi B là "về nhà sau 6 giờ tối", ta cần tính P( A | B) Sử dụng công thức Bayes

Bài 6 Một hãng hàng không cho biết rằng 5% số khách đặt trước vé cho các chuyến đã định sẽ hoãn không đi chuyến bay đó Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán 52 ghế cho một chuyến bay mà trong đó mỗi chuyến chỉ trở được 50 khách hàng Tìm xác suất để tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế Biết rằng xác suất bán được 51 vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng 10%.

Gọi A là "bán được 52 vé", B là "bán được 51 vé" và C là "bán được nhiều nhất 50 vé" Khi đó A, B, C tạo thành hệ đầy đủ Ta có

P(A) = 0.1, P(B) = 0.1, P(C) = 0.8 Gọi H là "khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến đều có ghế".

Sự kiện H | A xảy ra nếu có ít nhất 2 khách hủy chuyến, H | B xảy ra nếu có ít nhất 1 khách hủy chuyến Tính trực tiếp xác suất của các sự kiện này đều khá phức tạp

Do đó để cho đơn giản ta tìm P( H ) Ta có

Bài 7 Một người có ba chỗ ưa thích như nhau để câu cá Xác suất để câu được cá ở mỗi chỗ tương ứng là 0,6; 0,7 và 0,8 Biết rằng đến một chỗ người đó thả câu 3 lần và chỉ câu được một con cá Tính xác suất để cá câu được ở chỗ thứ nhất.

Gọi A1, A2, A3 lần lượt là "cá câu được ở chỗ thứ i" thì hệ A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi H là "thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá" Theo công thức đầy đủ, ta có

Như vậy, P(H) = 0.191 Theo công thức Bayes suy ra

Bài 8 Tỷ lệ người nghiện thuốc là ở một vùng là 30% Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là 60%, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là 40%

1 Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy bị viêm họng Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá 2 Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất người đó nghiện thuốc lá.

Giải Gọi A là "người nghiện thuốc" và B là "người viêm họng" thì từ đề bài P(A) = 0.3, P(B | A) = 0.6, P(B | A) = 0.4

1 Sự kiện cần tính xác suất là C = A | B Sử dụng công thức Bayes

Bài 9 Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn độc lập Hệ thống I gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song Khả năng bị hỏng của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1 Việc hỏng của mỗi bóng của mỗi hệ thống được xem như độc lập Tính xác suất để trong 18 giờ thắp sáng liên tục:

1 cả hai hệ thống bị hỏng;

2 chỉ có một hệ thống bị hỏng.

Gọi Ai là "bóng thứ i của hệ thống I hỏng" và Bj là "bóng thứ j của hệ thống II hỏng" Hệ thống I bị hỏng khi và chỉ khi 1 trong 4 bóng của nó hỏng, ta biểu diễn sự kiện này là

9 hỏng, sự kiện này là

1 Gọi C là "cả hai hệ thống hỏng" C xảy ra khi và chỉ khi hệ thống I và hệ thống II đều hỏng, nói cách khác,

2 Gọi D là "chỉ có một hệ thống hỏng" thì ta có

Theo thống kê xác suất, khả năng xảy ra hiện tượng hai ngày liên tiếp có mưa ở một thành phố vào mùa hè là 0,5, trong khi xác suất không mưa là 0,3 Điều đáng chú ý là khả năng một ngày mưa và một ngày không mưa xảy ra là như nhau, cùng có xác suất là 0,5.

Tính xác suất để ngày thứ hai có mưa, biết ngày đầu không mưa.

Gọi A là "ngày đầu mưa" và B là "ngày thứ hai mưa" thì ta có P(AB) 0.5, P( A B ) = 0.3 Vì các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng nên.

Xác suất cần tính là P(B | A ), có

10 a Trong số con sinh ra có một trai b Trong số con sinh ra có số con trai nhiều hơn số con gái.

Giả thiết xác suất sinh con trai bằng 0,57.

Giải a Gọi A là biến cố “Trong số con sinh ra có một trai” Áp dụng công thức Bernoulli với n=3,m=1,p=0,57 Ta có:

P(A)= P3(1;0,57) = C 1 3 (0,57) 1 (0,43) 2 = 0,316179 b Gọi B là biến cố “Sinh ra toàn con trai” Áp dụng công thức Bernoulli với n=3, m=3,p=0,57 Ta có:

P(B)= P3(3;0,57) = C 3 3 (0,57) 3 (0,43) 0 = 0,185193 Gọi C là biến cố “Sinh được 2 con trai” Áp dụng công thức Bernoulli với n=3, m=2,p=0,57 Ta có:

P(C)= P3(2;0,57) = C 2 3 (0,57) 2 (0,43) 1 = 0,419121 Xác suất để sinh ra số con trai nhiều hơn số con gái là: P(B)+ P(C)= 0,185193+ 0,419121=0,604314

đại lượng ngẫu nhiên, quy luật phân bố xác suất

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Bài 1 Nhu cầu hàng năm về loại hàng hóa A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau: (đơn vị: ngàn sản phẩm) f(x) = { k ( x−30) với x ∈[0,30]

- Hàm cầu tuyến tính về hàng hóa này là Q(x) = k(x - 0) = kx (x ∉ [0; 30]) Cho biết nhu cầu hàng năm về hàng hóa khi x = 10 là 100 sản phẩm.- Tìm hệ số k: k = nhu cầu hàng năm : (x - 0) = 100 : 10 = 10 (sản phẩm).- Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng hóa đó: nhu cầu trung bình = (k/2).((30 - 0) + 0)/2 = 10.(30/2) = 150 (sản phẩm).- Tìm xác suất để nhu cầu hàng năm về loại hàng hóa đó không vượt quá 10: P(X ≤ 10) = P(-10 ≤ X ≤ 10) = (10 - (-10))/30 = 1/3.

+∞ a Do f(x) là hàm mật độ xac suất => ∫ f (x)=1

Bài 2 Một chùm chìa khóa xe máy gồm 4 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có một chiếc mở được xe máy Người ta thử ngẫu nhiên từng chiếc cho đến khi mở xe máy Gọi X là số lần thử Tìm phân phối xác suất của X.

X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4.

Gọi Ai là sự kiện "mở được xe máy ở lần thử thứ i", i = 1, 2, 3, 4 Khi đó, P(X = 1) = P(A 1 ) = 1

4 Suy ra bảng phân phối xác suất của X:

Bài 3 Một xí nghiệp có 2 máy xúc hoạt động Xác suất trong ngày làm việc các máy xúc bị hỏng tương ứng 0,1 và 0,2 Gọi X là máy xúc bị hỏng trong thời gian làm việc. a Lập bảng phân phối xác suất của X b Thiết lập hàm phân phối xác suất của X Giải a X là số máy xúc bị hỏng trong thời gian làm việc

X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị là X=0, 1, 2

Bảng phân phối xác suất của X là :

P 0,72 0,26 0,02 a Hàm phân phối xác suất là

Bài 4: Cho ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất là

Một hộp có 12 chiếc điện thoại trong đó có 4 điện thoại tốt Lấy ngẫu nhiên 3 điện thoại để kiểm tra Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số điện thoại tốt được lấy ra a Lập bảng phân phối xác suất của X b Tìm hàm phân phối xác suất của X

Ta có X nhận giá trị X={0;1;2;3}

P[X=0]= P( không có điện thoại tốt được lấy ra) = 38 = 55

P[X=1]= P( có 1 điện thoại tốt được lấy ra) C 8 2 C 1 4

P[X=2]= P( có 2 điện thoại tốt được lấy ra) C 8 1 C 2 4

P[X=3]= P( có 3 điện thoại tốt được lấy ra) C 3 4

C 12 3 30 a Ta có bảng phân phối xác suất như sau:

P 14/55 28/55 12/55 1/30 b Hàm phân phối xác suất như sau:

Cho ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất là

một ông cụ vào cửa hàng thấy 5 chiếc loa giống nhau Ông ta đề nghị cửa hàng cho ông ta thử lần lượt các loa đến khi chọn được loa tốt thì mua, nếu cả 5 lần đều xấu thì thôi Biết rằng xác suất để một loa xấu là 0,6 và các loa xấu tốt độc lập với nhau Gọi X là số lần thử.

Gọi X là số lần thử thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị X = 1, 2, 3, 4, 5 Ta thấy rằng:

+) X = x, (x = 1, 2, 3, 4) xảy ra nếu x − 1 lần đầu không chọn được máy tốt và lần thứ x chọn được máy tốt.

P(X = x) = (0.6 ) x−1 × 0.4 (x = 1, 2, 3, 4) +)X = 5 xảy ra nếu lần cuối chọn được máy tốt hoặc cả 5 lần đều không chọn được máy tốt P(X = 5) = 0.6 4 × 0.4 + 0.6 5 = 0.1296 Bảng phân phối xác suất của X:

Một người đi học từ nhà đến trường phải qua 3 ngã ba Xác suất để người đó gặp chốt giao thông ở các ngã ba tương ứng là 0,2; 0,4 và 0,5 Gọi X là số chốt giao thông mà người đó gặp phải trong một lần đi học Lập bảng phân phối xác suất của X Tìm hàm phân phối xác suất của X.

Gọi X là số chốt giao thông người đó gặp phải thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị (X

Bảng phân phối xác suất của X

Hàm phân phối của X là

Một cơ sở thực hành có 3 phòng thí nghiệm như nhau Xác suất thực hiện thành công một thí nghiệm của các phòng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8 Một sinh viên chọn một phòng thí nghiệm bất kỳ và tiến hành 3 thí nghiệm độc lập Gọi X là số thí nghiệm thành công.Lập bảng phân phối xác suất của X.

Bảng phân phối xác suất của X

Nhu cầu hàng năm về loại hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau (đơn vị: ngàn sản phẩm): k (30−x ) ,x ∈30 f X (x) ={ 0 ,x ∉30

Bài 11 Cho ĐLNN X có bảng phân phối xác suất

Bài 12 Cho ĐLNN X, có bảng phân phối xác suất sau:

Tìm giá trị của a,b để E(X) = 3.5

Bài 13 Cho ĐLNN X có hàm mật độ xác suất:

Ta có: E(x) ∫ ∫ ∫ ∫ xf ( x ) dx= xf ( x ) dx+ xf ( x ) dx+ xf (x ) dx

Ta có: E(X 2 ) = x 2 f ( x )dx= x 2 f ( x) dx= x 2 f ( x )dx + x 2 f ( x ) dx

Bài 14 Cho ĐLNN X có hàm mật độ f(x) = ax +b x 2 ,if x ∈(0 ;1)

Mặt khác, ∫ f (x ) dx=1=¿ ∫( ax +b x 2 ) dx =1=¿ + =1

Bài 15 Cho ĐLNN X có bảng phân phối xác suất:

Bài 16 Cho ĐLNN X có hàm mật độ xác suất:

3 x 4 dx=0.6Bài 17 Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm. b Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 phế phẩm.

Giải: Gọi X là số phế phẩm chọn được X=0,1,2

10 a Ta có bảng phân phối xác suất của số phế phẩm chọn

X 0 1 2 p 7/15 7/15 1/15 b Xác suất để lấy được ít nhất 1 phế phẩm:

8 Bài 18 Cho ĐLNNLT X có hàm mật độ xác suất:

Vì F(x) là hàm mật độ xác suất nên F(x) ≥ 0 ∀ x ∈R=¿ k ≥0

Ta có: ∫ f (x ) dx=1=¿ ∫ f (x ) dx +∫ f (x ) dx=1

Bài 19 Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập, với xác suất hỏng của mỗi máy một ngày hoạt động đều là 0.02, Tính xác suất để: a Trong 2 ngày có 1 máy hỏng b Trong 1 ngày có ít nhất 1 máy hỏng

Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày Theo phân phối nhị thức, X có dạng X ~ B(5 ; 0,02) Xác suất để có 2 máy hỏng trong 1 ngày được tính là P(X = 2).

Bài 20 Rút 1 lá bài từ bộ bài 52 lá Gọi A là biến cố lấy được lá màu đen B là biến cố lấy được lá màu đỏ.

-Hỏi A,B có xung khắc hay không

P(A+B) = P(A)+P(B) Bài 21 Một xí nghiệp có 2 ô tô vận tải hoạt ộng Xác suất trong ngày làm việc các ô tô bị hỏng tương ứng bằng 0,1 và 0,2 Gọi X là ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc.Tìm quy luật phân phối xác suất của X.

Giải: a) X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc

X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có X = 0,

Vậy quy luật phân phối xác suất của X là

Bài 22: Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau Xác suất trong thời gian t các bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,3 Tìm quy luật phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng.

Giải: a) Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian làm việc t.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các trị số có thể xảy ra X= 0, 1, 2, 3.

Vậy quy luật phân phối xác suất của X là

Có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên từng quả cầu cho đến khi lấy được 1 quả cầu trắng Quy luật phân phối xác suất của số quả cầu được lấy ra sẽ tùy thuộc vào vị trí của quả cầu trắng được lấy.

Gọi X là “số cầu được lấy ra” X gồm 3 giá trị 1, 2, 3 (vì đến quả thứ 3 chắc chắn lấy được cầu trắng và kết thúc quá trình lấy).

Xác suất lấy được 1 quả cầu:

Xác suất lấy được 2 quả cầu (quả cầu 1 là đen, quả cầu 2 là trắng):

Xác suất lấy được 3 quả cầu (quả cầu 1 là đen, quả cầu 2 là đen, quả cầu 3 là trắng):

Ta có quy luật phân phối xác suất:

Xác suất bắn trượt bằng 1 trừ xác suất bắn trúng, tức là $0,2$ Biến ngẫu nhiên X đếm số viên đạn bắn trượt theo phân phối nhị thức âm với các tham số $n$ là số lần bắn và $p$ là xác suất bắn trượt Do đó, hàm xác suất khối của X là:$$P(X = k) = \binom{n}{k} (0,2)^k (0,8)^{n-k}$$Với $k = 0, 1, 2, n$.

Gọi X là số viên đạn bắn trượt: X = {1,2,3,…,n}

Lại có: Gọi A = “Biến cố bắn trúng bia” có P(A) = 0,8 = p và P( A ¿ = 0,2 = q

Bài 25:Tung một con xúc xắc Gọi X là: “số chấm xuất hiện” Xác định hàm phân phối của X.

Bài 26 Hai nhà máy X, Y cùng sản xuất một loại sản phẩm Xác suất nhận được sản phẩm hỏng ở nhà máy X là Px = 0.03 và ở nhà máy Y là Py = 0.050.Một người mua 3 sản phẩm ở nhà máy

X Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng

Gọi X là số sản phẩm hỏng nhận được trong 3 sản phẩm mua của nhà máy X Ta có X ~ B(3,0.03) và xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng là

Bài 27 Một phân xưởng có 5 máy Xác suất để trong một ca, mỗi máy bị hỏng là 0.1 Tìm xác suất để trong một ca, có đúng

Với X chỉ số máy hỏng, ta có X~ B(5,0.) và xác suất cần tìm là P(X=2)

Bài 28 Tính xác suất để gieo con xúc xắc 10 lần, mặt một nút xuất hiện không quá 3 lần.

Với X chỉ số mặt một nút xuất hiện, ta có X~ B(10, 1/6) và xác suất cần tìm là

Bài 9 Một người bắn bia với xác suất bắn trúng là p= 0.7 Bắn liên tiếp 3 phát Tính xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia

Gọi X là số phát bắn trúng bia Ta có X ~ B( 3,0.7 ) nên xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia là

Bài 30 : Cho X và Y là 2 biến ngẫu nhiên liên tục với

Gọi X là biến cố ngẫu nhiên số táo nhập khẩu được lấy ra. a Lập bảng phân phối xác suất của X. b Tìm hàm phân phối xác suất của X.

C 11 a Bảng phân phối xác suất của X x 0 1 2 3

P 4/33 5/11 4/11 2/33 b Hàm phân phối xác suất của X

21 sin x khi x ∈ [−π ; π ] Hỏi f(x) có là hàm mật độ xác suất hay không?

Vậy f(x) không là hàm mật độ xác suất.

Bài 33: Cho ĐLNN X, có bảng phân phối xác suất sau:

Tìm giá trị của a,b để E(X) = 3.7

Bài 34: cho hàm số f ( x )={ 0 khi x ∉ [ 0 ; 1 ] a x 2 khi x ∈[0 ; 1] Xác định a để f(x) là hàm mật độ xác suất.

Với x ∈ [0 ;1 ] thì f(x) = a x 2 ≥ 0 khi a≥0 Điều kiện (2) :

Vậy a=3 thì f(x) là hàm mật độ xác suất.

Bài 35: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối xác suất xác định như sau:

Bài 36: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối xác suất xác định như sau:

Bài làm a Do F(x) là hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X

Bài 37: Cho ĐLNN X có bảng phân phối xác suất

Bài 38:Cho ĐLNNLT X có hàm mật độ xác suất: kx −3 , nếu x> 4

Vì F(x) là hàm mật độ xác suất nên F(x) ≥ 0 ∀ x ∈R=¿ k ≥0

Ta có: ∫ f ( x ) dx=1=¿ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx=1

Bài 39: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm. a Lập bảng phân phối xác suất của số phế phẩm được chọn b Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 phế phẩm.

Giải: Gọi X là số phế phẩm chọn được X=0,1,2

10 a Ta có bảng phân phối xác suất của số phế phẩm chọn

X 0 1 2 3 p 1/6 1/2 3/10 1/30 b Xác suất để lấy được ít nhất 1 phế phẩm:

Bài 40: Một người đem 10 nghìn VNĐ đi đánh một số đề Nếu trúng thì thu được 800 nghìn

VNĐ, nếu trượt thì không được gì Gọi X (nghìn VNĐ) là số tiền thu được Lập bảng phân phối xác suất của X

Bài 41: Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

Tìm hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị của hàm này.

Bài 42: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ

F(x) ¿ Tìm hàm phân phối các suất F(x)

Bài 43: Nhu cầu hàng ngày về rau sạch ở một khu dân cư có bảng phân phối xác suất.

Lý thuyết mẫu

Bài 1 Quan sát chiều cao X (cm) của 10 người, ta ghi được 158, 163, 157, 162, 154, 152, 160,

Với mẫu trên, ta tính được:

- Chiều cao trung bình mẫu X 8,6 cm

Bài 2 Một máy tự động đóng bột vào bao Cân ngẫu nhiên 15 bao được các trọng lượng sau:

39,25 39,05 40,00 39,50 39,50 a) Lập bảng phân phối tần số thực nghiệm của trọng lượng các bao bột. b) Tính giá trị trung bình và phương sai mẫu hiệu chỉnh.

Giải a) Bảng phân phối tần số thực nghiệm:

Số bao 2 4 2 4 2 1 b) Gọi X là trọng lượng các bao bột.

Phương sai có hiệu chỉnh:

Bài 3 Gặt ngẫu nhiên 100 điểm trồng lúa của một vùng nông thôn ta thu được bảng số liệu như sau:

Xác định các thống kê đặc trưng mẫu

Gọi X là năng suất lúa (tạ/ha).Ta có mẫu cụ thể kích thước n = 100.

Ta có thể tính toán dựa vào bảng sau: x i n i n i X i n i X i 2

Năng suất lúa trung bình: = 3392

100 Phương sai mẫu có hiệu chỉnh của năng suất lúa: S 2 X = 1

Bài 4 Năng suất lao động của công nhân trong một phân xưởng sau:

Mức năng suất lao động 21 23 25 27 29

Tính Năng suất lao động trung bình

Bài 5 Năng suất lao động của công nhân trong một phân xưởng sau:

Mức năng suất lao động 21 23 25 27 29

Tính Năng suất lao động trung bình

74 nhiên 50 cửa hang và có kết quả sau Tính giá bán trung bình, phương sai và phương sai hiệu chỉnh

Gọi X là ĐLNN chỉ giá của các loại hàng hoá đó trên thị trường.

- Kỳ vọng X (giá bán trung bình): x= 1 ∑ 9 n i x i n i =1 ¿ 501

Bài 7 Cho mẫu sau, tính các giá trị đặc trưng bằng phần mềm trên máy tính.

Bài 8 Số xe hơi bán được trong một tuần của 45 công ty như sau:

Số xe hơi 1 2 3 4 5 6 được bán

Phương sai mẫu có điều chỉnh: S 2 = n

S ' 2 = 1,82 n−1 Độ lệch chuẩn mẫu: S ' = √ S ' 2 =√1,78 =1,338 Độ lệch chuẩn mẫu có điều chỉnh: S= √ S 2 =√1,82=1,353

Bài 9 : Chiều cao của 50 cây lim được cho bởi bảng sau:

Phương sai mẫu có điều chỉnh: S 2 = n S ' 2 = 0,416 n−1 Độ lệch chuẩn mẫu: S ' =√ S ' 2 =√0,408=0,638

76 Độ lệch chuẩn mẫu có điều chỉnh: S=√ S 2 = √0,416=0,645

Bài 10 : Kết quả điểm môn Xác suất thống kê của một lớp gồm 100 sinh viên cho bởi bảng sau: Điểm 3 4 5 6

Sinh viên có điểm tương ứng 25 20 40 10

Gọi X là điểm môn Xác suất thống kê của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong danh sách lớp thì X là BNN có phân phối:

Chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên trong danh sách lớp để xem điểm Gọi X i là điểm của sinh viên thứ i(i 1,2,3,4,5) Ta có mẫu ngẫu nhiên kích thước n = 5 được xây dựng từ BNN X là W x = (X1, X2, , X5) và các BNN X i có cùng phân phối xác suất với BNN X.

Ví dụ: Nếu sinh viên thứ nhất được 4 điểm, thứ hai được 3 điểm, thứ ba được 6 điểm, thứ tư được 7 điểm và thứ năm được 5 điểm thì ta có mẫu dữ liệu cụ thể.

Bài 11 Để nghiên cứu về số con trong 1 gia đình ở địa phương A, người ta điều ttra số con của mỗi gia đình trong 30 gia đình được chọn ngẫu nhiên ở địa phương A Kết quả được ghi lại như sau:

2 Hãy lập bảng phân phối tần số và tần suất tích lũy cho dữ liệu trên mẫu.

Gọi X là BNN chỉ số con trong 1 gia đình Bảng phân bố tần số, tần suất và tần suất tích lũy cho X từ dữ liệu trên.

77 Để nghiên cứu về thâm niên công tác (tính tròn năm) của nhân viên ở 1 công ty lớn, người ta khảo sát thâm niên của 100 nhân viên được chọn ngẫu nhiên trong công ty Kết quả:

Hãy tính giá trị trung bình mẫu và giá trị độ lệch chuẩn mẫu

Gọi X là BNN chỉ thâm niên công tác của nhân viên công ty trên

Từ dữ liệu ta tính được :

- Giá trị trung bình mẫu x.24

- Giá trị độ lệch chuẩn mẫu s = 3.27

Giả sử độ tăng theo phần trăm lương hàng năm của mỗi công nhân viên chức trong công ty ABC tuân theo luật phân phối chuẩn với trung bình 12,2% và độ lệch chuẩn 3,6% Một mẫu ngẫu nhiên gồm 9 phần tử được chọn từ tổng thể ấy Tìm xác suất để trung bình mẫu nhỏ hơn 10%.

Gọi X là BNN chỉ độ tăng lương theo phần trăm Ta có X ~ N(12,2; 3,6 2 ) và

Bài 14 Để nghiên cứu chiều cao của thanh niên lứa tuổi từ 18 đến 22 tuổi ở thành phố AA, người ta đo trên một mẫu gồm một số thanh niên được chọn ngẫu nhiên ở thành phố AA Kết quả như sau:

Chiều cao( cm) Số thanh niên

[178, 182) 78 a) Tính giá trị trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu b) Theo tài liệu khảo sát trước đó chiều cao của những thanh niên lứa tuổi trên tuân theo luật phân phối chuẩn với kì vọng là μ6 cm và độ lệch chuẩn là σ =7 cm Tính xác suất để trung bình mẫu có giá trị lớn hơn 167cm.

Gọi X là BNN chỉ chiều cao của thanh niên lứa tuổi từ 18 đến 22 tuổi ở thành phố

AA a) Từ dữ liệu ta tính được :

- Giá trị trung bình mẫu là: x6.55 cm

- Giá trị độ lệch chuẩn mẫu : s= 50865 cm b) Theo định lý giới hạn trung tâm ta có:

Do đó xác suất để trung bình mẫu nhận giá trị lớn hơn 12,5 là:

Một mẫu kích thước n được thành lập từ tổng thể tuân theo phân phối chuẩn với kỳ vọng μ và độ lệch chuẩn là 8 Hãy xác định n sao cho, với xác suất bằng 0,9524, trung bình mẫu nằm trong khoảng từ μ – 4 đến μ+4.

Một kỹ sư cho biết trọng lượng tạp chất trong một sản phẩm tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn bằng 3,8gam Một mẫu ngẫu nhiên gồm 9 sản phẩm được tiến hành kiểm tra và thấy lượng tạp chất như sau (đơn vị tính là gam):

Tìm khoảng tin cậy cho trọng lượng trung bình tạp chất của sản phẩm với độ tin cậy 99% 79

Gọi X là trọng lượng tạp chất trong một sản phẩm, X à,σ 2) vớiσ=3.8

( của tạp chất trong một sản phẩm là E[X] = à chưa biết ∼ cần được ước lượng.

N (0,1) n σ Áp dụng khoảng tin cậy đối xứng ( x −u ∝ σ ,x+u ∝ σ ¿

Với α = 0.01, Φ ( u 1− ∝ 2 √ σ n ) =1− ∝ 2 =0.995 , tra bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc nhận được u

Từ số liệu đã cho ta có n = 9, σ = 3.8 và có x = 16.76667, suy ra khoảng tin cậy đối xứng của E[X] à là:

Theo luật phân phối chuẩn với các tham số μ = 10 (đơn vị là phút), σ = 1, xác suất để một sản phẩm loại A sản xuất trong khoảng thời gian từ 9 đến 12 phút là P(9 < X < 12) Thời gian cần thiết để sản xuất ra một sản phẩm loại A bất kỳ là trung bình μ của phân phối, tương ứng với 10 phút.

Gọi X là BNN chỉ thời gian để sản xuất một sản phẩm loại A , X ~N (10;1) a/ Xác suất phải tính:

=0.9772+0.8413 – 1 = 0.88185 b/ Theo qui tắc 3σ, hầu như chắc chắn X lấy giá trị trong khoảng:

Một lô hàng đạt tiêu chuẩn xuất khẩu nếu tỉ lệ phế phẩm không quá 5% Nếu kiểm tra ngẫu nhiên

100 sản phẩm thì tỉ lệ phế phẩm thực tế tối đa là bao nhiêu, chúng ta có thể cho phép lô hàng được xuất khẩu mà khả năng không mắc sai lầm là 95% ?

Gọi p 0 là tỉ lệ phế phẩm thực tối đa.

Lô hàng được phép xuất khẩu mà không mắc sai lầm khi P 2320 con, p là tỷ lệ cá được đánh dấu, ta có p

Khoảng tin cậy đối với tham số p là:

Thay vào công thức trên ta được 0,1608 < p < 0,2392

Vậy trữ lượng cá trong hồ từ 8362 => 12437 104con

Bài 11: Phỏng vấn 200 người thì có 80 người thích dùng điều hòa Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ những người thích dùng điều hòa.

Do đó khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ những người thích dùng điều hòa là: hay

Tỷ lệ thấp nhất là 30,3% và tỉ lệ cao nhất là 49%

Bài 12: Thống kê số mèo của 30 gia đình ở hà nội được 100 con và S = 2,75 Hãy chỉ ra ước lượng khoảng tin cậy với 95% cho số mèo trung bình của các gia đình đó (giả thiết X có phân phối chuẩn)

Khỉ đó ước lượng khoảng tin cậy với 95% cho số mèo trung bình của các gia đình đó là:

Bài 13: tiến hành đo chiều cao của 35 cây đỗ trồng cùng thời điểm được

(cm) Giả sử Với độ tin cậy là = 95% có thể nói chiều cao của các cây đỗ thuộc khoảng nào?

Với độ tin cậy = 95% thì

(tra bảng Laplace hoặc bảng phân phối chuẩn)

Khoảng tin cậy cho chiều cao các cây đỗ trung bình là 105, với độ tin cậy 95% Điều này có nghĩa là chúng ta có 95% chắc chắn rằng chiều cao trung bình của cây đậu rơi vào khoảng 105.

Tra bảng Laplace ta thấy Độ chính xác của ước lượng là

Do đó tỉ lệ ủng hộ việc học online là:

Hay khoảng ước lượng cần tìm là: (0,6336; 0,6776)

Vậy tối thiểu việc học online sẽ được 63,36% số sinh viên ủng hộ.

Bài 15:Để đánh giá trữ lượng các ruộng nuôi trồng thủy sản, người ta đánh 1500 con sò, đánh dấu rồi thả xuống ruộng Sau đó, bắt lại 300 con thì thấy 60 con có đánh dấu Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trữ lượng sò trong hồ.

Gọi N là số sò hiện tại có trong hồ, p là tỷ lệ cá được đánh dấu, ta có p = 1500

Bài 16 Trọng lượng một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 1 gam Cân thử 25 sản phẩm loại này ta thu được kết quả sau:

Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của trọng lượng trung bình của loại sản phẩm nói trên.

Gọi X là trọng lượng sản phẩm, X ~ N μ, 1 Đây là bài toán ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn bằng khoảng tin cậy đối xứng khi đã biết ❑ 2 o

Với độ tin cậy: 0,95 suy ra mức ý nghĩa α= 1 - = 1 – 0,95 = 0,05

Vậy khoảng tin cậy đối xứng của trọng lượng trung bình là:

Thu hoạch tại một số điểm được kết quả sau:

Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng năng suất trung bình bằng khoảng tin cậy đối xứng Giải Gọi X là năng suất loại cây trồng

Từ mẫu đã cho, ta tính được: n = 25, X 2,28 ;S X =1,646

Với độ tin cậy: 0,95 suy ra mức ý nghĩa ∝=1−γ =1−0,95=0,05 Suy ra giá trị tới hạn C = t 0,025 (24 )=2,064

Vậy khoảng tin cậy đối xứng của năng suất trung bình có dạng: = [31,6;32,96] Bài 3 Kiểm tra 100 sản phẩm từ lô hàng thì thấy có 20 sản phẩm loại I

Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I của lô hàng với độ tin cậy

99% Giải Gọi p tỷ lệ sản phẩm loại I của lô hàng

Vậy khoảng tin cậy tỷ lệ sản phẩm loại I của lô hàng là: (10% ; 30%)

Bài 18: Để xác định chiều cao trung bình của các cây keo trong một khu đồi, người ta đo 35 cây và thu được kết quả như sau: 108

Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng chiều cao trung bình của cây keo trong khu đồi. Giả sử chiều cao cây keo là ĐLNN có phân phối chuẩn N(a ; 0,64)

Chuyển về số liệu điểm:

Gọi X là chiều cao của cây keo trong khu đồi: E(X)=a; D(X)= σ 2=0,64 σ s '

Vậyvớiđộ tin cậy 95% thìcóthểnóichiềucaotrungbìnhcủacâykeotrongkhuđồikhoảng 7,8m đên 8,32m.

Bài19: Theo dõithờigianhoànthànhbàitậpcủa 25 sinhviên ta thuđượcbảngsốliệusau:

Hãy ước lượng thời gian trung bình để hoàn thành bài tập của sinh viên với độ tin cậy 98% Biết rằng thời gian hoàn thành sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

Gọi x là ĐLNN chỉ thời gian hoàn thành sản phẩm X N( a;σ 2 )

Vậyvớiđộ tin cậy 98% thìcóthểnóithờigiantrungbìnhđểhoànthànhbàitậpcủasinhviênlà 13,884 phútđên 16,116 phút.

Bài 20: Để xác định điểm trung bình của môn xác suất thống kê, người ta lấy số điểm của 35 sinh viên trong một lớp thu được kết quả như sau:

Ước lượng điểm trung bình của sinh viên trong lớp với độ tin cậy 95% Giả sử điểm xác suất thống kê của sinh viên theo phân phối chuẩn chuẩn N(a;0,64).

Chuyển về số liệu điểm:

Gọi X là điểm của sinh viên trong một lớp: E(X)=a; D(X)= σ 2=0,64 σ s '

Vậyvớiđộ tin cậy 95% thìcóthểnóiđiểmtrungbìnhcủasinhviêntronglớplàkhoảng 7,8 điểmđên 8,32 điểm

Bài 21: Đểướclượngchiềucaotrungbìnhcủamộtloạicâylấygỗ, người ta chọnngẫunhiêntừkhurừngra 50 câyvàđochiềucaocủanóthìthuđược x!,5 ; s’= 1,25 m. biếtrằngchiềucaocủaloạicâynàylàđạilượngphânphốingẫunhiêncóphânphốichuẩn.

Bài 8 Điềutrangẫunhiên 100 sinhviênnămthứhaicủatrường ĐHCN Hà Nộithìcó 20 sinhviênđạtđiểmgiỏimôn XSTK.

Vớiđộ tin cậy 95%, hãyướclượngtỉlệsinhviênđạtđiểmgiỏimôn SXTK trongtoàntrường.

Vậyvớiđộ tin cậy 95%, cóthểnóitỷlệ SV đạtđiểmgiỏi môn SXTK trongtoàntrườngtừ 12,16% đên 2,7,84%.

Bài 22 Điềutrangẫunhiên 100 sinhviênnămthứhaicủatrường ĐHCN Hà Nộithìcó 20 sinhviênđạtđiểmgiỏimôn XSTK.

Vớiđộ tin cậy 95%, hãyướclượngsố SV nămthứ 2 củatrườngđạtđiểmgiỏimôn

Giải Gọi M lảsố SV đạtđiểmgiỏitrongsố 2000 sinhviên :

Bài 10 Điều tra mộtkhóatốtnghiệp ra trườnggồm 2000 sinhviênthấycó

95% b, Vớiđộchínhxác 3% hãytìmđộ tin cậychoướclượng ở câu a LờiGiải a, Tỷlệsinhviêntìmđượcviệclàmngay p ∈(f −u γ √ f (1−f ) ; f +u γ √ f (1−f ) ) (*) n n

Vậyvớiđộchínhxác 3% thìđộ tin cậychoướclượng ở câu a là97,5 %

Câu 23: Một công ty phần mềm đã tiến hành một cuộc khảo sát về kích thước của ngẫunhiên, ´xH22( kb)và s7 Tìm khoảng tin cậy 95% cho kích thước trungbình của loại tập tin văn bản đó. từ giả định đã cho ta có:

Vậy khoảng tin cậy 95% cho kích thước trung bình của loại tập tin văn bản đó sẽ là s s

Câu 24 : phỏng vấn 2000 người só 500 người ứng cử cho ứng cử viên 1 hãy timg khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ những người ủng hộ ứng cử viên 1 Giải

Do đó khoảng tin cây 95% cho tỷ lệ những người ủng hộ ứng cử viên 1 là Áp dụng công thức:

Vậy khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ những người ủng hộ cho ứng cử viên I là ¿ 0,36 ;

Câu 25:Tiến hành đo chiều cao của 64 cây thông được X =7,5 Giả sử X N ( a;

0,64 ) Với độ tin cậy γ %có thể nói chiều cao cây thông thuộc khoảng nào?

Lời giải Khoảng tin cậy cho chiều cao trung bình EX = a của cây thông là: a ∈¿ ; X +U γ √ σ n )

Vậy với độ tin cậy γ % có thể nói chiều cao cây thông thuộc khoảng (7,267; 7,333 ) ( cây)

Câu 26: để ước lượng tuổi thọ trung bình của một sản phẩm, người ta chọn ra 26 sản phẩm và thu được kết quả sau:

Giả sử tuổi thọ sản phẩm tuân theo phân phối chuẩn, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của sản phẩm trên với độ tin cậy 95%

Theo đầu bài độ tin cậy 1- α=0,95 , suy ra α = 0,05

Tra bảng ta được: t α 2 (n-1) = t 0,025 (25)=2,060 Độ chính xác của ước lượng: ε = t α 2 (n-1) √ s n =2,060 5,130

Vậy khoảng tin cậy về tuôir thọ trung bình của sản phẩm

114 chuẩn Mẫu điều tra về chỉ tiêu a(tính bằng %)của sản phẩm này được cho trong bảng: x i 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 n i 7 12 20 25 18 12 5 1 hãy ước lượng trung bình chỉ tiêu với độ tin cậy 95%

Gọi x là chỉ tiêu a khoảng tin cậy đó của sản phẩm, khi đó x ∼¿, σ 2 ¿ xứng

Câu 28:Gặt ngẫu nhiên 100 điểm trồng lúa của một vùng nông thôn ta thu được bảng số liệu như sau:

Xác định các thống kê đặc trưng mẫu

Gọi X là năng suất lúa (tạ/ha)

Năng suất lúa trung bình: X = n ∙ ∑ n i X i = 100 2430= 24,3(tạ/ha) i=1

Phương sai điều chỉnh của năng suất s , 2 = n s 2 4,09 n−1

Bài 29: Bưu điện TP HCM nghiên cứu về cước điện thoại cố định trên địa bàn ngẫu nhiên gồm 100 gia đình được chọn từ các quận như sau:

Cước trả hàng tháng (ngàn đồng) Số hộ

Nêu muốn bài toán ước lượng đạt độ chính xác 5% với khoảng tin cậy 99% thì cần điều tra bao nhiêu hộ gia đình?

Bài 30: Kiểm tra 400 chiếc điện thoại thì có 80 chiếc sai quy cách (phế phẩm) Nếu độ tin cậy là 90% thì độ chính xác của ước lượng là bao nhiêu?

Do đó độ chính xác

Khỉ đó ước lượng khoảng tin cậy với 95% cho số sinh viên trung bình của các gia đình đó là:

Bài 31: tiến hành đo chiều cao của 35 bạn sinh viên lớp đt6 trường haui được

Giả su Với độ tin cậy là = 95% có thể nói chiều cao của các bạn sinh viên thuộc khoảng nào?

Khoảng tin cậy cho chiều cao các bạn sinh viên trung bình là:

Bài 32: trước ngày bầu cử chủ tịch nước, phỏng vấn ngẫu nhiên 1800 cử tri thì thấy có 1180 người ủng hộ ứng cử viên A với độ tin cậy 95% hỏi ứng cử viên đó thu được tối thiểu bao nhiêu % số phiếu bầu.

Do đó tỉ lệ ủng hộ ứng cử viên A là:

Vậy tối thiểu ứng cử viên A sẽ thu được 63,36% số phiếu bầu

(cm) Giả sử Với độ tin cậy là = 95% có thể nói chiều cao của các cây đỗ thuộc khoảng nào?

Khoảng tin cậy cho chiều cao các cây đỗ trung bình là:

Bài 34: Phỏng vấn ngẫu nhiên 1800 sinh viên thì thấy có 1180 sinh viên ủng hộ việc học online với độ tin cậy 95% hỏi việc học online được tối thiểu bao nhiêu % số sinh viên ủng hộ.

Do đó tỉ lệ ủng hộ việc học online là:

Vậy tối thiểu việc học online sẽ được 63,36% số sinh viên ủng hộ.

Bài 35:Để đánh giá trữ lượng các ruộng nuôi trồng thủy sản, người ta đánh 1500 con sò, đánh dấu rồi thả xuống ruộng Sau đó, bắt lại 300 con thì thấy 60 con có đánh dấu Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trữ lượng sò trong hồ.

Gọi N là số sò hiện tại có trong hồ, p là tỷ lệ cá được đánh dấu, ta có p = 1500

Kiểm định giả thiết thống kê

KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ

Bài 1 Lượng sữa trung bình trong 1 ngày của một con bò trong nông trưpngf bò sữa là 14 lit Người ta chọn ra ngẫu nhiên 25 con bò và theo dõi lượng sữa trung bình trong 1 ngày của 1 trog số 25 con bò đó thì tính được X = 15,6 lit với độ lệch tiêu chuẩn là 0,2 lit Có ý kiến cho rằng với điều kiện chăm sóc thay đổi làm cho lượng sữa trung bình thu được trong 1 ngày của nông trường bò đó thay đổi Với mức ý ghĩa α = 0,05 hãy kiểm định ý kiến trên.

Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ lượng sữa thu được trong

1 ngày của một con bò trong nông trường Đặt E(X) = a, ta có bài toán kiểm định sau

Giả thiết H0 α Đối thiết H1 α ≠14 Trên cơ sở H0 xảy ra chọn K = X σa 0

√ n để kiểm định giả thiết Với mức ý nghĩa σ = 0,05, tra bảng Laplat tìm

Dựa vào mẫu cụ thể tính K = √ n = 5@

Thấy | K | > U 1−α bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận đối thiết H1.

Vậy ý kiến đưa ra tạm thời được chấp nhậnBài 2

Một lô gà được thông báo là có trọng lượng trug bình mỗi con là 1,6 kg Khi mua người ta nghi ngờ trọng lượng trung bình 123 không đạt mức đó nên đã chọn ngẫu nhiên ra 25 con gà và nghĩa α = 0,05 hãy kiểm định ý kiến trên.

Ta có X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ trọng lượng mỗi con gà, Khi đó EX=a; σ =0,1 bài toán kiểm định được phát biểu như sau

Giả thiết H0 α =1,6 Đối thiết H1 α U 1−2 α bác bỏ H0 nghĩa là việc nghi ngờ trên là có cơ sở

Bài 3 Trọng lượng các bao gạo trong kho là đại lượng ngẫu nhiên X~N( α ; σ 2 ¿ , với trọng lượng trung bình là 50kg Nhiều ý kiến khách hàng cho rằng trọng lượng bị thiếu Một nhóm thanh tra đã cân ngẫu nhiên 25 bao gạo trong kho đó và thu được số liệu như sau:

Với mức ý nghĩa α = 0,01 hãy xem ý kiến của khách hàng có đúng không?

Giả thiết H0 α P Đối thiết H1 α t (n−1 ;2 α), ta bác bỏ giả thiết H0, tạm thời chấp nhận đối thiết H1

Nghĩa là ý kiến phản ánh của khách hàng là đúng

Bài 4 Một nhà lai tạo giống lúa cho rằng giống lúa cây cao chống lụt vừa tạo ra có chiều cao trung bình là 105cm Người ta chọn ngẫu nhiên ra 60 cây và đo thử thu được chiều cao trung bình là 112cm với độ lệch tiêu chuẩn có điều chỉnh là 8cm Giả sử chiều cao của giống lúa mới là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Với mức ý nghĩa α = 0,05 có thể cho rằng chiều cao trung bình của giống lúa mới cao hơn 105cm được hay không?

Giả thiết H0 a5 Đối thiết H1 a U (n−1 ;2 α) , ta bác bỏ giả thiết H0, tạm thời chấp nhận đối thiết H1.

Vậy có thể nói rằng chiều cao trung bình của giống lúa mới cao hơn 105cm.

Bài 5 Theo thống kê, tỉ lệ gà mắc bệnh K tại một trại chăn nuôi là 17%. Sau một thời gian điều trị, người ta kiểm tra 150 con gà 125 thì có 23 con mắc bệnh K Viết cặp giả thiết, đối thiết.

Gọi p là tỉ lệ gà mắc bệnh K tính trên toàn trang trại f là tỉ lệ gà mắc bệnh K trên mẫu suy ra f = 150 24 = 0,16 việc điều trị có hiệu xuống dưới 17% quả khi tỉ lệ gà mắc bệnh K giảm ta có bài toán kiểm định Ho: P=Po = 0,17 ( việc điều trị có hiệu quả) H1: PU 1−α nên bác bỏ H 0 ( chấp nhận H 1 ) Với mức ý nghĩa α=0.05 thì có thể nói ý kiến công ty đưa ra là không chính xác Bài 3: Theo thông báo của sở giao thông, hiện trên thị trường

Tại Hà Nội, xe ô tô của Trung Quốc chiếm tới 60% thị phần Một cuộc kiểm tra ngẫu nhiên lượng xe ô tô đăng ký trong một tuần tại một trạm đăng ký xe ô tô cho thấy trong số 2500 xe ô tô đăng ký, có tới 850 xe là xe ô tô của Trung Quốc Con số này cho thấy sự phổ biến của xe ô tô Trung Quốc tại thị trường Hà Nội.

Trung Quốc với mức ý nghĩa hãy đánh giá thông báo của sở giao thông Lời giải:

K> U 1−2 α nên bác bỏ giả thuyết, chấp nhận đối thuyết

Bài 8: Một công ty sản xuất đĩa cứng trắng của Hàn Quốc cho rằng hàng hóa của họ chiếm 75% thị phần của thế giới Điều tra

40 quốc gia trên thế giới thì thấy có 30 quốc gia sử dụng sản phẩm của công ty đó Với mức ý nghĩa hãy kiểm định nhận định trên?

Ta thấy |K|> U 1−α nên bác bỏ H 0 ( chấp nhận H 1 )

Một nhà lai tạo giống lúa tuyên bố rằng giống lúa cây cao chống lụt vừa tạo ra có chiều cao trung bình là 100 cm Để kiểm tra tuyên bố này, người ta đã chọn ngẫu nhiên 65 cây lúa và đo chiều cao trung bình thu được 112 cm Độ lệch chuẩn có điều chỉnh cho phép kết luận rằng có sự khác biệt có ý nghĩa thống kê giữa chiều cao trung bình của giống lúa thực tế và chiều cao trung bình tuyên bố.

Giả sử chiều cao của giống lúa mới là đlnn có phân phối chuẩn Với mức ý nghĩa

Có thể cho rằng chiều cao trung bình của giống lúa mới cao hơn 100cm hay không?

Ta thấy K> U 1−2 α nên bác bỏH 0 chấp nhận H 1

B à i 1 1 : Cụng ty ABC muon sản xuat loại búng ủốn cú tuoi tho trung bỡnh 00 giờ Neu thời gian dùng ngan hơn 1600 giờ thì công ty sẽ mat khách hàng; neu thời gian dùng dài hơn thì chi phí sản xuat tăng lên Đe biet xem qui trình sản xuat có tot khụng, cụng ty chon m t mau ngau nhiờn gom 64 búng ủốn ủot thử và thay tuoi tho trung bỡnh của chỳng là 1570 giờ với ủ l ch chuan là 121 giờ Hóy cho ket lu n ve qui trình sản xuat ở mức ý nghĩa 5%.

Goi X là BNN chỉ tuoi tho của loại búng ủốn do cụng ty ABC sản xuat

Với mau cụ the, chúng ta có : x = 1570, s = 121 và

Vỡ |t | < gtth nờn: Ở mức = 0,05, giả thiet H o ủược chap nh n, nghĩa là qui trỡnh sản xuat của công ty van tot.

Bài 12: Trở lại công ty ABC trong Thí dụ 5.2.4, Công ty tuyên bo rang tuoi tho trung bỡnh của búng ủốn do ho sản xuat là khụng dưới 1600 giờ Với mau trờn, bạn hãy cho ket lu n ve lời tuyên bo của công ty, ở mức ý nghĩa 4%.

S tuân theo lu t phân phoi t(63).

Với mau cụ the, chúng ta có : t

121 1,9835 < gtth. không phù hợp với thực te.

Bài 13: Tại m t ủịa phương, b nh B cú tỉ l 34% Sau m t ủợt ủieu trị, kiem tra lại trên 100 người, thay có 24 người bị b nh B.

Hỏi ủợt ủieu trị cú thực sự làm giảm tỉ l b nh B ở ủịa phương trờn khụng? ( ket lu n ở mức = 0,05 )

Giói Goi p là tỉ l b nh B ở ủịa phương sau ủợt ủieu trị Kiem ủịnh giả thiet:

H o : p = p o = 0,34 ủoi với H 1 : p < p o Giá trị tỉ l b nh B trên mau: p = 0,24

Với mau cụ the, u (0,24 0,34) 100 2,111< gtth

Vậy, chỳng ta bỏc bỏ giả thiet H o , i.e ủợt ủieu trị thực sự cú làm giảm tỉ l b nh B tại ủịa phương (ket lu n ở mức = 5%).

Bài 14: Người ta cho hai nhúm hoc sinh, theo thứ tự, ủại di n cho hai trường A và B, làm m t bài kiem tra Nhúm thứ nhat gom 40 hoc sinh, cú ủiem trung bỡnh 7,4; nhúm thứ hai gom 50 hoc sinh, cú ủiem trung bỡnh 7,8 Dựa vào mau trờn, cú the ket lu n rang: Điem trung bỡnh của trường B tot hơn ủiem trung bỡnh của trường A khụng?

(ket lu n ở mức ý nghĩa 4%) Biet rang ủiem so của moi hoc sinh của hai trường A và

B cú phõn phoi chuan với ủ l ch chuan, theo thứ tự, là 0,8 và 0,7.

Goi X và Y, theo thứ tự, là bien ngau nhiờn chỉ ủiem so của moi hoc sinh của hai trường A và B thì X ~ N( X , (0,8) 2 ) và Y ~ N( Y , (0,7) 2 ).

Chỳng ta phải cú quyet ủịnh giữa hai giả thiet:

Vậy, ở mức ý nghĩa 4%, giả thiet H o bị bỏc bỏ, i.e ủiem trung bỡnh của trường B thực sự tot hơn trường A.

Để kiểm tra sự làm việc của hai phân xưởng A và B, người ta đã lấy ngẫu nhiên một mẫu gồm n = 10 búng ủốn của phân xưởng A cho tuổi thọ trung bình là 4000 giờ với độ lệch chuẩn là 200 giờ; một mẫu gồm m = 8 búng ủốn của phân xưởng B cho tuổi thọ trung bình là 4300 giờ với độ lệch chuẩn là 250 giờ.

Goi X và Y lan lượt là BNN chỉ tuoi tho của búng ủốn của phõn xưởng A và B Kiem ủịnh giả thiet:

H o : X = Y ủoi với H 1 : X Y Neu H o ủỳng thỡ BNN

Vì |t |< gtth nên không the bác bỏ giả thiet H o ở mức 1%.

V y, chúng ta ket lu n rang: Với mức ý nghĩa 1%, sự khác nhau ve tuoi tho trung bình của hai loại búng ủốn trờn là khụng cú ý nghĩa ve m t thong kờ

Định dạng
Số trang	184
Dung lượng	769,51 KB